Heston随机波动率模型的全面快速校准

D ata为了检查算法找到的最佳参数集是否为全局最优，我们首先假定一个参数集θ*如表1所示，然后使用它生成一个波动率曲面，该曲面通常由以下选项描述：看涨期权和看跌期权，看涨期权和看跌期权，以及（即ATM）30至360天到期的看涨期权。在这里 := C（θ；K，T）/S是希腊的BS，即期权价格对其标的现货变动的敏感性。在表4中，我们给出了由θ生成的40个期权的BS隐含波动率*.我们用上标分别表示看涨期权和看跌期权卡兰德放因此，目标是找到一个参数集θ+，该参数集可以复制表4：挥发性表面进行校准。日内到期放放呼叫呼叫call30 2.5096 1.4359 0.2808 0.2540 0.23692.4351.3216 0.2847 0.2606 0.24172.3823 1.2955 0.2878 0.2660.24892.3383 1.2677 0.2904 0.2699 0.25482.296 1.2407 0.2925 0.2745 0.25982.2619 1.2166 0.2943 0.2777 0.26412.1767 1.1671 0.2975 0.2837 0.27222.0618 1.1136 0.3007表283中的表面挥发性。如果θ+远离θ*或者换句话说，依赖于初始猜测θ，就可以得出局部最优p参数存在的结论。否则，问题只会呈现一个全局最优解。我们通过在表5给出的合理范围内使用不同的最佳参数和初始猜测来验证我们的方法。算法5.1中描述了该过程。表5：随机生成Heston模型参数的合理范围以及初始猜测θ和最佳θ之间的平均绝对距离*.模型参数与θ的绝对偏差范围*κ (0.50, 5.00) |κ- κ*| 1.5097|v（0.05,0.95）|v- \'v*| 0.2889σ (0.05, 0.95)|σ- σ*| 0.2875ρ (-0.90, -0.10)|ρ- ρ*| 0.2557v（0.05,0.95）|（v）- 五、*| 0.3063算法5.1。验证程序。1表示i=1，2。

，100 do2生成最佳参数θ的向量*i、 每个分量都是一个独立的均匀分布随机数，在表5.3规定的区间内，j=1，2，100 do4生成一个初始猜测θ0j，其中每个分量都是一个独立的均匀分布的随机数，在表5.5中指定的区间内使用初始猜测θ0j验证算法4.1以确定θ*i、 6 end7 END按照这个过程，我们用10000个测试用例验证了算法4.1。初始猜测θ和视界θ之间距离的平均值*如表5所示。测试结果将在下一节讨论。5.2. P性能计算是在MacBook Pro上进行的，MacBook Pro配有2.6 GHzIntel Core i5处理器、8 GB内存和OS X Yosemite 10.10.5版。Heston模型的定价函数和梯度函数是使用Xcod e 7.3.1版在C++中编写的。我们使用LEVMAR版本2.6[26]作为LM解算器设置等式中的公差。（36）至ε=ε=ε=10-10.然而，在我们的实验中，LM迭代总是在满足目标函数（36a）的条件时停止。我们使用N=64节点的GL积分，为了简单起见，我们将等式（22）中的积分上限截断为¨u=200，这在所有情况下都足以进行定价和校准。补充资料中提供了该代码。所提出的方法成功地在10000个案例中的9843个案例中找到了假定的参数集，没有对搜索空间的任何限制，在9856个案例中，将搜索限制在表5规定的间隔内。整个校准过程的平均CPU时间小于0.3秒。有关整个验证集的详细信息，请参见表6。

在表7和本节的其余部分中，我们指定了具有最佳参数集θ的代表性示例的信息*如表1所示，初始猜测θ=[1.20,0.20,0.30，-0.60, 0.20].表6：优化信息：平均超过10000个测试用例。与θ的绝对偏差*误差度量计算成本|κ+- κ*| 1.54 × 10-3krk 1.39×10-1CPU时间（秒）0.29 | v+- \'v*| 2.40 × 10-5kr+k2.94×10-11LM迭代12.82 |σ+- σ*| 3.79 × 10-3kJ+ek∞1.47 × 10-5价格评估14.57 |ρ+- ρ*| 1.52 × 10-2kθ+k3.21×10-4梯度评估12.82 | v+- 五、*| 6.98 × 10-6线性系统13.57表7：关于典型示例优化的信息。与θ的绝对偏差*误差度量计算成本|κ+- κ*| 1.09 × 10-3krk 4.73×10-2CPU时间（秒）0.29 | v+- \'v*| 2.18 × 10-6kr+K1.00×10-12LM迭代13 |σ+- σ*| 4.70 × 10-5kJ+ek∞1.21 × 10-5价格评估14 |ρ+- ρ*| 9.89 × 10-6kθ+k2.50×10-4梯度评估13 | v+- 五、*| 1.18 × 10-6线性系统求解13K12 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13-14-12-10-8-6-4-2 |κk- κ*|/|κ*||“vk- 五、*∞|/|\'v*||σk- σ*|/|σ*||ρk- ρ*|/|ρ*||（v） k- 五、*|/|五、*|krkkFig。6：LM方法的收敛性。图6显示了r对偶Rk的收敛性和每个参数朝向最佳值的相对距离。无花果。7a和7b，我们分别在初始点θ和最佳点θ+在隐含波动率面上绘制定价误差。如图所示，定价误差从10-2到10-7.13步之后。T1。61.41.2K0。80.020.040.060.08（a）在初始点θT1处。61.41.2K0。8×10-7（b）终点θ+图。

7：隐含波动率表面上的定价错误。这一结果与之前研究的结论形成了对比：局部最优参数并非本质上嵌入赫斯顿校准问题中，而是由一个形状为窄谷的目标函数引起的，该函数具有底部弯曲和过早停止标准。当5个参数中的2个发生变化时，我们绘制krk的轮廓。从θ开始，迭代路径如图8中的等高线图所示。初始点θ用一个黑圆和真解θ标记*我用黑色加号标记。带星号的红线是θk，k=1，…，的迭代路径，13.对于几乎所有对，第一步是沿着与轮廓几乎正交的最陡下降步。restare采用Hessian的Gauss-Newton近似，采取了相对谨慎的步骤。等高线p地块没有显示局部极小值的证据，至少在二维剖面中没有。“v0。05 0.1 0.15 0.20.51.52.53.5KK（\'vk，κk）（\'v，κ）（\'v*, κ*)（a） ρ-1-0.50 0.5 10.050.10.150.2krk（ρk，vk）（ρ，v）（ρ*, \'v*)（b） 图8:krk的轮廓和（θi，θj）的迭代路径。σ0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.050.10.150.2krk（σk，\'vk）（σ，\'v）（σ*, \'v*)（c） v0。05 0.1 0.15 0.20.51.52.53.5krk（（v）k，κk）（（v），κ）（v）*, κ*)（d） ρ-1-0.50 0.5 10.050.10.150.2krk（ρk，（v）k）（ρ，（v））（ρ*, 五、*)（e） σ0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.050.10.150.2krk（σk，（v）k）（σ，（v））（σ*, 五、*)（f） v0。05 0.1 0.15 0.20.050.10.150.2KK（（v）k，\'vk）（（v），\'v）（v）*, \'v*)（g） σ0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.51.52.53.5krk（σk，κk）（σ，κ）（σ*, κ*)（h） 图8：（续）krk的等高线和（θi，θj）的迭代路径。σ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8krk（σk，ρk）（σ，ρ）（σ）*, ρ*)（i） κ0.511.522.533.544-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8krk（κk，ρk）（κ，ρ）（κ）*, ρ*)（j） 无花果。

8：（续）krk的等高线和（θi，θj）的迭代路径。表8给出了海森矩阵在最优解下的高斯-牛顿近似。表8：黑森矩阵f（θ）*).κ \'vσ ρ 五、κ 5.26 × 10-5.“v9。65 × 10-32.26 × 10+1σ-5.49 × 10-4.-7.66 × 10-27.46 × 10-3.ρ1.61 × 10-42.00 × 10-2.-2.34 × 10-37.56 × 10-4.v5。28 × 10-31.18 × 10+1-3.53 × 10-28.40 × 10-39.69 × 10-1 Hessian矩阵是病态的，条件数为3.978×。元素f（θ）*)/κ和f（θ）*)/ρ比其他的都要小得多。这表明，当目标函数达到最佳值时，对κ和ρ的变化不太敏感。换言之，目标函数沿着这两个轴有更多的树，因为可以通过观察轮廓来验证，例如在图中。8a和8b。两者之间的比率f（θ）*)/κ和f（θ）*)/“相对于ord er 10-6，这表明在敏感性上有很大的差异：改变1个单位的“v”与改变10个单位的κ是相似的。另一方面，这也解释了之前研究中报道的所谓的局部极小值。当从一个差分点开始并以高公差停止迭代时，迭代可能会在κ和ρ非常不同的区域中的某个地方着陆。有两种可能的方法可以解决这个问题：第一种是将参数调整到相似的顺序，并搜索更好的目标函数；第二是降低优化过程的容忍度，这意味着接近这个目标函数的最底层。在表9中，我们展示了UniCredit bank采用的具有分析梯度（LMA）的LM方法、具有数值梯度（LMN）的LM方法和可行性扰动序列定量规划方法（FPSQP）[17]的性能。

由于FPSQPI的具体实施归本行所有，我们仅提取其测试结果。计算成本可以通过每次迭代对pricingfunction（9）的评估次数进行比较，表示为待校准选项数n的倍数。LMA需要大约n个定价函数评估表9：解算器之间的性能比较。LMA-LMN-fpsqp停止判据kr（θk）k≤ 10-10kr（θk）k≤ 10-10公里θkk≤ 10-6迭代13 22每次迭代的价格评估1。08n 1.70n 6.00nstep。LMN对梯度近似的要求更高，但差异不大，因为LMN对后续雅可比矩阵使用秩一更新。FPSQP比LMA需要大约5.5倍的时间，并且对于梯度的停止标准，其精度较低。我们还在几个真实的模型参数上测试了我们的方法。在表10中，我们给出了三个分别代表长期外汇期权、长期利率期权和股权期权的测试案例[3]。它们被认为是普遍存在的，并且对休斯顿模型的模拟具有挑战性[20]。初始猜测的每个组成部分都是一个独立的表10：具有真实Heston模型参数的测试用例。案例一：长期期权。案例二：长期利率期权。案例三：股票期权。案例一案例二案例三κ*0.50 0.30 1.00埃*0.04 0.04 0.09σ*1.00 0.90 1.00ρ*-0.90-0.50-0.30v*0.04 0.04 0.09相应最佳值±10%范围内的均匀分布随机数。这种选择是因为，从业人员通常选择初始猜测作为最后可用的估计，如果校准足够频繁，且市场不会发生剧烈变化，估计结果将接近解决方案。我们用100个初步猜测来测试每个案例。

我们之前在表5中的测试也涵盖了这些情况，但我们希望重点关注我们的方法在应用于这些典型示例时的性能，从而证明其计算效率和实用性。表11给出了100次初始猜测的平均收敛性信息。对于在附近有初始猜测的实际情况，需要不到或大约1秒的时间才能得到最优解。表11：三个典型现实案例的校准结果，报告了每个案例100次初始猜测的平均值。案例一案例二案例三|κ+- κ*| 2.87 × 10-21.35 × 10-31.20 × 10-3绝对v+- \'v*|4.80 × 10-34.52 × 10-52.11 × 10-5偏差|σ+- σ*|5.29 × 10-27.48 × 10-43.94 × 10-4从θ开始*|ρ+- ρ*|3.65 × 10-21.69 × 10-51.46 × 10-5 | v+- 五、*|2.14 × 10-31.46 × 10-51.07 × 10-5krk 2.70×10-44.51 × 10-51.02 × 10-4Errorkr+k1。12 × 10-49.24 × 10-113.33 × 10-11measurekJ+ek∞1.77 × 10-14.63 × 10-64.15 × 10-6kθ+k6。88 × 10-211.63 × 10-85.10 × 10-5CPU时间0.40 1.11 0.15M计算迭代16。83 51.52 6.86成本价格评估23。38 52.60 7.86梯度评估16。83 51.52 6.86线性系统求解23。38 51.52 6.866. 结论我们提出了一种新的赫斯顿特征函数表示法，它是连续的，易于推导。我们推导了赫斯顿期权定价函数相对于模型参数梯度的解析式。该结果可以应用于任何基于梯度的算法。给出了一种对赫斯顿模型进行全面快速标定的算法。LM方法成功地在合理的迭代次数内找到全局最优参数集。

该方法通过随机生成的参数化以及长期外汇期权、长期利率期权和股票期权的三个典型Heston模型参数化案例进行了验证。由此产生的参数可以复制波动率表面，l-范数误差为10-10和大约10的l-范数误差-7.廉价的计算成本和对不同初始猜测的稳定性能使该方法适用于高频交易。讨论了几个数值问题。我们还展示了最终的Hessian矩阵和目标函数的轮廓。我们指出，要么重新调整参数，要么降低公差水平，才能找到全局最优值。感谢Gianluca Fus ai和Giuseppe Di Poto提供的有用意见。感谢经济及社会研究理事会（ESRC）对系统性风险中心的资助（拨款编号/K002309/1）。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.，和Kimmel，R.（2007）。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学期刊》，83（2）。doi:10.1016/j.jfineco。2005.10.006.[2] 阿尔布·埃谢尔，H.，迈耶，P.，肖滕斯，W.，和蒂斯塔尔特，J.（2007）。小海斯顿陷阱。威尔莫特杂志，2007年1月。网址：http://www.wilmott.com/pdfs/121218_heston.pdf.[3] 安徒生，L.（2008）。Heston随机波动率模型的简单有效模拟。计算金融杂志，11（3）。网址：http://www.risk.net/journal-of-computational-finance/technical-paper/2160370/simple-efficient-simulation-heston-stochastic-volatility-model.[4] 安德森，E.，白，Z.，比肖夫，C.，布莱克福德，S.，德梅尔，J.，东加拉，J.，杜克罗兹，J.，格林鲍姆，A.，哈马林，S.，麦肯尼，A.，和索伦森，D.（1999）。拉帕克用户指南。

（第三版）。宾夕法尼亚州费城：工业和应用数学学会。内政部：10.1137/1.9780898719604。[5] 德尔巴诺·罗林，S.，费雷罗·卡斯蒂利亚，A.，和乌特泽特，F.（2010）。关于赫斯顿波动率模型中对数点的密度。随机过程及其应用，120。doi:10.1016/j.spa。2010.06.003.[6] 鲍尔·R.（2012）。在赫斯顿模型中进行快速校准。网址：http://www.fam.tuwien.ac.at/~sgerhold/pub_文件/论文/鲍尔。PDF硕士论文，维也纳理工大学。[7] 布莱克·F.&斯科尔斯，M.（1973）。期权定价和公司责任。《政治经济学杂志》，81（3）。内政部：10.1086/260062。[8] 邦奇，J.，考夫曼，L.，和帕利特，B.（1976）。对称矩阵的分解。Numerische Mathematik，27（1）。内政部：10.1007/BF01399088。[9] 陈斌（2007）。Heston模型的校准及其在衍生品定价和套期保值中的应用。网址：http://repository.tudelft.nl/islandora/object/uuid:25dc8109-4b39-44b8-8722-3fd680c7c4ad？收藏=教育硕士论文，代尔夫特技术大学。[10] 克拉克，I.J.（2011）。外汇期权定价：从业者指南。奇切斯特：威利。内政部：10.1002/9781119208679。ch10。[11] Devernay，F.（2007）。C/C++MINPACK。网址：http://devernay.free.fr/hacks/cminpack.[12] 法通，L.，马里亚尼，F.，雷基奥尼，M.C.，和齐里利，F.（2014）。数学金融中使用的一些随机波动率模型的校准。《应用科学开放杂志》，4（2）。doi:10.4236/ojapps。2014.42004.[13] Fern’andez，J.，Ferreiro，A.，GarciA-Rodriguez，J.，Leitao，A.，L’opez Salas，J.，V’azquez，C.（2013）。静态和动态ABR随机波动率模型：使用GPU的校准和期权定价。数学与计算机模拟，94。doi:10.1016/j.matcom。2013.05.007.[14] Fusai，G.，Germano，G.，和Marazzina，D.（2016）。

Spitzer恒等式、Wiener-Hopf因式分解和离散监控指数期权的定价。《欧洲运筹学杂志》，251（1）。内政部：10.1016/j.ejor。2015.11.027.[15] Fusai，G.，和Roncoroni，A.（2008）。定量金融中的实施模型：方法和案例。宾夕法尼亚州费城：Springer VerlagBerlin。内政部：10.1007/978-3-540-49959-6。[16] Gathereal，J。(2006). 《波动表面：威利金融的从业者指南》第357卷。新泽西州：威利。内政部：10.1002/9781119202073。甲基[17] Gerlich，F.，Giese，A.，Maruhn，J.，和Sachs，E.（2012）。用可行的pointSQP算法识别金融市场模型中的参数。计算优化与应用，51（3）。内政部：10.1007/s10589-010-9369-8。[18] 吉利·M.和舒曼·E.（2012）。用启发式方法校准期权定价模型。在A.Brabazon、M.O\'Neill和D.Maringer（编辑）的《计算金融学中的自然计算》（第9-37页）。柏林：Sp ringer第380卷计算智能研究。内政部：10.1007/978-3-642-23336-4_2。[19] 吉利·M.和舒曼·E.（2012）。金融建模中的启发式优化。运筹学年鉴，193（1）。doi:10.1007/s10479-011-0862-y[20]格拉斯曼，P.，金，K.（2011）。Heston随机波动率模型的Gamma展开。《金融与斯托克黑斯廷斯》，15（2）。doi:10.1007/s00780-009-0115-y[21]赫斯顿，S.L.（1993）。具有随机波动性的期权的封闭形式解及其在债券和现金期权中的应用。金融研究综述，6（2）。内政部：10.1093/rfs/6.2.327。[22]Hurn，A.，Lindsay，K.，和McClelland，A.（2015）。利用期权价格数据估计随机波动率模型的参数。商业和经济统计杂志，33（4）。内政部：10.1080/07350015.2014.981634。[23]Jacquier，A.，和Martini，C.（2011）。海斯顿2010。内政部：10.2139/ssrn。1769744预印本。[24]Janek，A.，Kluge，T.，Weron，R.，Wystup，U。