金融市场中的二元结构与核心-外围结构辨析

因此，SBM矩阵变成pab=~cNθaθb，Ldb[p，g，ψ（θ）]/N=hL（p，g | p，θ，g）i/N\'~c log（~c）+2~cXanaθalog（θa）- ~c- ~c log N（9） 块结构SBM对数似然Lbbon只考虑等式7中的块项，而基于度数的SBM对数似然Lbbon只考虑度数校正项，并有一个附加项c log（c）。因此，区块结构项给出了Real和Ldbi之间的差异，而Lreal和Lbsi之间的差异则由度校正项给出。根据定义，LBB和LDBREMIN都比Lreal小，因为它们是错误指定的模型。对于小程度的非均质性，LBSI大于LDBBE，因为区块结构项大于程度校正项，而对于大程度的非均质性，则相反，两者之间的首选赋值是基于程度的赋值。当然，这并没有告诉我们中间区域最优分配的结构，但它清楚地表明了对数似然分布是如何随着异质性而变化的，以及随着异质性的增加，具有核心-外围结构的分配如何开始具有更高的对数似然。2.3. 数值模拟我们生成了dcSBM二部网络，c>c=c，具有度修正的双峰分布，ψ（θ）=δ（θ）- θ) +δ(θ - θ） ，θ=1+ θ=1- . 具体而言，效能矩阵为：p=Nc CRC！（10） r=5，c=2，n=n=0.5。因为r>1网络组织是两部分的，而不是核心-外围的。我们考虑N=80个节点的较小网络，因为我们想了解网络规模的异质性影响，与第3节中研究的真实电子银行间网络相比，网络规模在40到100个节点之间。每人 我们模拟了大量的样本，典型的范围是从100到2000，通过使用等式。

5.我们根据不同的模型计算对数似然。对于其中的每一个，我们对样本的对数似然进行平均，从而获得整体平均值。具体而言，我们计算：（i）生成模型Lreal的对数似然，（ii）块结构SBM Lbs的对数似然，（iii）基于度的SBM Ldb的对数似然，以及（iv）最优分配和最优参数n的对数似然*A和c*ABP通过信念传播学习程序Lbp找到。请注意，对于前三种情况，我们使用对数概率的精确表达式，而不是等式中的近似表达式。7、8和9。结果如图1所示，我们清楚地看到LBB和Ldb（绿线和蓝线）之间存在交叉点。这与前一节的论点一致，也表明在小规模网络中，很大程度的异质性会影响对数似然分布，有利于将二分网络误解为核心外围结构。图1还显示，这种规模的信念传播学习过程可能会陷入似然Lbp（红色虚线）低于Lbs的解中。当算法找到的最优解有一个核心大小分数n时，绿松石显示平均Lbp*∈ [0.4,0.6]，即足够接近真实分数0.5。在这种情况下，我们可以看到BP算法找到与似然度相关的最优分配，分别接近于小样本的块结构分配 以及大型课程的学位分配.

我们也有0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-21-20-19-18-17-16图1：生成模型Lreal的精确对数似然（粉红色）、块结构SBM的对数似然（绿色）、Lbs、基于度的SBM Ldb的对数似然（蓝色）以及最优分配和最优参数的对数似然，n*A和c*ABP通过信念传播学习程序Lbp（红色）找到。绿松石线是通过BP学习算法找到的最优解的平均对数概率，该算法仅限于核心尺寸分数在0.4到0.6之间的解。实线是2000个样本的平均值，而虚线是从100个样本中获得的。误差条长度等于平均对数概率的标准偏差，且不适用于实线。检查这些优化分配是否适用于小值和大值 确实分别接近区块结构和递减赋值。在图2中，我们展示了BP算法发现二分体或核心-外围结构的次数，作为异质性程度的函数。我们清楚地看到，由于度修正和二分溶液的消失，出现了核心-外围结构，如[5]中的差异分析所示。由于在实际应用中，度的不均匀性通常显示出比双峰分布更广泛的分布，因此我们还分析了度校正的幂律分布情况，即：ψ（θ）=α- 1θmin（θmin）-α（11），其中θ随条件θ=1而减小，因此平均度数随α的变化而守恒。注意，条件p（ai j=1）≤ 1规定，度校正分布的尾部指数必须受条件α>3的限制。结果如图3所示。

我们再次发现，对于增加异质性（小α），BP更经常发现一个核心-外围结构，而对于小异质性，它更经常和正确地发现一个二分结构。3.大规模组织银行间网络银行市场是现代经济的基础设施。它们允许银行放贷和借款，从而为自己和整个经济提供资金。在最近的金融危机中，银行间市场作为监测系统的作用及其对0.2 0.4 0.6 0.800.20.40.60.81的反应图2：BP学习算法识别二分体（绿点）或核心-外围（蓝点）结构的分数。在100个网络上测量分数，每个网络的BP学习算法重复100次，选择的最优解和结构是自由能最低的。什么时候 将找到核心外围结构的概率增加到1。考虑到算法识别的岩心尺寸的可变性，我们绘制了浅绿色和绿绿色线条，分别是二分体和岩心尺寸分数为n的岩心外围的分数*在0.4到0.6之间，人们对经济的严酷条件进行了深入的探索。银行间市场自然被表示为有向加权网络（甚至是多重网络[21]），其中银行是节点，信用关系由alink表示。

对不同银行间网络的分析已经同意了几个常见的程式化事实或统计规律：非常低的连接性、异质程度分布、节点之间的低平均距离、非分离性混合、小集群和异质互惠水平[22、23、24、25]。在考虑网络的大规模组织时，通常将其视为核心-外围结构[26,27]。然而，在最近的一篇论文[13]中，我们通过使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法[28]推断e-MID银行间网络上的SBM（详见下文）来重新审视这一发现。通过考虑网络的定向和加权版本，我们发现，对于大多数聚合时间尺度，这种银行间网络更好地用二分体来描述，而不是用核心-外围结构来描述。有趣的是，长期融资操作（LTRO）是欧洲央行在主权债务危机期间最重要的例外措施之一，在长期融资操作（LTRO）之后，电子中介市场更适合用随机结构来描述，而在LTRO之后仅仅两年，它就恢复了其二分结构。在本文中，我们进行了与[13]中类似的分析，但（i）我们使用信念传播而不是MCMC进行推理，以及（ii）我们考虑了网络的无向和未加权版本。最后一个选择的动机是对网络的纯拓扑结构感兴趣，并更好地识别上一节讨论的从二分结构到核心-外围结构的过渡。事实上，正如[13]的附录所示，银行间网络的无向和未加权版本更常见于a3 4 5 6 7 800.20.40.60.81αF图3：BP学习算法识别二部（绿色交叉）或核心-外围（蓝色三角形）结构的分数。

对100多个网络进行分数测量，每个网络重复50次BP学习算法，选择自由能最低的最优解。随着幂律指数α从右向左减小，基于度的核心-外围偏差越来越明显。当考虑权重和方向时（至少对于中等规模的聚合时间尺度而言）。3.1。e-MID银行间网络在本节中，我们将研究一个真实的银行间时间演化网络，并演示realdata分析中如何存在程度偏差。我们专注于意大利银行间存款电子市场（e-MID），这是一个通过eMID SpA在米兰运营的无担保货币市场存款交易平台。隔夜债务交易的逐日网络是由银行之间的交易清单构成的，在这些交易清单中，一家银行，即赠与人，隔夜借钱给另一家银行，即赠与人，在第二天结算债务。我们用未加权邻接矩阵A（t）描述了e-网络。如果银行i在工作日t借钱给银行j，而银行j在工作日后清偿债务，则一般元素ai j（t）为1。为了理解银行的流动性管理，已经对电子中介网络进行了彻底的研究，例如[29,30]。特别是在这里，我们分析了从2014年1月2日到2014年12月31日的数据。我们想研究银行间网络是由核心-外围网络还是由两部分网络来更好地描述。为此，我们使用置信传播算法进行SBM和dcSBM学习，以进行统计推断，并分析不同聚合级别的结果。我们分析的经济原因如下。

核心-外围结构表示存在一组中间银行，即核心银行，以及一组客户银行，即外围银行，需要核心银行的介入。因此，核心-外围对应于e-MID网络的中间市场。另一方面，在我们的案例中，a-后验概率被发现是最佳定向的[13]，这表明存在一个没有中间人的市场，银行只根据其流动性需求和对交易对手的偏好进行交易，即显示优先交易。我们进行三种分析：首先，我们分析每天的结构，其次，我们分析每月的结构，其中，我们汇总了一个月内的每日eMid网络矩阵，最后，我们调查了通过增加汇总水平获得的累积矩阵的动态性。更具体地说，对于每一天，我们考虑未加权的聚合矩阵a（c）i j（t），其中a（c）i j（t）是1，如果银行在t日前的任何一个工作日隔夜贷款给银行j。由于e-MID矩阵可能相当小，即执行交易的银行数量从40到100不等，并且学习过程可能会陷入对数可能性的局部极小值，即自由能量，我们将快速BP学习过程重复100次，并在效能矩阵上改变初始条件，设置保持给定网络平均度的核心-外围或二部结构，以获得稳健的结果。如上所述，我们考虑相邻矩阵A的对称化版本，该矩阵是通过对每对银行的ai jand和Ajif之间的包含逻辑析取得到的。我们将现有的学习算法应用于http://mode_net.krzakala.org/对于对称矩阵。

对加权和有向情形的推广肯定是有趣的，并且已经用[13]中[28]的推理方法进行了推广。在这里，我们想把注意力集中在程度不确定性在无向网络群检测中的作用上。我们考虑了非孤立节点集上的两个全局网络度量。首先，我们考虑链路密度ρ=Pi jai j/N。图4显示了密度与我们聚合网络的天数的函数关系。很明显，在一天的规模下，网络非常稀疏，其密度随着聚合规模显著增加。为了测量随机图的发散度，我们计算了度分布的方差和平均值之间的比率rp=Var[k]/E[k]。一个随机图具有泊松度分布，因此对于一个随机图，Rp必须等于1。Rp的大值表示一个厚尾度分布。图5显示了RPA与网络聚合天数的函数关系。同样，在这种情况下，观察到了一个很强的icrease：在一天rp’1，即度分布接近泊松分布，而当我们在多天内聚集时，观察到一个很大的Rpi值，表明了一个很强的度不均匀性。日常结构。日复一日的分析学习主要揭示了两个集合的无党派结构。事实上，我们观察到，在2014年的工作日中，65%的SBM发现了一个二分结构，而在dcSBM中，这一比例为91%。因此，SBM和dcSBM在日常规模上同意银行间网络的结构。MCMC推理也得到了类似的结果（见[13]）。这一结果也与度分布的性质一致。对于日常矩阵，Rp的最大值为2.57，因此度分布与aPoissonian分布没有太大差异，SBM结果不受度异质性的强烈影响。

网络的二部结构（及其方向特性）的明确指示可以通过参考10010110210看到-1工作日链接密度图4：链接密度，ρ=πjai j/N，作为我们汇总银行间网络的天数的函数。100101102100.1100.3100.5100.7工作日RPF图5：比率rp=Var[k]/E[k]，其中k表示程度，作为我们汇总银行间网络的天数的函数。RPS测量程度异质性和程度分布与Apoissian分布的差异。根据SBM和dcSBM参数的学习值计算的边际概率（图6的（a）和（b）面板，对于特定的一天），对拉普拉斯矩阵进行行和列排序。在这里，特别是在SBM案例中，观察到了一个完全的二部结构和强定向结构（买方在一边，卖方在另一边）。考虑到银行使用电子中间市场来平衡日常流动性，可以从财务角度解释强大的两部分逐日结构。每天，银行要么缺乏流动性，要么流动性过剩，因此它们要么是债权人，要么是债务人。分析表明，在给定的一天内，银行不太可能同时拥有这两个功能，而在电子中档市场中，日常中介非常罕见。月度结构。我们每月进行相同的分析，即考虑12个未加权的邻接矩阵。这里我们得到了一个不同的结果，表明了选择正确的零模型和拉普拉斯矩阵为L=D的重要性- A其中D是度矩阵（即。

在非消失元素中具有节点度的绝热矩阵）和A是邻接矩阵。（a） （b）同一天的SBM排序（a）同一天的dcSBM排序（c）同一个月的SBM排序（d）同一个月的dcSBM排序（c）图6:e-MID银行间网络的拉普拉斯矩阵，根据SBM[左]和dcSBM集合[右]参数的学习值计算的边际概率排序。链接的颜色比例取决于节点的程度。这两个集合给出的排名不同于节点度给出的排名，dcSBM排名突出了网络的定向和二分结构。考虑到程度的异质性。事实上，虽然SBM在10个月内找到了核心-外围结构（因此两次找到了一个二部结构），但dcSBM在11个月内找到了一个二部结构（一次找到了一个模块结构）。图6的面板（c）和（d）显示了特定月份的拉普拉斯矩阵，行和列根据SBM和DCSBM参数学习值计算的边际概率排序。这两种情况之间的显著差异表明，虽然SBM发现了核心-外围结构，但根据dcSBM对矩阵进行排序，也证明了在月尺度上存在非常明显的二部结构和强方向性结构。两种方法发现的差异结构是由于程度的异质性造成的。事实上，在每月的聚集水平上，Rp的最大值为4.12，表明在梯度分布中尾部更肥。这也与我们之前的分析一致：网络越异构，SBM学习就越倾向于核心-外围结构。