纯路径无概率伊藤积分

这减少了我们证明标准布朗运动的典型路径ω的dimω（[0，c]）=2的任务。如果我们把[0，c]分成n个等长的c/n部分，L’evy的连续性模定理（见[14]，定理1.14）表明，ω在每个部分上的振动等价于top2（c/n）ln或lessas n→ ∞. 对于：=p2（c/n）ln，我们得到mω（[0，c]，）≤ n=Olog,这仍然是事实↓ 引理6可以解释为，定理4中的dimω（E）<2隐式条件意味着E的质量仅略小于[0，t]的整体质量。另一方面，下一个引理表明，田中公式中本质连续性的集合{ω=a}通常质量要小得多。引理7。让我们∈ 几乎可以肯定，对于任何t>0，dimω（{ω=a}∩ [0，t]）≤ 1.（22）证据。与引理6的证明类似，它需要证明标准布朗运动的典型路径ω的（22）。在这种情况下（22）直接遵循，例如，当地时间在0（或a）的向下穿越表示：参见，例如[14]，定理6.1。定理4的证明。修正t>0。在定理3的证明中，我们将在不丧失普遍性的情况下假设|ω|≤ 0.5; 在不丧失普遍性的情况下，我们还将假设类似不等式适用于φ，φ*, φ*. （这将确保| xk，s |≤ bn-N≤ 0.5，假设n≥ 7.）最后，由于可数多个零集的并集为零，因此用dimω（E）<2替换dimω（E）<2的条件时不会失去一般性- 对于给定的δ>0，式中e:={s∈ [0，t]|φ*（t） <φ*（t） 哦。因此，我们假设↓ 0，E可以被O（δ）覆盖-2） 间隔I使得oscI（ω）≤ . 这意味着k的数量使得Tnk≤ t和φ*（Tnk）<φ*（Tnk）isO（2（2）-δ） n）。（23）必须证明（11）仍然成立。在不丧失普遍性的情况下，我们假设总和大于k，这样ak-1<t。

我们将k分为四类（在下面四个相应的项目中，默认值是pk代表该项目中考虑的k的总和）：1。第一类k是满足φ的*（ak）-1) < φ*（ak）-1） （记住，我们只对k感兴趣-1<t）。因为我们总是有ω（ak∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） |≤ 2.-n、 小吃∈[0，t]Xkxk，s=O(2-δ） nbn-2n= o（1）。（我们使用了一个事实，即k的数量≤ t和φ*（Tnk）<φ*（Tnk）为（23），且k的数量使Tn-1k≤ t和φ*（Tn）-1k）<φ*（Tn）-1k）是（23）。）2.第二类k是满足φ的*（ak）-1) = φ*（ak）-1) & φ*（a′k-1) < φ*（a′k-1).这样的k满足a′\'k-1<ak-1和a\'k-1=ak-1.我们不能说这样的k的数量是（23），因为不同的k可能导致相同的a′k值-1，所以我们需要一个更复杂的论点，利用K29鞅（27）。首先我们注意到-10+Xk（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） )-Xk=1,2，…：Tn-1k-1<t，φ*（Tn）-1k-1)<φ*（Tn）-1k-1)ω（Tn）-1k∧ （s）- ω（Tn）-1k-1.∧ （s）（24）是一个简单的资本过程在s时的价值≤ t、 subtrahendin（24）isO(2-δ） n-2n= o（n）-10） 所以鞅值（24）是非负的，即使我们忽略它的二次加法pk（··）。让我们在简单的资本过程变为零时通过补仓交易使其非负；对于足够大的n，这不会影响过程。引理2，（24）是O（n）-8） 在s中一致∈ [0，t]，所以（24）的第二个加数是O（n）-8） ，a.s.所以，大家好∈[0，t]Xkxk，s=sups∈[0，t]Xkbnφ（ak）-1) - φ（a′k）-1)×（ω（ak）∧ s- ω（ak）-1) ∧ s） =Onn-8.= o（1）a.s.3。第三类k是满足φ的*（ak）-1) = φ*（ak）-1) & φ*（好的-1) < φ*（好的-1).这种k与第二种k的处理方法相同。4.

最后一类k是φ*（ak）-1) = φ*（ak）-1) & φ*（好的-1) = φ*（好的-1) & φ*（a′k-1) = φ*（a′k-1).这样的k满足（19），我们又有了SUP∈[0，t]Xkxk，s=o（1）a.s.9结论进一步研究的最明显方向是：o探索rφdω对划分Tnk选择的依赖性，o将定理2推广到凸函数F，o放松定理4的条件。感谢Rafa l Lochowski就[12]进行了有益的讨论并向我通报，感谢Glenn Shafer的评论，感谢Nicolas Perkowski和David Pr–omel澄清了与[18]的关系，感谢Nicolas就随机积分的设计进行了有益的讨论。这项研究得到了美国空军科学研究办公室（FA9550-14-1-0043）的支持。参考文献[1]Anna Ananova和Rama Cont.关于有限二次变化路径的路径积分。技术报告arXiv:1603.03305[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2016年3月。[2] 马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·M·G·考克斯、马丁·休斯曼、尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。路径超级复制viaVovk的外部度量。技术报告arXiv:1504.03644[q-fin.MF]，arXiv。org电子打印档案，2015年4月。[3] 克劳斯·比切特勒。随机积分与半鞅的Lp理论。《概率年鉴》，1981年9:49-89。[4] Rama Cont和David Antoine Fourni’e.路径空间上非预期泛函变量公式的变化。功能分析杂志，259:1043–1072，2010。[5] 菲利普·库尔和皮埃尔·普里奥雷特。临时协议与基金会：对等关系、合作关系与合作关系。巴黎大学统计研究所出版物，14:245–2741965。[6] 马克·戴维斯、扬·奥布·洛伊和彼得罗·西尔帕斯。带有局部时间的路径随机演算。

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技术报告arXiv:1604.00596v2[q-fin.MF]，arXiv。org电子打印档案，2016年5月。附录A：有用的离散时间超鞅我们对定理1、3和4的证明基于一个简单的大偏差超鞅（将在本附录中定义），以及一个可追溯到[11]的经典鞅（将在下面的附录B中定义）。我们考虑离散时间的情况，即下面的perfectinformation协议：投注于有界的下变量splayers:怀疑论者和现实论者：怀疑论者宣布K∈ R.对于k=1，2，…：怀疑论者宣布Mk∈ R.现实宣布xk∈ [-0.5, ∞).怀疑论者宣布Kk≤ Kk-1+Mkxk。我们在k轮结束时将KK解释为怀疑论者的资本。请注意，怀疑论者允许选择他的初始资本，并在每轮结束时扔掉他的部分资金。过程是定义在所有有限序列（x，…，xK），K=0，1，…，上的实值函数。，现实的行动。如果我们为怀疑论者制定一个策略，他的资本KK，K=0，1。，将成为一个过程。这种过程被称为超鞅。引理8。进程kk:=KYk=1expxk- xk（25）是一个超级艺术家。我们不需要先验的可测性，但（25）当然是可测的。证明中使用的怀疑论者对应策略为Mk:=Kk-1，因此也将是可测量的。如果间隔[-0.5, ∞) 协议中的[-0.683, ∞) （但这将不再适用于[-0.684, ∞)).证据需要证明的是，在k轮中，怀疑论者可以将k>0的资本转化为至少TK exp的资本xk- xk;换句话说，他至少可以获得一笔奖金xk- xk- 1.这将遵循不等式expxk- xk- 1.≤ xk。设置x:=xk，将1移到右边，取两个边的日志，我们将这个不等式改写为asx- 十、≤ ln（1+x），其中x∈ [-0.5, ∞).

由于x=0有一个等式，需要注意的是，最后一个不等式的左边的导数永远不会超过其右边对x>0的导数，相反的关系对x<0成立。另一个有用的过程是kyk=1expxk- xk+KYk=1exp-xk- xk!, （26）在有界变量的下注协议中，这是一个超级鞅，需要现实来宣布xk∈ [-0.5, 0.5]. （必须将MMA 8应用于XK-xkand，以平均得到的超级马丁格尔。）备注5。在本附录中，我们使用了第2节[21]中所述的方法；事实上，（使用略微不同的术语）在[21]thatKYk=1exp中显示了这一点xk-xk- |xk|在有界变量上下注的协议中是一个超鞅| xk |≤ 对于足够小的δ>0（假设δ≤ 0.8).附录B：另一个有用的离散时间超级艺术家在本附录中，我们将定义本文主要结果证明中使用的另一个过程（原则上，我们也可以使用该过程来替换附录A中定义的过程）。我们仍然考虑离散时间的情况。这一部分的完美信息原型是：押注于任意变量展示者：怀疑论者和现实协议：怀疑论者宣布K∈ R.对于k=1，2，…：怀疑论者宣布Mk∈ R.现实宣布xk∈ R.Kk:=Kk-1+Mkxk。怀疑论者的资本是现实运动x的函数，XK对于怀疑论者来说，一个给定的策略是一个被称为鞅的过程（这个术语很自然，因为我们的新协议不允许怀疑论者把钱扔掉）。引理9。进程kk:=KXk=1xk-KXk=1xk！（27）是一个鞅。我们将（27）称为K29鞅。证据圆K上（27）的增量是xk-KXk=1xk+K-1Xk=1Xk！=-2K-1Xk=1Xk！因此，xK（28）确实是MKxK的形式。