纯路径无概率伊藤积分

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英文标题：
《Purely pathwise probability-free Ito integral》
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作者：
Vladimir Vovk
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper gives several simple constructions of the pathwise Ito integral $\\int_0^t\\phi d\\omega$ for an integrand $\\phi$ and a price path $\\omega$ as integrator, with $\\phi$ and $\\omega$ satisfying various topological and analytical conditions. The definitions are purely pathwise in that neither $\\phi$ nor $\\omega$ are assumed to be paths of stochastic processes, and the Ito integral exists almost surely in a non-probabilistic financial sense. For example, one of the results shows the existence of $\\int_0^t\\phi d\\omega$ for a cadlag integrand $\\phi$ and a cadlag integrator $\\omega$ with jumps bounded in a predictable manner.
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中文摘要：
本文给出了被积函数$\\phi$和价格路径$\\omega$的路径Ito积分$\\int_0^t\\phi d\\omega$的几种简单构造，其中$\\phi$和$\\omega$满足各种拓扑和分析条件。这些定义纯粹是路径性的，因为$\\phi$和$\\omega$都不是随机过程的路径，伊藤积分几乎肯定存在于非概率金融意义上。例如，其中一个结果显示了$\\int_0^t\\phi d\\omega$对于cadlag积分器$\\phi$和cadlag积分器$\\omega$的存在，跳跃以可预测的方式有界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Purely_pathwise_probability-free_Ito_integral.pdf (277.28 KB)

2022-5-9 14:45:01 上传

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关键词：伊藤积分 Mathematical Quantitative Construction mathematica

纯路径概率自由It^o积分*弗拉基米尔·沃夫。vovk@rhul.ac.ukSeptember本文给出了被积函数φ和价格路径ω的路径It^o积分rtφdω的几个简单构造，其中φ和ω满足各种拓扑和分析条件。这些定义是顺路径的，因为φ和ω都不被假定为随机过程的路径，而且几乎可以肯定，It^o积分在非概率金融意义上存在。例如，其中一个结果显示了c`adl`ag被积函数φ和c`adl`ag积分器ω的tφdω的存在性，其跳跃以可预测的方式有界。1引言本文的结构如下。为了设置场景，第2节简要介绍了我所知道的与无概率路径It^o集成相关的论文和结果。在第3节中，我们以无概率的方式定义了短语“某些性质几乎可以确定”的含义，并证明了路径随机积分φdω的最确定存在性，假设φ和ω是连续的（定理1）；定义是“纯粹的路径”，因为ω和φ都不是过程的路径，它们可以单独选择。其他论文（例如[24,18,12]）使用“典型结果”而不是“几乎肯定”这样的表达，以避免与“几乎肯定”的概率概念混淆，但本文中没有混淆的危险，因为我们永远不需要概率概念。定理1在下面的第四节中得到了证明；该证明依赖于附录a中引入的原始“自规范博弈论上鞅”和附录B中引入的经典鞅的博弈论版本。该证明也可以从[18]中提取出来（然而，它没有明确说明定理1）。

第5节表明，连续价格路径几乎肯定存在二次变化；原则上，这是一个已知的结果（[24]，定理5.1（a）），但我们在一个稍微不同的环境中证明了它（即*这篇论文的版本在http://probabilityandfinance.com（工作文件42）更新更频繁。定理1）的要求。一旦我们有了二次变分，我们就可以陈述它的一个简单版本^o公式（定理2），并在第6节展示我们的积分与F¨ollmer[9]的重合。第7节给出了在c`adl`agφ和ω的情况下It^ointegralRtφdω的定义。定理3证明了在这种情况下It^o积分的存在性，与定理1类似。读者会注意到，前一个定理的设置更为复杂，因此我们不能说它包含后一个定理作为特例。第8节第一步定义了非c`adl`agφ的纯路径It^o积分，为简单起见，假设ω是连续的。最后，第9节列出了一些进一步研究的方向。2相关文献第一篇给出无概率定义的论文是F¨ollmer[9]，他定义了φdω的积分，其中φ是由正则函数F（即，对于C函数F，F=F′）与ω组合得到的（为了简单起见，我们假设ω在本介绍部分是连续的）。F¨ollmer的定义在ω中是路径的，但不完全是路径的，因为φ是ω的函数。Cont和Fourni\'e[4]通过应用非预期泛函F（也是F′的形式，其中F是表示C1,2的类的非预期泛函，素数表示“垂直导数”）替换F和ω的组合，扩展了F¨ollmer的结果。

Cont和Fourni’e的定义在ω上并不完全一致，但Ananova和Cont在[1]中对此进行了修正（因为对非预期函数F的额外限制）。其他论文（如Perkowski和Pr¨omel[17]以及Davis等人[6]）通过放松关于F的规律性假设，扩展了F¨ollmer的结果，这需要包含本地时间。所有这些论文都假设ω具有二次变化（以一种不同的方式定义），并且当ω是一个典型的价格路径时，该假设是满足的（参见，例如[20]；此类ω的二次变化的存在性在，例如[24]和[23]；下面将给出精确的定义）。典型连续价格路径的局部时间的存在源自[24]的主要结果（如[17]第13页所述），并在[17]中得到了明确证明，以及它的几个优良性质（定理3.5）。最近的论文[15]并非完全没有概率。此外，它还依赖于集合论的其他公理（添加连续体假设是有效的），正如作者所指出的，他的“随机积分的‘构造’在正确意义上不是‘建设性的’；它只产生一个存在的结果”。本文的结构是明确的。关于这一主题的另一篇论文是[23]，但其中使用的结构是F¨ollmer的，而[23]中唯一的新颖之处在于，它表明了典型的c`adl`ag价格路径（在有界跳跃的条件下）存在二次变异。为了澄清通常的“路径”概念和我们所说的“纯粹路径”之间的关系，让我们考虑两个例子，其中路径定义实际上纯粹是路径的，但非常有限。例1（格伦·沙弗）。考虑时间相关函数F（[22]，推论2.3.6）的It^o积分F（ω（s），s）dω（s）的F¨ollmer类型定义；该定义隐含在[9]）。

如果f不依赖于它的第一个参数f（·，s）=φ（s），我们得到了tφdω的纯路径定义。问题是函数f必须是非常正则的（C2,1类），因此这种构造只适用于非常正则的φ（例如C）。例2。第二个例子是F？ollmer对It^ointegralRt的定义F（X（s））dX（s）对于函数X:[0，∞) → Rd具有路径二次变化（如F–ollmer所定义）；该定义如[9]第147-148页和[22]定理2.3.4所示。让我们取d=2，将X的分量表示为φ，ω：X（t）=（φ（t），ω（t））表示所有t∈ [0, ∞). 对于路径二次变化的存在，必须假设φ和ω是理想化金融市场中不同证券的价格路径（例如，参见[23]，第5节）。取F（φ，ω）：=φω，我们得到了纯路径It^o积分的和的定义。在这种特殊情况下，积分不再是积分器的函数，但即使我们忽略了RTφdω和RTωdφ仍然没有单独定义的事实，φ和ω在同一个市场上共同交易的事实在逻辑上引入了它们之间的许多依赖关系；e、 在φ（t）=ω（t）的情况下- ）对于某些>0和所有≥ 我们希望积分φdω得到很好的定义，但交易φ和ω的市场变成了货币机器（除非φ和ω退化，例如常数）。

即使φ不是交易证券的价格路径，二次变异的存在也是一个强大且不必要的假设。本文完全解耦了φ和ω（至少在c`adl`ag的情况下），并且φ从来没有被假定为价格路径。本文受Rafa l Lochowski最近的论文[12]的启发，该论文介绍了一类广泛的交易策略φ的It^o积分φdω，在类似于[24]和[18]的无概率环境中被积分；与[18]相比，[12]的主要进步是对c`adl`ag价格过程的处理。本文的主要观察结果是，RTφdω可以在不假设φ是给定策略的实现路径的情况下定义。给出其^o积分纯路径定义的文献包括[3]（定理7.14）和[10]，但这些文献中的存在性结果并非无概率。最后，从表面上看，Perkowski和Pr–omel的论文[18]并没有给出纯粹的路径定义（即，他们假设被积函数是一个过程而不是一条路径）。Perkowski和Pr–omel认为有两种方法可以将其定义为“o积分”。第二种方法的一个缺点是，它“将被积函数集限制为‘局部看起来像’”ω（[18]，第4节的开头）。他们的第一种方法（以定理3.5为顶点）构造了φdω，其中φ是Rd中连续路径样本空间上的过程路径，使得φ成为ω的非预期函数。

然而，它可以应用于由两个分量组成的ω，这两个分量可以用作被积函数和积分器（如上面的例子2所示），关键的是，定理3.5（另见推论3.6）的证明[16]表明，不需要在被积函数中进行交易；因此，它也证明了我们的定理1.3在连续情况下对it^o积分的定义。在我们的术语和定义中，我们将主要遵循技术报告[24]的第2节。我们考虑连续时间内现实（金融市场）和怀疑（交易者）之间的博弈：时间间隔为[0，∞). 首先怀疑论者选择他的交易策略（暂时定义），然后现实地选择连续函数ω和φ映射[0，∞) 对R；ω被解释为金融证券的价格路径（不要求非负），φ是我们希望通过ω积分的函数。为了将这幅图形式化，我们将使用Galmarino风格的定义，这比标准定义（在[24]的期刊版本中使用）更直观；参见，例如[5]。允许Ohm := C[0，∞)（1） 是所有可能对的集合（ω，φ）；这是我们的样品空间。我们装备Ohm由函数（ω，φ）生成的σ-代数F∈ Ohm 7.→ （ω（t），φ（t）），t∈ [0, ∞) （即使它们可测量的最小σ代数）。我们经常考虑Ohm 和功能Ohm 这是可测量的toF。如[25]所示，可测量性的要求非常重要：没有它，很容易在极短的时间内变得非常丰富。和往常一样，事件是F-可测量的集合Ohm, 随机变量是这种类型的可测函数Ohm → R、 一个扩展的随机变量是F-可测函数Ohm → [-∞, ∞].

每个o=（ω，φ）∈ Ohm 已识别函数o:[0，∞) → 定义为o（t）：=（ω（t），φ（t）），t∈ [0, ∞).停止时间是一个扩展的随机变量τ：Ohm → [0, ∞] 这样，对于所有o和o\'inOhm,o|[0，τ（o）]=o′|[0，τ（o）]==> τ（o）=τ（o′，其中f|Astands表示f对A和f的域的交集的限制。一个随机变量X被称为τ-可测，其中τ是所有o和o′in的停止时间ifOhm,o|[0，τ（o）]=o′|[0，τ（o）]==> X（o）=X（o′）。按照概率论的惯例，我们经常会忽略对o的明确提及∈ Ohm当背景清楚时。简单的交易策略G被定义为一对（（τ，τ，…），（h，h，…），式中：oτ≤ τ≤ · · · 是一个不递减的停止时间序列，因此∈ Ohm, 画→∞τn（o）=∞;o 对于每个n=1，2。，Hn是一个有界τn-可测函数。对应于简单交易策略G和初始资本c的简单资本过程∈ R定义为o=（ω，φ），单位为kg，ct（o）：=c+∞Xn=1hn（o）ω（τn+1）∧ （t）- ω（τn）∧ （t）, T∈ [0, ∞),忽略总和中的零项（这使得每个t的总和都是有限的）。hn（o）是怀疑论者在时间τn=τn（o）时的赌注，KG，ct（o）是怀疑论者在时间t时的资本。这个定义背后的直觉是怀疑论者只允许在ω上下注，但ω和φ的当前和过去值都可以用于选择赌注。非负资本过程是任何可以用以下形式表示的函数：=∞Xn=1KGn，cnt，（2）其中简单资本过程KGn，cnt要求为非负（即KGn，cnt（o）≥ 0代表所有t和o∈ Ohm), 非负级数∞n=1需要收敛。总和（2）可以取值∞.

由于KGn，cn（o）=cnn不依赖于o，S（o）也不依赖于o，有时会缩写为S。集合E的外部度量 Ohm （不一定是E∈ F） 定义为asP（E）：=infso∈ Ohm : lim inft→∞St（o）≥ 1E（o）, （3） 其中S在非负资本过程中变化，1E代表E的指示函数。很明显，如果我们用lim sup替换（3）中的lim inf，P（E）不会改变。如果p（E）=0，则集合E为空。这个条件等价于非负资本过程S的存在，使得S=1，在事件E中，limt→∞St=∞ （例如，参见[24]第2节）。如果我们更换limt，等价物仍然有效→∞林苏普→∞. 我们会说这样的开关E是空的。o的性质∈ Ohm 如果失败的o集为空，则几乎可以肯定（a.s.）。备注1。定义（3）不如[18]中提出的修改受欢迎（后者也被用于[17]、[2]、[13]和[12]）。我们选择原始定义（3）的理由是，它更保守，因此使我们的结果更强。它的财务解释是，如果怀疑论者可以变得非常富有，只需将一个货币单位的初始资本拆分成可数个账户，并对每个账户执行简单的交易策略，确保任何账户都不会负债，那么E是无效的。现在我们有了定义It^o积分φdω所需的一切。首先，我们定义一个停止时间序列Tnk，k=0，1，2。，由Tn（o）：=0感应，其中o=（ω，φ）和Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)∨φ（t）- φ（Tnk）-1)= 2.-对于k=1，2。（和往常一样 := ∞); 我们对每个n=1，2。我们让tn（o）代表第n个分区，即setTn（o）：={Tnk（o）|k=0，1。

.} .请注意，分区的嵌套性 T · · · , 我们的定义既不要求也不暗示。备注2。序列（4）的定义不同于[24]第5节中的定义，因为它不仅使用ω的值，还使用φ的值。在这方面，它让人想起[3]（定理7.14）和[10]中的定义，其中类似的停车时间序列仅取决于φ的值。尽管如此，t∈ [0, ∞), φ ∈ C[0，∞), ω∈ C[0，∞), 定义（φ·ω）nt：=∞Xk=1φ（Tnk-1.∧ （t）ω（Tnk）∧ （t）- ω（Tnk）-1.∧ （t）, n=1，2。（5） 定理1。对于每个t>0，（φ·ω）nsconverge在s上一致∈ [0，t]几乎可以肯定为n→ ∞.定理1中断言其存在的极限将被表示为（φ·ω）或φdω，并称为φ×ω的It^o积分。由于每个t的收敛是一致的[0，t]，因此，（φ·ω）是s的连续函数∈ [0, ∞), 几乎可以肯定。4定理证明1让我们首先检查止损时间Tnk的以下基本属性（这将允许我们使用这些止损时间作为简单交易策略的组成部分）。引理1。每n，Tnk→ ∞ 作为k→ ∞.证据让我们用n和t来表示，对于一些k，Tnk>t∈ [0，t]具有ω和φ变化小于2的高度-n、 根据区间[0，t]的紧致性，我们可以选择该区间的一个有限覆盖层，由这样的邻域组成，每个这样的邻域最多包含一个Tnk。根据“几乎肯定”的定义（以及前面的评论），任何非负资本过程K与K<∞ 满意的支持∈[0,∞)Kt<∞ 几乎可以肯定。下面的引理将其推广到非负资本过程序列。引理2。对于任何序列Kn，n=1，2。，非负资本流程的实现≤ 1.我们有supt∈[0,∞)Knt=O（n）as n→ ∞ a、 美国证据。