纯路径无概率伊藤积分

辛塞彭-2K这是一个非负的资本过程，初始值是有限的，我们有suptxnn-2Knt<∞ a、 这意味着-2Knt<∞ a、 这反过来又意味着-2suppknt<∞ a、 可重写为suptKnt=O（n）a.s。t的值将在本节其余部分固定。证明了区间s上的函数序列（φ·ω）∈ [0，t]几乎肯定是柯西（在统一度量中）。让我们安排停车时间Tn，Tn，Tn。和Tn-1，田纳西州-1，田纳西州-1.进入一个严格递增的序列（如果需要，移除重复项）ak，k=0，1，…：0=a<a<a<···，每一个AKI等于一个TNK或一个Tn-1k，ak中的每个TNKI，以及每个Tn-这就是正义与发展党。让我们应用这个策略来实现超级马丁格尔（25）（最终我们将在（26）中感兴趣）toxk:=bn（φ·ω）nak- （φ·ω）nak-1.-（φ·ω）n-1ak- （φ·ω）n-1ak-1.= bnφ（a′k）-1） （ω（ak）- ω（ak）-1)) - φ（a′k）-1） （ω（ak）- ω（ak）-1))= bnφ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)（ω（ak）- ω（ak）-1） ），（6）式中bn:=n（该选择的理由将在稍后明确），a′k-1:=Tnk\'，其中k\'是最大整数，因此Tnk\'\'≤ ak-1和a′k-1:=Tn-1k′，其中k′是最大的整数，因此-1k′\'≤ ak-1.（注意eithera\'k-1=ak-1或a′k-1=ak-1.）非正式地，我们考虑简单的资本过程KNW，起始资本1对应于每次ak，k=0，1。形式上，下注时间为akis Knakbn（φ（a′k）- φ（a′k））。我们通常不会在符号中反映n（例如akand xk），但这不应导致歧义。引理8的条件满足| xk |≤ bn-n+1-N≤ 0.5，（7）其中最后一个不等式（确保（25）和（26）真的是超鞅）适用于所有n≥ 1.通过引理8，我们将拥有知识≥KYk=1exp（xk- xk），K=0，1。

引理8的证明表明，除此之外，我们还有≥ 诀窍-1exp（xk，s- xk，s），k=1，2，s∈ [ak-1，ak]，其中xk，s:=bn（φ·ω）ns- （φ·ω）nak-1.-（φ·ω）n-1s- （φ·ω）n-1ak-1.= bnφ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)（ω（s）- ω（ak）-1） ）（8）（参见（6）；注意（7）对于xk仍然成立，而不是xk）。这个简单的资本过程显然是非负的。为了覆盖（6）和（8），我们修改了（8）toxk，s:=bnφ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） ）。（9） 我们有一个从1开始的非负资本过程knth，它在时间s的值至少为texpbn（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s-∞Xk=1xk，s！。（10） 让我们展示一下∈[0，t]∞Xk=1xk，s=o（1）（11）作为n→ ∞ 几乎可以肯定。这需要证明这一点∈[0，t]∞Xk=1N-n+1（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） )= o（1）（12）几乎可以肯定。使用导致K29鞅（27）的交易策略，我们得到了简单资本过程Kns=n-3+∞Xk=1N-n+1（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） )-∞Xk=1n-n+1（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） ）！=N-3+∞Xk=1n-2n+2（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） ）（13）- N-2n+2（ω（s）- ω(0)).在形式上，这个简单的资本过程对应于初始资本Kn=n-3.赌博-2n-2n+2（ω（ak）- ω（0））在时间ak，k=1，2。（参见第28页）onp。23). 让我们在n的第一刻停止交易，使这个简单的资本过程非负-2n+2（ω（s）- ω（0））达到n-3（对于足够大的n，在时间t之前不会发生）；请注意，即使addendP∞忽略（13）中的k=1（···）。因为Knis是一个初始值为n的非负性资本过程-3.将引理2应用于n)Kngives sups≤t~Kns=O（n-1） =o（1）a.s.因此，集水坑∞k=1（··）在（13）iso（1）a.s.中，完成了（11）的证明。与（11）、（10）结合使用意味着≥ 经验bn（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s- 1.为了所有的人≤ 从某种意义上说，几乎可以肯定。

将导致超鞅（25）的策略应用于-xk，代替xk，对得到的简单资本过程进行平均（如（26）所示），我们得到了一个简单的资本过程“knsatizing”Kns≥经验bn（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s- 1.（14） 为了所有的人≤ 从某种意义上说，几乎可以肯定。通过“Knand引理2”的定义，我们得到了∈[0，t]expN（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s- 1.= 几乎可以肯定。最后一个不平等意味着支持∈[0，t]（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s= O对数nn.自从Seriepn（logn）n-2收敛，我们得到了（φ·ω）NSS上几乎确定的一致收敛性∈ [0，t]作为n→ ∞.5二次变量在这一节中，我们将证明ω沿Tnkexists的二次变量。如[24]和[23]所示，但分区顺序不同。定义（基本上遵循[24]第5节）Ant（o）：=∞Xk=1ω（Tnk）∧ （t）- ω（Tnk）-1.∧ （t）, n=1，2，对于o=（ω，φ）。引理3。每个t≥ 0，函数的序列An:s∈ [0，t]7→ Ans收敛为n→ ∞ 几乎可以肯定。我们将使用符号（o）表示极限（当它存在时），并将其称为ω在s处的二次变化。我们还将使用符号A（o）表示二次变化s≥ 0 7→ 价格路径ω的As（o）。引理3的证明。该证明将以第4节中定理1的证明为基础（但将更简单）；我们从定义t的值开始。让我们检查序列An |[0，t]在统一度量中几乎肯定是柯西的。让我们应用上鞅（25）toxk:=bn阿纳克（o）- 阿纳克-1（o）-一-1ak（o）- 一-1ak-1（o）= bnω（ak）- ω（a′k）-1)-ω（ak）-1) - ω（a′k）-1)-ω（ak）- ω（a′k）-1)+ω（ak）-1) - ω（a′k）-1)= bn-2ω（ak）ω（a′k）-1） +2ω（ak）-1） ω（a′k）-1） +2ω（ak）ω（a′\'k）-1) - 2ω（ak）-1） ω（a′k）-1)= 20亿ω（a′k）-1) - ω（a′k）-1)（ω（ak）- ω（ak）-1） ）和-xk，a\'k在哪里-1，a′k-1和bn的定义与之前一样，我们只对n感兴趣≥ 4.

我们现在有了| xk |≤ 20亿-n+1-n=bn-2n+2≤ 0.5（最后一个不等式取决于我们的假设n≥ 4). （14）的类似物为“Kns”≥经验bnAns（o）- 一-1s（o）- 1.,所以我们有晚餐∈[0，t]expNAns- 一-1s- 1.= 几乎可以肯定。这意味着∈[0，t]Ans- 一-1s= O对数nn因此，Ansover s的几乎确定一致收敛性∈ [0，t]作为n→ ∞.6 It^o公式在本节中，我们陈述了It^o公式的一个版本，它表明我们对It^o积分的定义与F^ollmer[9]的定义一致（当后者专门用于连续情况和我们的分区序列时）。定理2。让F:R→ R是C类的函数。那么，对于所有t≥ 0，F（ω（t））=F（ω（0））+ZtF′（ω）dω+ZtF′（ω）dA（ω，F′（ω））a.s.（15）（15）中的符号F′（ω）和F′（ω）代表合成：例如，F′（ω）（s）：=F′（ω）（s）代表合成≥ 0.积分F′（ω）dA（ω，F′（ω））可以用勒贝格-斯蒂尔杰的意义来理解。的参数“（ω，F′（ω））”是指定义证明时使用的分区序列（（4）φ：=F′（ω））。根据泰勒公式，F（ω（Tnk））- F（ω（Tnk）-1） ）=F′（ω（Tnk）-1))ω（Tnk）- ω（Tnk）-1)+F′（ξk）ω（Tnk）- ω（Tnk）-1),在哪里∈ [ω（Tnk）-1） ，ω（Tnk）]。求和k=1的等式，K、 其中K是最大的K，因此Tnk≤ t、 并以n的形式传递到极限→ ∞.由于它的公式（15）也适用于F^ollmer的[9]积分F′（ω）dω（见[9]中的定理），F^ollmer的积分（仅在F′（ω）dω的上下文中定义）几乎肯定与我们的一致。对于φ：=F′（ω）的分区序列（4）也是如此，前提是它是稠密的（如F¨ollmer的定义所要求的，在这种情况下，它相当于我们的定义：cf。

[23]，命题4）。7在c`adl`ag被积函数和积分器的情况下，在这一节中，我们允许ω和φ是c`adl`ag函数，这需要在现实的移动，c`adl`ag函数ω中添加更多的分量*ω*以可预测的方式控制ω的跳跃。样本空间Ohm （现实中所有可能的动作）现在变成了Ohm :=(ω, ω*, ω*, φ) ∈ D[0，∞)| T∈ (0, ∞) : ω*（t）-) ≤ ω（t）≤ ω*（t）-), （16） 其中D[0，∞) 是[0]上所有c`adl`ag实值函数的Skorokhod空间，∞), 和f（t）- ) 代表左极限极限↑t>0时f的tf（s）。这个Ohm 在上一节中，（1）嵌入Ohm 通过设置ω*:= ω和ω*:= ω.备注3。（16）中给出的ω跳跃的条件与[23]中给出的条件类似，后者假设ω*ω*是ω的函数（即有函数f*和f*这样ω*（t） =f*（ω（t））和ω*（t） =f*（ω（t））对于所有t>0）和ω=（ω*+ ω*)/2.它涵盖了两种重要的特殊情况：o跳跃ω（t）：=ω（t）- ω（t）-) ω的绝对值以已知常数为界；这相当于ω*:= ω - C和ω*:= ω+C；oω被认为是非负的（在现实世界的Tenare市场中是价格路径）和相对跳跃ω（t）/ω（t）-) （0/0时：=0）由已知常数C限定；这相当于ω*:= 0和ω*:=（1+C）ω。每个o=（ω，ω）*, ω*, φ) ∈ Ohm 与函数o:[0，∞) → Rde定义的byo（t）：=（ω（t），ω*（t） ，ω*（t） ，φ（t）），t∈ [0, ∞).样本空间Ohm 具有由函数o生成的σ代数的泛完备F∈ Ohm 7.→ o（t），t∈ [0, ∞). 在这一变化之后，事件、随机变量、停止时间τ和τ-可测量随机变量的定义仍与之前相同（但使用新的σ-代数F）。在定义F时，我们需要一个普遍的完备性，才能得到下面的引理。引理4。

如果 R是一个闭集，它的输入time由ω，τ（o）：=min{t∈ [0, ∞) : ω（t）∈ A} ，o代表（ω，ω）*, ω*, φ） ，是一个停车时间。证据例如，见[7]中的第三个例子（结合解析集的普遍可测性，见[8]中的定理III.33）。然而，为了完整起见，我们将详细说明这个简单的论点。由于A是闭合的，{τ≤ t} 这个项目是吗Ohm 关于集合{（s，o）∈ [0，t]×Ohm | ω（s）∈ A} 。结合c`adl`ag过程（如Ss（o）：=ω（s））的渐进可测性，这意味着，由于{（s，o）∈ [0，t]×Ohm | ω（s）∈ A} 在σ-代数Bt×Ft（其中Bt代表[0，t]上的Borelσ-代数）中，{τ≤ t} 是分析型的。备注4。引理4的类似物也适用于φω*, ω*代替ω（如同一个参数所示）。简单交易策略、简单资本过程、非负资本过程和外部度量的定义与第3节中的定义相同，将参数“o=（ω，φ）”替换为“o=（ω，ω）”*, ω*, φ)”; “几乎肯定”的定义也和以前一样。TNKI的定义（4）通过用一个不等式替换等式进行了修改：Tn（o）：=0和Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)∨φ（t）- φ（Tnk）-1)≥ 2.-不，k=1，2。（17） 进行此更改后，（φ·ω）n的定义保持不变（5）。引理1的分析仍然成立：引理5。每n，Tnk→ ∞ 作为k→ ∞.证据这个证明类似于引理1的证明，只是现在我们选择每个引理的一个邻域∈ [0，t]其中ω的变化小于|ω（s）|+2-nandφ的变化小于|φ（s）|+2-n、 在每个这样的社区中，Tnk的值都不到10（对于固定的n）。下面的定理断言，在我们当前的上下文中，几乎可以确定它是^o积分。定理3。对于每个t>0，（φ·ω）nsconverge在s上一致∈ [0，t]几乎可以肯定为n→ ∞.证据

修正t>0，设E为（φ·ω）nss未能在s上一致收敛的事件∈ [0，t]作为n→ ∞. 我们的目标是证明E为空。在不丧失普遍性的情况下，假设ω（0）=0（可以这样做，因为（5）对ω加一个常数是不变的）。首先，我们注意到（如[23]中定理1的证明），它需要考虑现实不输出ω的修正游戏*ω*但instead只能产生ω∈ D[0，∞) 令人满意的晚餐∈[0,∞)|ω（s）|≤ c对于给定常数c>0。事实上，假设定理3（对于给定的t）的陈述在任何c的修改博弈中成立，并且让SCC成为一个非负资本过程，证明修改博弈中事件E的模拟为空。证明E在原始名称中为空的非负资本过程可定义为：=∞XL=1-LSL∧σL（18），其中σLis表示停止时间σL:=infs |ω*（s）∨ (-ω*（s） )≥ 2L（直觉上，这是我们无法保证ω不会立即跳到2Lin绝对值或超过2Lin绝对值的第一个时刻；引理4和备注4给出了停止时间）。让我们检查（18）中的每个加数不仅在修改后的游戏中是非负的，而且在原始游戏中也是非负的。事实上，如果SLs在某些情况下小于0≤ σL，修正博弈中SLin的非负性（c=2L）意味着，对于某些s′∈ [0，s]，|ω（s′）|>2L。通过（16），最后一个不等式意味着ω*（s′）-) > 2Lorω*（s′）-) < -2L。所以ω*（s′）>2Lorω*（s′）<-2l对于某些s′<s′≤ s≤ σL，这与σL的定义相矛盾。现在让我们检查S（我们已经知道在原始游戏中是非负的）是否见证了E为空。If（ω，ω）*, ω*, φ) ∈ E、 有一个恒定的c边界-ω*|[0，t]和ω*|[0，t]从上面。（18）中2L>c的任何加数都趋向于与s一致→ ∞ （事实上，最终将是ats=t）。在这个证明的其余部分中，现实被限制为sups |ω（s）|≤ C

在不丧失一般性的情况下，将c:=0.5。我们遵循与定理1相同的方案，再次使用相同的bn定义xkby（6）和xk，sby（9）。注意，福恩≥ 2.我们一直都有φ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)≤ 2.-n+1（19）in（6）和（9）；因此，我们可以用| xk |替换（7）≤ bn-n+1≤ 0.5（与xk，s的类似不等式），其中最后一个不等式为真n≥ 8，我们从现在开始在这个证明中假设。本质上，与第3节相同的论点表明（11）仍然成立。事实上，它需要检查（12）。对于足够大的n，过程的非负性ω[0，t]≤ 0.5; 也就是说，当n-2n+20.25≤ N-3、~KN将是非负的，即使∞忽略（13）中的k=1（···）。现在再次应用引理2得到（11）。现在，证明的完成方式与定理1.8的证明相同。对于可预测的非c`adl`ag被积函数和连续积分器，我们将在本节中考虑非c`adl`ag被积函数φ，首先是受田中公式的启发，该公式涉及的积分器包括φ（t）：=1ω（t）>a（连续ω的低连续），φ（t）：=1ω（t）≥a（连续ω的上半连续）或φ（t）：=符号（ω（t）- a）（一般来说都不是）。这样的函数甚至不受调节：它们有本质的不连续性（即点t），使得φ（t-) 或φ（t+）不存在）。在φ和ω之间存在某种协同作用的情况下，我们将定义此类φ的It^o积分φdω：非常粗略地说，我们将要求ω在φ的基本不连续性周围不会发生太大变化（这将涵盖本段开头给出的示例）。这一部分的结果非常初步；特别是，在本文中，我们只考虑连续ω的情况。我们将要求被积函数φ“以可预测的方式”为非c`adl`ag。

我们现在正式定义样本空间Ohm 成为片场Ohm :=n（ω，φ，φ）*, φ*) ∈ C[0，∞) ×R[0，∞)×D[0，∞)| T∈ (0, ∞) :φ*（t）≤ lim infs↓tφ（s）≤ 小吃↓tφ（s）≤ φ*（t） &φ*（t）≤ φ（t）≤ φ*（t） )；集合{t∈ [0, ∞) | φ*（t） 6=φ*（t） }是closedo（20）由四个leso=（ω，φ，φ）组成*, φ*) （21）直觉上*φ*控制φ的非c`adl`ag跳跃。这个Ohm 在上一节中，（16）在ω是连续的限制下，嵌入到Ohm 通过设置φ*:= φ和φ*:= φ.与该部分类似，我们设置为（t）：=（ω（t），φ（t），φ*（t） ，φ*（t） ）t∈ [0, ∞),并装备样本空间Ohm 由函数o生成的σ-代数的泛完备F∈ Ohm 7.→ o（t），t∈ [0, ∞), 因此，事件、随机变量、停止时间τ、τ-可测量随机变量、简单交易策略等的定义也适用于本案例。本节主要结果（定理4）的条件之一是对盒维数的标准概念进行轻微修改（类似于将Riemann积分修改为Riemann–Stitjes积分）。对于实线的区间I和定义为onI的实值函数，f在I上的振动isoscI（f）：=supt，t∈I | f（t）- f（t）|=支持∈如果（t）- 输入∈如果（t）。设ω为[0]上定义的实值函数，∞) E是[0]的有界子集，∞). SetMω（E，）：=min（k≥ 1 | 我··Ik:Ek[i=1Ii&maxi=1，…，koscIi（ω）≤ 我，我。

在[0，∞), 和setdimω（E）：=lim sup↓0对数Mω（E，）对数（1/）。对于单位函数ω（t）：=t，T∈ [0, ∞), 这成为了上盒维数（也称为Minkowski维数，尽管只有Pontryagin和Shniell\'man[19]首次以这种形式给出）的通常定义。假设（21）在时间t是tame，符号中的tamet（o），如果dimω（E）<2，其中E:={s∈ [0，t]|φ*（s） 6=φ*（s） 哦。现在，通过设置Tn（o）修改Tnkis的定义（17）：=0和fork≥ 1:o如果φ*（秋明）-1) = φ*（秋明）-1） ，Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)∨φ（t）- φ（Tnk）-1)≥ 2.-也不是φ*（t） <φ*（t） o；o如果φ*（秋明）-1) < φ*（秋明）-1） ，Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)≥ 2.-否（要求“集合{t |φ*（t） 6=φ*（t） （16）中的“}已关闭”是确保Tnkare确实停止时间的简单方法随着这种变化，（φ·ω）nsis的定义（5）。引理1的类似物是显而易见的。定理4。对于每个t>0，（φ·ω）nsconverge在s上一致∈ [0，t]几乎肯定是在这个事件上→ ∞.在证明定理4之前，我们先简要讨论它的表述，尤其是条件tameωt（φ）。定理4更详细的陈述是：foreach t>0，即（21）的集合，使得函数序列s∈ [0，t]7→ （φ·ω）nsn在[0，t]上的一致度量中不能收敛为n→ ∞o tamet（o）为空。下面的引理表明，条件在一定意义上是温和的。引理6。几乎可以肯定的是，对于任何t>0，dimω（[0，t]）=2。证据让我们使用[24]中的定理3.1（Dubins–Schwarz结果的无概率版本）。ω的二次变化在第5节中有定义，但在此我们也可以使用[24]中给出的定义（不涉及φ）。由于可数零事件的并集为零，因此必须证明dimω（[0，τ]）=2，其中τ是ω的二次变化首次达到给定常数c>0。