一个非对称ARCH模型及聚类和聚类的非平稳性

我们有L+（τ）的表达式。L+（τ）=σ(1 -π） K+（τ）+πK-(τ)（17） L也是一样-（τ） ，L-(τ) = σπK+（τ）+（1）-π） K-(τ)（18） L±（τ）的总标度由σ给出。我们可以在第一阶中用观测到的方差σ来近似σ，因为σ=σ+E，并且在第二阶中出现了许多修正。不同的权重值（1/π和1- 式（17）和（18）中的1/π）引入了L+（τ）和L之间的对称性-(τ). 得到了L±（τ），我们得到了杠杆函数的表达式。L（τ）=L+（τ）+L-（τ） =2σKL（τ）≈ 2σKL（τ）（19）本文首次研究了杠杆函数L（τ）（直至系数σ）。作者认为，如果当前价格由过去价格的某个平均值决定，并且假设波动率与当前价格成正比，那么就可以得到一个普遍关系limτ→0L（τ）/σ=-2.在我们的模型中，只有当KL（τ→ 0) ~ -σ.在我们的模型看来，宇宙常数-2表示τ较小的参数kl（τ）的sc ale由-σ. 这种规模是完全可以理解的，因为人们预计，当市场出现大幅下跌，意味着大幅波动时，杠杆效应更为显著。因此，KL（τ）很可能与σ有关。我们不进一步假设关于KL（τ）或K+（τ）和K的任何假定性质-（τ） 相反，K±（τ）是由可观测值L±（τ）通过等式（17）和（18）导出的。K+（τ）=（π）- 1） L+（τ）- L-(τ)σ(π - 2） K-(τ) = -L+（τ）- (π - 1） L-(τ)σ(π - 2） （20）上述方程完全符合我们的模型参数K+（τ）和K-（τ） ，然后它们可以用来计算其他观测值，并与数据进行比较。通过这种方式，我们可以对我们的模型进行一致性检查，并计算前置顺序。

让我们计算V（τ）=V（t，τ），t通常用于说明波动率聚类。V（τ）=E（σ+2σJ+J）r（t- τ) - （σ+ej）eR（t- τ)≈ 2σE Jr（t- τ)= 2σ∞Xτ′=1K+（τ′）（er+（t- τ′）r（t- τ) - Er+Er）+2σ∞Xτ′=1K-（τ′）（Er-（t）- τ′）r（t- τ) - ER-E（r）≈ 2σK+（τ）（E+- E++K-（τ） （E-- E-)=rπσ（K+（τ）- K-（τ） （21）因此，V（τ）=2rπσKV（τ）（22）我们从等式（19）和等式（22）中看到，KL（τ）和KV（τ）确实分别对杠杆效应和集群波动性负责。我们可以计算收益r（t）的偶数矩，这为检查我们的模型和一阶计算提供了另一个方面。将标准化偶数矩函数定义如下。Mn=ern（t）（er）n/2，n在高斯情况下为偶数（23），即r（t）=∑（t），很容易得到Mn的表达式。Mn0=En=n/2√πΓ（n+1）=1·3·5·n- 3） ·（n）- 1） （24）为了计算K±（τ）的前导非零阶中的mn，我们首先计算er（t）。Er（t）=σ+Ej=σ+∞Xτ，τ′=1K+（τ）K+（τ′）（Er+（t- τ） r+（t- τ′) - E r+E r+）+∞Xτ，τ′=1K-（τ） K-（τ′）（Er-（t）- τ） r-（t）- τ′) - ER-ER-)+ 2.∞Xτ，τ′=1K+（τ）K-（τ′）（Er+（t- τ） r-（t）- τ′) - Er+Er-)≈ σ·1+（E+- （E+）∞Xτ=1K+（τ）+K-(τ)!+ 2（E+）∞Xτ=1K+（τ）K-(τ)= σ·\"1 +(1 -π)∞Xτ=1（K+（τ）+K-(τ))+ (π- 1)∞Xτ=1K+（τ）K-(τ)#= σ(1 + （K） ）（25）在哪里（K） =（1）-π)∞Xτ=1（K+（τ）+K-(τ))+ (π- 1)∞Xτ=1K+（τ）K-（τ） （26）是E r（t）或E J的前导非零校正≈ σ（K） 。现在，让我们计算偶数n的rn（t）≥ 2以K的前导顺序，或等效地，以K的前导顺序（K） 。E rn（t）=En·（σn+n（n- 1） σn-2E J+…）≈ σnEn·1+n（n）- 1)（K）（27）因此，保持（K） 在明尼苏达州。锰≈ Mn0（1）-N（K） )1+n（n）- 1)（K）≈ Mn01+n（n）- 2)（K）（28）我们已经用函数K±（τ）在前导阶计算出了可观测的L±（τ）、V（τ）和mn。

简单的前导顺序结果使我们能够轻松校准模型并解释数据。4实证研究：一个固定案例为了对模型进行实证研究，我们分析了从1939年3月15日到2015年10月16日77年间形成道琼斯工业平均指数的30只股票的每日收盘价。这些股票的价格出现了跳跃，比如股票分割、红利发行、股票分割和指数成分替换。如果价格在一天内上涨超过15%，我们只需通过设置返回零来放弃这些分数。这种正则化条件不应在我们的分析is中引入太多偏差，因为它们只占一只股票的19800个数据点总数的0.1%。我们还将这一比例调整为10%~ 25%，我们的结论是一样的。对于这一部分，我们在平稳假设下工作，并假设函数K±（τ）仅依赖于时滞τ。在下一节中，我们将放松平稳假设，研究K±随时间的变化。整个期间数据的时间平均值用于估计上一节中定义的不同期望值。跨越77年的静态消耗当然过于简单，但我们发现函数K±的定性行为变化不大。在本节中，我们将重点讨论K（τ）如何依赖于τ，并根据DowJones数据检查我们的简单模型。τdays0 200 400 600 800L±/σ-0.2-0.10.2DDτdays0 200 400 800L±/σ-0.2-0.10.2GEτdays0 200 400 600 800L±/σ-0.2-0.10.10.2PGτdays0 200 400 800L±/σ-0.2-0.10.2UTX不同股票的图1:L±（τ）/σ。图1显示了不同股票的L±（τ）。我们选择了股票代码为DD、GE、PG和UTX的4只股票，因为在整个研究期间，它们在道琼斯工业平均指数中只剩下s个股票。我们注意到条件相关函数l±（τ）的三个主要特征。

首先，我-(τ) ≈ -L+（τ），尤其是对于大τ。这一事实表明K-(τ) ≈-K+（τ），表示千伏（τ）>> KL（τ）。波动性反馈在很大程度上取决于过去收益的大小，而不是直接取决于收益本身。与波动性的相关性相比，杠杆效应很小。第二，我-（τ） 而L+（τ）确实表现出与小τ不同的行为。例如| L-（τ=1）|>L+（τ=1）和L-（τ） 衰变速度比l+（τ）稍快。在短时间尺度上的这种显著差异在于，平均效应虽然很小，但在短时间内却非常显著。第三，对于不同的股票，L±（τ）是不同的。对于GE和UTX等一些股票，相关函数比PG和DD等其他股票的相关函数更准确。这种差异可能是因为股票来自不同的行业。给定L±（τ），我们可以通过等式（20）获得K±（τ）。我们以UTX为例详细研究函数K±（τ），因为UTX的L±（τ）相对较小，所以一阶计算的结果更可靠。t天100 200 300 400 500 600 700 800K±（t）-0.4-0.3-0.2-0.10.10.20.3UTXK+K安装K+适用于UTX的K图2:K±（τ）。图2说明了函数K±（τ）的行为。为了考虑相关函数的快衰减和慢衰减，我们提出了指数截断幂律拟合函数forK±（τ），如下所示。K（τ）=Aτbe-τ/T（29）当b=0时，它是一个指数衰减，更适合拟合GE这样的股票；当T→ ∞ 或者T>τmax（在我们的例子中τmax=800），这是一种幂律衰减，对PG这样的股票有效。UTX的固定函数是（95%置信区间）K+（τ）=（0.26±0.02）·τ-0.17±0.02e-τ/（245±20）K-(τ) = (-0.34 ± 0.02) · τ-0.20±0.02e-τ/（247±20）（30）拟合参数A±、b±和T±定量地说明了K±（τ）的不同行为。

我们已经看到| A-| > A+和b-> b+T-≈ T+|A.-| > A+表明，当过去的回报率为负时，对当前波动性的反馈更为强烈。b对函数K（τ）的贡献是通过因子τ来实现的-b、 对于小τ，τ的值-bis对参数b非常敏感。参数b在短时间内表征反馈效应。b越大，|K（τ）|下降越快。参数T给出了相关关系的长期时间尺度。这种长期相关性是众所周知的，并导致聚集波动率，其具有与反馈函数K±（τ）相似的时间尺度。因此，我们有两个关于波动性反馈效应的时间序列。为了估计两个时间尺度，我们可以用两个指数函数交替地拟合K（τ）。K+（τ）=0.14 e-τ/9+0.13 e-τ/200K-(τ) = -0.18 e-τ /12- 0.15 e-τ/200（31）我们看到UTX的短时间尺度约为10天，而长时间尺度为200天。对其他股票进行类似的两次指数拟合，得出的短期标度通常为10~ 50天，而长时间范围可以是300天~ 1000天。这两个时间尺度与Chichepatiche和Bouchaud对QARCH模型的研究[1]中发现的两个时间尺度一致。为了进一步了解QARCH模式l中二次核的特征，我们使用squareEq。(10).σt=···∞Xτ=1（KV（τ）+KL（τ））r（t- τ) +∞Xτ6=τ′KL（τ）KL（τ′）r（t- τ）r（t）- τ′）+·（32）省略的项是常数项，r（t）中的线性项-τ）或| r（t）-τ）|，以及像r（t）这样的质量术语-τ） |r（t）-τ′）|和| r（t）-τ） | | r（t）-τ′)|(τ 6= τ′). 如果我们假设一个QARCHEQ模型。（1） ，相关函数或广义矩，如E r（t）r（t- τ） 矿石r（t）r（t）- τ） r（t）- τ′）将用于校准QARCH模型。

这与文献[1]中校准QARCH模型的方式非常相似，文中使用了组合广义矩方法（GMM）和最大似然估计（MLE）。然而，如果假设我们的模型方程（10），在K±（τ）的前导顺序中，只有两个项出现在q中。（32）将对E r（t）r（t）作出贡献-τ） r（t）-τ′). 因此，我们在模型asK（τ，τ′）中有一个二次核的估计≈（KV（τ）+KL（τ），τ=τ′KL（τ）KL（τ′），τ6=τ′（33）借助于上述方程，可以从KV（τ）和KL（τ）的角度理解K（τ，τ′）的特征。因为KV（τ）>> |KL（τ）|，QARCH模型的四对角项大于其有效对角项。这是因为σt很大程度上取决于|r（t- τ） |不是r（t）- τ） 以及| r（t）的贡献- τ） |可以进入K（τ，τ′）的对角线元素，但不能进入其反对角线项。也可以理解，对于大滞后τ，反对角线项可能是负的。的确，K+（τ）~ -K-（τ） 对于大τ和KL（τ）=（K+（τ）+K-（τ） ）/2，因此KL（τ）和KL（τ′）的符号可以完全相反，这使得一些对角元素为负。我们已经从条件相关函数L±（τ）中获得了函数K±（τ），然后我们可以使用公式（30）中的固定函数来计算其他观测值。τdays0 50 100 150 200 250 300L（τ）/σ-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.04杠杆函数L（τ）数据1exp fitK±fit图3：比较杠杆函数L（τ）的结果。图3将两个函数与杠杆函数L（τ）进行了比较。这对于数据来说是一个很好的拟合，因为L（τ）=L-（τ） +L+（τ）和K±（τ）分别由L±（τ）确定，但它确实表明，正如以往文献[9,10]中通常所做的那样，L（τ）的一个指数低估了短期内单个股票的杠杆效应。

事实上，τ=1时的杠杆效应是指数函数结果的两倍。L（τ）中的大噪声也表明，最好使用L±（τ）来研究平均效应并校准模型。τdays0 100 200 300 400 500 600 700 800V（τ）/σ-0.10.10.20.30.40.50.60.70.8波动率V（τ）数据计算的相关函数图4：将计算的波动率相关性V（τ）与数据图进行比较。4表明V（τ）主要由固定函数复制。计算结果低估了小τ处的V（τ），其中K±（τ）变大，且Leading Orders计算不太准确。n2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ln（Mn）偶数矩MNDataGaussian1阶图5：将一阶计算偶数矩与dataFig进行比较。5显示了偶数矩函数mn，最大n=10，图为对数刻度。MN仅在n=2,4,6,8,10时进行评估，这些值之间的连线显示了MN随n的增长情况。我们发现，一阶结果比高斯情况下的数据总体上更好。为了总结平稳假设下的实证研究，我们对UTX股票收益率的前序模型进行了校准，并检查了前序结果是否一致。我们发现K±（τ）有两个时间序列。在短时间尺度内，τ=10~ 50天| K-（τ） |>K+（τ）；在长时间尺度下，τ=300~ 1000天，K+（τ）≈ -K-(τ). 我们通过将数据与计算的V（τ）和Mn进行比较，检验了模型和计算的一致性，结果与微扰理论的预期非常吻合。5实证研究：非平稳情况在1939年至2015年的整个期间，反馈系数K±（τ）不太可能相同。一般来说，它们可能会不时发生变化。

为了评估这种时间依赖性，我们使用前面的数据计算时间t的观测值，如L±（t，τ）t天，即小窗口处的数据[t- t+1，t]。我们需要选择一个合适的t、 它应该足够大以得出任何有意义的结果，足够小以反映反馈系数K±（t，τ）可能的时间依赖行为。我们开始t=400天，与聚集波动的时间尺度相当。由于现在我们的数据集要小得多，我们无法可靠地估计大τ滞后的K±（t，τ），而是使用第一个的平均值τlags。ave raged“L”（t）和“K”（t）定义如下。\'L±（t）=ττXτ=1L±（t，τ），\'K±（t）=ττXτ=1K±（t，τ），（34）我们还需要选取一个合理的τ . 它不能太大，因为对于大τ，K±（t，τ）很小，但噪声很大。我们开始τ=10天，与杠杆效应的时间尺度相当。为了分离杠杆效应和聚集波动性的影响，我们进一步将平均“KL（t）和”KV（t）定义为“KL（t）=（K+（t）+”K-（t） ）/2，\'KV（t）=（\'K+（t）-“K”-（t） ）/2（35）`KL（t）和`KV（t）测量杠杆效应和聚集波动性如何随时间变化。这些函数是针对单个股票定义的。一般来说，每种股票的价格都不一样。对于非平稳研究，我们将重点放在将这些函数作为一个整体使用市场指标。因此，我们需要对不同仓库中的“KL（t）”和“KV（t）”进行平均，以获得具有代表性的市场估计。这里采用简单的算术平均值。与静态情况不同，我们不确定只研究在整个时期内存活的指数中的股票。我们的目的是估计市场作为一个整体的状态，而取代旧股票的新股票来自我们试图估计的同一个市场。毕竟，我们最终对所有30只股票进行了平均。

指数中的库存替换不应该对我们的平均结果有太大影响。为了进行比较，我们分析了一个更为传统的市场指标，即指数收益率的波动性。指数returnRind（t）定义如下。外皮（t）=ln（I（t+1）/D（t+1））- ln（I（t）/D（t））（36），其中I（t）是t时刻的道琼斯指数值，D（t）是使指数值连续的道琼斯指数除数。时间t时指数收益率的波动率σR（t）被定义为时间窗口[t]期间指数收益率的标准偏差- t+1，t]。图6显示了“L”-（t） 和‘L+（t）是非平稳的，表现非常不同。“L”的变化-（t） 显著大于“L+（t）”。这正是我们对待雷加·丁格的方式-（t） r+（t）作为独立变量。从“L”（t）可以得到“K”（t）或“KV（t）”和“KL（t）。图7显示了千伏（t）如何随时间变化。它当然不是恒定的，它经历了交替的高低。在同一移动平均窗口中，指数收益率的波动性也绘制在图7中。集群波动性表现为交替的高低高原。这些平台表明，我们确实可以将波动性和波动性反馈系数KV（t）视为一个小时间窗口的常数。我们进一步注意到，\'KV（t）的跳跃比指数波动的跳跃更规则，即我们可以计算hlyt天×100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2L±（t）-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.10.15条件相关函数L±L+L图6:\'L±（t）随时间的变化×100 0.2 0.0.4 0.8 1.1 1 1 1 1 1.8 2K v01.6。20.40.6聚类波动率随时间变化×100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2σR0。010.020.03指数波动率图7:\'千伏（t）和\'σR（t）随时间变化将整个历史中的\'千伏（t）值分为三个“阶段”。

如图7中的3条水平虚线所示，低挥发性馈线为“KV（t）~ 0.06，中等水平为0.13，高水平大于0.20，这通常发生在金融危机时期。Wenote'KV（t）在大多数情况下小于0.6且在0.1左右，这充分证明了在我们的微扰计算中K±（t，τ）是一个很小的量。我们注意到，较大的波动性通常由较大的“KV（t）”值引起。这意味着一阶反馈不足以解释大波动性的出现，因此“KV（t）”本身需要变大才能拟合数据。处理模型内收益率的这种大偏差的一种可能方法是假设创新（t）不是高斯分布，而是一些重尾分布。我们仍然可以按K±（τ）的一阶计算，但现在有些常数像1-1/π将根据所选的特定分布进行更改。这样的修改可能会使K±（τ）更稳定，但它不会定性地改变图像。t天×100 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2KL-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.04杠杆效应随时间变化X:19871030Y:-0.072图8:\'KL（t）随时间变化。8描述了“KL（t）”的演变。“KL（t）的规模为-0.08~ 0.02比千伏（t）小得多。令人惊讶的是，KL（t）并不总是负的，在某些时期它可能是正的。近年来，尤其是在1987年的大崩盘之后，它一直处于低零水平。虽然在1987年之后，它的价值有时会跃升到零以上，但它大致上会左右波动-0.02金融危机除外。与“KV（t）”的情况一样，也可以根据“KL（t）”的值将市场状态分类为3个“s相”。这种“相变”是近十年来最早出现的。如果我们如图9所示绘制从2005年到2015年的“KL（t）”，可以很容易地看到模式切换行为。