一个非对称ARCH模型及聚类和聚类的非平稳性

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英文标题：
《An asymmetric ARCH model and the non-stationarity of Clustering and
  Leverage effects》
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作者：
Xin Li and Carlos F. Tolmasky
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a new volatility model based on two stylized facts of the volatility in the stock market: clustering and leverage effect. We calibrate our model parameters, in the leading order, with 77 years Dow Jones Industrial Average data. We find in the short time scale (10 to 50 days) the future volatility is sensitive to the sign of past returns, i.e. asymmetric feedback or leverage effect. However, in the long time scale (300 to 1000 days) clustering becomes the main factor. We study non-stationary features by using moving windows and find that clustering and leverage effects display time evolutions that are rather nontrivial. The structure of our model allows us to shed light on a few surprising facts recently found by Chicheportiche and Bouchaud.
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中文摘要：
基于股市波动的两个典型事实：集群效应和杠杆效应，我们提出了一个新的波动模型。我们用77年的道琼斯工业平均指数数据按领先顺序校准了模型参数。我们发现，在短时间尺度（10到50天）内，未来波动率对过去收益的迹象非常敏感，即不对称反馈或杠杆效应。然而，在长时间尺度（300到1000天）中，聚类成为主要因素。我们通过使用移动窗口来研究非平稳特征，发现聚类和杠杆效应显示的时间演化相当平凡。我们模型的结构使我们能够阐明奇切帕蒂切和布沙德最近发现的一些令人惊讶的事实。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_asymmetric_ARCH_model_and_the_non-stationarity_of_Clustering_and_Leverage_effects.pdf (1.05 MB)

2022-5-9 15:03:07 上传

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关键词：ARCH模型 ARCH 非平稳 RCH ARC

非对称ARCH模型与Li中聚集效应和杠杆效应的非平稳性*Carlos F.Tolmasky+Abstracts我们基于股票市场波动性的两个典型事实提出了一个新的波动性模型：集群效应和杠杆效应。我们用77年的道琼斯工业平均指数数据，按领先顺序校准模型参数。我们发现，在短期范围内（10至50天），未来波动率对过去回报的迹象非常敏感，即不对称反馈或杠杆效应。然而，在长时间尺度（300到1000天）中，聚类成为主要因素。我们通过使用移动窗口来研究非平稳特征，发现聚类和利用对显示时间演化的影响非常重要。我们模型的结构使我们能够阐明Chicheportiche和Bouchaud[1]最近发现的一些令人振奋的事实。1简介过去40年来，有各种各样的工作来模拟金融资产波动的过程。这种兴趣在很大程度上来自布莱克和斯科尔斯理论中波动率参数所起的作用。即使在其原始形式B中，拉克-斯科尔斯的模型未能解释观察到的相关影响，例如微笑，波动过程演变的研究也只是随着时间的推移而获得了相关性。其原因是，取消参数为常数的假设，并在其中添加随机成分，有助于理解微笑效应。平心而论，很难为资产价格的持续波动打下基础。对波动性建模的一个关键步骤是识别我们希望模型能够适应的程式化事实。两个最重要的程式化事实是集群效应和杠杆效应。

聚类指的是波动性倾向于持续的事实：高（低）波动期之后往往是高（低）波动期。另一方面，杠杆效应指的是波动率对正回报而非负回报的反应不对称。在试图通过增加随机性来处理波动性的模型中，我们可以区分两种不同类型：ARCH-GARCH系列模型和随机波动性模型。前者遵循时间序列文学中的思想。Engle[2]于1982年引入了自回归条件异方差（ARCH）模型，并对其进行了大量修改，这些修改的例子包括GARCH（p，q）、IGARCH（集成）、EGARCH（本质）、QARCH（二次）和TGARCH（阈值）模型。即使在ARCH和GARCHMODEL中，回报效应也是以对称的方式存在的，他们的一些竞争对手提到了在考虑杠杆效应的能力方面的建设。*明尼苏达大学物理与天文学学院，明尼苏达州明尼阿波利斯55455。+明尼苏达大学数学及其应用研究所和MCFAM，明尼苏达州明尼阿波利斯市，邮编：55455。在最近的一篇论文中，Chicheportiche和Bouchaud[1]对源自Sentana[3]的二次拱模型进行了彻底的研究。它的最一般形式是σt=s+∞Xτ=1L（τ）r（t- τ) +∞Xτ，τ′=1K（τ，τ′）r（t- τ）r（t）- τ′（1）其中r（t）是定义为r（t）=lnp（t+1）的回报- lnp（t），p（t）是资产时间t的价格。σ是r（t）的条件方差。L（τ）和K（τ，τ′）是表征过去收益如何影响条件方差的一些核。Chicheportiche和Bo uchaud通过用美国股票收益率校准模型，发现反馈内核表现出一些意想不到的特性。

他们的一个主要结果是，二次核的反对角线项，即τ6=τ′的K（τ，τ′），虽然很重要，但比对角线元素K（τ，τ）小一个数量级。此外，对于大滞后，反对角线项为负值。他们还发现K（τ，τ）以对数幂律的形式衰减，与波动性的长记忆一致，L（τ）有两个时间尺度，如他们的两个指数函数所示。他们指出，观察到的内核中的复杂结构令人惊讶，并且与模型不兼容。我们将在后面看到，我们的模型确实可以提供这些特征的简单解释。在ARCH-GARCH模型家族中，模型的中心对象是条件波动率σt。在σ的动力学被指定后，如等式（1），瞬时回报被构造为r（t）=σt（t），式中，（t）是从规定的分布中独立得出的，其零均值和方差等于1（例如，标准正态分布）。各种各样的模型以许多不同的方式描述了动态。一种常见的方法是对条件方差σt如何依赖于r（t）等量进行建模-τ）或σt-τ在过去。然而，人们也直接或更普遍地对条件波动率σt进行建模。为了回顾这些模型以及它们与简单GARCH（1,1）的比较，我们请感兴趣的读者参考Hans en和Lunde[4]的论文。本文采用了一种略有不同的方法对金融时间序列进行建模。我们首先假设σtdepe在过去返回{r（t- τ） ，τ>0}，这是所有拱形模型所基于的假设，然后假设从过去返回到当前波动的反馈是“小”的，并且在扰动理论的框架内工作。

我们在我们的框架中寻找最简单的模型，可以捕捉数据的典型事实，即聚集波动性和杠杆效应。我们发现的特定模型与Zakoian[5]研究的TGARCH模型非常相似，但如下图所示，我们没有像大多数TGARCH模型研究那样对模型进行ca REFL统计测试，而是专注于寻找模型参数在用数据校准时所表现出的定性特征。通过这种方式，我们希望我们的分析能为我提供有关股票市场的有用见解。pap e r的其余部分组织如下。第2节讨论了导致我们的不对称波动率模型的一般假设和指导原则。它与其他模型的关系是简单的。第3节定义了各种相关函数，并在我们的模型中计算了它们的前导阶表达式。第四节在平稳假设下进行了实证研究，即假设模型参数在整个周期内保持不变。讨论了模型参数的性质。第5节放松了平稳假设，展示了这些参数是如何随时间变化的，以及在时间演化中发现的非平凡模式。最后，第6节总结了我们的发现并总结了本文。2不对称ARCH模型我们在本节基于一些一般假设提出了不对称波动率模型。时间t的股票收益率通常定义为r（t）=ln（p（t+1）/p（t），其中p（t）是股票的价格。r（t）是一个随机变量，可以写成r（t）=σ（t）（t）的形式。我们认为σ（t）和（t）都是随机的。（t）独立于过去式，条件E（t）=0，E（t）=1。E表示非条件期望值。

如果σ（t）在对t之前的所有信息进行条件化后是确定的，那么该模型与ARCH-GARCH模型非常相似；如果σ（t）在所有信息都给定的情况下仍然是随机的，则该模型属于随机波动率模型。我们进一步假设无条件期望Eσ（t）=σ（t），其中σ（t）是时间t的确定函数，与过去的retur n r（t）无关- τ). 由于σ（t）的随机性或不规则性已被“平均化”，我们期望σ（t）是t的一个缓慢变化且表现良好的函数。人们注意到，σ（t）作为一个期望值，并没有被直接观测到，因为人们无法区分观测到的收益率r（t）的哪个部分是由σ（t）引起的，哪个部分是由（t）引起的，所以我们不能每次只观测σ（t）at，我们只知道r（t）是两个r和OM变量σ（t）和（t）的乘积。在总结中，我们可以写出股票收益率的一般表达式，如下所示。r（t）=σ（t）·（t）；E（t）=0，E（t）（t′）=δtt′，Eσ（t）=σ（t）（2），其中δtt′是克朗克的δ函数。公式（2）在ARCH-like和sto-chasticvolatility模型中都有效，这是我们的出发点。如果波动率是确定的且恒定的，σ（t）=σ，且（t）服从标准正态分布，我们得到布朗运动模型。为了考虑聚集波动率，将随机性引入波动率σ（t）。我们遵循ARCH-GARCH模型的方法，并假设随机性来自过去的重复。因此，我们可以把σ（t）写成过去r次的确定函数。σ（t）=σ（t）+J（t；{r（t）- τ), τ > 0}); ej（t；{r（t）- τ） ，τ>0}）=0（3）广义函数J≡ J（t；{r（t）- τ） ，τ>0}）封装了对过去收益的所有可能的复杂依赖。

由于这种过去的依赖性，不同时间的波动率变得相互关联，从而导致波动率聚集。回归r（t）的一些一般性质直接遵循式（2）和（3）。例如，用τ≥ 1E r（t）r（t）- τ） =E r（t）- τ） （Eσ（t）（t）| Ft-1） =E r（t）- τ） σ（t）（E（t）|Ft-1） =0（4）其中|英尺-1表示对时间t之前可用的信息或时间t之前的信息进行调节-1.因此，不同时间的回报仍然是不相关的。以类似的方式工作，我们看到观察到的波动类型r（t）大于σ（t）（注Ej=0，由等式（3）），Er（t）=σ（t）+Ej（5）。通过引入波动的随机性，观察到的波动增加。接下来，我们考虑J的具体形式，即cons traint E J=0。我们进一步假设平稳条件，即σ（t）=σ是常数，J不明确地依赖于时间t。如果J是过去收益的线性ar函数，J（{r（t））- τ)}) =∞Xτ=1K（τ）r（t- τ）（6）那么它实际上属于一种QARCH模型。实际上，我们可以计算条件期望σt=E（r（t）|Ft-1） ，σt=σ+2σ∞Xτ=1K（τ）r（t- τ) +∞Xτ，τ′=1K（τ）K（τ′）r（t- τ） r（t）- τ′）（7）与式（1）相比，我们发现上述线性模型属于QARCH型模型，核L（τ）=2σK（τ）和K（τ，τ′）=K（τ）K（τ′）。这个例子表明，函数J的简单形式可能导致条件方差的更复杂结构，这在许多ARCH-GARCH模型中起着核心作用。正如杠杆效应所表明的，当前的波动性不同地取决于过去的回报率是正还是负。而不是线性函数方程。

（6） 因此，提出非对称波动率反馈更为合理。r（t）=σ（t）（t）=[σ+J（{r（t）]- τ），τ>0}）·（t）J（{r（t- τ), τ > 0 }) =∞Xτ=1K+（τ）（r+（t- τ) - E-r+）+∞Xτ=1K-（τ） （r）-（t）- τ) - ER-)（8） 其中r+（t）=r（t）·I（r（t）>0）和r-（t） =r（t）·I（r（t）<0），I（E）是一个指示函数，如果事件E为真，I（E）=1，否则I（E）=0。Er±=Er（t），是平稳假设下的常数。为了简单起见，我们假设（t）是从标准正态分布中得出的，尽管其他具有厚尾的分布也可以考虑。如果K+（τ）=K-（τ） 然后将上述非线性模型简化为线性情形eq.（6）。当给定过去的历史和K±（τ）时，σ（t）是确定的。从一般性质来看，r（t）=0；Er（t）r（t′）=σδtt′（9）σ=Er（t）是观察到的方差。式（8）中的J可视为相对于r+（t）的一阶展开式-τ） 和r-（t）-τ） Around Er+和Er-. 通过使用r（t）=r+（t）+r-（t） 和| r（t）|=r+（t）- R-（t） ，我们可以重写J asJ=∞Xτ=1KV（τ）（|r（t- τ)| - E | r |）+∞Xτ=1KL（τ）r（t- τ） KV（τ）=（K+（τ）- K-(τ))/2; KL（τ）=（K+（τ）+K-（τ） ）/2（10）KV（τ）表征了以τ为时间单位的返回量对电流波动性的影响。这与ARCH模型非常相似，在ARCH模型中，条件波动率取决于过去收益的绝对值。KL（τ）g表示过去收益率符号的依赖性，这提供了不对称行为。我们注意到如果K+（τ）=-K-（τ） ，那么KL（τ）=0。J只取决于过去收益的绝对值。类似于KL（τ）的术语也包含在一些类似GARCH的模型中，以考虑杠杆效应。

然而，如果一个人对待r+（t-τ）和r-（t）-τ）作为自变量，聚集波动率和杠杆效应自然产生。让我们进一步评论一下我们的模型和现有挥发性模型之间的关系。我们的模型从σt开始，而不是从方差σ开始，与Taylor[6]、Schwert[7,8]和Zakoian[5]研究的挥发性模型非常相似。其中，Zakoian[5]研究的TGARCH模型最接近。在他的论文中，他对一个名为TARCH（5）的特殊模型进行了仔细的统计测试，并认为过去正回报和负回报之间的差异是显著的。我们符号中的模型是σt=α+Xi=1α+τr+（t- τ) -Xi=1α-τr-（t）- τ） （11）这相当于我们的模型在τmax=5处截断。我们不再对模型进行深入的统计测试，而是以不同的方式研究模式l，并用数据对其进行校准。我们不将模型限制在一些小的滞后，而是允许它变大，并查看当模型与数据进行比较时，模型参数的模式，如α±τ。我们希望我们的方法将重新揭示对称ARCH模型的新方面，并对波动过程提供有用的见解。3.模型校准：为了校准模型并获得有关参数K±（τ）的信息，我们将各种相关函数定义为可从数据中导出的“可观测值”，然后根据K±（τ）在我们的模型中计算它们。我们研究了以下可观测的s.L+（t，τ）=E r（t）r+（t- τ) - Er（t）·Er+（t- τ） L-（t，τ）=er（t）r-（t）- τ) - Er（t）·Er-（t）- τ） L（t，τ）=er（t）r（t）- τ） =L+（t，τ）+L-（t，τ）V（t，τ）=er（t）r（t）- τ) - Er（t）·Er（t）- τ） （12）在平稳假设下，上述函数与时间t无关，仅与τ上的nd有关。

Bouchaud、Matacz和Potters[9]首次提出了可观测的L（τ）=L（t，τ），直至归一化因子，以研究杠杆效应。杠杆效应由L（τ）的以下性质表征。L（τ）=（0，τ<0<0，τ≥ 0（13）在我们的框架中，时间对称是一个内置功能，因为当前的volatitydepe依赖于过去而不是未来。为了进一步探索公式（8）模型的后果，我们需要评估公式（12）中定义的相关函数。eq.（8）中的表达式J可视为r±的一阶泰勒展开式，并期望K±（τ）在某种意义上较小，例如，K±（τ）<1。在计算相关函数时，我们只保留k±（τ）的一阶。由于K±（τ）和r（t）都很小，预计高阶修正会被抑制。我们将在后面通过查看获得的结果讨论一阶计算是否合理。在K±（τ）的前导顺序中，L+（τ）可以表示为L+（τ）=E（σ+2σJ+J）r+（t- τ) - （σ+ej）·eR+（t- τ)≈ 2σE Jr+（t- τ)= 2σ∞Xτ′=1K+（τ′）（er+（t- τ′）r+（t- τ) - Er+Er++2σ∞Xτ′=1K-（τ′）（Er-（t）- τ′）r+（t- τ) - ER-E r+（14）注意括号中的期望值乘以K±（τ）。为了计算L+（τ）的主次，我们可以使用r（t）=∑（t）来评估这些期望值，与这个结果的任何偏差都是K±（τ）的高阶。因此，E r+（t- τ′）r+（t- τ) - E r+E r+≈ σ·（E+（t- τ′）+（t- τ) - E+E+=σ（E）+- （E+）Δττ′=1.-πσΔττ′（15），其中+（t）=（t）I（（t）>0）和-（t） =（t）I（（t）<0），我们使用了（t）是从标准正态分布独立提取的。同样，E r-（t）- τ′）r+（t- τ) - ER-ER+≈ σ·（E-（t）- τ′）+（t- τ) - E-E+=σ（E+）Δττ′=2π∑Δττ′（16），其中+（t）·-（t） =0和E-= -E+被使用。