稀疏均值-方差投资组合：一种惩罚效用方法

在本节中，我们展示了潜在因素模型和正态逆威斯哈特模型的实证结果。我们按顺序展示这两个模型，以强调优先选择和可能性选择程序的灵活性，并比较这些选择对最终投资组合决策的影响。这两种模式都不一定是“正确”的选择。相反，两者都强调了方法的模块化。3.1.1. 潜在因素模型。8 PUELZ、HAHN和CARVALHOModel概述。我们首先考虑资产回报的潜在因素模型，其形式为：~Rt=u+Bft+vt~ N（0，ψ）英尺~ N（0，Ik）u~ N（0，Φ），（3.2），其中ψ假设为对角线，k个潜在因子集是独立的。资产收益的协方差受因子构成的约束，其形式为∑=BBT+ψ。（3.3）为了估计该模型，我们使用Murray等人（2013）的R包bfa。该软件允许我们通过一个简单的吉布斯步（假设正常先验值为u）对协方差和平均值进行采样。因子建模在Lopesand West（2004年）、Carvalho等人（2008年）和Wang等人（2011年）以及其他许多研究中得到了大量的理论处理和财务应用。后果在使用潜在因子模型下1992年2月至2015年2月的数据估计了25只ETF的平均值和协方差后，我们在图1中显示了优化的解决路径。y轴显示夏普比率，x轴是λ从小（稀疏投资组合）到大（投资于所有ETF的完整投资组合）。从左到右，x轴也可以被视为显示投资组合的简单性。灰色区域显示了未授权最优投资组合夏普比率的后验不确定性。根据Hahn和Carvalho（2015）以及第2节的详细规定，我们选择了最大的λ，以保持在该不确定性范围内。

所选投资组合的夏普比率由黑星表示。鉴于Sharperatio中存在大量的后验不确定性，我们能够选择一个稀疏ETF投资组合，相对于未启用的最优投资组合，该投资组合具有较高的事前预测损失置信度。换句话说，夏普比率指标的巨大不确定性允许一个简单的投资组合选择，同时表明我们可能没有放弃太多。这个不确定区域可以自由选择。例如，你可以选择一个较小的不确定性区间，在预测损失的信心较低、ETF较多的投资组合和较高的潜在夏普比率之间进行权衡。稀疏均值-方差组合9● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●减小λ夏普比0。0 0.2 0.4 0.6 0.8● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●夏普比率惩罚投资组合夏普比率1。25只ETF形成的最佳投资组合的夏普比率。1992年2月至2015年2月。灰色带是60%的后验不确定性区域。通过最近的因子模型估计参数。表1显示了所选的投资组合和每个ETF的投资金额。两种广泛市场的ETF是IWR和RSP。投资界的普遍智慧是“在市场上”投资，我们看到Chosen投资组合在特定行业的ETF中有这样的优势。值得注意的是，该投资组合在房地产和科技领域的敞口。这些行业提供了额外的多元化（反映出更高的夏普比率）。ETFIWR IYR IYWweight23。9 14.8 61.3中盘房地产techTable 1从潜在因素模型中选择的ETF投资组合。包括市场ETF。

个人投资者可能希望持有类似SPY的broadmarket ETF，这是一只追踪标准普尔500指数的基金。这可以通过取消启用SPY在优化步骤中轻松实现。为此，我们将与SPY相关的惩罚参数设为零。因此，SPY是第一个进入的ETF，并且仍然是解决方案路径上所有投资组合的一个组成部分。图2和表2显示了使用潜在因素模型以及SPY为10 PUELZ、HAHN和Carvalhoun在优化中受到惩罚时的解决方案路径和选择的投资组合。夏普比率的不确定性导致选择出现在解决方案路径SPY中的第一个ETF。这是我们决策理论框架的一个重要成果。如果最佳投资组合（来自未启用的解决方案）的夏普比率的不确定性包含了整个解决方案路径，那么通过选择最简单的投资组合，夏普比率的预测恶化不会损失太多。因此，一个渴望简单的长期投资者应该只投资间谍。这一结果可以追溯到资产定价理论的起源。在20世纪60年代中期，资本资产定价模型（CAPM）的推导在很大程度上取决于市场投资组合是最大夏普比率投资组合的假设（林特纳，1965；夏普，1964）。50年后，我们在一个简单的决策理论框架中整合了过参数和收益不确定性，得出了一个类似的结论：对于美国的方差投资者来说，市场ETF（如SPY）可能是最好的解决方案。● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●减小λ夏普比0。0 0.2 0.4 0.6 0.8● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●夏普比率惩罚投资组合夏普比率2。25只ETF形成的最佳投资组合的夏普比率。1992年2月至2015年2月。灰色带是60%的后验不确定性区域。通过最近的因子模型估计参数。

SPY在优化中未启用。ETFSPYweightstylemarketTable 2从潜在因素模型中选择ETF投资组合。SPY在优化中未启用。稀疏均值-方差组合113.1.2。正态逆威斯哈特模型。模型概述。在本节中，我们考虑均值和协方差具有共轭性的模型。Meucci（2009）是详细介绍该模型的有用参考资料。资产回报率建模为：~R~ N（u，∑）（u，∑）~ 正态逆Wishart（u，κ，ν，∑），（3.4），其中u和∑分别是资产收益的第一和第二时刻。假设联合分布上的正态逆Wishart先验，假设资产回报向量r有n个实现，后验分布为：（u，∑）|r~ 正态逆威斯哈特κu+nrκ+n，κ+n，ν+n，V五=v∑+nCr+κnκ+n（r- u）（r）- u）T,（3.5）其中Cris是收益的样本协方差。通过顺序采样边际分布p（∑）和条件分布p（u|∑），可以直接对后验概率进行采样。结果和比较。这里，我们展示了使用正态逆Wishart模型的均值和方差参数估计的结果。重申先验分布也是参数为（u，κ，ν，∑）的正态逆Wishart分布。我们为参数选择一个非信息先验，并执行与之前相同的分析。图3显示了惩罚优化的解决方案路径。正如预期的那样，它类似于图1中显示的潜在因子模型解决方案路径。然而，由于模型的不同，正态逆Wishart模型的后验不确定性范围更宽，这表明先验和可能性的选择如何进入投资组合选择的决策步骤。这突出了我们的方法的一个关键方面：通过后验不确定性的推理来影响稀疏。

因此，不需要通过将模型规格与投资者的偏好相结合来对模型进行很差（或不正确）的规格说明。表3显示了为正常逆威斯哈特模型选择的ETF投资组合。它被分配到房地产和科技行业，夏普比率的后均值略高于0.4。选择这种小型投资组合是因为未授权的12 PUELZ、HAHN和CARVALHOoptimal投资组合存在较大的不确定性。鉴于图3中的后验不确定性范围，我们对夏普比率的解释如下：在后验概率为99%的情况下，夏普比率不超过~ 0.2 (= 0.6 -与未启用Portfolio的Sharpe比率相差0.4），大约在0.6左右。这是一个合理的差异，因为未授权投资组合还有其他几个多头头寸，允许多样化和夏普比率增加。● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●减小λ夏普比0。0 0.2 0.4 0.6 0.8● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●夏普比率惩罚投资组合夏普比率3。25只ETF形成的最佳投资组合的夏普比率。1992年2月至2015年2月。灰色带是60%的后验不确定性区域。参数通过NIW模型进行估计。ETFIYR IYWweight4。7 95.3Style Real estate techTable 3从NIW模型中选择的ETF投资组合。图4显示了用于直接比较的潜在因素和NIW模型的解路径，以及未启用的最优投资组合不确定性区域。潜在因素模型区域以黑色斜线显示，NIW模型区域以实心灰色显示。如前所述，夏普比率后验平均值的两个解路径以及不确定性区域略有不同，这是由于模型规格。

该图强调了在比较统计模型时可以做出的等价性解释，即：对于给定的平均方差投资组合13置信水平（在我们的示例中，为60%），NIW模型给出了两个ETF的更稀疏的投资组合，而不是三个ETF的潜在因素模型投资组合。换句话说，我们的方法提供了一种简单的方法，可以比较几种统计模型的投资组合简单程度，以确定后验信心水平。● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●减小λ夏普比0。0 0.2 0.4 0.6 0.8● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●潜在因素模型pathNIW模型pathFig 4。NIW和潜在因素模型比较：25只ETF形成的最佳投资组合的夏普比率（允许卖空）。1992年2月至2015年2月。阴影带是两个模型60%的后验不确定性区域。3.2. 一个使用动态模型的实例。投资者可能希望随着时间的推移能够灵活地更新其投资组合配置，尤其是当资产回报的未来实现可能会改变他们对时机u和∑的看法时。在这种情况下，我们感兴趣的是估计时变矩utand∑tand，使用它们为timet+1做出投资组合决策。与本节上半部分类似，投资组合决策将取决于第2节中阐述的均值-方差目标——现在是一个随时间变化的收益矩函数。我们假设投资者是近视眼，使用依赖于所有可用数据的矩估计来构建下一个时间段的aportfolio，从而解决以下优化问题：minwt+1≥0LTtwt+1- L-1tut+ λkwt+1k。（3.6）14 PUELZ、HAHN和CARVALHOwhereutand∑t=ltlttar是资产收益时变矩的后验均值。优化3.6是原始优化2.7的时间相关版本。

这包括样本外分析，即只有可用数据用于在不确定的下一个时间段做出决策。首先，我们将描述utand∑t的模型。其次，我们将展示如何在动态ETF投资策略中使用这些时刻。模型概述。本文提出的动态回归模型与Fama和French（2015）最近提出的五因素线性模型有关。该模型表明，资产回报率与一组资产定价因素成线性比例，这些因素本身就是可交易的投资组合。具体而言，我们通过对p（~Rt | | | RFt）和p（~RFt）进行建模，对未来ETF和资产定价因子收益率的联合分布进行组合建模。根据Harrison and West（1999）建立的动态线性模型，我们将ETF i的未来收益建模为未来因子收益的线性组合（~Rit|RFt）：~Rit=βit ~Rmt+信息技术信息技术~ N（0，1/φit），βit=βit-1+机智，机智~ 特尼特-1（0，Wit），βi | D~ Tni（mi，Ci），φi | D~ Ga（ni/2，di/2），βit | Dt-1.~ 特尼特-1（麻省理工学院）-1，Rit），Rit=Cit-1/Δβ，φit | Dt-1.~ Ga（δ）尼特-1/2, δ迪特-1/2），（3.7），其中Wit=1-ΔβΔβCit-1.该模型允许因素系数以及观察值和状态水平的方差随时间变化。预先指定的统计因子δΔβ∈ （0,1）分别实现观测和状态水平差异的这一目标。我们使用以下矩阵正态动态线性模型，通过完整的残差协方差矩阵对五因子未来收益率进行建模：稀疏均值-方差投资组合15RFt=uFt+νtνt~ N（0，∑Ft），uFt=uFt-1+ OhmTOhmT~ 矩阵法向（0，Wt，∑Ft），（uF，∑F | D）~ 西北-1n（m，C，S），（uFt，∑Ft | Dt-1) ~ 西北-1δFnt-1（百万吨）-1号Rt街-1） ，Rt=Ct-1/δc，（3.8），其中Wt=1-δcδcCt-1.与模型3.7类似，贴现因子δfan和δcin模型3.8的作用相同，分别允许观测和状态水平差异的时间变化。

3.8的另一个好处是∑fti是一个完整的残差协方差矩阵。模型3.7和3.8共同构成了未来ETF和因子收益联合分布的时变模型：p（~Rt，~RFt）=p（~Rt | | | RFt）p（~RFt）。如Harrison和West（1999）所述，它们是贝叶斯模型，在每个时间t，所有参数的后验分布都是封闭的，MCMC的存在便于快速更新和不确定性表征——这是我们的投资组合选择程序的必要组成部分。在这些模型下，我们得到了ETF收益的以下均值和协方差结构。ut=βTtuFt∑t=βt∑FtβTt+ψt（3.9），其中β皮重的第i列表示ETF i，βit的系数。另外，ψ是一个对角线矩阵，第i个元素ψtii=1/φit。后验矩均值3.9通过对模型3.7和3.8的滤波估计获得，可替换为优化问题3.6，以解决每个时间步的投资组合选择问题。与静态投资组合的情况类似，我们沿着解决方案路径解决优化问题（现在每个时间t），并选择最简单的投资组合，该投资组合保持在未启用投资组合的夏普比率的不确定区域内。该程序在每次t时完成，以提供随时间更新的简单ETF投资组合。后果在下面的分析中，我们使用了1992年2月至2015年2月25只ETF的回报数据。Fama French Five factors的收益可从肯·弗伦奇网站上公开的数据库中获取。http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/16PUELZ、HAHN和CARVALHOWe从36个月的数据开始训练模型，并于1995年2月开始形成投资组合。由于模型3.7和3.8是灵活的，因为可能会为差异指定几个贴现因子，我们将分析重点放在这些贴现因子的合理选择上。

具体而言，我们假设δc=δβ=1，并考虑时变剩余方差δF=δ= 0.999. 财务文献中充分记录了时变剩余方差的证据（例如，参见Ng（1991））。与静态投资组合分析类似，我们考虑形成持有市场ETF（SPY）且仅做多的投资组合。直觉上，我们感兴趣的是为个人投资者构建一个动态的投资组合策略，该投资者希望获得市场敞口和更多多样化的多头头寸。ETF SPY EEM IWD IWRSTYLE市场EM大价值大型房地产199502 97.9 2.13--199602 100--199702 100--199802 59--41199902 100--200002 100--200102 99--1200202 42.4--57.6200302 9.17--18.2 18.1 54.5200402 9.54--15.7 19.8 54.920502 7.61--20.9 26.8 44.7200602 14.1--42.2--43.7200702 12.3--46.8--40.0802.0802--10026.02--80.7----19.3201102 100----201202 100----201302 100----201402 100----201502 100----表4δF=δ的动态线性模型的稀疏ETF投资组合权重= 0.999. 请注意，虽然投资组合每月更新一次，但显示年度权重是为了简洁。表4显示了动态投资组合策略每年的权重。请注意，随着新数据的出现，投资组合将每月更新一次——年度权重仅为简洁起见而显示。在整个交易期间，SPY始终包含在投资组合中，因为它在优化中未启用。从2003年到2008年，它的权重不足，并在金融危机（2009年到2015年）后被完全分配。多样化头寸包括初期17支新兴市场股票的平均方差投资组合，以及交易期中期的大型和价值股票和房地产。

该程序对房地产ETF的选择和导致金融危机的重大分配，有助于其在交易期间的表现。1.2.4累计返回19950219996021997021998021992200002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002002012022013022014020202012201502最小值-变量满分钟-变异图5。比较稀疏ETF投资组合的样本外表现与密集（或完整）投资组合的表现。图5显示了在动态投资组合选择策略（也称为累积回报）中投资1美元的增长。这由黑色线条显示，并标记为稀疏。还显示了其他三种策略：（i）稀疏最小方差（黑色点），（ii）完全最小方差（灰色）和（iii）完全最小方差（灰色点）。稀疏最小方差是由与稀疏投资组合（如表4所示）相同的一组选定的ETF组成的投资组合，但最佳权重是使用最小方差目标确定的。这个目标类似于均值-方差，除了均值向量被1的向量所取代。为了进行比较，我们还展示了在每个时间点由所有25只ETF组成的完整投资组合。这一数据的关键之处在于，与完整投资组合相比，稀疏投资组合的表现显著优于完整投资组合。除了投资组合的简单性之外，这还展示了实施稀疏投资组合策略的另一个好处：与对所有ETF进行最优投资的替代方案相比，样本外表现显著改善。图6将稀疏投资组合策略与另外两个reason18 PUELZ、HAHN和CARVALHOable备选方案进行了比较：（i）pick 5（灰色）和（ii）Wealthfront（灰色虚线）。Pick 5投资组合在每个时间点沿解决方案路径投资首批ETF。