在物理模型下，债券市场的不完全性

回想一下，在Q下，（2.15）给出的p过程W是一个Wiener过程，在Q下，（2.16）给出的νQ（dt，dy）是π（dt，dy）的一个补偿量度，并且∧πQ（dt，dy）=π（dt，dy）-νQ（dt，dy）是Z的一个补偿跳跃度量。使用（4.6）、（4.2）和It^o公式提供了^P（·T），T的动力∈ [0，T*] 在Q下，其形式为^P（t，t）=^P（t，0）-Zt^P（s）-, T∑（s，T）dW（s）+ZtZR^P（s）-, 他-∑（s，T）y- 1i~πQ（ds，dy），t，t∈ [0，T*]. （4.11）4.2投资组合债券投资组合的概念概括了股票市场描述中涉及的有限维度设置。从（4.1）中得出，对于任何t∈ [0，T*] 函数→ P（t，t），t∈ [0，T*],是连续的，因此Pt:=P（t，·）可以被视为[0，t]上边界函数的Banach空间B的一个元素*] 范数为| h | B:=supz∈[0，T*]| h（z）|。A交易策略~n将是B*-有值过程，这里是B*代表B的双重性。相应的g财富过程由x k t=h k t，PtiB，t定义∈ [0，T*],式中，h k，Pа是功能а的值∈ B*关于元素P∈ B.因此，计算的财富过程由^X k t=h k t，^PtiB，t给出∈ [0，T*].在s elf-融资策略类别中，投资组合价值的变化是由债券价格过程的影响引起的，这意味着在^X k允许以下代表性，然后^X k t=^X k+Zthаs，d^PsiB，t∈ [0，T*], （4.12）精确定义后一个积分。考虑到（4.11），我们认为-Zth^s，^Ps-∑siBdWs+ZtZRh^s，^Ps-（e）-∑sy- 1） iB∧πQ（ds，dy），t∈ [0，T*],（4.13）式中，∑s:=∑（s，·）∈ B.这导致对可接受策略的以下定义。让Q∈ Q是一个生成对（φ，ψ）为φ的鞅测度∈ Φ，eψ- 1.∈ Ψ.

AB*-有价值的策略是可接受的（ifa）h^s，^Ps-∑同胞∈ Φ和h^s，^Ps-（e）-∑sy- 1） iB∈ ψQ1,2，也就是zt*| h^s，^Ps-∑siB|ds<+∞, （4.14）和ZT*锆| h^s，^Ps-（e）-∑sy-1） iB|∧ | h^s，^Ps-（e）-∑sy- 1） iB|eψ（s，y）dsν（dy）<+∞,（4.15）b）财富过程，由（4.13）给出，是一个Q-鞅，所有可容许的交易策略的类别将由a（Q）表示。允许策略的定义取决于鞅测度的选择。模型的这一特征是由跳跃的存在引起的。事实上，虽然（4.14）不依赖于度量，但（4.15）是。由于无套利模型可能承认许多鞅测度，上述定义可能会令人困惑，因为它只涉及一个固定测度。然而，定义的相关性可以通过使用承认模型框架的经济论据来证明，其中金融合同的价格由从所有鞅测度集中选择的所谓定价测度下的预期给出。这里不讨论定价方法的选择，我们只提到在实践中以及纯理论考虑中经常使用具有独特定价方法的模型框架。或者，我们也可以考虑setA的交易策略：=\\Q∈QAQ。然而，问题是，A可能比A（Q）小得多，因此投资的可能性会变差。同样出于这个原因，我们只确定一个鞅测度，并考虑与该测度相关的可容许策略。4.3不完整性让我们从定义市场完整性开始。定义4.2如果存在每个有界随机变量X，则（4.1）-（4.2）定义的债券市场是完整的∈ A（Q）使X=^X k T*. （4.16）满足（4.16）的策略称为X的重复策略。

如果市场不完整，它就是不完整的。设X为有界随机变量。根据定理3.4，关联鞅Mt:=EQ[X | Ft]，t∈ [0，T*] 允许积分表示X=EQ[X]+ZT*fX（s）dW（s）+ZT*gX（s，y）~πQ（ds，dy），对于某些fX∈ Φ和gX∈ ψQ1,2。根据（4.13）T的可接受策略的贴现财富过程*由^X k T给出*=^X^-ZT*h^s，^Ps-∑siBdWs+ZT*ZRh^s，^Ps-（e）-∑sy-1） iB∧πQ（ds，dy）。由于^X k是一个Q-鞅，当且仅当满足以下条件^X k=等式[X]，（4.17）时，策略k复制X-h^s，^Ps-∑siB=fX（s），dt- a、 s.，（4.18）h^s，^Ps-（e）-∑sy-1） iB=gX（s，y），dQ×dνQ- a、 s。。（4.19）如果~n复制X，则（4.17）确定复制成本。（4.18）的解决方案可以在属于点评估的函数类中搜索，即针对任何成熟度T∈ [0，T*]考虑hδT，hiB:=h（T），h∈ B.在平凡的非简并条件下，存在方程的解c=c（s）-c（s）^P（s）-, T∑（s，T）=fX（s），s∈ [0，T*]因此ψ（s）：=c（s）δTsolves（4.18）。需要进行更深入的分析的是涉及驱动过程Z跳跃的条件（4.19）。尽管（4.19）必须保持dQ×dνQ-a、 在美国，我们将在续集中使用原始L’evy度量的浓度点的概念。[2]中介绍的精确定义如下。定义4.3 A点y∈ 如果存在一个序列{εn}，则R是L′evy度量的一个集中点∞n=1s。t、 εn0满足νnB（y，εn）\\B（y，εn+1）o>0 n=1，2。。。，（4.20）式中B（y，ε）={y∈ R:| y- y|≤ ε}.上述定义涵盖了财务建模中使用的绝大多数利维流程。事实上，每一个L’evy过程，其L’evy测度有一个密度函数，也有一个集中点。

我们现在的目标是证明，如果列维测度有一个集中点，那么（4.19）对于某些Gx没有解，因此债券市场模型是不完整的。定理4.4考虑债券市场模型（4.1）-（4.2），其系数满足（4.3）（4.5）。如果Z的L′evy测度ν有一个集中点y6=0，那么市场是不完整的。在证明中，我们将使用以下两个辅助结果。第一个是矩问题解的扩展，参见Yosida[10]第5节中的定理2或[2]中的引理4.5。引理4.5设E是赋范线性空间和任意集。g:A-→ R和H:A-→ 然后就有了*∈ E*例如g（a）=<e*, h（a）>E，A.∈ A、 （4.21）当且仅当 γ > 0  N∈ N {βi}ni=1，βi∈ R {ai}ni=1，ai∈ A保持nXi=1βig（ai）≤ γnXi=1βih（ai）E.（4.22）第二个结果源自富比尼定理，并将简化条件（4.19）的检查。命题4.6将（E，E，u），（E，E，u）设为可测量空间，并使用西格玛有限度量u，u和（E×E，E×E，u×u）设为其产品空间。如果两个可测函数f:E×E-→ R、 f:E×E-→ R满足条件f=f，du×du-a、 （4.23）然后存在一个集合^E∈ 这是全u测量值（4.24）十、∈^集合{y:f（x，y）=f（x，y）}是全度量的。（4.25）证明：[定理4.4]我们将用dom变量X构造一个有界r，这样就不存在可容许的策略求解（4.19）。设{εn}∞n=1表示满足（4.20）的序列，并通过公式（y）定义辅助确定性函数GBG=|y|∧ 1给y∈ {B（y，ε2k+1）\\B（y，ε2k+2）}k=0，1。。。，-（|y |∧ 1） 为了你∈ {B（x，ε2k）\\B（x，ε2k+1）}k=1，2|y|∧ 1给y∈ (-∞, Y- ε) ∪ （y+ε）∪ {y} 。假设有一段时间∈ A（Q）holdsh^t，^Pt-（e）-∑ty- 1） iB=g（y），（4.26）dQ×dνQ-a、 s。。由于度量dQ×νQ（dt，dy）和dP×dt×dν是等价的，等式（4.26）保持dP×dt×dνa.s。。

Fix（ω，t）∈ Ohm ×[0，T*] 并假设（4.26）持有ν-a.s。。从命题4.6可以看出，存在一个完整的ν-测度s.t（4.26）的集合aν（ω，t）对每个y都是满意的∈ Aν（ω，t）。由于引理4.5，存在γ=γ（ω，t）>0，这样 N∈ N {βi}ni=1，βi∈ R {yi}ni=1，yi∈ Aν（ω，t）nXi=1βig（yi）≤ γnXi=1βi^Pt-（e）-∑tyi- 1)B.（4.27）让我们注意到，由于（4.20），我们得到了νnAν（ω，t）∩B（x，εn）\\B（x，εn+1）o> 所以我们可以选择一个序列{ak}∞k=1s。t、 ak∈ Aν（ω，t）∩B（y，εk）\\B（y，εk+1） k=1，2。。。。让我们检查条件（4.27），其中n=2，β=1，β=- 1和y=a2k+1，y=a2k+2工作=0，1。。。。那么（4.27）的左边有一个形式γβg（a2k+1）+βg（a2k+2）=γ（| a2k+1 |∧ 1） +（| a2k+2 | |∧ 1)因此令人满意-→∞γβg（a2k+1）+βg（a2k+2）=2（|y |∧ 1)γ6= 0.现在让我们估算一下（4.27）的右边。^Pt-（e）-∑ta2k+1- 1) -^Pt-（e）-∑ta2k+2- 1)B=支持∈[0，T*]^P（t）-, T）（e）-∑（t，t）a2k+1- 1) -^P（t）-, T）（e）-∑（t，t）a2k+1- 1)≤ 监督∈[0，T*]|^P（t）-, T）| su pT∈[0，T*]e∑（t，t）a2k+1- E-∑（t，t）a2k+2.第一次升级显然是确定的。为了处理第二个上确界，让我们注意到，对于足够大的k，点a2k+1，a2k+2lie在B（y，δ）中；δ>0，因此我们有SUPT∈[0，T*]E-∑（t，t）a2k+1-E-∑（t，t）a2k+2≤ 监督∈[0，T*]supy∈B（y，δ）扩散系数-∑（t，t）y· |a2k+1- a2k+2|≤ 监督∈[0，T*]苏比∈B（y，δ）ne |∑（t，t）| | y | |∑（t，t）| o | a2k+1- a2k+2 |，（4.28），明显趋向于零。因此，条件（4.27）不满足任何（ω，t）∈ Ohm ×[0，T*] Andhus（4.26）不包含ν- a、 对于任意（ω，t）∈ Ohm ×[0，T*]. 由于P位置4。6方程式（4.26）没有解。现在，利用函数g，我们构造了一个有界的随机变量X，它是不可复制的。

首先让我们注意到，对于具有生成对（φ，ψ）的鞅测度Q，我们有zt*ZR（|g（y）|∧ | g（y）|）eψ（s，y）ν（dy）ds≤ZT*ZR（| y）|∧1） eψ（s，y）ν（dy）ds<+∞,参见（2.19），这意味着∈ ψQ1,2。设τkbe为τk=inf{t定义的停止时间：ZtZRg（y）~πQ（ds，dy）≥ k}∧ T*,然后选择一个数字。t、 集合{（ω，τk（ω））；ω∈ Ohm}  Ohm ×[0，T*] 为正dP×dt测量值。那么过程gX（s，y）：=g（y）1（0，τk]（s）是可预测的，有界的，并且属于ψQ1,2。进程r·RRgX（s，y）~πQ（ds，dy）是有界的，因为|R·RRgX（x，y）~πQ（ds，dy）|≤ 1成立，因此是作为有界Q-局部鞅的Q-鞅。最后让我们定义一下：=ZT*ZRgX（s，y）~πQ（ds，dy）。（4.29）那么（4.19）在可容许策略类中没有解，因此X不能被复制。让我们注意到，鞅测度的唯一性问题并不影响定理4.4，即即使鞅测度是唯一的，市场也是完全的。这表明，与资产数量有限的股票市场相比，鞅测度的唯一性和市场的完备性之间的等价性是一个基本属性，这两者之间存在显著差异。参考文献[1]D.Applebaum，《列维过程与随机微积分》，剑桥大学出版社（2009）。[2] M.Barski，J.Zabczyk，《利维过程驱动的债券市场的完整性》，国际理论与应用金融杂志（2010），13635-656。[3] F.Delbaen，W.S chachermayer，《资产定价基本定理的一般版本》，Mathematische Annalen，（1994），300463–520。[4] F.Delbaen，W.Schachermayer，《无界随机过程的资产定价基本定理》，Mathematische Annalen，（1998），312215–250。[5] E.Eberlein，J.Jacod，S。

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