在物理模型下，债券市场的不完全性

下面对经典Girsanov定理的推广提供了ρ的积分表示的一种显式形式，并在测度Q下刻画了过程Z，其证明见[9]。定理2.4（Girsanov）设Q~ P和Z是P下具有特征三重态（a，q，ν）的L′evy过程。a） 存在一对过程（φ，ψ），使得φ∈ Φ和eψ-1.∈ ψ1,2密度过程（2.13）的形式为dρ（t）=ρ（t-)φ（t）dW（t）+ZR（eψ（t，y）- 1） ~π（dt，dy）, ρ（0）=1，t∈ [0，T*], （2.14）E[ρt]=1，t∈ [0，T*].b） 在测量值Q下，过程W（t）：=W（t）-Ztφ（s）ds，t∈ [0，T*], （2.15）是一个具有方差q和随机测度νq（dt，dy）：=eψ（t，y）dtν（dy），t的维纳过程∈ [0，T*], Y∈ R、 （2.16）是Z.c）的跳跃测度π（dt，dy）的补偿测度。在测度Q下，过程Z允许表示Z（t）=at+-W（t）+ZtZ{y|≤1} yπQ（ds，dy）+ZtZ{y |>1}yπ（ds，dy），（2.17）带~~at:=at+Ztφ（s）ds+ZtZ{y|≤1} y（eψ（s，y）- 1） dsν（dy）。定理中出现的一对（φ，ψ）将被称为测量Q的生成对。可以显式地求解多尔-戴德方程（2.14），以看到密度过程ρ实际上类似于（2.13），y（t）=Ztφ（s）dW（s）-Zt|√qφ（s）|ds+ZtZR（eψ（s，y）- 1） ~π（ds，dy）-ZtZR（eψ（s，y）- 1.- ψ（s，y））π（ds，dy）。（2.18）为了评论这个定理，让我们引入两个集合A=A（t）和^A=A（t）byA:={（s，y）∈ [0，t]×R:| eψ（s，y）- 1 |≤ 1} ，^A:={（s，y）∈ [0，t]×R:| eψ（s，y）- 1 |> 1}.首先，让我们解释一下（2.17）的定义。实际上，从类ψ1,2的定义来看，ztzb | y（eψ（s，y）-1） |dsν（dy）=Z[0，t]×B∩A | y（eψ（s，y）- 1） |dsν（dy）+Z[0，t]×B∩^A | y（eψ（s，y）- 1） |dsν（dy）≤ZtZB | y | dsν（dy）ZA | eψ（s，y）- 1 | dsν（dy）+Z^A | eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞,其中B:={y:|y|≤ 1} 因此，atis实际上定义得很好。

补偿度量νQ（ds，dy）满足ztZr（|y|∧ 1） νQ（ds，dy）<+∞ , （2.19）因为|∧ 1） eψ（s，y）dsν（dy）<+∞ <==>ZtZR（| y）|∧ 1） |eψ（s，y）-1|dsν（dy）<+∞,使用与上述集合a和^a类似的分解，我们得到了ZTZR（|y）|∧ 1） |eψ（s，y）- 1 | dsν（dy）≤ZtZR（| y）|∧ 1） dsν（dy）+Z^A | eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞,因此，（2.17）中的所有术语都有明确的定义。实际上（2.17）通过加上和减去术语srφds和rrbyeψdsν（dy），紧接着从t^evy It^o分解（2.6）开始。因此，在Q下，只有当φ是定常常数且ψ是独立于时间的确定函数时，过程Z才是L′evy过程，即φ（ω，t）=φ，ψ（ω，t，y）=ψ（y）。这是一个非常特殊的情况，因此，一般来说，Z不再是Q下的L’evy过程。特别是，由于新的补偿测度νQis随机且与时间相关，测度Q改变了zb跳跃的随机性质。因此π不是Q下的longera Poisson随机测度。很明显，在Q下，小跳跃是平方和的，在[0，T]上只有几个大跳跃*] 因为Q~ P然而，条件（2.19）并不意味着相应的期望值是有限的，就像在物理测量P中一样。由于（2.19）中的积分在t中是连续的，因此从（2.19）可以看出，存在一个局部停止时间序列{τn，n=1，2，…}使得eqhzτnZR（|y|∧ 1） νQ（ds，dy）i<+∞, n=1，2。。。，这意味着eqhxs∈[0，τn]|△Zs|{|△Zs|≤1} i<+∞, EQhXs∈[0，τn]{|△Zs|>1}i<+∞, n=1，2。此外，对于任何一组∈ R加0/∈\'A保持νQ（[0，t]，A）=ZtZAeψ（s，y）dsν（dy）<+∞, （2.20）并且使用与上述类似的参数，我们可以证明过程∧πQ（t，A），t≥ 0是一个Q-局部m-鞅，而不是一般的Q-鞅。

性质（2.20）来自于ztza | eψ（s，y）的估计- 1 | dsν（dy）≤ tν（A）+Z^A | eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞.3等价测度下的鞅表示如第2.2节所述，过程Z是P下的L’evy过程，不再是等价测度Q下的L’evy过程。它的跳跃测度不是泊松测度，henceTheorem 2.3不能应用于Q-局部鞅。我们的目的是建立定理2.3的类比结果，并以此为目的，在Q下构造Z的补偿跳跃测度上的积分。文献中缺少对这部分理论的全面阐述。3.1 QLet（φ，ψ）下补偿跳跃测度的积分是测度Q的生成对~ P根据定理2.4，Z的跳跃测度π（dt，dy）在Q下有一个新的补偿测度e，形式为νQ（dt，dy）=eψ（t，y）dtν（dy）。因此，πQ（ds，dy）=π（ds，dy）-eψ（s，y）dsν（dy）是q下Z的一个补偿跳跃测度。我们现在的目标是构造随机积分ztzrg（s，y）~πQ（ds，dy），t∈ [0，T*], （3.1）对于g:[0，T*] ×R-→ R.我们将从简单过程开始，然后将构造扩展到更广泛的被积函数类。首先注意EQ[π（t，A）]=EQ[νQ（t，A）]=EQhZtZAeψ（s，y）dsν（dy）i，t≥ 0，即使集合A与0分离，也可能是有限的。由于这个原因，我们在R的从零开始的子集上引入了一个附加限制，即isEQ[νQ（[0，T*] ×A）]+∞. （3.2）如果（3.2）保持不变，则p进程∧πQ（t，A）=π（t，A）- νQ（t，A）是一个Q-鞅，尽管它的增量不是独立的。实际上，πQ（t，A）是一个Q-平方可积鞅，其p性质如下所示。引理3.1设A，B R两个（3.2）保持不变。

那么∧πQ（t，A）和∧πQ（t，B）过程是[0，t]上Q下的平方可积鞅*] 它们的二次协变量是由hπQ（t，A），~πQ（t，B）i=νQ（[0，t]×A）给出的∩B） ，t∈ [0，T*]. （3.3）特别是，过程（∧πQ（t，A））- νQ（[0，t]×A）；πQ（t，A）·πQ（t，B）- νQ（[0，t]，A）∩ B） ，t∈ [0，T*]是Q-鞅，如果A∩B= 那么eq[!πQ（t，A）·!πQ（t，B）]=0，t∈ [0，T*].证明：首先，让我们注意到，~πQ（t，A），~πQ（t，B）是Q-局部平方可积鞅。实际上，过程π（t，A）有大小为1的跳跃，而νQ（[0，t]×A）是连续的，因此两者都是局部有界的，因此∧πQ（t，A）是局部有界的，因此Q是局部平方可积的。因此，p过程hπQ（t，A），~πQ（t，B）i得到了很好的定义。It^o乘积公式的应用，参见[1]中的定理4.4.13，y ields∧πQ（t，A）·πQ（t，B）=Zt∧πQ（s-, A） dπQ（s，B）+ZtπQ（s-, B） dπQ（s，A）+Xs∈[0，t]△~πQ（s，A）·△πQ（s，B），t∈ [0，T*].右边的前两个积分是Q-局部鞅，是关于鞅的局部有界过程的随机积分。因为这两个过程∧πQ（t，A），∧πQ（t，B）都有大小为1的跳跃，所以我们有x∈[0，t]△πQ（t，A）·△πQ（t，B）=π（[0，t]×A∩B） ，t∈ [0，T*].补偿我们得到的最后一项∈[0，t]△πQ（t，A）·△~πQ（t，B）=~πQ（[0，t]×A）∩ B） +νQ（[0，t]×A）∩ B） ，t∈ [0，T*].最后，是过程∧πQ（t，A）·πQ（t，B）-νQ（[0，t]×A）∩ B） ，t∈ [0，T*],是一个Q-局部鞅，它给出（3.3）。进一步地，它来自于估计Q[~πQ（T*, A） ]=EQ[νQ（[0，T*] ×A）]+∞,πQ（t，A）实际上是一个Q-平方可积鞅。在第一步中，我们为一个简单过程构造积分（3.1），该过程的表示形式为g（s，y）=g（0，y）1{s=0}+n-1Xi=0miXj=1gij（ti，ti+1）（s）1Aij, s∈ [0，T*], Y∈ U、 （3.4）式中0=t<t<。。。

<tn=T*是[0，T]的一个分区*] Ai，jis是从零分离出来的R的子集族，使得eq[νQ（[0，T*] ×Ai，j）]+∞. （3.5）用SQ表示的简单过程集与第3.1节中定义的类似。条件（3.5）对集合Aijan施加的差异，这一要求与Q下补偿措施的不同形式有关。实际上，在P下，如果只有{Aij}与零分离，则（3.5）的模拟自动保持。事实证明，对于g∈ sq随机性t=ZtZUg（s，y）~πQ（ds，dy）：=nXi=0miXj=1gij ~πQ（（ti）∧ t、 ti+1∧t] ×Aij），t∈ [0，T*].是一个Q-平方可积鞅。这可以证明，下面的命题3.2与命题2.1相对应，描述了Q补偿跳跃测度的性质。它的证明直接基于引理3.1，留给读者。命题3.2关于集合A、B∈ U（3.2）和0≤ s<t≤ T*] 如果A的话，保持EQ[~πQ（（s，t]×A）|Fs]=EQ[νQ（（s，t]×A）|Fs]，EQ[~πQ（（s，t]×A）·πQ（（s，t]×B）|Fs]=0∩ B=,对于t，等式[!πQ（（s，t]×A）·!πQ（（u，v]×B）| Fu]=0≤ u<v≤ T*.然后模仿P位置2.2的优点，我们可以证明以下几点。命题3.3针对过程g∈ 积分IQ（g）是一个Q-square可积鞅ZtZRg（s，y）~πQ（ds，dy）= 情商ZtZR | g（s，y）|νQ（ds，dy）, T∈ [0，T*]. （3.6）为了将积分的定义扩展到更大类别的被积函数上，我们使用了与测度P相同的论证。如果一个可预测的过程满足*ZR | g（s，y）|νQ（ds，dy）i<+∞.然后，IQ（g）由近似参数确定。它是一个Q-平方可积鞅，且（3.6）成立。通过ψQwe表示满足ψQ:ZT的所有可预测过程的类别*ZR|g（s，y）|νQ（ds，dy）<+∞, Q- a、 s代表g∈ ψqq积分IQ（g）是Q-局部平方可积鞅。

如果g满足条件“ZT*ZR | g（s，y）|νQ（ds，dy）#+∞. （3.7）然后一个定义ZtZRg（s，y）~πQ（ds，dy）：=ZtZRg（s，y）π（ds，dy）-ZtZRg（s，y）νQ（ds，dy），t∈ [0，T*],（3.8）这是一个Q-鞅。如果g∈ ψQ，其中ψQ:ZT*ZR|g（s，y）|νQ（ds，dy）<+∞ , Q-a、 然后（3.7）局部保持，因此进程ztzrg（s，y）~πQ（ds，dy），t∈ [0，T*],是一个Q-局部鞅。最后，对于Q-局部鞅的表示，我们需要一个由g定义的类ψQ1,2∈ ψQ1,2<==> g1{|g|≤1}∈ ψQand g1{| g |>1}∈ 每g的ψQ∈ ψQ1,2积分由分解ztzrg（s，y）~πQ（ds，dy）：=ZtZRg1{g|≤1} πQ（ds，dy）+ZtZRg1{g |>1}πQ（ds，dy），是一个Q-局部鞅。很明显，g∈ ψQ1,2if且仅ifZT*ZU（|g（s，y）|∧ | g（s，y）|）νQ（ds，dy）<+∞ , Q- a、 s..3.2鞅表示在使用第3.1节中描述的被积函数类的情况下，我们可以将任何Q-局部鞅分解为积分形式。定理3.4设Q是一个等价于P的度量，其生成对（φ，ψ），φ∈ Φandeψ-1.∈ Ψ. （3.9）任意Q-局部鞅Mt，t∈ [0，T*], 允许表示形式mt=M+Zt＠φM（s）d＠W（s）+ZtZR＠ψM（s，y）＠πQ（ds，dy），t∈ [0，T*] （3.10）带φM∈ Φ和|ψM∈ ψQ1,2。此外，该对（～φM，～ψM）是唯一的，即如果（～φ′M，～ψ′M）满足（3.10），则～φM=～φ′MdQ×dt- a、 s.和△ψM=△ψ′MdQ×dνQ- a、 s。。在证明中，我们将使用经典结果，因为它的证明参见，例如，命题3。8英寸[7]。引理3.5设Q等价于P，密度过程ρt:=dQdP | Ft，t∈ [0，T*].那么过程M（t）是Q-局部鞅当且仅当M（t）ρ（t）是P-局部鞅。证明：[定理3.4]我们考虑了没有维纳部分的情况，即密度过程的形式为ρ（t）=ρ（t）-)ZR（eψ（t，y）- 1） π（dt，dy），ρ（0）=1，t∈ [0，T*]. （3.11）通过一般案例不会造成严重困难。

鉴于引理3.5，过程ρtMt，t∈ [0，T*] 是一个P-局部鞅，根据定理2.3，可以表示为ρtMt=ρM+ZtZRψM（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*], （3.12）对于某些ψM∈ Ψ1,2. 根据It^o公式，和（3.11）遵循ρt=1-Ztρs-dρs+Xs∈[0，t]ρs-ρs-+ρs-△ρs= 1.-ZtZRρs-（eψ（s，y）- 1） π（ds，dy）+ZtZRρs-E-ψ（s，y）+eψ（s，y）- 2.π（ds，dy），t∈ [0，T*]. （3.13）将It^o生产公式与（3.12）和（3.13）产量SMT=（Mtρt）·ρt=M+Zt（Mρ）s一起应用-Dρs+Ztρs-d（Mρ）s+Mρ，ρs=M+ZtZRMs-（e）-ψ+eψ- 2） π（ds，dy）-（eψ）- 1） ~π（ds，dy）+ZtZRρs-ψM（e）-ψ- 1） π（ds，dy）+ψMπ（ds，dy）, T∈ [0，T*].现在，我们使用f-act-th，eψ（t，y）dtν（dy）是π（dt，dy）在Q下的一个补偿度量，并排列上述项。这意味着SMT=M+ZtZRMs-E-ψ（s，y）（1）- eψ（s，y））～πQ（ds，dy）+ZtZRρs-ψM（s，y）e-ψ（s，y）~πQ（ds，dy）。证明是通过证明上述积分实际上定义得很好来完成的，也就是过程△ψM（s，y）：=Ms-E-ψ（s，y）（1）- eψ（s，y））+ρs-E-ψ（s，y）ψM（s，y），t∈ [0，T*], Y∈ U、 属于ψQ1,2。由于过程M和ρ是局部有界的，我们将证明-ψ(1 - eψ）∈ ψQ1,2，（3.14）和-ψψM∈ ψQ1,2。（3.15）根据估算得出的条件（3.14）| E-ψ(1 - eψ）|∧ | E-ψ(1 - eψ）|eψ=e-ψ| eψ- 1 |∧ | eψ- 1 |≤| eψ- 1 |和（3.9）。条件（3.15）的形式为zt*ZRH（s，y）dsν（dy）<+∞, 带H（s，y）：=|ψM（s，y）|e-ψ（s，y）∧ | ψM（s，y）|，（3.16）鉴于（3.9），我们需要在ψ为≤ 只有0。让我们考虑[0，T]的下列子集*] ×RA:={ψ≤ 0}，B:={|ψM | e-ψ≤| ψM |}，C:={eψ≤}.从（3.9）中可以看出*ZRA∩B（1）- eψ（s，y））dsν（dy）<+∞,因此∩C是一组有限的dtν（dy）度量。

以下是四个估计值（a）ZT*ZRA∩B∩CH（s，y）dsν（dy）=ZT*ZRA∩B∩C |ψM（s，y）|e-ψ（s，y）dsν（dy），≤ZT*ZRA∩B∩C|ψM（s，y）|dsν（dy）≤ZT*ZRA∩B∩Cdsν（dy）<+∞,因为∩ B∩ C是有限测度，b）ZT*ZRA∩B∩CcH（s，y）dsν（dy）≤ZT*ZRA∩B∩复写的副本2 |ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）≤ 2ZT*ZRA∩B∩复写的副本| ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）<+∞,因为ψM∈ ψ1,2，c）ZT*ZRA∩公元前∩CcH（s，y）dsν（dy）≤ZT*ZRA∩公元前∩复写的副本2 |ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）≤ 2ZT*ZRA∩公元前∩复写的副本| ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）<+∞,d） ZT*ZRA∩公元前∩CH（s，y）dsν（dy）=ZT*ZRA∩公元前∩C∩{ψM|≤1} ψM（s，y）|dsν（dy）+ZT*ZRA∩公元前∩C∩{|ψM |>1}|ψM（s，y）| dsν（dy）≤ZT*ZRA∩公元前∩C∩{ψM|≤1} dsν（dy）+ZT*ZRA∩公元前∩C∩{|ψM |>1}| ψM（s，y）|∧ | ψM（s，y）|dsν（dy）<+∞,暗示（3.16）。唯一性等价于关联mt:=0=ZtZR∧ψM（s，y）~πQ（dy，ds），t∈ [0，T*],ψM∈ ψQ1,2==>ψM≡ 根据It^o公式，以下为0=Mtρt=ZtZRMs-ρs-（eψ（s，y）- 1） dπ（ds，dy）+ZtZUρs-△ψM（s，y）~πQ（dy，ds）+ZtZRρs-ψM（s，y）（eψ（s，y）- 1） π（ds，dy）=ZtZRρs-ψM（s，y）eψ（s，y）~π（ds，dy），t∈ [0，T*],P下积分表示的唯一性意味着th在|ψM处≡ 0分解（3.10）已在[9]中表述，没有唯一性属性，见第2.3节。[9]中的证明是基于另一个论点的，然而，它是粗略的。特别是，在[9]中还不清楚哪些过程可以在Q.4债券市场的不完全性下的衡量标准上进行整合。我们将研究债券市场的完整性问题。我们的主要结果是定理4。4当L’evy测度具有密度函数时，显示市场不完全性。这个结果推广了文献[2]中的定理4.12，其中模型是在鞅测度下指定的，即P是一个鞅测度。4.1模型考虑中的市场由期限为[0，T]的债券组成*] 威特*< +∞.

无论如何∈ [0，T*] 债券的价格由p（T，T）：=e确定-RTtf（t，u）du，t∈ [0，T*], （4.1）其中f（·，·）代表远期汇率。远期利率的时间演变为每个∈ [0，T*] 分别是byf（t，t）=f（0，t）+Ztα（s，t）ds+Ztσ（s，t）dZ（s，t）∈ [0，T*], （4.2）其中Z是一个L’evy过程(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T*], P）。我们采用[5]中的模型假设，即（4.2）中的系数满足α（t，t）=0，σ（t，t）=0表示t∈ [T，T]*], （4.3）（ω，t，t）-→ α（ω，t，t），σ（ω，t，t）是P B（[0，T*]) - 可测量的，（4.4）支持∈[0，T*]| α（t，t）|<+∞, 监督∈[0，T*]| σ（t，t）|<+∞ . （4.5）在（4.4）中，P代表Ohm ×[0，T*] 和B（[0，T*]) 对于Borelσ-feldon[0，T*]. 鉴于（4.5）领域（t，t）-→ 假设α（t，t），σ（t，t）是有界的，但边界可能依赖于ω。在（4.5）中，（4.2）中的两个积分都得到了很好的定义。最后，（4.3）允许确定超过到期日的时间点的债券价格。要通过r（t）来了解这个短期利率过程：=f（t，t），t∈ [0，T*]. 然后，通过（4.3）和（4.2），我们得到了f（t，t）=f（0，t）+ZTα（s，t）ds+ZTσ（s，t）dZ（s）=f（t，t），t∈ [T，T]*],因此，lyp（t，t）=e-RTtf（t，s）ds=e-RTtf（s，s）ds=eRtTr（s）ds=eRtTr（s）ds，t∈ [T，T]*].后一种情况意味着债券的票面价值在到期时自动转移到储蓄账户上，并一直保持到T*. 此外，从（4.3）可以看出，贴现债券价格^P（t，t）：=e-Rtr（s）dsP（t，t），t，t∈ [0，T*],可以用形式^P（t，t）：=e表示-RTf（t，s）ds，t，t∈ [0，T*]. （4.6）最重要的问题是（4.1）-（4.2）定义的模型中没有套利。套利的概念，在[3]和[4]的意义上，相当于存在一个测度qp，它等价于P，因此贴现债券价格是Q-局部鞅。

每一种度量都被称为鞅度量。以下结果是[5]中定理3.1和[8]中定理3.1的结果，具体说明了鞅测度的生成对（φ，ψ）和模型系数之间的关系。定理4.1假设（4.3）-（4.5）满足~ P是一个具有生成对（φ，ψ）的度量，使得φ∈ Φ，eψ- 1.∈ Ψ1,2. 表示a（t，t）：=ZTtα（t，v）dv，∑（t，t）：=ZTtσ（t，v）dv，t，t∈ [0，T*].a） 如果过程^P（·，T），T∈ [0，T*] 由（4.6）给出的是Q-局部鞅*Z{|y|≤1} |eψ（s，y）- 1|dsν（dy）<+∞, a、 （4.7）和ZT*Z{y}>1}e-∑（s，T）y·eψ（s，y）dsν（dy）<+∞, （4.8）对于每个T几乎ω-肯定。b） 如果满足（4.7）和（4.8），则^P（·T），T∈ [0，T*] Q-局部鞅当且仅当ifA（s，T）=-∑（s，T）a+q∑（s，T）- qφ（s）∑（s，T）+ZReψ（s，y）（e）-∑（s，T）y-1） +1{|y|≤1} ∑（s，T）y每T的ν（dy），（4.9）∈ [0，T*] 几乎所有的s几乎都是ω-当然。让我们来评论一下上面的定理。条件（4.7）和（4.8）缩小了鞅测度生成对的类别。实际上它来自（4.7）和eψ的事实- 1.∈ ψ1,2状态ψ-1.∈ Ψ. （4.10）条件（4.8）是[8]中针对φ=0，ψ=0的情况得到的指数矩条件的推广，即当模型直接在鞅测度下指定时。请注意，（4.9）的右侧涉及远期利率的波动性、Z的特征和Q的生成对，而左侧仅取决于远期利率的漂移。T中（4.9）的微分给出了α（T，T）的直接公式，它推广了著名的希思-杰罗-莫顿漂移条件α（T，T）=σ（T，T）ZTtσ（T，v）dv，T，T∈ [0，T*],在[6]中引入，当Z是维纳过程时。设Q是所有鞅测度和Q的集合∈ Q有一个生成对（φ，ψ）。