复杂网络中的遇险传播：非线性情况

从A办公室的面板上。4我们可以清楚地看到，除了由于实现的有限数量而产生的数值波动外，对于任何给定的xshock，H值∞随α单调递减。从α的大值开始，向小值移动，H∞到达一个平台，在这个平台上，系统中的大部分权益已经丧失（H∞> 0.9). 正如预期的那样，将重点放在H的行为上∞作为xshock的函数，对于α，H的固定值∞随着xshock的增加而增加。总的来说，我们可以检测到两种不同的制度，一种制度（几乎）失去了系统中的所有权益（对于较小的α值），另一种制度（几乎）没有失去任何权益（对于较大的α值和较小的xshock值）。对于更小的x值，这两种制度之间的交叉越来越尖锐。最后，在Limit xshock中→ 0该系统显示出一种过渡状态，在稳定状态下不发生损失，在不稳定状态下，微小的冲击也可能导致较大的总相对损失。从图4的面板B可以更好地理解这种转变的存在，在图中，我们展示了所有银行承受相同初始冲击的情况下的结果（即pshock=1）。这可以被解释为对所有银行共有的风险因素的冲击，例如利率的突然变化或类似于重大宏观经济衰退期间发生的变化。我们注意到0。511.522.533.540.020.040.060.080.100.20.40.60.81H∞Aαxshock∞00.20.40.60.810.511.522.533.540.0010.0020.0030.0040.00500.20.40.60.81H∞BαxshockH∞00.20.40.60.81图。4.2008年的股权损失。

H的曲面图∞, 稳定状态下的总相对权益损失，作为银行外部资产所受冲击的大小和调整算法非线性的参数α的函数。所有点在100个重建网络样本上进行平均，这些网络的连通性p=0.05，并与2008年的平衡表兼容，以及在10个实现的冲击中，每个银行的冲击概率pshock=0.05（面板a）和pshock=1（面板B）。请注意，两个面板的冲击pshock·xshock总尺寸范围相同。随着α的增加，冲击的传播受到抑制，从而导致较小的损失，并且在两种不同的情况下，其分离在pshock=1时尤其明显，即当所有银行都受到冲击时。0.511.522.533.540.020.040.060.080.100.20.40.60.81H∞Aαxshock∞00.20.40.60.810.511.522.533.540.020.040.060.080.100.20.40.60.81H∞BαxshockH∞00.20.40.60.81图。5.2010年和2013年的股权损失。与图4类似，但适用于2010年和2013年。这里，重建网络的连接性为p=0.05，平均而言，受冲击银行的比例为pshock=0.05。从2008年（见图4，面板A）到2013年H∞对α的变化越来越不敏感，而且通常更小，这意味着银行越来越稳健。在这里，我们对p=0.05到p=1（完全连接的网络）之间的连接参数p的不同值进行了模拟。有趣的是，我们观察到，连接性非常不同的系统表现出类似的方式。一种可能的解释是，由于使用了重建技术（参见“材料和方法：数据”一节），p=0.05已经足以连接具有系统重要性的银行。最后，在图5中，我们在不同年份采用了与图4相同的设置。总的来说，我们观察到H∞从2008年到2013年显著下降。

很明显，该系统在2008年更容易放大冲击，当时，H∞\' 1存在。这与2008年银行更加脆弱的直觉是一致的。三、 讨论在本研究中，一种通用的冲击传播机制被应用于183家公开交易的欧洲银行的银行间网络。根据概率PShock，每家银行都会受到初始冲击，其外部资产会贬值一个系数xshock。系统对冲击的反应是根据总相对权益损失来衡量的，该损失考虑了每家银行对系统相对权益损失的贡献。我们考虑的冲击传播动力学（非线性DebtRank）通过两种应力测试算法之间的参数α进行插值：Fur Fine算法和线性DebtRank。我们注意到，激波的传播强烈依赖于参数α。特别是，在我们所考虑的所有压力情景中，我们观察到一个巨大损失（对于小α）的制度和一个小损失（对于大α）的制度之间的交叉，在这个制度中，所有银行都可能违约，而在这个制度中，大多数银行都能经受住冲击。当受冲击影响的银行比例接近1时，中间区域的宽度缩小。该模型还显示，2008年金融危机爆发时，银行间网络比随后几年要脆弱得多。这一观察结果在定性上适用于所有模型参数值和探索的关联性，也与其他实证研究一致[44]。除了稳态的性质外，我们还研究了数量的动力学，例如压力和违约银行的数量，其行为强调了不同时间尺度的存在，这取决于模型参数。

例如，我们观察到，达到稳定状态所需的时间是α的非单调函数：在某些情况下，冲击会缓慢推动银行间网络走向崩溃，而在其他情况下，崩溃会在冲击后立即发生。显然，在违约概率和股权变动之间建立一个连贯的映射为未来的研究打开了几个可能的方向。显然，校准α，可能为每个银行提取不同的值，将代表一项重大成就。除了本文采用的“现象学”方法外，我们还可以尝试在标准金融风险管理理论的背景下推导这种关系。此外，我们的分析仅限于银行间登陆导致的直接风险敞口。对系统性风险的适当评估应考虑到其他类型的互联性，例如与重叠投资组合、衍生产品交换和所有权结构相关的互联性。因此，该模型的另一个未来扩展可以基于一个包含这些影响的多层网络。跨不同层的复杂相互作用可能会导致非平凡的放大现象[45]。最后，研究系统的稳定性（由于最近的工作[43,46]而变得越来越可能）可以让监管者开发更快的定性压力测试框架，以持续监控系统风险。四、 材料与方法a。

模型动力学为了推导（3）我们从引言部分介绍的资产负债表等式开始，在该部分中我们区分了外部和银行间资产和负债：Ei（t）=AEi（t）- LEi+NXj=1AIBij（t）- LIBij，（5）在金融传染的文献中，资产明确依赖于时间，而负债则不依赖于时间。事实上，虽然外部资产受到外部影响，但银行间资产的价值也会相应变化（按市值计价），这取决于借款人的违约概率。然而，i银行重新评估其对j银行的银行间债权的价值，这一事实并不会改变银行对i银行的债务价值：因此，银行间负债（以及类似的外部负债）始终保持其面值（即资产负债表中最初呈现的价值），因此不依赖于时间。因此，使用（1）和（5）我们可以很容易地计算：hi（t）=AEi（0）- AEi（t）Ei（0）+NXj=1AIBij（0）- 艾比杰（t）Ei（0）。（6） 如果j银行的违约概率等于零，显然，其债权银行i可以完全收回其贷款的面值AIBij（0）。相比之下，如果j银行的违约概率等于1，则j银行已经违约，其债权银行i预计只能收回其贷款的一小部分，其中Rij∈ [0, 1]. 在这两种极端情况之间进行插值的一种自然方法是，用t:AIBij（t+1）=AIBij（0）时的预期值确定t+1时银行间资产的价值1.- pDj（t）+ RijAIBij（0）pDj（t）。

（7） 通过保守的假设[18,47]，即债权人在借款人违约的情况下实际上不会收回任何金额的资金，我们得到：AIBij（t+1）=AIBij（0）1.- pDj（t）, （8） 这意味着，如果借款人j银行的违约概率Pdjo为零，且该值与pDjotherwise成比例降低，则i银行将更新其对j银行的银行间债权价值，使其等于其面值。通过将（8）插入（6）并使用银行间杠杆矩阵[36,39]的定义：∧ij=AIBij（0）Ei（0）（9），我们可以立即计算：hi（t+1）- hi（t）=AEi（t）- AEi（t+1）Ei（0）+NXj=1∧ijpDj（t）- pDj（t）- 1). （10） 在我们的压力测试场景中，我们最初会以相对数量xshock冲击外部资产，即AEi（1）=xshockAEi（0），这样hi（1）=（1）- xshock）AEi（0）/Ei（0）. 然而，在最初的冲击之后，外部资产不再发生变化，相对权益损失的演变完全是由于银行间资产价值的重新评估。因此，当t>1时，（10）右侧的第一项等于零。最后，当i银行的股本等于零时，银行违约，既不能进一步传播冲击，也不能承受任何额外损失。因此，相对权益损失可达到的最大值为1，这导致（3）。从（3）中，我们可以看出，结果将取决于我们假设的银行相对权益损失与其违约概率之间的关系。在Fur fine算法中，我们有：pDj（t）=（0，如果hj（t）<11，如果hj（t）=1，（11），而在线性算法中：pDj（t）=hj（t）。（12） 在非线性DebtRank中，我们通过参数α（见（4））在这两种极端情况之间插值：对于α=0，我们恢复线性DebtRank，而对于α→ ∞ 我们恢复了Fur fine算法。B

数据银行资产负债表原始数据的原始来源是Bureau van Dijk Bankscope数据库，我们从中提取了183家欧洲最大银行的子集数据。特别是，我们使用有关银行间资产（负债）总额的数据AIBi=Pj=1AIBij（LIBi=Pj=1IBIj），并计算外部资产（负债）作为总资产（负债）和银行间资产（负债）之间的差异：AEi=Ai- 艾比（雷=李）- 李比）。[36,39]中已经使用了相同的数据。有关丢失数据处理的所有详细信息，请参见[36]。尽管欧洲银行不一定构成一个孤立的体系[48]，但它们与美国和亚洲银行的相关性较弱[49]。此外，欧洲以外的银行属于不同的监管机构，因此它们可能会受到不同条件的约束（例如在救助期间）。参考文献[49]的分析表明，欧洲银行也与银行以外的金融机构有联系。为了解释由于不同类型的金融机构之间的相互作用而产生的额外传染渠道，我们可以将我们的方法扩展到多层网络的情况，正如讨论部分所建议的那样。如前所述，i银行的资产负债表仅包含其银行间借贷总额的数据，即AIBIAN和LIBi的价值。因此，需要通过做出一些假设来重构整个矩阵。在这里，我们按照[39]进行，并做出合理的假设，在[40,41]中成功地进行了测试，即i银行向j银行发放贷款的概率与AIBi（i银行的同业拆借总额）和LIBi（j银行的同业拆借总额）成正比。能力模型[50]允许我们计算边缘i→ 对于给定的连通性p，j存在。

然后，我们使用{pij}为每年构建100个有向无加权网络的样本。对于样本中的每个网络，使用迭代RAS算法指定权重[51]。请参阅[39]了解该程序的完整说明。感谢所有作者感谢Marco D’Errico分享数据和富有成效的讨论，感谢Stefano Battiston进行了无数次的意见交流。MB、JIP、GV和GC感谢FP7-ICT项目编号317532、FP7-ICT项目编号610704和地平线2020项目编号640772的支持。FC确认支持经济及社会研究理事会（ESRC）为系统性风险中心提供资金（ES/K002309/1）。GC感谢地平线2020项目编号654024和CoEGSS编号676547的额外支持。作者贡献陈述对设计模型和数值实验做出了贡献：MB、FC、JIP、GV和GC。运行数值模拟：JIP和GV。讨论结果并撰写论文：MB、FC、JIP、GV和GC。其他信息竞争性金融利益。作者声明没有相互竞争的财务利益。源代码。所有的分析都是用Python开发的，可以根据作者的要求提供。[1] 《复杂网络的统计力学》。现代物理学评论。2002;74(1):47–97.[2] Caldarelli G.无标度网络：自然界和技术中的复杂网络。牛津大学出版社；2007年[3]Barab\'asi AL.网络接管。自然物理学。2011;8(1):14–16.[4] Barrat A，Barth’elemy M，Vespignani A.复杂网络上的动力学过程。剑桥大学出版社；2008年【5】Leskovec J、Backstrom L、Kleinberg J.模因追踪与新闻周期的动态。摘自：15thACM SIGKDD知识发现和数据挖掘国际会议记录；2009年，第497-506页。[6] 内科维M，莫雷诺Y，比安科尼G，马西里M。

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