复杂网络中的遇险传播：非线性情况

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英文标题：
《Distress propagation in complex networks: the case of non-linear
  DebtRank》
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作者：
Marco Bardoscia, Fabio Caccioli, Juan Ignacio Perotti, Gianna Vivaldo,
  Guido Caldarelli
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a dynamical model of distress propagation on complex networks, which we apply to the study of financial contagion in networks of banks connected to each other by direct exposures. The model that we consider is an extension of the DebtRank algorithm, recently introduced in the literature. The mechanics of distress propagation is very simple: When a bank suffers a loss, distress propagates to its creditors, who in turn suffer losses, and so on. The original DebtRank assumes that losses are propagated linearly between connected banks. Here we relax this assumption and introduce a one-parameter family of non-linear propagation functions. As a case study, we apply this algorithm to a data-set of 183 European banks, and we study how the stability of the system depends on the non-linearity parameter under different stress-test scenarios. We find that the system is characterized by a transition between a regime where small shocks can be amplified and a regime where shocks do not propagate, and that the overall stability of the system increases between 2008 and 2013.
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中文摘要：
我们考虑了复杂网络上危机传播的动力学模型，并将其应用于研究通过直接暴露相互连接的银行网络中的金融传染。我们考虑的模型是最近在文献中引入的DebtRank算法的扩展。危机传播的机制非常简单：当银行遭受损失时，危机会传播给债权人，而债权人又会遭受损失，以此类推。最初的DebtRank假设损失在关联银行之间线性传播。这里我们放松了这个假设，引入了一个单参数的非线性传播函数族。作为一个案例研究，我们将该算法应用于183家欧洲银行的数据集，并研究了在不同的压力测试场景下，系统的稳定性如何依赖于非线性参数。我们发现，该系统的特点是在一个小冲击可以放大的机制和一个冲击不会传播的机制之间进行过渡，并且在2008年至2013年期间，该系统的整体稳定性增加。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Distress_propagation_in_complex_networks:_the_case_of_non-linear_DebtRank.pdf (791.25 KB)

2022-5-9 16:13:57 上传

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关键词：复杂网络 非线性 Quantitative Applications Propagation

复杂网络中的灾难传播：非线性DebtRankMarco Bardocia案例，1,2，*法比奥·卡奇奥利，3,4岁，+胡安·伊格纳西奥·佩罗蒂，5岁，吉安娜·维瓦尔多，5岁，§和吉多·卡尔达雷利，5岁，6,2岁，齐乌里奇大学齐乌里奇分校银行和金融系，伦敦斯威特兰德隆顿数学科学研究所，伦敦联合金多姆大学学院，伦敦联合金多姆系统风险中心，伦敦经济和政治科学学院，伦敦，联合金多明特高等研究院，卢卡，意大利，意大利：复杂系统研究所，罗马，意大利我们考虑复杂网络上的危机传播动力学模型，我们将其应用于通过直接暴露相互连接的银行网络中的金融传染研究。我们考虑的模型是最近在文献中引入的DebtRank算法的扩展。痛苦传播的机制非常简单：当银行承担损失时，痛苦会传播给债权人，而债权人又反过来承担损失，依此类推。最初的DebtRank假设损失在关联银行之间线性传播。这里我们放松这个假设，引入一个单参数的非线性传播函数族。作为一个案例研究，我们将该算法应用于183家欧洲银行的数据集，并研究了在不同的压力测试场景下，系统的稳定性如何依赖于非线性参数。我们发现，该系统的特点是在一个小冲击可以放大的区域和一个冲击不会传播的区域之间进行过渡，系统的整体稳定性在2008年和2013年之间增加。I.引言复杂网络[1-3]被证明对描述以成对交互为特征的系统很有用。网络上动力学过程的性质会受到底层拓扑结构的强烈影响[4]。

例子包括新闻传播[5]、谣言[6]、疾病[7]、财务困境[8]、在图表中随机行走[9-11]和雪崩[12,13]。在这些情况下，尽管样式化模型表面上很简单，但它们可以对系统的大规模动力学给出有意义的指示[7]，也有助于阐明网络拓扑的重要性[14]。例如，流行病传染模型（如SIS或SIR[15]）显示出显著不同的行为，这取决于它们在规则晶格或复杂网络上发生的情况。同样，金融网络中困境的传播[16–19]也严重依赖于金融机构之间的联系模式。特别是，目前尚不清楚单一拓扑结构是否对不同类型的冲击具有鲁棒性[20]或不具有鲁棒性[21,22]。金融机构以多种方式紧密联系在一起（例如所有权关系[23,24]、公共资产持有[25-27]、衍生品交易[28]、可能的套利机会[29]），通过这些方式，压力可以传播并导致放大现象，如违约级联。在这里，我们关注的是一层互联性，即与银行间贷款相关的互联性。为了应对流动性的波动，各银行以不同的期限持续相互借钱。因此，贷款人面临交易对手风险，即借款人可能违约，因此无法履行其义务的风险。这反过来可能会导致贷款人违约，导致进一步的困境。在有关金融传染的文献中，银行是以其资产负债表为代表的，资产负债表由具有正经济价值的资产（如贷款、衍生品、股票、债券、房地产）和具有负经济价值的负债（如客户存款、借记）组成。

i银行的资产负债表标识将其权益定义为其总资产和总负债之间的差异Li:Ei=Ai- 锂。一家拥有负资产的银行将无法偿还其债务人，即使假设它可以出售其所有资产。因此，负资产通常被认为是银行违约的良好代表。i银行向j银行发放的银行间贷款是i银行的资产，也是j银行的可变现资产。因此，贷款人和借款人之间的关系本质上是成对的，表示这种关系的一种方便方式是通过一个有向加权网络[30,31]，其中权重的边缘Aibij对应于从银行i到银行j的Aibij金额。我们将所有其他资产和负债称为外部资产和负债，并分别用Aeian和Lei表示它们（见图1）。*电子邮件：马可。bardoscia@gmail.com+电子邮件：f。caccioli@ucl.ac.uk——电子邮件：juanpool@gmail.com§电子邮件：吉安娜。vivaldo@imtlucca.it电子邮件：guido。caldarelli@imtlucca.itInterbank贷款衍生工具抵押债券的银行间负债客户存款的银行间网络资产负债表银行的银行间贷款图。1.银行间网络和资产负债表。银行间网络的一部分草图和银行资产负债表的样式化表示，突出显示银行间资产和负债。资产和负债之间的区别在于权益。负资产通常被认为是银行违约的良好代表。银行间网络的研究已经引起了相当大的关注，也因为它的实际重要性。两种被广泛认可的量化金融传染损失的算法是Fur Fine算法[12,32]和DebtRank[33–39]。前者本质上是一个阈值模型，根据该模型，银行只有在违约后才会向债权人传播困境。

相比之下，引入DebtRank正是为了解释在没有违约的情况下也会发生的冲击传播。为此，借款人权益的相对损失转化为相应贷款人银行间资产的相应贬值。这两种机制代表了两个极端。一方面，模糊算法可能会低估系统性风险的累积。另一方面，inDebtRank即使权益的微小变动（如每日市场波动产生的变动）也会对银行间资产的价值产生相当大的影响。由于现实情况可能介于这两个极端之间，因此本文提出了一个在这两个极端之间进行插值的模型，并将其用于对欧洲银行系统进行压力测试。我们将引入的模型称为非线性模型。本文的组织结构如下：在第二节中，我们指定了使用的模型，并在案例研究的背景下详细描述了其行为。在第三节中，我们讨论了我们的研究结果的主要含义，并从政策制定的角度指出了我们方法的一些局限性。我们将对所用数据的细节和算法推导感兴趣的读者参考第四节第二节。结果我们使用2008年至2013年欧洲上市银行资产负债表中的数据，对N=183家欧洲上市银行进行了压力测试（有关数据的详细说明，请参见“材料和方法：数据”一节）。

由于双边风险敞口的数据尚未公开，我们采用重建技术来推断合理值[40,41]，并针对给定的连通性p值，每年抽样100个银行间网络实例，定义为重建边数除以可能边数（N（N））- 1） ）（有关数据重建的更多详细信息，请参见“材料和方法：数据”一节）。压力测试包括对系统施加初始外部冲击，并根据由此产生的股权损失来衡量其反应。从风险管理的角度来看，相关数量是银行i在时间t:hi（t）=Ei（0）的相对权益损失- Ei（t）Ei（0）。（1） 总水平上的相应数量为总相对权益损失：H（t）=PNi=1Ei（0）- Ei（t）PNi=1Ei（0）=NXi=1hi（t）Ei（0）PNj=1Ej（0）！。（2） 在金融传染的背景下，最初的外生冲击相当于外部资产的相对贬值，这与初始条件hi（1）的设定相对应（参见“材料和方法：模型动力学”一节）。如果银行不持有任何银行间资产，它们将不会产生任何额外的股权损失，其最终股权损失将为00。20.40.60.810 0.2 0.4 0.6 0.8 1pDj（t）hj（t）林博士：α=0非林博士：α=1非林博士：α=4精细：α→ ∞图2。不同算法的比较。违约概率pDj（t）作为不同算法的相对权益损失hj（t）的函数。非线性DebtRank在Fur Fine算法和非线性DebtRank之间插值。只相当于外部资产的贬值。相比之下，假设i银行向jand银行发放贷款，因此持有相应的银行间资产AIBij。如果j银行遭受股权损失，其违约概率将增加，因此其能够全额偿还贷款的概率将降低。

i银行将通过降低银行间资产的价值（即资产负债表中的资产将按市值计价）来考虑未全额偿还的可能性。然而，随着银行间资产价值的降低，i银行的权益也将减少相同的金额。i银行的贷款人现在将向i银行重新评估其银行间资产，使用i银行向j银行重新评估其银行间资产时使用的相同机制。因此，银行间资产和股权的重新评估过程从借款人到贷款人不断进行，直到趋同。正如我们在“材料和方法：模型动力学”一节中所展示的，包括上述银行间资产递归重新评估在内的相对权益损失的动力学方程如下：hi（t+1）=min1，hi（t）+Xj∧ijpDj（t）- pDj（t）- 1), （3） 式中，pD（t）是银行j在时间t的违约概率，∧ij=AIBij/Ei（0）是银行间杠杆矩阵。为了完全定义迭代图（3），我们需要建立pDj（t）和hj（t）之间的关系。在Fur Fine算法的情况下，只有当权益小于或等于零时，违约概率才等于一，否则等于零，而在线性债务秩pDj（t）=hj（t）中。这里，我们通过引入以下函数形式来采取一种实用的方法：pDj（t）=hj（t）eα[hj（t）-1] ，（4）其中α是自由参数。这种方法虽然是“现象学的”，即（4）旨在对冲击如何传播进行有效描述，但有几个优点。它取决于一个单一的参数，这个参数具有很强的财务意义：它与银行开始向债权人传播债务的典型相对权益损失相反。

因此，1/α可以解释为软阈值：小于1/α的损失对银行违约概率的影响可以忽略不计。因此，从业人员和监管机构应调整α值，以便对每家银行的违约概率进行校准（原则上也是不同的）。估计它超出了本文的范围。然而，我们将通过探索模型asaα函数的行为来进行敏感性分析。此外，（4）导致违约概率相对于权益是凸的（见图2），这是他们的预期行为。事实上，借款人权益的微小波动合理地触发了贷款人违约概率的微小变化，而当借款人遭受更大损失时，对贷款人的边际影响可能是巨大的。最后，（4）可以很容易地在两个最广泛使用的传染模型之间进行插值：线性DebtRank（针对α=0进行恢复）和Fur Fine算法（针对α进行恢复）→ ∞.在图2中，我们为这些情况绘制了违约概率作为相对权益损失函数的曲线。[36,39,42]已经强调了银行间杠杆矩阵在危机传播中的重要性，指出系统的稳定性由其最大特征值决定。同样在我们的例子中，使用[43]中讨论的一般框架，很容易证明如果λmaxeα<1，即如果α>logλmax，系统是稳定的，其中λmaxe是银行间杠杆矩阵∧的最大特征值。我们的压力测试包括假设外部资产的贬值系数为XShock（相当于pshock的一小部分银行）。

所有呈现的结果均在网络样本和初始冲击组上取平均值。20.40.60.811.20103050AS，D，HtSDH00。20.40.60.811.20103050BS，D，HtSDH00。20.40.60.811.20103050CS，D，HtSDHFIG。3.揭示冲击随时间的传播。压力银行S（t）（蓝线）、违约银行D（t）（红线）和H（t）（紫线）的比例，系统经历的总相对权益损失，作为冲击传播时间t的函数。银行的外部资产受到冲击，其相对损失等于xshock=0.5%。所有点在100个重建网络的样本上进行平均，这些网络的连通性p=0.05，与2008年的平衡表兼容，并且在10个实现的冲击中，每个银行的冲击概率pshock=0.05。错误条跨越三个标准错误。A组中的α=0，算法简化为线性DebtRank，B组中的α=1，C组中的α=2。我们看到，在A组和C组中，动力学在几个时间步内分解，而B组中则需要更多的时间步（样本中的每个网络实现了10个这样的集合）。因此，对于每一个实现，我们都会对pshock·N银行进行单独的冲击。每一家受到冲击的银行都提供了外部资产的初始损失：AEi（1）=xshockAEi（0）（请参见“材料和方法：模型动力学”一节）。第一个分析集中在最关键的年份：2008年。在图3中，我们展示了初始冲击的影响，因为它在网络中的传播随着时间的推移而消失。更详细地说，图3显示了S（t），压力银行的比例，D（t），违约银行的比例，以及H（t），系统经历的总相对权益损失。有压力的银行是那些经历过股权损失但尚未违约的银行。

时间t的违约银行是指hi（t）=1的银行。从左到右，曲线图分别对应于α=0、α=1和α=2。所有委员会都认同压力银行和违约银行的定性行为。当违约开始发生时，压力大的银行在第一时间阶段急剧增加，然后减少。这与压力即使在没有违约的情况下也会传播的事实是一致的。然而，α的明显依赖性出现了。最显著的特点是，系统达到稳定状态的时间尺度是α的非单调函数。事实上，在A组和C组中，在前20个时间步之前都达到了收敛，而在B组中，动力学更低。这种现象可以直观地理解为：α与银行在传播冲击之前需要达到的相对股权损失价值的软阈值有关。这种阈值在线性条件下为零，在强非线性条件下接近1（α） 1). 在第一种情况下，冲击通过网络迅速传播，而在第二种情况下，冲击很容易被抑制。在中间阶段，应力的累积是逐渐发生的。尽管如此，总相对权益损失仍然可以达到与线性情况下相当的值（见A和B组）。接下来，我们将全面描述稳态。图4显示了H的曲面图∞, 对于网络连通性p=0.05和不同的pshock选择，作为α和xshock函数的稳定状态下的总相对权益损失。为了有意义地比较不同pshock值的结果，我们调整了XSHOCKSPAN的范围，以便在所有考虑的情况下，影响系统的总冲击pshock·xshocka范围相等。让我们从关注H的行为开始∞作为α的函数，用于xshock的固定值。