基于前向和后向约束的二次风险最小化

（最优解的存在性）根据[14，命题5.4]中类似的论点，我们可以证明（2.7）中定义的ψ在B上是凸的，这是由于mTandφ的凸性和状态方程（2.8）的线性。因为)ψ（y，α，β）>xy>-∞ 对于所有（y，α，β）∈ 频带)ψ（0,0,0）=Ehc2ai<∞, 此外，通过φ和Fatou引理的非负性和半连续性，我们得出结论，在B上^ψ是下半连续的。最后，利用它的等轴测，我们可以证明^ψ是强制的（即ψ（y，α，β）→∞ 作为k（y，α，β）k→ ∞). 因此，对偶问题解的存在性由[7，第2章，命题1.2]保证，也就是说，存在一些（^y，^α，^β）∈ B使得inf（y，α，β）∈B~ψ（y，α，β）=ψ（y，α，β）∈ R.给定对偶最优解（^y，^α，^β），我们可以应用定理9构造问题（2.5）的最优控制^π，这证明了原问题解的存在性。直接证明主要问题的解的存在性更困难，但也是可以实现的，因为需要证明在逐点控制约束下所有可复制终端财富集的封闭性，有关详细讨论，请参见[4]（也可参见[5]）。3.主要结果在本节中，我们推导了原问题和对偶问题的必要和有效最优性条件，并通过相应的FBSDE证明了最优解之间的联系。为了突出主要结果并简化讨论，我们在第5节中保留了所有定理的顶部。给定任意容许控制π∈ A和未知过程p中关联伴随方程SDE（2.3）的解Xπ∈ S（0，T；R）和q∈ H（0，t；RN）是以下线性BSDE（dp（t）=[-r（t）p（t）+Q（t）X（t）+S′（t）π（t）]dt+Q′（t）dW（t）p（t）=-aXπ（T）- c、 （3.1）从[16，定理6.2.1]我们知道BSDE（3.1）存在唯一解（p，q）。

我们现在陈述原始问题的必要和充分条件。定理3。（原始问题和相关的FBSDE）让^π∈ A.那么对于原始问题，当且仅当FBSDE的解（X^π，p，q）是最优的dX^π（t）=r（t）X^π（t）+^π′（t）σ（t）θ（t）dt+^π′（t）σ（t）dW（t）X^π（0）=xd^p（t）=-r（t）^p（t）+Q（t）X^π（t）+S′（t）^π（t）dt+^q′（t）dW（t）^p（t）=-aX^π（T）- c（3.2）满足条件^π′- π′h^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）i≥ 0（3.3）代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]和π∈ K.评论4。如果知道最优控制^π，很容易找到最优财富过程x^π，伴随过程（^p，^q）as（3.2）是给定^π的解耦线性FBSD E。使用（3.2）和（3.3）找到最优控制^π是一件非常困难但最有趣的事情，这与完全耦合约束线性FBSDE的可解性有关。从备注2中，我们知道约束的FBSDE（3.2）和（3.3）存在一个解（X^π，p，q）。这是一个如何找到解决方案的挑战。如果K=RN，则条件（3.3）变成^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）=0。如果我们进一步假设R（t）为正定义，R（t）-1是一致有界的，那么我们可以将最优控制^π（t）代入FBSDE（3.2）中，得到一个具有随机系数的完全耦合线性FBSDE，有关线性FBSDE可解性的讨论，请参见[20]。给定任何容许控制（y，α，β）∈ 解Y（Y，α，β）到SDE（2.8），未知过程中的关联伴随方程p∈ S（0，T；R）和q∈ H（0，t；RN）是下列线性BSDEdp（t）=[r（t）p（t）+q′（t）θ（t）]dt+q′（t）dW（t）p（t）=-Y（Y，α，β）（T）+ca（3.4）从[16，定理6.2.1]中，我们知道BSDE（3.4）存在唯一解（p，q）。

为了得到必要条件，我们需要在最优对偶控制过程（α，β）中对φ施加以下假设。假设5。设（α，β）为可容许控制。然后就有了aZ∈ P（0，T；R）满足E[RT|Z（T）|dt]<∞ 安德兹（t）≥φ（t，^α（t）+εα（t），^β（t）+εβ（t））- φ（t，^α（t），^β（t））ε（3.5）表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]和ε∈ （0，1）.备注6.以下是对假设5.1的几点评论。条件（3.5）是一个技术条件，确保人们可以应用单调收敛定理，并通过期望和积分为ε的极限↓ 0，用于证明（3.7）中的第二和第三个关系，参见第5节定理7的证明。[3，假设1.2]中对主要问题的数据使用了类似的假设。2.如果K=RN，S（t）=0，Q（t），R（t）为正定义，且其逆一致有界，则φ（t，α，β）=Q（t）-1α+β′R（t）-1β. 如果Zis选择beZ（t）：=Q（t），则条件（3.5）成立-1^α（t）α（t）+^β′（t）R（t）-1β（t）+Q（t）-1α（t）+β′（t）R（t）-1β（t）。如果Q（t）=0，S（t）=0，R（t）=0，那么对于对偶问题，α（t）=0。我们可以在φ的表达式中去掉α，它成为K的支撑函数，即φ由φ（t，β）=δ（β）：=supπ给出∈Kπ′β。如果我们进一步假设K是一个有界集，那么如果选择Z为Z（t）=δ（β（t），则条件（3.5）成立。然而，如果K是无界的，那么假设5可能不成立，我们不能使用单调收敛定理来证明（3.7）。可能需要使用其他方法，进一步讨论请参见备注13。我们现在陈述对偶问题的必要条件和充分条件。定理7。

（对偶问题和相关的FBSDE）Let（^y，^α，^β）∈ B满足假设5。然后（y，α，β）对对偶问题是最优的当且仅当解（y（y，α，β），p，q）ofFBSDEdY（y，α，β）（t）=hα（t）- r（t）Y（^Y，^α，^β）（t）idt+hσ-1（t）^β（t）- ^Y，^α，^β）（t）i′dW（t）Y（^Y，^α，^β）（0）=^yd^p（t）=[r（t）p（t）+^q′（t）θ（t）]dt+^q′（t）dW（t）p（t）=-Y（Y，α，β）（T）+ca（3.6）满足条件^p（0）=x，[σ′]-1（t）^q（t）∈ K^p（t），[σ′]-1（t）^q（t）∈ φ（α（t），β（t）），（3.7）表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。备注8。与备注4类似的讨论适用于此处。如果知道最优控制（^y，^α，^β），很容易找到最优对偶过程y和伴随过程（^p，^q），因为（3.6）是给定的解耦线性FBSDE（^y，^α，^β）。使用（3.6）和（3.7）找到最优控制（^y，^α，^β）要困难得多，但最有趣的是。如果K=RN，S（t）=0和Q（t），R（t）是正定义，那么从备注6中可以看出，φi是α和β的二次函数，我们可以根据伴随过程和Q写出最优控制，我们现在可以描述原始问题的最优投资组合和财富过程的动态关系，以及对偶问题的伴随过程，反之亦然。定理9。（从对偶问题到原问题）假设（y，α，β）是对偶问题的最优解。允许Y（Y，α，β），p，q是满足FBSDE（3.6）和条件（3.7）的相关流程。定义π（t）：=σ′-1（t）^q（t），t∈ [0，T]。（3.8）则^π是初始财富为x的原始问题的最优控制。

最优财富过程和相关伴随过程由下式给出：X^π（t）=^p（t），^p（t）=Y（^Y，^α，^β）（t），^q（t）=σ-1（t）^β（t）- θ（t）Y（^Y，^α，^β）（t）f或T∈ [0，T]。（3.9）备注10。定理9的关键好处是，如果可以解决对偶问题，那么可以使用（3.8）自动获得原始问题的最优控制^π。如备注4所述，通常很难直接使用（3.2）和（3.3）找到最优控制^π。第4.2节提供了一个例子来说明这一点。定理11。（从原始问题到对偶问题）假设^π∈ 对于初始财富为x的首要问题，A是最优的X^π，^p，^q是满足FBSDE（3.2）和条件（3.3）的相关流程。定义^y=^p（0），^α（t）=Q（t）X^π（t）+S′（t）^π（t），^β（t）=σ（t）[^Q（t）+θ（t）^p（t）]。（3.10）那么（y，α，β）是对偶问题的最优控制。最优对偶状态过程和相关伴随过程由下式给出：Y（Y，α，β）（t）=p（t），p（t）=X^π（t），q（t）=σ′（t）π（t）。（3.11）备注12。主要结果（定理3、7、9和11）可以推广到效用函数代替二次成本函数的效用最大化问题。它们的思想类似，但证明要复杂得多，因为效用函数仅定义在具有无界非李普希茨导数的正实线上，而二次函数定义在具有线性导数的整实线上。

作者有一篇单独的论文，通过极大值原理和FBS讨论了一般效用函数的原问题和对偶问题的动态关系，并将在其他地方发表结果。4带锥约束的二次风险最小化在本节中，我们考虑以下二次风险最小化问题：最小化J（π（·））=E斧头（T）,根据（X（·），π（·））是可容许的。（4.1）假设K 它是一个封闭的凸锥。对偶问题由最小化xy+E给出Y（T）2a+ EZTδ（β（t））dt（4.2）超过（y，β）∈ R×H（0，T；RN），其中Y满足SDE（2.8），α（T）=0，δ（β）=supπ∈Kπ′β，K的支持函数[14，命题5.4]指出，存在与最优状态过程相关联的非最优控制（^y，^β）到（4.2）。备注13。由于K是无界的，假设5可能不成立。利用δ的次可加性和正均一性，我们得到（见（5.9））EZTδ（β（t））- ^q′（t）σ-1（t）β（t）dt≥ 0.（4.3）设B:={（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：[σ′]-1（t）^q（t）∈ K} 。根据[10，引理5.4.2]，有e xi stsν∈ P（0，T；RN）使得|ν（T）|≤ 1和|δ（ν（t））|≤ 1和σ′-1（t）^q（t）∈ K<=> ν（t）=0，σ′-1（t）^q（t）6∈ K<=> δ（ν（t））- ^q′（t）σ-（P）的1（t）ν（t）<0 Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。ν的存在确保了B的补集的测度为零Ohm ×[0，T]（否则与（4.3）相矛盾）。因此我们得出[σ′]-1（t）^q（t）∈ K代表（P Leb）-a.e.也可以直接证明（3.7）中的第三个关系。4.1随机系数情况我们得到以下结果。引理14。设（^y，^β）为对偶问题（4.2）的最优控制，^y为相应的最优状态过程。如果（P）的^Y（t）=0，那么^β（t）=0 Leb）-a.e.（ω，t）∈Ohm ×[0，T]。证据

将伊藤公式应用于^Y（t），我们得到d^Y（t）=-2r（t）^Y（t）+σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）′σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）dt+2^Y（t）hσ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）i′dW（t）。定义过程S（t）：=Zt^Y（S）[σ-1（s）^β（s）- θ（s）^Y（s）]′dW（s）。根据定理3的证明中类似的论证，我们知道∧S是鞅。考虑到^Y（T）2a的期望值，我们得到了E^Y（T）2a#：：=E^y2a+ EZT-r（t）^Y（t）a+σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）′σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）2adt.定义s et∏：=n（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：^Y（T）=0，^β（T）6=0o。我们一定有（P Leb）（π）=0，否则，我们可以在集∏上用0替换^β（t），并在∏的补上保持相同的^β（t），这样我们得到的对偶值就严格小于处处使用^β（t）的对偶值，这与^β（t）的最优性相矛盾。设^β（t）=^γ（t）^Y（t）表示t∈ [0，T]。然后^Y遵循SDEd^Y（t）=-r（t）^Y（t）dt+σ-1（t）γ（t）- θ（t）′^Y（t）dW（t）^Y（0）=^Y。因此，我们有^Y（t）=^Y^H（t），其中^H（t）：=expZt-r（s）-σ-1（s）^γ（s）- θ（s）′σ-1（s）^γ（s）- θ（s）ds+σ-1（s）^γ（s）- θ（s）′德国西部(s).设Γ满足线性SDEdΓ（t）=Γ（t）[-r（t）dt- θ′（t）dW（t）]，Γ（0）=1。根据定理9，同时注意到Γ（t）^p（t）是鞅，我们得到了p（0）=E[Γ（t）p（t）]=E“-Γ（T）^Y（T）a#=-^yE“Γ（T）^H（T）a#=x，这意味着^y=-xE“Γ（T）^H（T）a#。此外，我们还有^p（T）=Γ（T）-1E“-Γ（T）^Y（T）a英尺#=-^yΓ（t）-1E“Γ（T）^H（T）aFt#，表明t的p（t）6=0 p-a.e∈ [0，T]。假设x>0，那么^Y（t）<0和^p（t）>0T∈ [0，T]，P-a.e。

定义+（t）：=-^Y（t）^p（t）=-^p（t）^X（t），T∈ [0，T]。应用伊藤公式，我们得到dp+（t）=“-2r（t）P+（t）- P+（t）π′（t）^X（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）q（t）^X（t）+P+（t）π′（t）σ（t）σ′（t）π（t）^X（t）#dt+”-^q（t）^X（t）- P+（t）σ′（t）π（t）^X（t）#′dW（t），=h-2r（t）P+（t）-^ξ′+（t）（σ（t）θ（t）P+（t）+σ（t）∧+（t））idt+∧′+（t）dW（t），（4.4）式中∧+（t）：=-^q（t）^X（t）-P+（t）σ′（t）π（t）^X（t），^ξ+（t）：=^π（t）^X（t）。定义+（t，v，P，λ）：=v′Pσ（t）σ′（t）v+2v′[σ（t）θ（t）P+σ（t）∧]，H*+（t，P，λ）：=infv∈KH+（t，v，P，λ）。我们有vH+（t，^ξ+（t），P+（t），λ+（t））=2“P+（t）σ（t）σ′（t）π（t）^X（t）+σ（t）θ（t）P+（t）+σ（t）λ+（t）#=2”-σ（t）^q（t）^X（t）- σ（t）θ（t）^p（t）^X（t）#。回想一下，根据定理3，我们有[^π（t）- π] ′[^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）]≥ 0（4.5）代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm×[0，T]和π∈ K.根据定理11，^X（t）=^p（t）>0。将（4.5）的两边除以^X（t），我们得到[^ξ+（t）- ξ]′vH+（t，^ξ+（t），P+（t），λ+（t））≤ 0代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]和ξ∈ K.通过[7，命题2.2.1]，我们得出结论：*+（t，P+（t，∧+（t））=H+（t，^ξ+（t），P+（t，∧+（t））T∈ [0，T]，P- a、 e.（4.6）此外，根据[6，第52页，推论]，我们有0∈ P+（t）σ（t）σ′（t）^ξ+（t）+σ（t）[θ（t）P+（t）+∧+（t）]+NK（^ξ+（t）），T∈ [0，T]P-a.e.其中NK（x）：={P∈ RN:p′（x）*- 十）≤ 0,  十、*∈ K} ，K在x处的法锥∈ K、 对于所有p∈ NK（x），因为K是一个圆锥体，通过选择x*= 2x和x*=x、 我们有p′x≤ 0和-p′x≤ 0，这表示p′x=0。因此，ξ′+（t）P+（t）σ（t）σ′（t）ξ+（t）+ξ′+（t）σ（t）[θ（t）P+（t）+∧+（t）]=0。（4.7）将（4.7）代入（4.6），我们得到*+（t，P+（t）∧+（t））=^ξ′+（t）[σ（t）θ（t）P+（t）+σ（t）∧+（t）]T∈ [0，T]。（4.8）将（4.8）代入（4.4），我们得到P+是下列g非线性方程的解dP+（t）=-2r（t）P+（t）+H*+（t，P+（t，∧+（t））dt+λ′+（t）dW（t），P+（t）=a，P+（t）>0。T∈ [0，T]。（4.9）类似地，如果x<0，则t的^Y（t）>0和^p（t）<0∈ [0，T]，P-a.e。

定义-（t） ：=-^Y（t）^p（t）=-^p（t）^X（t），T∈ [0，T]。用类似的方法，可以证明P-是以下非线性问题的解决方案数据处理-（t） =-2r（t）P-（t） +H*-（t，P-（t） ，λ-（t） )dt+∧′-（t） dW（t），P-（T）=a，P-（t） >0，T∈ [0，T]。（4.10）其中-（t，v，P，λ）：=v′Pσ（t）σ′（t）v- 2v′[σ（t）θ（t）P+σ（t）∧]，H*-（t，P，λ）：=infv∈KH-（t，v，P，∧）。我们发现（4.9）和（4.10）是[8]中介绍的扩展SRE。通过对偶方法，我们得到了最优状态和伴随过程的SREsin项的唯一解的显式表示。最后，根据定理9，我们得出结论，原始问题的最优解由^π′（t）=[σ′]-1（t）^q（t），^X（t）=^p（t）=-^Y（t）{x>0}P+（t）+{x<0}P-（t）.备注15。如果K=RN，那么我们必须有最优控制^β（t）=0，这导致t的^γ（t）=0和^H（t）=Γ（t）∈ [0，T]a.e.条件（4.5）与^p（T）θ（T）+^q（T）=0相等。将^p（t）和^q（t）b替换为p+（t），∧+（t）和^ξ+（t），我们得到σ′（t）^ξ+（t）+θ（t）+∧+（t）p+（t）=0。BSDE（4.4）（或（4.9））变成SDP+（t）=-2r（t）P+（t）+2θ′（t）λ+（t）+θ′（t）θ（t）P+（t）+∧′+（t）λ+（t）P+（t）dt+∧′+（t）dW（t），这是在[22]中引入的SRE。利用对偶方法，我们得到了SRE唯一解的一个明确表示。4.2确定性系数假设K Rn是一个闭凸锥，r，b，σ是确定性函数，a>0是常数。在这种情况下，对偶问题可以写成最小化xy+EY（T）2a超过（y，β）∈ R×H（0，T；RN）和d Y满足SDE（2.8），α（T）=0和β（T）∈ Kfor t∈ [0，T]a.e.，其中K:={β：β′π≤ 0, π ∈ K} ，K的极锥。我们分两步解决上述问题：第一步，fix y，找到最优控制^β（y）；第二，找到最佳的^y。

然后我们可以显式地构造最优解。第一步：考虑相关的HJB方程：（vt（s，y）- r（s）yvy（s，y）+infβ∈K0 |σ-1（s）β- θ（s）y | vy（s，y）=0，v（T，y）=y，（4.11）对于每个（s，y）∈ [t，t]×R.（4.11）中的限定词可以明确地写成1。如果y=0，那么获得这个infβ就很简单了∈K |σ-1（s）β- θ（s）y |=infβ∈K |σ-1（s）β|=0.2。如果y>0，那么我们有infβ∈K |σ-1（s）β- θ（s）y |=yinfβ∈Kσ-1(s)βy- θ（s）= yinfy′β∈Kσ-1（s）β- θ（s）= y |σ-1（s）β+（s）- θ（s）|，其中β+（s）：=arg minβ∈K |σ-1（s）β- θ（s）|3。如果y<0，那么同样我们有infβ∈K |σ-1（s）β- θ（s）y |=yinfβ∈Kσ-1（s）βy- θ（s）=yinf′β∈Kσ-1（s）－β+θ（s）=y |σ-1（s）β-（s） +θ（s）|，其中β-（s） ：=arg minβ∈K |σ-1（s）β+θ（s）|。定义σ（s，y）：=σ-1（s）β+（s）- θ（s），如果y>0σ-1（s）β-（s） +θ（s），如果y<00，如果y=0。HJB方程（4.11）变为悉尼威立雅酒店- r（s）yvy（s，y）+y |σ（s，y）| vy（s，y）=0，v（T，y）=y。根据费恩-曼-卡克公式，我们有v（T，y）=eY（T）| Y（T）=Y= 耶特[-2r（s）+|σ（s，Y（s））|]ds，其中随机过程Y遵循以下几何布朗运动dy（s）=-r（s）Y（s）ds+σ′（s，Y（s））Y（s）dW（s），Y（t）=Y。此外，由于Y遵循几何布朗运动，且符号（Y（s））=符号（Y），s∈ [t，t]，我们有σ（s，Y（s））=σ（s，Y），s∈ [t，t]。特别地，我们有v（0，y）=yeRT[-2r（s）+|σ（s，y）|]ds。