基于前向和后向约束的二次风险最小化

（4.12）第2步：考虑以下静态优化问题：infy∈Rxy+2av（0，y）（4.13）将（4.12）代入目标函数，得到问题（4.13）在^y=-阿克塞特[2r（s）-|σ（s），-x） |]ds。因此，我们得出结论，最优控制由β（t）给出=axeRTt[2r（s）-|σ（s），-x） |]dsβ-（t） ，如果x>0-axeRTt[2r（s）-|σ（s），-x） |]dsβ+（t），如果x<00，如果x=0。利用对偶最优控制（^y，^β），我们可以找到对偶FBSDE（3.6）和（3.7）的解（^y，^p，^q），然后应用定理9构造一个解（^X，^p，^q）到p边基（3.2）和（3.3）。此外，在这种情况下，我们可以将SRE（4.9）和（4.10）的解显式地构造为^P+（t）=^P-（t） =aeRTt[2r（s）+σ′s，-x） θ（s）]ds。（4.14）接下来，我们验证（4.14）确实是∧+（t）=0和∧的SRE（4.9）和（4.10）的解-（t） 分别=0。为此，我们考虑x>0和y<0的情况。根据定理9，我们有^X（t）=^p（t），T∈ [0，T]，a.e.因此，^X（T）=e-Γ（T）Y（T）aΓ（T）英尺= -Y（t）aEΓ（T）Y（T）Γ（T）Y（T）英尺, （4.15）其中Γf遵循SDEdΓ（t）=Γ（t）[-r（t）dt- θ′（t）dW（t）]，T∈ [0，T]，Γ（0）=1。应用伊藤引理，我们得到了Γ（t）Y（t）=[-2r（t）- θ′（t）σ（t，y）]y（t）Γ（t）dt- [σ′（t，y）+θ′（t）]y（t）Γ（t）dW（t）。（4.16）结合（4.15）和（4.16），我们有^X（t）=-Y（t）阿尔特[-2r（s）-θ′（s）σ（s，y）]ds。再次应用伊藤引理，我们得到了SDEd^X（t）=[r（t）^X（t）+θ′（t）σ（t，y）^X（t）]dt+σ′（t，y）^X（t）dW（t）。（4.17）比较（4.17）和（2.3），我们得出结论：^π′（t）=σ′（t，y）σ-1（t）^X（t），这意味着^ξ′+（t）=^π′（t）^X（t）=σ′（t，y）σ-1（t）。

（4.18）将（4.18）替换回（4.8），我们有*（t，P+（t），∧+（t））=σ′（t，y）θ（t）P+（t）。取x<0，按照同样的步骤，我们得到*（t，P-（t） ，λ-（t） ）=σ′（t，y）θ（t）P-（t） 。因此，我们得出结论：^P+（t）和^P-（t） （4.14）中定义的确实是SRE s（4.9）和（4.10）的解决方案。5主要结果的证明在本节中，我们在第3节中给出了主要结果的证明。定理3的证明。由于成本函数J是凸的，根据[7，命题2.2.1]，^π最优的一个必要且有效的条件是hj′（^π），^π- πi≤ 0, π ∈ A、 （5.1）式中，J′（π）是J在π处的G^ateaux方向性，可显式计算为（2.3）是线性SDE，J是一个q值泛函。最优性条件（5.1）可以写为ZTQ（t）X^π（t）X^π（t）- Xπ（t）+ S′（t）π（t）X^π（t）- Xπ（t）+ （π（t）- π（t）X^π（t）+^π′（t）- π′（t）R（t）^π（t）dt+haX^π（T）+ciX^π（T）- Xπ（T）≤ 0，（5.2）表示所有π∈ A.将伊藤公式应用于X^π（t）^p（t），我们得到了（X^π（t）^p（t））=h^p（t）π′（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）q（t）X^π（t）+s′（t）X^π（t）idt+h^p（t）π（t）idt+h^p（t）πq（t）idt）。（5.3）将过程定义为：S（t）：=Zt^p（s）^π′（s）σ（s）+^q′（s）X^π（s）德瓦(s),0≤ T≤ 显然，~S是一个局部鞅。为了证明∧S是真鞅，有必要证明Ehsup0≤s≤T|S（S）|i<∞. 根据Burkholder-Davis-Gundy不等式[9，定理3.3.28]，有必要验证ZT[|p（s）π′（s）σ（s）|+|q（s）X^π（s）|]ds< ∞.注意，从[13，推论2.5.10]中，我们得到了X^π∈ S（0，T；R）。与P结合∈ S（0，T；R）和q∈ H（0，t；RN）通过H¨oder不等式，我们得到了ZT[|p（s）π′（s）σ（s）|+|q（s）X^π（s）|]ds≤ Esup0≤s≤T|p（s）|ZT|π′（s）σ（s）|ds+sup0≤s≤T | X^π（s）| ZT | q（s）| ds！≤E“sup0≤s≤T|p（s）|#EZT|π′（s）σ（s）|ds+E“sup0≤s≤T | X^π（s）|#+EZT|^q（s）|ds< ∞,这意味着∧S是真鞅。

取X^π（T）^p（T）的期望，我们得到了X^π（T）^p（T）i=X^p（0）+EZT^p（t）π′（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）q（t）（5.4）+q（t）Xπ（t）+S′（t）Xπ（t）π（t）dt同样地，将伊藤公式应用于Xπ（t）^p（t）并取期望值，我们得到E[Xπ（t）^p（t）]=X^p（0）+EZT^p（t）π′（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）^q（t）（5.5）+q（t）X^π（t）Xπ（t）+S′（t）Xπ（t）π（t）dt结合（5.2），（5.4）和（5.5），我们得到^π∈ A是原问题的最优控制当且仅当ifEZT^π′（t）- π′（t）h^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）idt≥ 0（5.6）表示所有π∈ A.定义哈密顿函数H：Ohm ×[0，T]×R×RN→ R asH（ω，t，x，π）：=π′^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）x+R（t）π定义集值映射F：Ohm ×[0，T]→ K asF（ω，t）：=nπ∈ K:^π′（t）- π′Hπω、 t，X^π（t），^π（t）≥ 0o。那么F是一个可测量的集值映射，参见[1，定义8.1.1]。给定π∈ K、 定义集合BπasBπ：=n（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：^π′（t）- π′Hπ（t，X^π（t），^π（t））<0o。根据[1，定理8.14]，Bπt∈ FTT∈ [0，T]。定义一个适应的控制π：Ohm ×[0，T]→ K为π（ω，t）：=πif（ω，t）∈ Bπ^π（ω，t），否则。假设（P Leb）（Bπ）>0，那么ZT[^π′（t）- ~π′（t）]Hπ（t，X^π（t），^π（t））dt< 0，与（5.6）相矛盾。因此，我们得出结论（P Leb）（Bπ）=0表示任意fix edπ∈ 此外，由于K是可分的，我们得出结论，[^π′（t）- π′]Hπ（t，X^π（t），^π（t））≥ 0, π ∈ 驻科部队（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。定理7的证明。设（y，α，β）是对偶问题的最优解，且（y（y，α，β），p，q）满足（3.6）。Let（y，α，β）∈ B和Y（Y，α，β）满足SDE（2.8）。

将伊藤公式应用于^p（t）Y（Y，α，β）（t），我们得到了（^p（t）Y（Y，α，β）（t））=α（t）^p（t）+^q′（t）σ-1（t）β（t）dt+^q′（t）Y（Y，α，β）（t）+σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（Y，α，β）（t）′^p（t）dW（t）。根据与定理3的证明类似的论证，可以证明过程zth^q′（s）Y（Y，α，β）（s）+（σ-1（s）β（s）- θ（s）Y（Y，α，β）（s））′p（s）idW（s），0≤ T≤ T、 这是一个鞅。通过对^p（T）Y（Y，α，β）（T）的期望，我们得到了^p（T）Y（Y，α，β）（T）i=^p（0）Y+EZTα（t）^p（t）+^q′（t）σ-1（t）β（t）dt. （5.7）对于ε>0定义（yε，αε，βε）∈ B由（yε，αε，βε）=（y，α，β）+ε（y，α，β）。然后y（yε，αε，βε）（t）=y（y，α，β）（t）+εy（y，α，β）（t）。因为（y，α，β）是最优的，所以我们有εhψ（yε，αε，βε）- ψ（^y，^α，^β）i≥ 0.将（2.7）代入上述不等式，同时注意^p（T）=-Y（Y，α，β）（T）+ca，我们得到yx- EY（Y，α，β）（T）^p（T）+ εE“Y（Y，α，β）（T）2a#+εEZThφ（αε（t），βε（t））- φ（α（t），β（t））idt≥ 0.（5.8）将（5.8）与（5.7）结合，然后让ε↓ 0，我们有（x- ^p（0））+limε↓0EZT[~g（t，ε）- ^q′（t）σ-1（t）β（t）- α（t）^p（t）]dt≥ 式中，g（ω，t，ε）=ε（φ（t，αε（t），βε（t））- φ（t，α（t），β（t））。设α（t）=0，β（t）=0∈ [0，T]，我们得到（x- ^p（0））≥ 0, Y∈ R.因此，^p（0）=x。回想一下，（2.4）中的函数f是凸的，集合K是凸的，根据[17，定理26.3]，φ在（^α（t），^β（t））的任何方向（p Leb）a.e.onOhm ×[0.T]。

自ε→ ~g（ω，t，ε）是一个非减量函数，假设5和单调收敛定理表明ZThφot、 α（t），β（t）；α（t），β（t）- ^q′（t）σ-1（t）β（t）- α（t）^p（t）idt≥ 0（5.9），其中φoω、 t，α，β；α, β:= limε↓0φ（t，^α+εα，^β+εβ）- φ（t，α，β）ε。对于（α，β）∈ R×RN，d定义集合B（α，β）asB（α，β）：=n（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：φoα（t），β（t）；α, β- ^q′（t）σ-1（t）β- α^p（t）<0o。使用与定理3的证明类似的论证，我们得出结论：B（α，β）t∈ Ftfort∈ [0，T]和（P Leb）（B（α，β））=0表示所有（α，β）∈ R×RN。等价地，给定任何（α，β）∈ R×RN，φoα（t），β（t）；α, β- ^q′（t）σ-1（t）β- α^p（t）≥ 0，代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。此外，根据sp ace RN+1的可测性，我们得出结论φoα（t），β（t）；α, β- ^q′（t）σ-1（t）β- α^p（t）≥ 0, (α, β) ∈ R×RNfor（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。根据克拉克广义梯度[6，第2章]的定义，上述条件可以写成^p（t），[σ′]-1（t）^q（t）∈ φ^α（t），^β（t）.根据[17，定理23.5]，我们得出结论：x^α（t）+π′β（t）-~f（t，x，π）在（^p（t），[σ′]处达到上限-1（t）^q（t））表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，这意味着[σ′]-1（t）^q（t）∈ K、 对于（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。我们已经证明了必要条件。Let（y，α，β）∈ B是对带有过程的对偶问题的一个不可容许的控制Y（Y，α，β），p，q满足FBSDE（3.6）和条件（3.7）。定义哈密顿函数H：Ohm ×[0，T]×R×RN→ R asH（ω，t，α，β）=^q′（t）σ-1（t）β+α^p（t）- φ（t，α，β）。根据条件（3.7）和对偶定理的经典结果，我们得到了（0，0）∈ H^α（t），^β（t）, （5.10）对于（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。给定任何容许控制（y，α，β）∈ B、 定义y=y- ^y，~α=α- ^α,~β = β -^β.设Y（Y，α，β）和Y（~Y，~α，~β）是满足SDE（2.8）的关联态过程。

根据对偶问题的定义，也注意到mt是一个凸函数，我们有ψ（y，α，β）- Ψ^y，^α，^β≥~yx+E“Y（~Y，~α，~β）（T）Y（^Y，^α，^β）（T）+ca+EZThφ（t，α（t），β（t））- φ（t，α（t），β（t））idt.置换（^y，^α，^β）+cawith-在上述不等式中，我们有ψ（y，α，β）- Ψ^y，^α，^β≥~y（x）- ^p（0））+EZTh^q′（t）σ-1（t）~β（t）- ■α（t）^q（t）idt+ EZThφ（t，α（t），β（t））- φ（t，α（t），β（t））idt=EZTh-H（t，α（t），β（t））+H（t，α（t），β（t））idt.根据条件（5.10）和H的凹度，我们得出以下结论：ψ\'y，\'α，\'β- Ψ^y，^α，^β≥ 0.自（y，α，β）∈ B是任意的，我们已经证明了充分条件。定理9的证明。假设（y，α，β）∈ B是对偶问题的最优解。根据理论7，这个过程Y（Y，α，β）（t），p（t），q（t）求解双重FBSDE（3.6）和满足条件（3.7）。分别定义（3.8）和（3.9）中的^π（t）和（X^π（t）、^p（t）、^q（t）。根据Orem 7和条件（3.7），我们有^π（t）∈ K P-a.s.和X^π（t），^π（t）∈ φ^α（t），^β（t）.对偶理论的经典结果暗示^α（t），^β（t）∈ ~fX^π（t），^π（t）.回想一下，f（ω，t，x，π）=f（ω，t，x，π）+ψK（π），我们可以得到^α（t）=Q（t）x^π（t）+S′（t）π（t），（5.11）β（t）∈ S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）+ΦK（π（t））（5.12）对于（P） Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。结合（3.8），（3.9）和（5.11），我们得到X^π，^p，^q求解原始FBSDE（3.2）。此外，结合（3.9）和（5.12）给出了条件（3.3）。利用定理3中关于最优性的充分条件，我们得出结论：^π确实是原始问题的最优控制。定理11的证明。假设^π∈ A是原p问题的最优控制。根据定理3，p过程X^π（t），^p（t），^q（t）求解FBSDE（3.2）和满足条件（3.3）。

定义（y，α（t），β（t））和（y，y，α，β）（t），p（t），q（t））分别如（3.10）和（3.11）所示。将它们代入原始FBSDE（3.2），我们得到Y（Y，α，β），p，q满足双重FBSDE（3.6）。通过（3.10）和（3.11）中的构造，满足了（3.7）中的前两个条件。此外，根据条件（3.3）和H的凹度，我们得到了^β（t）∈ π∧fX^π（t），^π（t）.因此，我们^α（t），^β（t）∈ ~fX^π（t），^π（t）,这相当于（3.7）中的第三个条件。根据定理7，我们得出结论^y，^α，^β实际上是对偶问题的最优控制。6结论本文讨论了具有随机市场系数的连续时间约束二次风险最小化问题。根据凸对偶方法，我们根据FBSDEPLUS附加条件，导出了原问题和对偶问题的必要和有效最优性条件。我们在原始问题和对偶问题之间建立了一种明确的联系，即它们相关的前后向系统。我们证明了原问题和对偶问题的最优控制可以写成相应的伴随过程的函数。此外，我们还发现这两个问题的最优状态过程都与对应问题的最优伴随过程有关。我们用对偶方法求解锥约束二次风险最小化问题。我们将文献中介绍的扩展SRE的解从对偶问题的最优解中恢复，并在系数确定时找到扩展SRE的闭式解。还有很多悬而未决的问题。

例如，结果是否可以推广到不完全市场模型（不是本文中的完整市场模型）？对于有界控制集K（不是锥）这个对偶问题可以解决吗？能找到具有随机系数（非确定性系数）的一元和对偶FBSDE的解吗？我们将这些突出问题留在未来的工作中。致谢。作者感谢三位匿名评论者，他们的建设性意见和建议帮助改进了前一版本的论文。参考文献[1]J-P.Aubin和H.Frankowska，集值分析，Birkh–auser，1990。[2] J.M.Bimit，《最优随机控制中的共轭凸函数》，J.数学。肛门。应用程序。，44（1973），第384-404页。[3] A.Cadenilas和I.Karatzas，具有随机系数的线性凸最优控制的随机最大值原理，SIAM J.控制优化。，33（1995），第590-624页。[4] C.Czichowsky和M.Schweizer，《凸约束下均值-方差套期保值中的凸对偶》，在应用中发表。Probab。，44（2012），第1084-1112页。[5] C.Czichowsky，N.Westray和H Zheng，《半鞅拓扑和约束投资组合的收敛》，Seminaire de Probabilities，XLIII（2011），第395-412页。[6] F.H.Clarke，《优化与非光滑分析》，暹罗，1990年。[7] I.Ekeland和R.Tamam，《凸分析和变分问题》，暹罗，1987年。[8] 胡耀永和侯耀忠，具有随机系数的约束随机lq控制，及其在投资组合选择中的应用，暹罗J.控制优化。，44（2005），第444-446页。[9] I.Karatzas和S.E.Shreve，《布朗运动与随机微积分》，斯普林格，1998年。[10] I.Karatzas和S.E.Shreve，《数学金融方法》，斯普林格，2001年。[11] D.Kramkov和W.Schach er mayer，效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资，Ann。阿普尔。Probab。，9（1999），第904-950页。[12] D。

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