基于前向和后向约束的二次风险最小化

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英文标题：
《Constrained Quadratic Risk Minimization via Forward and Backward
  Stochastic Differential Equations》
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作者：
Yusong Li and Harry Zheng
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we study a continuous-time stochastic linear quadratic control problem arising from mathematical finance. We model the asset dynamics with random market coefficients and portfolio strategies with convex constraints. Following the convex duality approach, we show that the necessary and sufficient optimality conditions for both the primal and dual problems can be written in terms of processes satisfying a system of FBSDEs together with other conditions. We characterise explicitly the optimal wealth and portfolio processes as functions of adjoint processes from the dual FBSDEs in a dynamic fashion and vice versa. We apply the results to solve quadratic risk minimization problems with cone-constraints and derive the explicit representations of solutions to the extended stochastic Riccati equations for such problems.
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中文摘要：
本文研究了数学金融学中的连续时间随机线性二次控制问题。我们用随机市场系数和带凸约束的投资组合策略对资产动态进行建模。根据凸对偶方法，我们证明了原问题和对偶问题的最优性的充要条件可以写成满足FBSDE系统和其他条件的过程。我们以动态方式明确地将最优财富和投资组合过程描述为对偶FBSDE伴随过程的函数，反之亦然。我们将这些结果应用于求解具有锥约束的二次风险最小化问题，并导出了这类问题的扩展随机Riccati方程解的显式表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Constrained_Quadratic_Risk_Minimization_via_Forward_and_Backward_Stochastic_Diff.pdf (262.96 KB)

2022-5-9 16:16:23 上传

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关键词：Minimization Quantitative Differential Mathematical Optimization

基于前向和后向随机微分方程的约束二次风险最小化*Harry Zheng+本文研究了一个由数学金融引起的连续时间随机线性二次控制问题。我们用随机市场系数和凸约束的投资组合策略对资产动态进行建模。遵循凸对偶方法，我们证明了原问题和对偶问题的必要和有效最优性条件可以写成满足BSDES系统和其他条件的过程。我们明确地将最优财富和投资组合过程描述为ADDynamic Fashion中对偶FBSDE伴随过程的函数，反之亦然。我们将这些结果应用于求解带锥约束的二次风险最小化问题，并导出了这类问题的扩展随机Riccati方程解的显式表示。关键词：凸对偶、原始和du al FBSDE、随机线性二次控制、随机系数、控制约束MS MSC2010:91G80、93E20、49N05、49N151简介本文研究一个由数学金融产生的随机控制问题。目标是在具有随机市场参数和投资组合约束的连续时间完全市场中，最小化在财富过程和投资组合策略中均为四次的凸成本函数。

这类问题在实际应用中自然会出现。我们假设投资组合必须在给定的闭凸集上取值，该闭凸集通常可以模拟卖空、借贷和其他交易限制，见[10]。关于随机线性二次（SLQ）最优控制及其在均值-方差投资组合选择问题上的应用，有大量文献，见[19,21]和其中的参考文献。在没有投资组合约束的情况下，利用随机最大值原理，可以通过将最优控制导出为状态的线性反馈控制，并证明所得到的随机riccati方程（SRE）解的存在唯一性，来求解SLQ问题。当不存在控制约束时，根据SR E的解构造的反馈控制是自动可接受的，参见[22]以获取该方法对具有随机系数但没有投资组合约束的问题的示例。当存在控制约束时，最优控制不再是状态的简单线性反馈控制，SRE方法变得更加困难和微妙。[8]展示了具有随机系数的约束SLQ问题的扩展SR E的可解性。对于凸SLQ问题，使用凸对偶方法也是很自然的，该方法已被广泛应用于解决数学函数中的效用最大化问题，*英国伦敦皇家学院数学系SW7 2BZ。电子邮件：y。li11@imperial.ac.uk+英国伦敦皇家学院数学系SW7 2BZ。电子邮件：h。zheng@imperial.ac.uksee[11,12]及其参考文献。

当没有控制约束且过滤是通过驱动布朗运动生成时，可以首先将原始动态优化问题转化为等效静态优化问题，然后制定并解决静态对偶问题，并利用对偶关系和鞅性质找到原始问题的最佳状态过程，最后，使用鞅表示定理找到一个复制的投资组合，这是一个最优控制过程。当存在控制约束时，对偶方法变得更加复杂。[10] 介绍并解决了一系列辅助无约束问题，并展示了其中一个解决了原始约束问题。[14] 应用凸对偶方法，受[2,18]的启发，求解一个具有随机系数和投资组合约束的均值-方差问题，证明了对偶问题的最优解的存在性，并用最优对偶解构造了最优财富过程，用鞅表示定理构造了最优投资组合过程。[4] 在一般半鞅条件下，给出了在凸约束下均值-方差套期保值的综合处理方法。它在某种平方可积意义下建立了交易约束下所有可复制终端财富集的封闭性，并随后建立了均值-方差对冲问题解的存在性，并扩展了其他作者之前获得的原始和对偶问题的结果，详见[4，第5.3节]。[15] 将[12]的结果推广到动力学环境，并证明了正倒向随机微分方程（FBSDE）的最优解和伴随过程之间的密切关系。

具体地说，它表明，最优原始财富和投资组合过程可以表示为对偶问题的最优伴随过程的函数，反之亦然。这说明了效用最大化中原问题和对偶问题的最优解之间的不透明关系，即给定对偶问题的解，原问题的最优控制只能从鞅表示定理中导出。[15]中没有控制约束，但资产价格过程是一个具有一定技术条件的一般半鞅过程。受[15]工作的启发，我们使用凸对偶方法来解决具有随机系数和控制约束的二次风险最小化问题。为了得到对偶问题的正确表达式，我们遵循[14]的方法，首先将原始问题转化为抽象空间中的静态问题，然后应用凸分析来证明其对偶问题，最后得到一个特定的对偶随机控制问题。结果表明，对偶问题有三个控制，一个对应于控制约束集，一个对应于运行成本函数，一个对应于无对偶间隙关系。通过使用FBSDE，我们获得了原始和对偶问题的必要和充分条件，这使我们能够以动态方式明确地将原始控制描述为来自对偶FBSDE的伴随过程的函数，反之亦然，类似于[15]中的那些。此外，我们还发现，最优原始财富过程与对偶问题的最优伴随过程一致，反之亦然。

据我们所知，这是第一次用相应的FBSDE系统的解明确描述具有控制约束的原问题和对偶问题的动力学关系。在建立了原问题和对偶问题的最优条件后，我们求解了一个带锥约束的二次风险最小化问题。我们不是直接攻击原问题，而是从对偶问题开始，然后从对偶问题的最优解构造原问题的最优解。此外，我们根据对偶问题的最优解给出了[8]中引入的扩展SRE的解的明确表示。如[8]所述，解决对偶问题的简单性与直接解决扩展SRE的技术复杂性形成了鲜明对比。此外，我们还证明了当系数是确定性的时，可以构造对偶问题的闭式最优解。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了模型，并按照[14]中的方法来描述原始问题和对偶问题。在第3节中，我们描述了原始问题和对偶问题的必要和有效的最优性条件，并通过FBSDE建立了它们之间的动态联系。在第四节中，我们讨论了带锥约束的二次风险最小化问题，并演示了如何从对偶FBSDE的解显式构造扩展SRE的解。在第5节中，我们证明了主要结果。

第6节结束。2.市场模型和原、对偶问题通过本文，我们用T>0表示固定终端时间，{W（T），T∈ [0，T]}完备概率空间上具有标量项Wm（T），m=1，··，N的RN值标准布朗运动(Ohm, F、 P），{Ft}过滤FWt=σ（W（s），0的P-增强≤ s≤t） 由W，P（0，t；RN）生成[0，t]×上所有RN值渐进可测过程的集合Ohm, H（0，T；RN）满足E[RT | x（T）| dt]的P（0，T；RN）中的过程x的集合<∞, S（0，T；RN）是P（0，T；RN）中满足E[sup0]的过程x的集合≤T≤T|xt|]<∞.我们为随机微分方程写SDE，为后向SDE写BSDE，为前向和后向SDE写FBSDE。我们也遵循习惯惯例，在SDE和积分中ω被抑制，除非在需要显式ω的地方。考虑一个由银行账户组成的市场，其价格{S（t）}给定比亚迪（t）=r（t）S（t）dt，0≤ T≤ T、 S（0）=1，（2.1）和N只股票的价格{Sn（T）}，N=1，···，N，由DSN（T）=Sn（T）“bn（T）dt+NXm=1σnm（T）dWm（T）#，0给出≤ T≤ T、 Sn（0）>0。（2.2）我们假设r∈ P（0，T；R）（标量利率），b∈ P（0，T；RN）（升值率向量）和σ∈ P（0，T；RN×N）（波动率矩阵）一致有界。我们还假设存在一个正常数k，使得z′σ（t）σ′（t）z≥ k | z |表示所有（z，ω，t）∈ RN×Ohm ×[0，T]，其中z′是z的转置。上述强非简并条件确保了矩阵σ（T），σ′（T）是可逆的且一致有界的。考虑一个初始财富x>0且具有自我融资策略的小投资者。定义一套可接受的投资组合策略：=π ∈ H（0，T；RN）：π（T）∈ K代表t∈ [0，T]a.e。,K在哪里 Rn是一个包含0的闭凸集，π是一个投资组合过程，其中每个πn（t）定义为n=1，N

给定π∈ A、 投资者的总财富Xπ满足SDEdXπ（t）=[r（t）Xπ（t）+π′（t）σ（t）θ（t）]dt+π′（t）σ（t）dW（t），0≤ T≤ T、 Xπ（0）=X，（2.3），其中θ（T）：=σ-1（t）[b（t）- r（t）1]是时间t时风险的市场价格，并且是与1的统一组合∈ 有所有的单位条目。一对（X，π）是可容许的，如果π∈ A和X是控制过程π的SDE（2.3）的astrong解。定义功能J:a→ R byJ（π）：=EZTf（t，Xπ（t），π（t））dt+g（Xπ（t））,其中f：Ohm ×[0，T]×R×RN→ R和g：Ohm ×R→ R定义为f（ω，t，x，π）：=Q（t）x+2S′（t）xπ+π′R（t）π,g（ω，x）：=ax+2cx.（2.4）我们假设随机变量a，c∈ L∞FT（R）满意度0<infω∈Ohma（ω）≤ supω∈Ohma（ω）<∞和过程Q∈ P（0，T；R），S∈ P（0，T；RN），R∈ P（0，T；RN×N）一致有界，R（T）是对称m矩阵，m矩阵Q（t）S′（t）S（t）R（t）是所有的非负定义（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。在这些假设下，我们知道J是π的凸泛函。我们考虑以下优化问题：最小化J（π）服从（X，π）容许。（2.5）如果J（^π），容许控制^π是最优的≤ J（π）表示所有π∈ 答：继[14]中介绍的应用程序roach之后，我们现在设置了双重问题。用b表示：=R×H（0，T；R）×H（0，T；RN）。我们写X∈ B当且仅当ifX（t）=x+Zt˙x（τ）dτ+Zt∧′x（τ）dW（τ），0≤ T≤ T、 对于某些（x，˙x，∧x）∈ B.我们现在将（2.5）重新表述为整个集合B上的原始优化问题≡ （x，˙x，∧x）∈ B、 定义（X）：={π∈ 对于˙X（t）=r（t）X（t）+π′（t）σ（t）θ（t）和∧X（t）=σ′（t）π（t）的suc hT∈ [0，T]，P- a、 e.}。集合U（X）包含所有可容许的控制π∈ A使X成为一个可接受的财富过程。

注意U（X）6= 当且仅当（˙X（t）∧X（t））∈ S（t，X（t））表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，其中S是由S（ω，T，x）定义的集值函数：={（v，ξ）：v=r（T）x+ξ′θ（T）和σ′-1（t）ξ∈ K} 。定义惩罚函数L：Ohm ×[0，T]×R×R×RN→ [0, ∞] byL（ω，t，x，v，ξ）=fω、 t，x，[σ′]-1（t）ξ+ ψS（ω，t，x）（v，ξ）与罚函数l:R→ [0, ∞] byl（x）=ψ{x}（x），其中ψU（U）是一个惩罚函数，如果U在集合U中且+∞ 否则为了X∈ B、 将成本函数定义为Φ（X）：=l（X）+E[g（X（T））]+EZTL（t，X（t），˙X（t），∧X（t））dt.注意Φ（X）=∞ 如果X（0）6=xor U（X）=. 问题（2.5）相当于将Φ（X）最小化到X∈ B.我们现在在集合B上建立对偶问题。定义以下凸共轭函数（y）：=supx∈R{xy- l（x）}，mT（ω，y）：=supx∈R{-xy- g（ω，x）}，M（ω，t，y，s，γ）：=supx，v∈R、 ξ∈RN{xs+vy+ξ′γ- L（ω，t，x，v，ξ）}，表示所有（ω，t，y，s，γ）∈ Ohm ×[0，T]×R×R×RN。每一天≡ （y，˙y，∧y）∈ B、 定义ψ（Y）：=m（Y）+E[mT（Y（T））]+EZTM（t，Y（t），˙Y（t），∧Y（t））dt.然后，通过最小化ψ（Y）并使其服从Y给出对偶p问题∈ 我们可以把对偶问题等价地写成一个随机控制问题。一些简单的计算公式给出了（y）=xy，mT（ω，y）=（y+c）2a，M（ω，t，y，s，γ）=φ（t，s+r（t）y，σ（t）[θ（t）y+γ]，（2.6），其中φ是∧f（ω，t，x，π）=f（ω，t，x，π）+ψK（π），即φ（ω，t，α，β）：=supx的共轭函数∈R、 π∈K{xα+π′β- f（ω，t，x，π）}。因此，对偶控制问题由minimize¨ψ（y，α，β）：=m（y）+E[mT（y（T））]+E给出ZTφ（t，α（t），β（t））dt, （2.7）式中Y满足度（dY（t）=[α（t）- r（t）Y（t）]dt+σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（t）′dW（t）Y（0）=Y（2.8）这里我们用关系式（2.6）得到α（t）=˙Y（t）+r（t）Y（t）和β（t）=σ（t）（θ（t）Y（t）+∧Y（t）），这表示˙Y（t）=α（t）- r（t）Y（t）和∧Y（t）=σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（t），对于对偶过程Y。

Y的双重控制过程是（Y，α，β）∈ B.从[13，推论2.5.10]，我们有Y（Y，α，β）∈ S（0，T；R）。注意，对于对偶问题，控制约束是隐式的。例如，如果Q=0，S=0，R=0，那么α必须为零，并且可能是（2.7）和（2.8）中的S im ply。备注1。（推导对偶问题的替代方法）我们按照[14]推导对偶问题（2.7）和（2.8），首先将原始动力学问题转化为静态问题，然后应用凸分析得到静态对偶问题，最后恢复对偶动力学问题。可以直接使用数学金融中效用最大化的nga标准方法导出对偶问题（2.7）和（2.8）。具体来说，我们可以假设对偶过程Y由初始条件Y（0）=Y的SDEdY（t）=α（t）dt+β（t）dW（t）驱动，其中α和β是两个待确定的随机过程。伊藤引理给出了（Xπ（t）Y（t））=（Xπ（t）α（t）+π′（t）β（t））dt+局部鞅，其中α（t）=α（t）+r（t）Y（t）和β（t）=σ（t）（β（t）+θ（t）Y（t））。因为α（t）=α（t）-r（t）Y（t）和β（t）=σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（t），我们有Y个满意度SDE（2.8）。进程xπ（t）Y（t）-Rt（Xπ（s）α（s）+π′（s）β（s））ds是一个局部鞅和一个超鞅，如果我们进一步假设它下面有一个可积过程，特别是我们有一个关系式Xπ（T）Y（T）-ZT（Xπ（s）α（s）+π′（s）β（s））ds≤ Xπ（0）Y（0）=xy。（2.9）约束极小化问题（2.5）可以等价地写成asmaxπEZT(-f（t，Xπ（t），π（t））- ψK（π（t））dt- g（Xπ（T））.网络的双重功能-f（t，·，·）- ψK（·）和-g（·）由φ（t，α，β）=supx，π给出{-f（t，x，π）- ψK（π）+xα+π′β}和mT（y）=supx(-g（x）- xy）。结合上面和（2.9）的对偶关系，我们得到了maxπEZT(-f（t，Xπ（t），π（t））- ψK（π（t））dt- g（Xπ（T））≤ 米尼，α，βxy+EZTφ（t，α（t），β（t））dt+mT（Y（t））,这就产生了双重问题（2.7）。备注2。