带Lāevy摄动的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程

然后对于任意初始条件r∈ L2，γ+在L2，γ+中存在唯一的（2.7）局部解。根据命题2.1，我们得到了更明确的结果。定理3.3假设（G1）成立，并且L是维纳过程，或者对于某些z>0:z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.然后对于任意初始条件r∈ L2，γ+在L2，γ+中存在唯一的（2.7）局部解。对于H1，γ+中的局部存在，我们需要对g：（G2）有更严格的条件（i） 函数g′x，g′y在R+和g′x（x，0）=0，x上是连续的≥ 0.（ii）supx，y≥0|g′y（x，y）|+∞,（iii）存在一个常数C>0s uch，即| g′x（x，u）- g′x（x，v）|+|g′y（x，u）- g′y（x，v）|≤ C|u- v |，x，u，v≥ 定理3.4假设J′和J′在某个区间[0，z]内满足Lipschitz条件，z>0且（G1）和（G2）保持不变。然后对于任意初始条件r∈ H1，γ+在H1，γ+中存在（2.7）的唯一局部解。从e上的命题2.1和命题2.2可以推导出更明确的结果。定理3.5假设（G1）和（G2）保持不变，对于某些z>0Z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.然后对于任意初始条件r∈ H1，γ+（2.7）inH1，γ+存在唯一的局部溶液。现在，一些关于所施加条件的评论已经到位。如果支持{ν} [0, +∞), 也就是说，当L只有正跳跃s，且（G1）（i）保持时，则满足临界正态条件（G1）（ii）。更一般的结果为真。命题3.6如果某个m≥ 0，supp{ν} [-m+∞) （G1）（i）成立，则条件（G1）（ii）成立，当且仅当≤ g（x，y）≤ym，x，y≥ 0.如果g（y）：=supx≥0g（x，y）<+∞, 那么（G1）（ii）成立的充要条件是ifsupp{ν}- 英菲≥0y’g（y）+∞.证明：的确，我们有x+g（x，y）≥ 十、- g（x，y）m≥ 0.此外（G1）（ii）对所有美国∈ supp{ν}u≥ - infx，y≥0yg（x，y）=- 英菲≥0y’g（y）。

(3.2)全局存在我们现在传递到L2，γ+中的全局存在结果，然后是H1，γ+中的全局存在结果。定理3.7假设J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0且在[0]上有界+∞) （G1）保持不变。那么对于任意的r∈ 方程（2.7）有唯一的整体解inL2，γ+。根据命题2.1和命题2.2，我们得到了更明确的结果。定理3.8假设（G1）成立且为加法：q=0，supp{ν} [0, +∞),Z+∞max{y，y}ν（dy）<+∞.那么对于任意的r∈ 方程（2.7）在L2，γ+中有唯一的整体解。对于H1，γ+中的整体存在性，我们需要g：（G3）上的附加条件（i） 偏导数g′y，g′xy，g′y有界于R+。（ii）0≤ g（x，y）≤ C√y、 x，y≥ 0，（iii）|g′x（x，y）|≤ h（x），x，y≥ 0，对于一些h∈ L2，γ+。定理3.9设J′，J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0且在[0]上有界+∞). 假设条件（G1）、（G2）和（G3）满足，则对于任意的r∈ H1，γ+在H1，γ+中存在（2.7）的唯一整体解。根据命题2.1和命题2.2，我们得到了更明确的结果。定理3.10假设条件（G1）、（G2）和（G3）满足且Q=0，supp{ν} [0, +∞),Z+∞max{y，y}ν（dy）<+∞.那么对于任意的r∈ H1，γ+在H1，γ+中存在（2.7）的唯一整体解。4结果的证明PROOF将基于演化方程的一般存在性和正性结果：dX=（AX+F（X））dt+G（X）dL，（4.1）具有一维L’evy过程L和作用于希尔伯特状态空间H的一般变换F，G。它们是对经典结果的一些改进。

他们的证据在本节末尾给出。定理4.1假设kf（x）kH+kG（x）kH≤ c（1+| x |）对于一些c>0，对于每个R>0，存在cR>0，这样对于所有x，y∈ H | x |≤ R、 |y|≤ R、 kF（x）- F（y）k+kG（x）- G（y）kH≤ cR | x- y |。然后方程（4.1）存在唯一的c`adl`ag弱解。以下定理是Milian[11]的一个结果对具有局部Lipschitz系数的方程的推广。定理4.2假设具有维纳过程L的方程（4.1）允许解X。另外，假设A生成一个强连续半群St，t≥ H=L（E，u）中的0，其中u是E上的σ-有限度量，并且半群保持正性。假设f或每个R都存在一个常数crs，比如kf（x）- F（y）kH+kG（x）- G（y）kH≤ CRkx- ykH，x，y∈ BR，（4.2）式中BR:={z∈ HkzkH≤ R} 。如果每个f∈ H+∩ C∞c（E）和∈ H+∩ C（E）使hа，fi=0以下保持shf（а），fi≥ 0（4.3）hG（~n），fi=0，（4.4）然后X≥ 0.相反，如果（4.1）的所有解从非负初始条件开始保持非负，则（4.3）和（4.4）保持不变。4.1定理3.1的证明我们将以与[14]类似的方式使用定理4.2。让我们考虑LL（t）=at+qW（t）+L（t）+L（t）的L′evy It^o分解，其中L（t）：=ZtZ | y|≤1y^π（ds，dy），L（t）：=ZtZ | y |>1yπ（ds，dy），以及其形式ln（t）=at+qW（t）的近似序列- tmn+（Ln（t）+L（t）），其中Ln（t）：=RtR{n<|y|≤1} yπ（dy）和mn:=E[Ln（1）]。这里π代表L的随机泊松测度，^π代表其补偿测度。方程（2.7）保持正性当且仅当方程（t，x）对每个n=ddxrn（t，x）+J′Zxg（y，rn（t，y））dy+ A.- 锰g（x，rn（t，x））dt+g（x，rn（t-, x） （dLn（t）+dL（t）+qdW（t）），（4.5）没有。

由于Ln（t）+L（t）之和是一个跳跃大于n的复合泊松过程，因此在两个jum-ps之间的（4.5）中提取noise只是维纳过程。因此，我们可以使用米利安的结果。条件+∞J′Zxg（v，ν（v））dv+ A.- 锰g（x，ν（x））f（x）eγxdx≥ 0，Z+∞g（x，ν（x））f（x）eγxdx=0，满足任何洎，f∈ L2，γ，使得当且仅当g（x，0）=0时，<φ，f>=0。在Lnif跳跃的瞬间，解仍然为正，只有ifr+g（x，r）u≥ 0，r≥ 0，u∈ su pp{ν}∪嗯+∞达到极限→ +∞ 我们得到（3.1）。4.2定理3.2、定理3.7和定理3.4、定理3.9的证明对于第3节中存在结果的证明，建立L2、γ和H1、γ中F、G的局部Lip-Schitz性质和线性增长就足够了，分别表述为命题4.3和命题4.5。然后，定理3.2和定理3.4源自定理3.1和局部L-ipschitz系数严重影响局部解的存在这一事实，参见[14]。

根据定理4.1和定理3.1.4.2.1，可以推导出L2，γ中系数的局部Lipschitz性和线性增长，如空间L2，γ中g的Lipschitz条件意味着g的线性增长和Lipschitz性质，下面我们仅给出F的结果。命题4.3假设（G1）满足。a）如果J′在[0]上有界+∞) 那么F是线性增长的。b） 如果J′是局部Lipschitz，那么F是局部Lipschitz。命题4.3的证明：设C:=supz≥0J′（z）<+∞.a） 下面的估计保持k F（r）kL2，γ=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））eγxdx≤ CZ+∞[g（x，r（x））]eγxdx≤ CZ+∞[g（x，r（x））- g（x，0）]eγxdx≤ CCZ+∞r（x）eγxdx≤ CCk-r-kL2，γ。b） 对于任何r，\'r∈ L2，γ我们有F（r）- F（`r）kL2，γ=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））- J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））eγxdx≤ 2I+2I，其中i:=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dy- J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，r（x））eγxdx，I:=Z+∞J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））- g（y，r（x））dxeγxdx。让我们注意到，鉴于附录中的（10.4），我们有zxg（y，r（y））dy=Zxg（y，r（y））- g（y，0）dy≤ CZxr（y）dy≤C√γkrkl2，γ。用D=D（k r kL2，γ，k’r kL2，γ）表示J′的局部Lipschitz常数，由此得到≤ DZ+∞Zxg（y，r（y））- g（y，r（y））dyg（x，r（x））eγxdx≤ D k g（·，r（·））- g（·，`r（·））kL2，γZ+∞g（x，r（x））eγxdx≤ D k g（·，r（·））- g（·，`r（·））kL2，γ·Z+∞g（x，r（x））- g（x，0）eγxdx≤ DCZ+∞（r（x）- \'-r（x））eγxdx·CZ+∞r（x）eγxdx≤ DCk r- \'r kL2，γk r kL2，γ。类似地，对于J′的局部边界B，我们得到了i≤ BCk r- \'r kL2，γ，因此，局部唇形希茨性质如下。

4.2.2 H1，γ系数的局部Lipschitz性和线性增长让我们从辅助结果开始。引理4.4如果r∈ H1，γ-supx≥0 | r（x）|≤ 2.γ1/2krkH1，γ。引理4.4的证明：通过给定的部分进行积分xydr（y）dydy=yr（y）十、-Zxr（y）dy，因此| xr（x）|≤Zxydr（y）dydy+Zxr（y）dy≤Z+∞E-γyydy1/2Z+∞eγy（y）dy博士dy1/2+Z+∞E-γydy1/2Z+∞eγyr（y）dy1/2≤γ1/2KKH1，γ+γ1/2krkL2，γ。特别是Rlimx→+∞r（x）=0。此外，| r（x）- r（0）|=Zxdrdy（y）dy≤Zxe-γy/2eγy/2drdy（y）dy≤Z+∞E-γydy1/2Z+∞eγydrdy（y）dy1/2≤γ1/2krkH1，γ。因此，| r（0）|≤γ1/2krkH1，γ，和≥0 | r（x）|≤ 2.γ1/2krkH1，γ。命题4.5假设（G1）满足。a）如果J′和J′在[0]上有界+∞) （G3）则G和F呈线性增长。b） 如果J′和J′是局部Lipschitz且（G2）成立，则F和G是局部Lipschitz。命题4.5的证明：（a）G的线性增长来自于估计z+∞|ddxg（x，r（x））| eγxdx=Z+∞g′x（x，r（x））+g′y（x，r（x））r′（x）eγxdx≤ 2Z+∞[h（x）]eγxdx+2 supx，r≥0 | g′y（x，r）| Z+∞| r′（x）| eγxdx≤ 2khkl2，γ+2su-px，r≥0 | g′y（x，r）|·kr kH1，γ。（4.6）为了显示F的线性增长，让我们从不等式Z开始+∞ddxJ′Zxg（v，r（v））dvg（x，r（x））≤ 2Z+∞J′\'Zxg（v，r（v））dvg（x，r（x））eγxdx+Z+∞J′Z+∞g（v，r（v））dv[g′x（x，r（x））+g′y（x，r（x））r′（x）]eγxdx。第二个积分的估算方法与（4.6）相同。

First积分的线性增长来自于等式Z中的+∞| g（x，r（x））| eγxdx≤ 好的，r≥0g（x，r）√RZ+∞| r（x）| eγxdx。（b） 为了得到G的所需估计，我们需要估计i:=Z+∞g′y（x，r（x））r′（x）- g′y（x，\'r（x））\'r′（x）eγxdx。利用引理4.4，我们得到以下不等式≤ 2Z+∞g′y（x，r（x））r′（x）- \'r′（x））eγxdx+Z+∞g′y（x，r（x））- g′y（x，\'r（x））\'r′（x））eγxdx≤ 2苏佩，r≥0 | g′y（x，r）| Z+∞| r′（x）- \'r′（x）| eγxdx+2supx，u，v≥0 | g′y（x，u）- g′y（x，u）| |u- v |！Z+∞| r（x）- \'r（x）|（\'r′（x））eγxdx≤ 2苏佩，r≥0 | g′y（x，r）|·kr- r kH1，γ+2supx，u，v≥0 | g′y（x，u）- g′y（x，u）| |u- v |！γkr- r kH1，γ·k r kH1，γ，因此G的局部唇希茨性质如下。为了显示F的相同情况，有必要显示公式i:=Z的Lipschitz估计+∞ddxJ′Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））- J′Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））eγxdx。通过显式计算，我们得到≤ 3I+3I+3I，其中i:=Z+∞J′\'Zxg（y，r（y））dyg（x，r（x））- J′\'Zxg（y，`r（y））dyg（x，`r（x））eγxdx，I:=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg′x（x，r（x））- J′Zxg（y，`r（y））dyg′x（x，\'r（x））eγxdx，I:=Z+∞J′Zxg（y，r（y））dyg′y（x，r（x））·r′（x）- J′Zxg（y，`r（y））dyg′y（x，\'r（x））·r′（x）eγxdx。我们可以用与命题4.3相同的方法来估计IIP。通过使用（i）和（ii）可以得到i的估计值。i也可以用与L2相同的方法进行估计，前提是我们对z有额外的不等式+∞g′y（x，r（x））r′（x）- g′y（x，\'r（x））\'r′（x）eγxDx正好是上面估计的i，dI:=Z+∞g′y（x，\'r（x））\'r′（x）eγxdx。从g′y上的界估计Ifollows。4.3定理4.1集Fn，Gn，n=1，2。

使（i）Fn（x）=F（x）和Gn（x）=G（x）如果| x |≤ n、 （ii）对于所有t>0和x∈ H、 kFn（x）k+kGn（x）k≤ c（1+|x |），iii）存在一个常数，使得对于所有x，y∈ H、 kFn（x）- Fn（y）k+k（Gn（x）- Gn（y））k≤ cn | x- y |。根据[14]的定理9.29，由（4.1）通过Fn和Gn替换F和G得到的方程，有一个唯一的c`adl`ag解Xn，从任意x开始∈ H和满足估计值≤TEkXn（t）k≤ C1+kxk, （4.7）对于某些C>0。设τn:=inf{t≤ t:kXn（t）k>n}。在时间间隔[0，τn]上，球B（0，n）在H中的轨迹以0为中心，半径为n，因此Xnsatis fies（4.1）。特别是，对于所有m>n，xM和Xn，都包含在[0，τn]上。如果t<τn，则定义X（t）=Xn（t）。请注意，X定义得很好。为了完成eproof，它足以显示→∞P小吃≤txn（t）k>n= 设n为kX（0）k≤ t为n/3≤ T塞恩斯普特≤txn（t）k>n！≤ Psupt≤TZtS（t- s） Fn（Xn（s））ds>n！+Psupt≤TZtS（t- s） Gn（Xn（s）-))dM（s）>n！：=然而，对于一个独立于n的常数^c，supt≤TZtS（t- s） Fn（Xn（s））ds≤ ^c1+ZTkXn（s）kds,因此，根据切比雪夫不等式和d（4.7），这里有一个常数≤3^cn1+ZTEkXn（s）kds≤3^cn1+ZTEkXn（s）k1/2秒≤^^cn1+kxk1/2.因此我→ 0作为n→ ∞. 根据Kotelenez不等式（见[14]）和（4.7），有一个常数c，使得≤N~c EZTkGn（Xn（s））kds≤ 2cN~cZT1+EkXn（s）kds≤~cN1+kxk.因此我→ 0作为n→ ∞ 断言如下。4.4定理4.2的证明定理4.2的证明：我们使用米利安[11]的原始结果。让我们考虑一个转换序列sfn（x）：=F（x）hn（kxk）；Gn（x）：=F（x）hn（k x k），其中hn（z）=1代表z∈ [0，n]，2-znz∈ [n，2n]，0代表z≥ 2n。可以检查hnis Lipschitz f或每个n，因此Fn，Gnare Lips chitz在H上。

以下为HOLDHFN（ν），fi=hF（~n），fi≥ 如果kаk<n，hn（kаk）hF（а），fi≥ 0如果n≤k~nk<2n，0表示z≥ 2n，和hGn（φ），fi=0。因此，方程（4.1）的解Xnof，由Fn代替，gni为非负。但是xn=X1Bn（kxk），这意味着X在每个球上都是非负的。通过半径的极限，利用X有界的事实，我们得到X的正性。利用相反方向的参数，我们得到（4.3），（4.4）的必要性。第三部分线性微分的HJMM方程在这一部分中，我们假设g（x，y）=λ（x）y，x，y≥ 其中λ（·）是一个连续函数。那么（1.5）的弱版本的形式是：r（t，x）=St（r）（x）+ZtSt-sJ′Zxλ（v）r（s，v）dvλ（x）r（s，x）ds+ZtSt-sλ（x）r（s）-, 十）dL（s），x≥ 0，t∈ （0，T*]. （4.8）以下两个条件（B3）和（B4）已在序言中介绍，它们在分析方程（4.8）整体解的存在性时起着至关重要的作用。如果（B3）对于某些a>0，b，粗糙峰值溶液爆炸∈ R、 J′（z）≥ a（lnz）+b，对于allz>0，如果（B4）lim-supz，则存在全局解→∞ln z-λT*J′（z）= +∞, 0<T*< +∞.关于局部存在性的结果被公式化为定理5.1和定理5.2，并遵循第一部分的一般结果。定理5.3规定了全局解不存在的条件，并受[1]中一个类似结果的启发。随后的结果涉及整体解，见定理5.5，强解，见定理5.7，以及它们的唯一性，见定理5。8.从第一部分的结果，如定理3.7或定理3.9，可以推导出（4.8）整体解的一些存在性结果，但条件对J′非常严格。事实上，我们有以下初步观察。命题4.6如果（1.2）定义的漂移变换在L2，γ中是线性增长的，则j′在[0]上有界+∞).

特别是rq=0，supp{ν} [0, +∞) 安兹+∞yν（dy）<+∞.证明：相反，假设J′是无界的，且定义（x）=n1[1,3]（x），n=1,2。至于足够大的z≥ 函数（J′（z））在增加，我们有，f或大的nkF（rn）kkrnk=RJ′Rxλ（y）ndyλ（x）neγxdxnReγxdx≥λRJ′λn（x）- 1)eγxdxReγxdx。自从，ZJ′λn（x）- 1)eγxdx≥ZJ′λn（x）- 1)eγxdx≥J′（λn）Zeγxdx-→n+∞,主要主张成立。其余部分来自命题2.2。5主要结果的表述局部解的存在下面的定理是定理3.2的直接结果。定理5.1假设：（λ0）λ是连续的且infx≥0λ（x）=λ>0，supx≥0λ（x）=λ<+∞,（1）支持 [-λ, +∞)（L1）R+∞yν（dy）<+∞,持有然后方程（4.8）存在一个唯一的局部弱解，取空间L2，γ+中的值。在定理的表述中，简化了，但在（λ0）、（λ1）下，使用了序言中条件（L1）的等效版本。事实上，正性假设（G1）（I）、（G1）（ii）从∧0）、（1）开始，假设（G1）（iii）从∧0开始。局部李氏性是（L1）的结果，见命题2.1和命题4.3。同样地，作为定理3.4的一个结果，我们得到了H1，γ+的以下局部存在性结果。定理5.2假设条件（λ0）、（λ1）、（λ2）λ，λ′在R+和（L2）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,都很满意。