带Lāevy摄动的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程

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英文标题：
《Heath-Jarrow-Morton-Musiela equation with L\\\'evy perturbation》
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作者：
Micha{\\l} Barski, Jerzy Zabczyk
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The paper studies the Heath-Jarrow-Morton-Musiela equation of the bond market. The equation is analyzed in weighted spaces of functions defined on $[0,+\\infty)$. Sufficient conditions for local and global existence are obtained . For equation with the linear diffusion term the conditions for global existence are close to the necessary ones.
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中文摘要：
本文研究了债券市场的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程。在$[0，+\\infty）$上定义的函数的加权空间中分析了该方程，得到了局部和全局存在的充分条件。对于具有线性扩散项的方程，全局存在的条件与必要条件接近。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Heath-Jarrow-Morton-Musiela_equation_with_Lévy_perturbation.pdf (384.72 KB)

2022-5-9 16:19:39 上传

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关键词：Morton Jarrow HEATH arrow Heat

希思·贾罗·莫顿——带L’ev插值的Musiela方程*华沙红衣主教斯特凡·怀兹斯基大学数学学院、德国莱比锡大学波兰德数学与计算机科学学院。Barski@math.uni-莱比锡。波兰科学院数学研究所，华沙，Polandzabczyk@impan.plJune本文研究了债券市场的希思·贾罗·莫顿·穆塞拉方程。方程在[0]定义的函数加权空间中进行分析+∞). 得到了局部和全局存在的充分条件。对于具有线性扩散项的方程，全局存在的条件接近于必要条件。内容1导言22预备知识4I HJMM方程和一般微分83主要结果的公式84结果的证明114.1定理3.1的证明。124.2定理3.2、定理3.7和定理3.4、定理3.9的证明。134.2.1 L2、γ…..中的局部脂裂性和系数线性增长。134.2.2 H1、γ…..中的局部脂裂性和系数线性增长。144.3定理4.1的证明。164.4定理4.2的证明。17*由波兰MNiSW基金NN201419039资助。II带线性微分的HJMM方程195主要结果的公式206自然和移动框架中等效结果s 246.1方程的证明。246.2定理5.9的证明。256.3定理5.10的证明。266.3.1第1步。（5.5）的

. . . . . . . . . . 266.3.2第2步。解的先验正则性。297证明H1，γ+8存在整体解和强解的必要条件319证明H1，γ+10中解的唯一性附录3710.1 HJM债券市场方法。3710.2拉普拉斯指数。381简介Heath Jarrow Morton-Musiela方程由一个真实的过程L驱动，是f ormdr（t，x）的一个随机偏微分方程=ddxr（t，x）+F（r（t））（x）dt+G（r（t）-))（x） dL（t），r（0，x）=r（x），x≥ 0，t∈ （0，T*], （1.1）其中扩散算子G和漂移F的形式为：G（r）（x）：=G（x，r（x））；F（r）（x）：=J′Zxg（v，r（v））dvg（x，r（x））。（1.2）函数J′允许代表J′（z）=-a+qz+ZRy（1(-1,1）（y）- E-zy）ν（dy），z∈ R、 带着∈ R、 q≥ 0和测度ν满足以下可积条件Zr（y∧ 1） ν（dy）<∞.度量ν是过程L的L′evy度量。函数g具有财务意义，有时被称为债券市场的波动性。（1.1）的解是所谓的正向曲线，参见[7]、[6]、[14]和quantityP（t，t）=e-RT-tr（t，v）dv，t≤ T、 可以解释为在T时刻到期的债券在T时刻的价格（然后支付1）。方程式（1.1）描述了移动框架中正向曲线的动力学，由Musiela在[13]中介绍。原始版本，在自然框架中，出现在莫顿的博士论文[12]中。有关等式财务背景的更多信息，请参见附录10.1。如果方程中不存在过程L，也就是说，如果L等于零，那么J′=0，F=0，G=0，方程h为平凡解r（t，x）=r（t+x）。

因此，只有托卡斯蒂克案才是真正令人感兴趣的。当Lis为维纳过程时，对方程进行了深入研究，参见[6]、[14]和其中的参考文献。函数J′是线性的：J′（z）=qz，z∈ R、 q≥ 0.对于一般的有限维过程，也有一些结果，例如[14]、[5]、[17]、[18]、[19]、[10]、[8]、[15]。特别是在[10]中，我们研究了（1.1）对于具有指数矩的L’evy过程的局部可解性，我们发现这个假设非常严格。事实上，本文中给出的大多数结果都可以推广到有限维噪声。我们的目的是在一维过程L最重要的情况下获得最佳结果，看看在一般情况下可以预期什么样的结果。本文的目的是建立（1.1）弱解的存在唯一性。我们只关注与应用相关的积极解决方案。在[0]上的平方可和函数H的希尔伯特空间H=L2，γ中研究该方程+∞) 对于n或MKHKL2，γ：=Z+∞| h（x）| eγxdx< +∞, （1.3）或在[0]上绝对连续函数H的Hilbert s空间H=H1，γ中+∞) 例如KH1，γ：=Z+∞| h（x）|+|h′（x）|eγxdx< +∞, （1.4）γ>0。对于具有不同重量变化的空间，也可以得到类似的结果。本文分为第一部分和第二部分。第一部分研究了方程（1.1）的通用性g，并使用了收缩m ap ping定理的一些版本。

第二部分讨论了g是第二个变量的线性函数的情况：g（x，y）=λ（x）y，x，y≥ 在后一种情况下，更特殊但更重要的是，利用方程的一些单调性可以得到更好的结果。第一部分首先阐述了L2，γ和H1，γ中正函数集L2，γ+和H1，γ+的局部和全局存在性结果，见定理3.2，定理3.7和定理3。4，定理3.9。这里的主要工具是对随机发展方程正解存在性标准结果的局部Lipschitz系数的一些扩展。证明从建立第一个抽象存在性结果开始，然后证明局部Lipschitz性质和系数的线性增长，以及检查正性条件。结果表明，只有对于限制类的乐趣J′，扩散G和漂移F可以是局部的lipschitz或线性增长。第二部分专门讨论方程dr（t，x）=ddxr（t，x）+J′Zxλ（v）r（t，v）dvλ（x）r（t，x）dt+λ（x）r（t-, x） dL（t），r（0，x）=r（x），x≥ 0，t∈ （0，T*]. （1.5）其中λ（·）是一个连续、正且有界的f函数。根据第一部分的结果，我们推导出（1.5）局部正解存在的充分条件。它们被公式化为定理5.1和定理5.2。关于整体解存在性的主要结果见EoREM 5.3和T heorem 5.5。定理5.8证明了唯一性。此外，定理5.7给出了全局解强的条件。

这些结果的证明利用了方程（1.5）的弱形式等价于方程r（t，x）=a（t，x）eRtJ′（Rt）的事实-s+xλ（v）r（s，v）dv）λ（t）-s+x）ds，x≥ 0，t∈ （0，T*], （1.6）式中（t，x）：=r（t+x）eRtλ（t）-s+x）dL（s）-qRtλ（t）-s+x）ds·Y0≤s≤t（1+λ（t- s+x）△L（s））e-λ（t）-s+x）△L（s）。（1.6）和（1.5）的弱形式的等价性在第5节定理5.9和定理5.10中建立，在证明主要结果之前。这些证明相当复杂，并且需要关于独立利益领域的正则性的一些新结果，见命题6.2命题6.3。例如，在[8]、[10]中应用的利用系数的标准方法要求更严格的条件。正如我们已经说过的，林耳HJMM方程的研究是由Morton在他的博士论文[12]中发起的。他证明了自然框架中的方程（1.5），即L beinga-Wiener过程，在有限域上的两个参数的有界函数类中没有解。当L是一个一般的L’evy过程时，情况发生了实质性的变化，并得到了方程（1.5）的存在性和爆炸性，但得到了自然框架[1]。本论文是arxiv中注释[2]的详细版本。致谢。作者要感谢S.Peszat和A.Rusinek对本文主题的启发性讨论。2.初步研究我们收集了关于过程L及其导数的拉普拉斯指数J的p性质的初步结果，这将在本文的以下部分中经常使用。第一个导数J′明确出现在基本方程（1.1）-（1.2）中。

由于我们的首要问题是（1.1）-（1.2）在非负函数集合中的可解性，我们集中讨论了非负参数的J及其导数的性质。函数J由（e）定义-zL（t））=etJ（z），t∈ [0，T*], Z∈ R、 （2.1）并承认明确的合法代表J（z）=-az+qz+ZR（e）-zy- 1+zy1(-1,1）（y））ν（dy），z∈ R、 （2.2）带有∈ R、 q≥ 0和测度ν满足以下可积条件Zr（y∧ 1） ν（dy）<∞. （2.3）很容易看出，对于所有正数z，当且仅当z-1.-∞ez|y|ν（dy）<+∞, Z≥ 0.其导数J′的形式为J′（z）=-a+qz+ZRy（1(-1,1）（y）- E-zy）ν（dy），z∈ R.（2.4）很明显，|J′（0）|<+∞ 当d仅当（B0）Z | y |>1 |y |ν（dy）<+∞,和| J′（z）|<+∞, z>0 i ff z-1.-∞|y|ez|y|ν（dy）<+∞.特别是，如果L’evy测度的支持度从下方有界，则J’在[0]上是明确且连续的+∞) 如果（B0）满足，则J′在其域上自动增加，其导数等于：J′（z）=q+ZRye-zyν（dy），z∈ R.（2.5）附录第10.2节详细解释了以下公式J′的结果。

注：原点附近J′的行为取决于νon的行为[-命题2.1函数J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0当且仅当（L1）z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.函数J′是[0，z]上的Lipschitz，z>0当且仅当（L2）z-1.-∞| y|ez|y|ν（dy）<+∞, 安兹+∞yν（dy）<+∞.命题2.2函数J′在[0]上有界+∞) i ff（B1）q=0，supp{ν} [0, +∞) 安兹+∞yν（dy）<+∞.函数J′在[0]上有界+∞) i ff（B2）supp{ν} [0, +∞) 安兹∞yν（dy）<∞.在本文的第二部分中，我们将需要更多关于函数J′增长的假设。（B3）对于a>0的部分，b∈ R、 J′（z）≥ a（lnz）+b，所有z>0。（B4）lim supz→∞ln z-λT*J′（z）= +∞, 0<T*< +∞;如果J′是有界函数，那么（B4）显然成立。因此，特别是，（B4）对于可能存在漂移的从属变量（增加L’evy过程）是满意的，见[1]中的命题4.1。然而，（B4）并不意味着J′是有界的，参见[1]中的示例4.2。此外，我们得到了以下结果，见[1]。命题2.3如果q>0或ν{(-b、 表示法（2.2）中的b>0，然后是J′saties（B3）。这意味着具有非退化维纳部分或负跳跃的每个L`evy过程自动满足（B3）。此外，如果L既没有维纳部分也没有负跳跃，那么（B4）只受接近于零的ν的行为的影响。要了解这一点，请注意≥0Z+∞耶-zyν（dy）<+∞,这意味着J′对应于大于1的跳跃的部分是有界的。因此（B4）实际上取决于函数z的增长→齐伊-zyν（dy）<+∞.下面，我们明确地根据测度ν来表示条件（B3）和（B4），对于我们所指的屋顶[1]。

让我们回忆一下，如果任何函数dx>0M（tx）M（t），则正函数M在0处缓慢变化-→ 1，作为t-→ 0.Iff（x）g（x）-→ 1，作为x-→ 0，我们写f（x）~ g（x）。命题2.4假设对于某些ρ∈ (0, +∞),（B5）Rxyν（dy）~ xρ·M（x），作为x→ 0，其中M是0处缓慢变化的函数。i） 如果ρ>1，则（B4）成立。ii）如果ρ<1，则（B3）成立。iii）如果ρ=1，则测量值ν具有密度和m（x）-→ 0作为x→ 0，andZM（x）xdx=+∞, （2.6）然后（B4）成立。根据经典结果，参见[14]，具有一般微分的IHJMM方程的一部分，（1.1）弱解的存在性等价于（1.1）积分形式的解的存在性：r（t，x）=St（r）（x）+ZtSt-sF（r（s））（x） ds+ZtSt-sG（r（s）-))（x） dL（s），x≥ 0，t∈ （0，T*], （2.7）称为温和溶液。在（2.7）中，{St，t≥ 0}，表示移位半群st（h）（x）：=h（t+x），t≥ 0，x≥ 0，h∈ H、 作用于希尔伯特空间H。方程（2.7）将在这里的标准SPDEframework中处理，对于该方程，转换F和G的Lipschitz性质起着至关重要的作用。正解的存在性是从第4节中给出的抽象结果中推导出来的。定理4.1将关于存在性的标准结果（见[14]）推广到系数具有线性增长且局部为Lipschitz的情况。为了获得解的正性，我们使用定理4。2是Milian结果的广义版本，参见[11]，并在局部Lipschitz系数的框架内提供了正性的当且仅当条件。作为推论，在OREM 3.1中，我们在我们的模型中获得了正性的直接条件。关于L2，γ+和H1，γ+中局部解的存在性的结果分别表示为定理3.2和定理3.4。

它们需要函数g的一些正则性性质，以及J′和J′的局部Lipschitz性质，这反过来又归结为函数补上的L′evy测度的可积条件（L1）、（L2）[-1, 1]. 定理3.3和定理3.5是上述结果的重新表述，它们表明，特别是对于只有小跳跃的噪声和维纳过程，存在局部解。对于关于整体解的结果，我们需要更多的假设，如定理3.7和定理3.9。对于空间L2，J′在[0]上的γ+有界性+∞) 对于H1，需要J′和J′的γ+有界性。这些条件相当严格，排除了所有具有维纳部分或负跳跃的L’evy过程，见Theorem 3.8和Theorem 3.10。证明被推迟到第4.3节主要结果的表述。我们从方程（2.7）的解的正性的一般结果开始，通过对后继中施加的条件的一些说明。这是我们对米利安关于正性的抽象结果的推广，见定理4.2。定理3.1假设（2.7）中的G和F是H中的局部Lipschitz，那么（2.7）是正的保留当且仅当ifr+G（x，r）u≥ 0代表所有人≥ 0，x≥ 0，u∈ 对于所有x，suppν，（3.1）g（x，0）=0≥ 0.HJM方程在L2，γ+中的可解性的局部存在性我们需要g上的以下条件：（G1）（i） 函数g在R+上是连续的，且g（x，0）=0，g（x，y）≥ 0，x，y≥ 0.（ii）所有x，y≥ 0和u∈ 补充：x+g（x，y）u≥ 存在一个常数C>0 s uch，即| g（x，u）- g（x，v）|≤ C|u- v |，x，u，v≥ 定理3.2假设J′满足某区间[0，z]，z>0且（G1）成立的Lipschitz条件。