带Lāevy摄动的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程

然后方程（4.8）存在一个唯一的局部弱解，取H1，γ+的值。H1，γ+中不存在全局解离子。我们对全局解的研究结果为负类型。定理5.3假设条件（λ0）、（λ1）、（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B3）J′（z）≥ a（lnz）+b，对于某些a>0，b∈ R、 所有z>0都是满意的。然后，对于一些k>0和所有R（·）∈ H1，γ+使得r（x）≥ K十、∈ [0，T*], 在[0，T]区间内不存在（4.8）的g-叶溶质H1，γ+的存在*].根据定理5.2和定理5.3，如果条件（λ0）、（λ1）、（λ2）、（λ3）、（B0）、（B3）和（L2）成立，则H1中的任何局部解，γ+爆炸。如果将条件（B3）替换为ger上的str，则该定理仍然成立，但关于度量ν的更明确的条件，请参见命题2.4。定理5.4假设条件（λ0）、（λ1）、（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B5）Rxyν（dy）~ xρ·M（x），作为x→ 0，其中满足一个缓慢变化的函数，在0和ρ<1处。然后，对于一些k>0和所有r（·）∈ H1，γ+使得r（x）≥ K十、∈ [0，T*], （4.8）的H1，γ+的整体解在区间[0，T]上不存在*].整体解的存在性我们有以下的存在性结果，其中对数增长条件（B4）起着关键作用。

条件（B2）出现在其公式中，是在命题2中引入的。2.定理5.5假设（λ0）、（λ1）和条件（λ2）λ，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B4）lim supz→∞ln z-λT*J′（z）= +∞, 0<T*< +∞, 持有（a） 如果r∈ L2，γ+（4.8）在空间L2，γ+中取值存在一个解。（b） 另外，假设（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B2）supp{ν}上是有界且连续的 [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞.如果r∈ H1，γ+（4.8）存在一个解，取空间H1，γ+中的值。条件（B4）意味着，就像一般的扩散情况一样，过程L应该没有维纳部分，没有负跳跃。另一方面，定理5.3表明，在（B3）下，在H1，γ+的线性情况下，不存在Wiener部分和l分解中的负跳跃也是必要的。如果条件（B4）被一个更强大但具体的度量ν条件所取代，则该定理仍然成立，见命题2.4。定理5.6假设（0）、（1）和条件（2）λ，λ′在R+，（B0）R上有界且连续+∞yν（dy）<+∞,（B5）Rxyν（dy）~ xρ·M（x），作为x→ 0，其中满足0和ρ>1的慢变函数。（a）如果r∈ L2，γ+（4.8）在空间L2，γ+中取值存在一个解。（b） 另外，假设（λ3）λ，λ′，λ′在R+，（B2）supp{ν}上是有界且连续的 [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞.如果r∈ H1，γ+（4.8）存在一个解，取空间H1，γ+中的值。我们对全球存在的假设并不十分严格。条件（B4）弱于J′有界的要求，这是标准收缩原理方法所必需的，见命题4.6。此外，这些假设并不意味着系数的局部Lipschitz性质。

在定理5.5中，我们需要（B4）和单位球的可积性，也就是z+∞yν（dy）<+∞, （5.1）对于空间L2，γ+和supp{ν} [0, +∞) 安兹+∞yν（dy）<+∞, （5.2）对于H1，γ+。很明显（5.1）；Z+∞yν（dy）<+∞, （5.3）和（5.2）；Z+∞yν（dy）<+∞. （5.4）在sup p{ν}条件下 [-λ, +∞), （5.3），（5.4）的右手侧sid es相当于条件（L1），（L2），而条件（L1），（L2）又分别对应于L2，γ中F和G的局部Lipschitz性质。H1，γ。另一方面，正如序言中所解释的，（B4）与v接近零的行为有关。因此，对于满足（B4）和（5.1）（或（5.2））的每个L’evy过程，在L2，γ+，（分别为H1，γ+）中存在全局溶液，但F，G不是局部Lipschitz。H1，γ+强解的存在性在附加条件下，我们可以证明（1.5）的强解的存在性。定理5.7假设λ（x）≡ λ为常数，且满足定理5.5（b）的所有假设。那么，定理5.5（b）给出的弱非爆炸解是（1.5）的强解。定理5.5的H1，γ+假设中整体解的唯一性一般不意味着解的唯一性。此外，这个性质并不是因为局部解的唯一性。因此，下列定理不能从收缩原理推导出来。定理5.8假设（B2）supp{ν} [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞.如果在区间[0，T]上存在方程（4.8）的解*] 取H1，γ+的值，则解是唯一的。等价方程式我们现在讨论引言中所示的等价结果的公式。

它具有独立的兴趣，并将在大多数证明中作为主要的技术工具。随机场r（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 0表示积分方程的解，分别为L2，γ，H1，γ：r（t，x）=a（t，x）eRtJ′（Rt-s+xλ（v）r（s，v）dv）λ（t）-s+x）ds，x≥ 0，t∈ [0，T*], （5.5）其中，对于x≥ 0，t∈ （0，T*],a（t，x）：=r（t+x）eRtλ（t）-s+x）dL（s）-qRtλ（t）-s+x）ds·Y0≤s≤t（1+λ（t- s+x）（L（s）- L（s）- ))) E-λ（t）-s+x）（L（s）-L（s）-)), （5.6）如果r（t，·），t∈ [0，T*], 是L2，γ，分别是H1，γ值的，有界的和适应的p过程，对于每个t∈ [0，T*], 方程式（5.5）适用于几乎所有x>0的情况，对于L2、γ和allx≥ 0，对于H1，γ。随机场a将被称为方程（5.5）的随机因子。定理5.9设r是状态空间H1，γ+中（4.8）的解。那么r（·，·）是（5.5）在H1，γ+中的溶液。在其他假设下，相反的结果是正确的。定理5.10假设条件（λ0）、（λ1）和（B0）R+∞yν（dy）<+∞,a）如果（λ2）λ，λ′在R+上有界且连续，且R（·）是L2中的有界解，γ+为（5.5），则R（·）是L2中的c`adl`ag过程，γ+为（4.8）。b） 如果（λ3）λ，λ′，λ′在R+上有界且连续，（B2）supp{ν} [0, +∞) 安德烈∞yν（dy）<∞ ,r（·）是H1中的有界解，γ+为（5.5），r（·）是H1中的c`adl`ag，γ+为（4.8）。因此，方程（4.8）和（5.5）在H1，γ+中是等价的，而（5.5）在L2，γ+中的每个解也解（4.8）。6等价结果的证明这些证明要求以自然和移动的形式表示该解，如第6.1节所述。定理5.10的p屋顶在技术上相当复杂。

特别是，它需要与方程（5.5）的

（6.3）因此，f（·，T）解出Dol’s-Dade方程df（T，T）=f（T）-, （T）J′ZTtλ（v）- t） f（t，v）dvλ（T）- t） dt+λ（t）- t） dL（t）,并允许以下表示，参见[16]，f（t，t）=^a（t，t）eRtJ′（RTsλ（v-s） f（s，v）dv）λ（T）-s） ds，（6.4）与^a（t，t）：=f（t）eRtλ（t）-s） dL（s）-qRtλ（T）-s） dsY0≤s≤T1+λ（T）- （s）△L（s）E-λ（T）- （s）△L（s），在哪里△L（s）=L（s）- L（s）-), s≥ 0.放置T=T+x，x≥ 0转化为（6.4），并检查^a（t，t+x）=a（t，x）一方获得rsatis fies（5.5）。6.3定理5.10的证明分为两个主要步骤，分别确定随机因子a的正则性和（5.5）非线性部分的正则性。6.3.1步骤1。（5.5）随机因子的正则性这里我们讨论的是随机场的正则性si（t，x）：=Ztλ（t- s+x）dL（s），t∈ [0，T*], 十、≥ 0，（6.5）I（t，x）：=Y0≤s≤t（1+λ（t- s+x）△L（s））e-λ（t）-s+x）△L（s），t∈ [0，T*], 十、≥ 0，（6.6）出现在（5.6）命题6.2中，让Ibe由（6.5）给出。假设（λ0），（λ1）满足。i）如果（λ2）满足，则存在随机字段i（t，x）的一个版本，其边界为[0，t*] × [0, +∞) 每x≥ 0，随机积分I（·，x）是一个c`adl`ag过程。ii）如果满足∧3，则上述断言适用于随机场xI（t，x），t∈[0，T*], 十、≥ 0.证据：我们将展示（i）。（ii）的证明是相似的。根据[14]中的第9.16项，部分积分公式holdsI（t，x）=Ztλ（t- s+x）dL（s）=λ（x）L（t）+Ztλ′（t）- s+x）L（s）ds，t，x≥ （6.7）在（6.7）右边的积分在t中是连续的，是两个局部有界f函数的卷积。有界性遵循∧2的假设。

命题6.3假设满足（6.6）和（λ0），（λ1）给出的Ibe。i）然后是[0，T]上的有界域*] × [0, +∞) 每x≥ 0进程I（·，x）hasc`adl`ag版本。ii）如果（λ2）成立，则上述断言适用于该油田xI（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 证明：在（λ0），（λ1）下，我们可以用（t，x）=ZtZ的形式来写+∞-λln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0，其中π（ds，dx）代表过程L的跳跃度量。让我们将两个数字a固定≤ 0和b>0使得|λ（z）y|≤, Z≥ 0，y∈ [a，b]。（6.8）在集合之外[0，T*] ×[a，b]度量π仅由有限个原子组成，因此-λln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），ZtZ+∞Bln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0显然是有界的，而c`adl`ag在t中。因此，I（t，x）所需的性质相当于f（t，x）：=ZtZbaln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0.首先我们展示有界性。由（6.8）得到| ln（1+λ（z）y）- λ（z）y|≤ λ（z）y，z≥ 0，y∈ [a，b]，因此| J（t，x）|≤ZtZbaλ（t）- s+x）yπ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 由于∧0，J的∧1有界性如下。SinceJ′x（t，x）=ZtZbaλ′（t- s+x）yh1+λ（t）- s+x）y- 1iπ（ds，dx）=-ZtZbaλ′（t- s+x）λ（t）- s+x）1+λ（t）- s+x）yyπ（ds，dx），鉴于（6.8），以下估计保持| J′x（t，x）|=ZtZba |λ′（t- s+x）λ（t）- s+x）| yπ（ds，dx）。因此，通过∧2，J′x（t，x）的有界性xI（t，x）如下。下面我们展示了I（·，x）的c`adl`ag属性。证明xI（t，x）是相同的。我们将使用下面的引理。引理6.4假设φ（t，x，s，y），（t，x）∈ [0，T*] × [0, +∞), （s，y）∈ [0，T*] ×[a，b]，a<b，是一个连续且有界的函数，因此对于s，φ（t，x，s，y）=0≥ t、 x≥ 0，y∈ [a，b]和γ是[0，T]上的有限度量*] ×[a，b]。

那么函数Φ（t，x）：=ZtZba~n（t，x，s，y）γ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0是连续的。引理6.4的证明：假设Φ（t，x）：=ZT*Zba~n（t，x，s，y）γ（ds，dy），t∈ [0，T*], 十、≥ 0.如果（tn，xn）→ （t，x）然后φ（tn，xn，s，y）→ ~n（t，x，s，y）。因为ψ在[0，T]上有界*] × [0, +∞) ×[0，T*]×[a，b]和γfine，其结果来自勒贝格支配的收敛定理。现在定义一个有界连续函数j（t，x，s，y）：=yln（1+λ（t）- s+x）y）- λ（t）- s+x）y,对于（t，x）∈ [0，T*] × [0, +∞), （s，y）∈ [0，T*] ×[a，b]。然后j（t，x）=ZtZbaj（t，x，s，y）yπ（ds，dy）。要使用引理6.4，让我们定义а（t，x，s，y）：=（j（t，x，s，y）- j（t，x，t，y），s<t，x≥ 0，y∈ [a，b]，0，s≥ t、 x≥ 0，y∈ [a，b]和γ（ds，dy）：=yπ（ds，dy）。Th enJ（t，x）=ZtZbaа（t，x，s，y）yπ（ds，dy）+ZtZbaj（t，x，t，y）yπ（ds，dy）=Φ（t，x）+Zbaj（t，x，t，y）yπ（[0，t]，dy）。函数Φ由引理6.4连续，因此J（·，x）是任意x的c`ad l`ag≥ 0我们还需要一个关于随机场规律性的结果。命题6.5设h=h（x）∈ L2，γ和H=H（t，x），t∈ [0，T*], 十、≥ 0是一个函数，比如t，x∈[0，T*]×[0,+∞)| H（t，x）|<+∞ ,H（·，x）是每个x的c`adl`ag≥ 然后f函数h:[0，T*] -→ 由h定义的L2，γ：=h（t+x）h（t，x）是L2，γ中的c`adl`ag。证明：我们有以下估计kh（t）-~h（s）kL2，γ=Z+∞| h（t+x）h（t，x）- h（s+x）h（s，x）| eγxdx=Z+∞| h（s+x）[h（t，x）- H（s，x）]+[H（t+x）- h（s+x）]h（t，x）| eγxdx≤ 2e-γsZ+∞eγ（x+s）|h（s+x）|h（t，x）- H（s，x）| dx+2CkSt（H）- Ss（h）kL2，γ，其中C=sup（t，x）∈[0，T*]×[0,+∞)| H（t，x）|。利用支配收敛定理，我们发现当s→ t存在并且当s时等于零↓ t、 当s时，二次积分消失→ 因为半群在L2，γ上是str连续的。因此，h是L2，γ中的c`adl`ag函数。6.3.2第2步。

解的先验正则性让我们把（5.5）写成形式r（t，x）=r（t+x）B（t，x），其中B（t，x）：=B（t，x）I（t，x）B（t，x）和B（t，x）：=eI（t，x）-qRtλ（t）-s+x）ds，b（t，x）：=eRtJ′（Rt-s+xλ（v）r（s，v）dv）λ（t）-s+x）ds，其中I（t，x），I（t，x）在（6.5）和（6.6）中定义。（a） 首先我们将证明，在L2，γ中，r是c`adl`ag。我们将展示sup（t，x）∈[0，T*]×[0,+∞)| B（t，x）|<+∞ B（·，x）是c`adl`agf或每个x。然后，断言遵循命题6.5。从命题6.2和命题6.3来看，（λ0），（λ1）和（λ2）意味着b（t，x）和I（t，x）是有界的，c`adl`ag在t中。很明显，b（·x）是连续的。通过∧1和（B0），函数J′在[0]上定义得很好+∞). 鉴于（10.4），我们有0≤Zt-s+xλ（v）r（s，v）dv≤λ√γsupt∈[0，T*]kr（t）kL2，γ。因此，不平等性ztj′Zt-s+xλ（v）r（s，v）dvλ（t）- s+x）ds≤λT*J′λ√γsuptkr（t）kL2，γ∧ 0，保持。因此，b（·，·）被限定在[0，T]上*] × [0, +∞).现在我们将证明r是（4.8）的解。放x=T- 我们看到，自然框架中的解满足（t，t）=^a（t，t）eRtJ′（RTsλ（v-s） f（s，v）dv）λ（T）-s） ds，0≤ T≤ T≤ T*, （6.9）式中^a（t，t）：=f（t）eRtλ（t）-s） dL（s）-qRtλ（T）-s） ds·Y0≤s≤T1+λ（T）- （s）△L（s）E-λ（T）- （s）△L（s）。对于每个固定T，过程f（·，T）是一个随机指数，因此允许表示f（T，T）=f（0，T）+ZtJ′ZTsλ（v- s） f（s，v）dv！λ（T）- s） f（s，T）ds+Ztλ（T）- s） f（s）-, T）dL（s）。现在这个断言来自引理6.1。（b） 为了证明r是H1，γ中的c`adl`ag，我们使用等式kr（t）- r（s）kH1，γ=kr（t）- r（s）kL2，γ+kr′（t）- r′（s）kL2，γ。因此，从（a）来看，证明r′（t）在L2，γ中是c`adl`ag就足够了。微分（5.5）yieldsr′（t，x）=r′（t+x）b（t，x）b（t，x）+r（t+x）b′（t，x）b（t，x）+r（t+x）b（t，x）b′（t，x）其中b（t，x）=b（t，x）I（t，x）。

由（a）可知，r′（t+x）b（t，x）b（t，x）是L2，γ中的c`adl`ag。鉴于命题6.2和命题6.3，（λ2）和（λ3）暗示b′（t，x）是有界的，t中的c`adl`ag，因此r（t+x）b′（t，x）b（t，x）是L2，γ中的c`adl`ag。为了完成证明，我们需要证明b′是有界的，并且c′adl′ag在t中。我们有b′（t，x）=b（t，x）nZtJ′Zt-s+xλ（v）r（s，v）dvλ（t）- s+x）r（s，t）- s+x）ds+ZtJ′Zt-s+xλ（v）r（s，v）dvλ′（t）- s+x）dso。假设（λ1）和（B2）保证J′在[0]上是连续的+∞) 这样就有了局部边界。根据引理4.4，我们得到了sup（t，x）∈[0，T*]×[0,+∞)ZtJ′\'Zt-s+xλ（v）r（s，v）dvλ（t）- s+x）r（s，t）- s+x）ds≤\'\'λsupz∈[0,λ√γsuptkr（t）kL2，γ+]|J′（z）|2T*γsuptkr（t）kH1，γ+。通过J′的单调性和λ′的有界性，给出了一个getssup（t，x）∈[0，T*]×[0,+∞)ZtJ′Zt-s+xλ（v）r（s，v）dvλ′（t）- s+x）ds≤ T*好的≥0 |λ′（x）| J′λ√γsuptkr（t）kL2，γ,b′的边界紧随其后。r解（4.8）的证明与（a）相同。7定理5.3的H1，γ+证明中存在必要条件的证明：相反，假设r是[0，T]上（4.8）的整体解*]在H1空间中，γ+。根据引理6.1，在移动框架f（t，t）=r（t，t）中的解-t） ，0≤T≤ T≤ T*满意度f（t，t）=f（t）+ZtJ′ZTsλ（v）- s） f（s，v）dvλ（T）- s） f（s，T）ds+Ztλ（T）- s） f（s）-, T）dL（s），（7.1），这是文献[1]中研究的方程。假设（λ0）、（λ1）、（λ3）、（B0）暗示了条件（A1）- （A4）在[1]中。我们检查f是否符合[1]中的规定。