预平均估计的Edgeworth展开

根据（3.6）中定义的pi，我们定义了一个新的流程Xpi，即“TTIKNPU”tiknqbr1sudWu‘TTIKNPU’tiknqbr2sudu。我们标记为“Xpi，tpi’1qknq。现在，伊藤的引理YIELDSPSTIKNQ“2ztpi’1QNTIKNPPI，uqpbr1sudW pi，uq‘gnpu’TIKNQ2SUDUQ‘tpi’。因此\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknXpi，uqbr1sudW pi，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknXpi，uqgnpu\'tiknqbr2sudu`\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknpgnpu\'iknNqpbr1suqdu”：Rp1.1qn`Rp1.2qn`Rp1.3qn。这里，Rp1.1qn分解为Rp1.1qn“2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknzutiknbr1ssdW pi，sqbr1ssudw pi，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi\'1qkntiknzutiknps\'tiknqbr2sds br1sudW pi，uq”2\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr1stiknqztpi`1qkntiknWπ，uqdWπ，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr1.1stiknztpi\'1qkntiknzutiknpWs\'WtiknqdW pi，sqdW pi，uq`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknztpi\'1qkntiknzutiknps\'tiknqdsdW pi，uq\'2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr1.1stiknztpi`1qkntiknzutikndWsW pi，uqdW pi，uq`oPp1{4nq”：Rp1.1.1qn`Rp1.1.2qn`Rp1.1.3qn`Rp1.1.4qn`oPp1{4nq.（8.4）使用（8.2），（8.3）和（8.4），我们立即观察到RP1.1.1qn“\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr1stiknDWtiknqDErpbr1stiknDWtiknq | Ftikns和mn”Rp1.1.1qn`Rp2.1qn`Rp3qn。关于Rp1.2qn，我们进行类似的操作，得到了Rp1.2qn“2”\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknztpi\'1qkntiknW pi，uqgnpu\'tiknqbr2sudu\'2\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr2stiknqztpi\'1qkntiknzutiknps\'tiknqds gnpu\'tiknqdu\'oPp1{4nq“2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknztpi\'1qkntiknW pi，uqgnpu\'tiknqdu`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2.1stiknztpi\'1qkntiknzutikndWsW pi，uqgnpu\'tiknqdu`\'1{4nψndn\'1"yi“0pbr2stiknqztpi\'1qkntiknqdu\'tiknqdu,\'oPp1{4nq”：Rp1.2.1qn`1{4nNn，2`1{4nNn，3 ` oPp鉴于（8.4）和（8.5），我们注意到Ito的产品规则yieldsRp1.1.3qn`Rp1.2.1qn“2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknDWtiknztpi\'1qkntiknpu\'tiknqdu”2ψnkn3{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr2stiknDWtikn”：1{4nNp1qn，1。

（8.6）最后，我们来看一下Rp1。3qn和V.对于这两个术语，我们都使用pbr1suq“pbr1stiknq`2zutiknbr1s`br1.1ssdWs`br1.2ssds\'`utiknpbr1.1ssqds。然后，回顾Zènin（3.2）的定义和估计值（3.3），我们得到了rP1.3qn\'\'1{4nzdnknnpbr1。1“苏QDU”2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknbr1.1stiknztpi\'1qkntiknpgnpu\'tiknq'ψnqpWu\'Wtiknqdu`\'1{4nψndn\'1"yi“0”2br1stiknbr1.2stikn`pbr1.1stiknqiztpi`1qkntiknppgnpu`tiknqq`ψnqdu”：1{4npNp2qn，1`Nn，4q.（8.7）使用（8.4），（8.6），（8.7）和伊藤公式，我们得到了Rp1.1.2qn`Rp1.1.4qn`1{4n\'Np1qn，1\'Np2qn，1\'\'1{4nNn，1.这完成了命题3.1.定理5.4.的证明。我们写了“dn\'1"yi”0χni，1，Nn“"yk”2Nn，k\'dn\'1"yi”0χni，2，pCn“Kn\'dn\'1"yi”0χni，3，pFn“Ln dn\'1"yi”0χni，4，其中χni，1”\'1{4nψn\'αtikn\'Erαtikn | Ftikns\'，χni，2“2\'1{2nψnbr1stiknztpi`1qkntiknνnipuqdWu`2\'\'1{2nψnsεtiknψnknnbr2stikn`br1。1斯蒂克尼克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努蒂克努`\'\'1{2nψn2ψnpknqkn"yj“1”2ω\'\'pεnikn`jq‰，χni，3“4\'3{4npψnqztpi`1qkn\'1tikn`1`αpi，uq\'Erαpi，uq | Ftiknsrdαpi，uqs，χni，4“2\'3{4n3pψnq\'αtikn\'Erαtikn | Ftikns\'，Kn\'\'1{4n)4\'1{2npψnqdn\'1"yi“0ztpi`1qkn\'1tikn\'1Erαpi，uq | Ftiknsrdαpi，uqs\'C,，Ln”2\'3{4n3pψnqdn\'1"yi“0\'psYtiknq\'αtikn\'\'\'1{4n)2在（5.3）中引入了1{2n3pψnqdn\'1"yi“erαtikn | Ftikns\'C,，以及数量rdαpi，uqs。我们观察到knp'Y~n0和LnP'Y~n0。我们记录了αtikn，有条件地在Ftikn上，以n^0，ψnkn的形式分布npbr1stiknq`ψnωkn˙。然后对于“pχni”pχni，1，1，2，2，3，χni，4 Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了0.5Q我的pχni，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4 Q我们获得了1，4 Q我们获得了1.5Q我们获得了1.5Q我们获得了1.1.5I，1.5Q我们获得了1.5我的1.5I，0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0个更我的人，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2 5.4.对于任何δa0和1dkd4，我们观察到“0Er |χni，k | t |χni，k |δu | Ftiknsdδ2dn\'1"yi”0Er |χni，k | FtiknsdCknn~n0。现在，假设Q是一个有界连续鞅，xW，Qy“xB，Qy”为0。

[5] ）表明，呃χni，kpQtpi`1qkn\'Qtiknq | Ftikns“0。这意味着dn\'1"yi”erχni，kpQtpi`1qkn\'Qtiknq | Ftikns~n0。然后，我们使用[7]的定理IX.7.28来完成。8.3 CForC的非简并性“2θz^pbr1suq`ωψθθψ˙du，我们得到dp1qrc”8θrzr^pbr1suq`ωψψ˙˙br1suqdruand，我们为dpr0编写了dpqdrqdrqdr 0“zt^8θr^pbr1suq`ωψθψ˙br1supbr1suqDp1qrXudu˙dr.Then C的Malliavin协方差σC”σp1q，即}DC}H”σp1q。我们将处理由随机积分方程“Xt”\'X ` tVp ` tVpzXsq"dWs ` tVp xsqdt}qd，由给定的系数表示“·br1spxp1qq, Vpxq“br2spxp1qqapxp1qq对于x“pxp1q，xp2qq，~br2s”br2s\'2\'1br1spbr1sqqandapxp1qq“2θ^pbr1spxp1qqq`ωψθψ˙已定义。条件[V]表示H¨ormander conditionierv；Vspxp1q，0q”Rp@xp1qPSuppltXuqlierv；Vand V生成的李代数Vs定义如下。V和W的Lie括号由V，W spxq“DV pxqW pxq\'DW pxqV pxq给出，其中DV pxq是V在x处的导数。然后，我们用LierV定义Lie代数；Vs“spanTj”0∑j\'，其中∑“tVu和∑j”trV，Vis；vp∑j\'1，i“0，1u（jě1）。然后可以为每t P，1s推导出tσptq 1p261p（8）。

有关详细信息，我们请读者参考[10,12,13]。8.4设置SNA和pMnt的局部非退化，Cq pMnt的Malliavin协方差矩阵，Cq由σpMnt表示，Cq“·σpn，tqσpn，tqσpn，tqσp1q.回想一下αpi，tq“br1stiknW pi，tq`εpi，tq，W pi，tq”ztpi`1qkn^ttikn^tgnpu` tiknqdWu，εpi，tq“ω1{2nztpi\'1qkn\'1^ttikn\'1^t\'hnpu\'tiknqdu。用xUy表示U的二次变化过程，我们得出xαpi，¨qyt“pbr1stiknqztpi\'1qkn^ttikn^tgnpu\'tiknqdu`ωnztpi\'1qkn\'1^ttikn\'1^thnpu\'tiknqdu。和dp1qrw pi，tq“gnpr|tikn|tikn^t，tpi`1qkn^tsprq”gnpr|tikndtikn，tpi`1qknsprqtrdtu。显然，Erαtikn|Ftikns”pbr1stiknqψnknn`ωnztpi\'1qkn\'1tikn\'1hnpu\'tiknqdu。从“2”开始\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi`1qkn^ttikn^tαpi，uqdαpi，uq。”\'1{4nψndn\'1"yi“0αpi，tq\'\'xαpi，¨qyt（，后面是dp1qrmnt”\'1{4nψn^dn\'1"yi“0#2απ，tq\'pbr1sqtiknDp1qrXtiknWπ，tqp0，tiknsprq`br1stiknDp1qrWπ，tq\'\'2br1stiknpr1sqtikndp1qrxtiknztpi`1qkn^ttikn^tgnpu`tikqdup0，tiknsprq+\'\'1{4nψndn\'1"yi“0<<dn\'1"yl“i\'12pbr1sqtlknDp1qrXtlkn”αpl，tqW pl，tq\'br1stlknztpl\'1qkn^ttlkn^tgnpu\'tlknqdu*`2αpi，tqbr1stiknGiprqtrdeff Iiprq.和dp2qrmnt\'\'\'1{4nψndn\'1"yi“02αpi，tqω\'1{2nhnpr\'tiknqptikn\'1^t，tpi\'1qkn\'1^tsprq\'\'1{4nψndn\'1"yi“02αpi，tqω其中Ii“ptikn，tpi\'1qkns，Ii，j”ptikn\'j\'1，tikn\'js，我们使用符号giprq“rkn\'1j”1gpj{knqIi，jprq和Hiprq“rkn\'1j”0\'hpj{knqIi，jprq。

因此，由σMnt“σpn，tq”pψnqdn\'1"yi“0ztpi`1qkntikn<<2表示的Mntis的马列文协方差矩阵\'1{4nαpi，tqbr1stiknGiprqtrdtu`1{4ndn\'1"yl“i`12pbr1stlknq^DrXtlkn\'1{2n\'αpl，tqW pl，tq\'br1stlknztpl\'1qkn^ttlkn^tgnpu\'tlknqduEUR\'\'1{4nαpi，tqω交叉Malliavin协方差xMnt，CyHof pMnt，Cq由σptq“ψndn\'1"yi”0ztpi`1qkntikn#~2给出\'1{4nαpi，tqbr1stiknGiprqtrdtu\'21{4n^p"yl“i`1pbr1sqtlknDp1qrXtlkn\'1{2n“αpl，tqW pl，tq\'br1stlknztpl\'1qkn^ttlkn^tgnpu\'tlknqdu^8θr^pbr1suq`ωψθψ˙br1ssupr1suqdp1qrxudu ff+dr。现在，让σpn，tq“∑pn，tqσpn，tqσpn，tqσptq.然后，我们将σpn，tq修改为“tpp`1qknby¨σpn，tq”¨σpn，tq¨σpn，tq¨σpn，tq¨σpn，tq¨σpn，tqσptq”pt“tpp`1qknqwith∧σpn，tq”pψnqp"yi“0ztpi`1qkntikn”2\'1{4nαtiknbr1stiknGiprqidr`pψnqp"yi“0ztpi`1qkn\'1tikn`1r2\'\'1{4nαtiknω\'1{2nHiprqsdr`pψnqp"yi“0ztpi`1qkntikn^<<1{4np"yl“i`12pbr1sqtlknDp1qrXtlkn\'1{2n“αtlknWtlkn\'br1stlknψnknn|ff dr.和|σpn，tq“ψnp"yi”0ztpi`1qkntikn#<<1{4np"yl“i`12pbr1sqtlknDp1qrXtlkn^\'1{2n“αtlknWtlkn\'br1stlknztpl`1qkn^ttlkn^tgnpu`tlknqdu^8θr^pbr1suq`ωψθψ˙br1ssupr1suqdp1qrxudu ff+dr，分别在t”tpp`1qkn进行评估。

LetJp1qn，l“\'1{4nWtlkn“\'1{4nztpl\'1qkntlkngnps\'lknNQDWS和JP2QN，l“\'\'1{4nεtlkn\'\'ω\'3{4nztpl\'1qkntlknhnnps\'lknnqdBs。定义为“αtlkn”1{4n`br1stlknJp1qn，l`Jp2qn，l和αtlknWtlkn`br1stlknψnknn“br1stlkn`Wtlkn`ψnknn`εtlknWtlkn“1{2nJp3qn，l`1{2nJp4qn，l`1{2nJp5qn，lwhereJp3qn，l“\'1{2nbr1stlknztpl\'1QKNTLKDWS2GNPS\'lknnqzstlkndWugnpu\'lknnqdWuJp4qn，l“\'1{2nztpl\'1qkntlkndWsgnps\'lknnqzstlkndBup'ωq\'1{2nhnpu\'tlknqJp5qn，l\'\'\'1{2nztpl`1qkntlkndBsp\'\'ωq\"1{2nhnps\"tlknqzstlkndWugnpu\"lknnqWe声称，对于每一个qa1，支持>>>1{2np"yi“0Cpi，pq>>>>q”Op1{4nq（8.9）作为CPI的n~n8，pq“\'\'1{4nαTikNb1StIkn1{4n^p"yl“i`1pbr1stlknq^\'1{2nzIiDp1qrXtlkndr˙\'1{2nrαtlknDWtlkn\'br1stlknψnknnqs。我们有CPI，pq“^pbr1stiknqJp1qn，l`br1stiknJp2qn，l˙^1{4np"yl“i`1pbr1stlknq^然后根据[13]中的引理5得出估计值（8.9）。通过使用（8.9），我们使用eσMntpp`1qkn“pψnqp"yi”0ztpi`1qkn#\'\'1{4nαtiknbr1stiknGiprqi`<<1{4np"yl“i`1pbr1stlknqDp1qrXtlkn\'1{2nr2αtlknDWtlkn\'2br1stlknψnknnqs off`“2\'\'1{4nαtiknω\'1{2nHiprqi+dr`OLqp1{4nq^σpn，tpp`1qknq`OLqp1{4nqas n~n8均匀地分布在p中，对于每一个qa1。也就是说，支持，pq:t“tpp`1qkn，p”0，…，dn\'1>>σpn，tq<<σpn，tq>>q”Op1{4nqf对于每一个qa1.以类似的方式，我们还获得了支持，pq:t“tpp`1qkn，p”0，…，dn\'1>>σpn，tq>σpn，tq>>q”Op1{4nqas n~n8对于每一个qa1。这样，我们得到以下结果。引理8.1.支持，pq:t“tpp`1qkn，p”0，…，dn\'1>>σpn，tq'>σpn，tq>q”Op1{4nqas n~n8代表每一个qa1。通过mnppq“pψnqp"yi”0ztpi`1qkntikn”定义mnppq\'1{4nαtiknbr1stiknGiprqidr`pψnqp"yi“0ztpi`1qkn\'1tikn`1r2\'\'1{4nαtiknω通过柯西-施瓦兹不等式，我们定义了∧σ`n，tpp`1qkn“∧σpn，tpp`1qknqσptpp`1qknq''1qknq'σpn，tpp`1qknqěmnppqσptpp`1qknq.（8.10）让un“tdn”{2uknnand让pn“tdn{2u\'1.Set^mn”mnppnq。

定义snbysn“mnσpunq`ψ^mn2c”,其中，CpRq中的ψ：R~nr0，1s满足ψpxq“1 if | x | 1{2和ψpxq”0if | x | 1。然后，我们观察到sně1{2 if^mn 271; c和sně2\'1^mnσpunqotherwise.Lemma 8.2。对于每个qa1，lim supn~n8Ers\'qnsa8\'1{2n`rbr1stiknsDWtikns`rsεtikns^pbr1stiknqψnknn`ωψnkn˙。然后，对于每一个qa1，nan和εtikngives>>>^mn\'m:n>>>q“Op之间的正交性1{4nqLet∏n“ttikn；i“0，…，dn\'1u.引理8.3.对于足够小的正数c，支持1{2P“detσpMnt，Cqasn‰”Opξnq，其中ξ为任意正数。证据在（8.10）、引理8.1和8.2的帮助下，我们得到了suptě1{2P”detσpMnt，Cqasn‰suptě1{2P”detσpn，tqasn‰suptP∏n；tě1{2P”detσpn，tqa1.5sn‰`sups，tnP“|detσpn，tq|detσpn，sq|a0.5sndsuptP∏n；tě1{2P”detσpn，tqa2sn‰`suptP∏n；tě1{2P |σpn，tq|0.5sn Op”ξnqdsuppěpnP“mnppqσptpp`1qknqa2sn‰`suptP∏n；tě1{2P”|σpn，tq'σpn，tq | 0.5sn‰`OpξnqdP“mnppnqσpunqa2sn‰`OpξnqdP“^mndc‰`OpξnqdP“m:ndc‰`Opξnq“Opξnq其中ξ可以是任何正数，如果我们选择一个足够小的正数c.8.5ξ的组成，我们再次考虑满足ψpxq“1 if | x |d1{2”和ψpxq“0 if | x |ě1.对于rn”1{4n，设ξn“r\'c{2npn\'Cq`2r1`4我们的研究人员，Cqs\'1ns\'1ns\'1\'rc{2NCC，其中ca0，c 0，P P p2q，1q为q“p1”q{2为一个固定的P P P P P 0，1{3q，1{3q。让{3q.3 q.Let 3.Let \\\\\"3.3.3.q.Let \\\"n\"n\"n\"n”n \\\"n\"n\"n\"n\"n\"n 34; n \\34; n\"n \"n 34; n\"nl因武断而搁置l P N.通过估计P“2r1`4来验证[B3]（i）是很容易的pMn，Cqs\'1ns\'1a2{5‰，借助于EMMA 8.3。条件[B3]（ii）通过定义立即出现。

条件[B3]（iii）来自引理8.2.8.6Φα的估计。nWe应验证条件[B5]以证明渐近展开的有效性。我们知道Φαnpu，vq“i |α| dαpu，vqEzentpuqdpiuMntqψpu，vqψn对于ψpu，vq“exppp\'uq`ivqCq。将使用FGH分解（[13]）：entpu，vqψpu，vq“Fntpu，vqGntpuqHntpuqwithFntpu，vq”exp piuMnt`ivCq，Gntpuq“exp^upC\'Ctq˙，Hntpuq”exp^upCnt\'Ctq˙。两次应用对偶性，我们得到了表示\'1{4nΦnpu，vq“21{2nψndn\'1"yi“0zdtds Enipu，vqt，swhereEnipu，vqt，s“E”Fntpu，vqGntpuqHntpuqΞnipu，vqt，s‰。函数nt，spu，vq由nipu，vqt，s“iu`entpuqψpu pu pu pu，vq1^”gnpΞtikqnpuΞ\'1{2nhnpt\'tiknqbr1stiknp'ωqDp1qs^entpuqψpu，vqDp2qtψn˙\'\'1{2nhnps\'tiknqgnpt\'tiknqbr1stiknp\'ωqDp2qs^entpuqbr1stiknDp1qtpψpu，vqψnq˙\'\'1{2nhnps\'tiknq\'\'1{2nhnpt\'tiknqp\'\'ωqDp2qs^entpuqψpu，vqDp2qtψn˙*毕竟，nipu，vqt，是Op1q密度的多项式，在lp意义上是稳定的。我们注意到函数tTh~n\'1{2nhnpt\'tiknq稳定为n~n8。通过应用最多8次的分部积分公式，遵循（a）-（h）程序（第911-912页[13]），我们可以得到估计值lim supn~n8supi“0，…，dn\'1supp，sPr0,1suppu，vqP∧np2，qq|Enipu，vqt，s|259; 8。事实上，对于ta1{2，我们利用了gntpu和gntpu的衰变，对于nC，v1{2，我们可以利用pu，vq，即引理8.3和8.2的pMNT，Cq的非退化性。对Φαnpu，vq的估计也是类似的。

8.7命题5.5和定理5.6的证明由于entpuq是指数鞅，且C在事件tψna0u上有界，我们有Φnpu，vq“E”entpuqdpiuMntqψpu，vqψn,其中ψpu，vq“exp`p`u{2`ivqC。我们分解\'1{4nΦnpu，vq as\'1{4nΦnpu，vq“Unpu，vq`^Unpu，vq，其中Gunpu，vq”\'ndn\'1"yi“0E<<ψpu，vqztpi\'1qknticknitkni\'1puqdpiuMntqψn fff，^Unpu，vq”ndn\'1"yi“0E<<ψpu，vqztpi\'1qkntiknpentpuq\'entikn\'1puqdpipumntqψn fff.我们将证明Gunpu，vq是主项，而^Unpu，vq是可忽略的。让我们首先看看Gunpu，vq.我们观察到71unpu，vq”21月1日（2月2日）2月1日（2月2日）的一个月（2月2日）的月（1月1日）的月（2月1日）的月（2月1日）的月（2月1日）的月（2月1日）的月（2月1日）的月（1日）的月（1日）的月（1日）的一个表示，vqt，在这里有一个代表，vqt，vqt，有一个类似于Enipu的表示，vqt，vqt，vqt，vqt，vqt，vqt，有一个类似于Enipu，vqt，vqt，vqt，vqt，SVQT，他们是Enipu，他们是Enipu，vqt，有Enipu，vqt，他们的，他们是Enipu，有Enipu，vqt，SVQT，有Enipu，SVQT，有729.‘gnps’tiknq\'1{2nhnpt\'tiknqbr1stiknp'ωqentikn\'1puqDp1qs^pu，vqDp2qtψn˙\'\'1{2nhnps\'tiknqgnpt\'tiknqbr1stiknp\'ωqentikn\'1puqbr1stiknDp1qt^ψpu，vqDp2qsψn˙\'\'1{2nhnps\'tiknq对于上述等式的推导，使用了GN和HN的支撑的边界。t…u中的后三项产生的项是可忽略的Pr |ξn | 1s”Op任意La0的Lnq。同样的原因也适用于第一学期，我们有“Unpu，vq”21.1{2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0，vqt、vqt、s“E”和“2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0`lDp1qsDp1qtC（其中l“`u`iv。

因此Gunpu，vq“2\'1{2nψndn\'1"yi“0zzdtds Ezentiknpuqψpu，vqu gnps\'tiknqgnpt\'tiknq^pbr1stiknqψnlpDp1qsCqpDp1qtCq`lDp1qsDp1qtC(ψθψψEziu exp`iuMt`Cuψpu，vqpbr1stqlpDp1qtCq`lDp1qtDp1qtC(dt“E”ψpu，vqθψψziu pbr1stqlpDp1qtCq`lDp1qtDp1qtC（dt“E■ψpu，vqθψψiu4θlC`2θlpC`Cq(其中Dp1qtDp1qtC“lims`OtDp1qsDp1qtC”和C“pbr1sqpXtq^tcpxrqdp1qdxrdr˙dt，C”pbr1sqpXtq^tcpXrqpDp1qtXrqdr˙dt，C“pbr1sqpxrqdr^tcpxrqd1qdxrdr˙˙dt”用于cpxq“pbr1sqpxrqdqdqdqdqd1qdxrqdr”ωψψi。收敛性^Unpu，vq~n0是一个很好的证明。此外，可以用类似的方法指定极限Φα来验证F“C的（4.3）。因此，我们得到σpiu，ivq”θψψiur4θCl`2θpC`Cqls。因此，命题5.5和条件[B4]l,2,1已经过验证，从而得出定理5.6的证明。参考文献[1]O.E.巴恩多夫-尼尔森、S.E.格雷弗森、J.贾科德、M.波多尔斯基和N。Shepha rd.关于共连续半鞅的实功率和双功率变化的中心极限定理。在Y.卡巴诺夫、R.利普斯特和J.中。斯托扬诺夫，《从随机微积分到数学金融：Shiryaev Festschrift》，编辑，第33-68页。斯普林格·维拉格，海德堡，2006年。[2] O.E.巴恩多夫-尼尔森、P.汉森、A.伦德和N.谢泼德。设计实现的核函数来测量噪声存在时股票价格的事后变化。《计量经济学》，76（6）：1481-153620008。[3] P.霍尔。bootstr ap和Edgeworth expans。统计中的Spring er系列。斯普林格·维拉格，纽约，1992年。[4] N.豪奇和M.波多尔斯基。存在噪声和跳跃时基于预平均的二次方差估计：理论、实现和经验证据。《商业与经济统计杂志》，3 1（2）：165–183，2013年。[5] J.贾科德、Y.李、P.A.迈克兰、M.波多尔斯基和M.维特。连续ca se中的微观结构噪声：预平均法。随机过程。应用程序。，119(7):2249–2276, 2009.[6] J.贾科德和P。