预平均估计的Edgeworth展开

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英文标题：
《Edgeworth expansion for the pre-averaging estimator》
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作者：
Mark Podolskij, Bezirgen Veliyev, Nakahiro Yoshida
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we study the Edgeworth expansion for a pre-averaging estimator of quadratic variation in the framework of continuous diffusion models observed with noise. More specifically, we obtain a second order expansion for the joint density of the estimators of quadratic variation and its asymptotic variance. Our approach is based on martingale embedding, Malliavin calculus and stable central limit theorems for continuous diffusions. Moreover, we derive the density expansion for the studentized statistic, which might be applied to construct asymptotic confidence regions.
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中文摘要：
本文在噪声观测的连续扩散模型框架下，研究了二次方差预平均估计的Edgeworth展开。更具体地说，我们得到了二次方差及其渐近方差估计的联合密度的二阶展开式。我们的方法基于鞅嵌入、Malliavin演算和连续扩散的稳定中心极限定理。此外，我们还推导了学生化统计的密度展开式，可以用来构造渐近置信域。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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关键词：edgeworth worth Edge DGE Applications

前平均估计器Mark Podolskij的Edgeworth扩展：Bezirgen Veliyev；§Nakahiro Yoshida 2018年8月20日摘要在本文中，我们研究了在噪声观测的连续微分模型框架下，二次变化的预平均估计量的Edgeworth展开。更具体地说，我们得到了二次变量及其渐近方差估计量的联合密度的二阶展开式。我们的方法基于鞅嵌入、Malliavin演算和连续微分的稳定中心极限定理。此外，我们还推导了studentizedstatistic的密度展开式，它可以用于构造渐近置信区域。关键词：扩散过程、Edgeworth展开、高频观测、比例变化、预平均。AMS 2000学科分类。初级62M09、60F05、62H12；中学62G20，60G44。1引言在过去的十年里，许多研究人员研究了它的二次变差的估计。通常，马克·波多尔斯基（Mark Podolskij）和贝齐尔根·维利耶夫（Bezirgen Veliyev）感谢丹麦国家研究基金会（DNRF78）资助的CREATES提供的财政支持。吉田明弘的研究得到了日本科学促进会的支持，该协会的科学研究资助号为24340015（科学研究），编号为。

24650148和26540011（具有挑战性的探索性研究）；佳洁士日本科学技术厅；NS解决方案公司；并通过统计数学研究所的合作研究项目：奥胡斯大学数学系，纽约蒙克加德1188000奥胡斯C，丹麦，电子邮件：mpodolskij@math.au.dk;丹麦奥胡斯五世福格莱桑斯大学经济与商业经济系，邮编8210，电子邮箱：bveliyev@econ.au.dk§通讯作者¨东京大学数学科学研究生院，地址：3-8-1，日本东京153号，美谷市，Komaba，Meguro ku，电子邮件：nakahiro@ms.u-东京。ac.jp}CREST日本科学技术机构在完全渐近设置中考虑，即基础观测是从连续/不连续It^o半鞅、受噪声或相关模型破坏的扩散过程的高频数据中恢复的。最近的一本综合性专著[6]在各种框架下对二次变量和相关对象的估计量进行了详细的渐近分析。在金融数学中，人们普遍认为，当以超高频观察时，金融数据会受到微观结构噪声的污染，如舍入误差、买卖边界和打印错误。这一事实阻止我们在这样的频率下使用经典的已实现波动率估计器。在这项工作中，我们考虑了一个被加性i.i.d.噪声破坏的连续SDE模型，即观测值为y“Xti`εti，其中X是一个连续的扩散过程，ε是一个独立于X和ti”i的i.i.d过程nwithn~n0。众所周知，已实现的波动具有爆炸性，需要更精细的方法来估计潜在扩散过程X的二次变化。

该框架中最著名的估计方法是[14]中的多尺度方法、[2]中提出的简化核方法以及[9]中最初提出的预平均概念。所有这些估计都是一致的、渐近混合正态的，并且具有收敛速度'1{4n，已知是最优的。由于这种相对缓慢的收敛速度，即使在高频情况下，混合正态近似的质量也是相当可疑的。本文的目的是推导预平均估计的二阶Edgeworth展开式，以改进未知密度的混合正态近似。我们注意到我们的工作与最近的一篇论文有关[10] ，研究了无噪声环境下连续扩散过程功率变化的Edgeworth展开。然而，在被加性i.i.d.噪声破坏的连续微分的框架中，预平均统计的随机二次或二次扩展更为复杂。我们的方法依赖于鞅方法、预平均统计量的随机展开和[13]中研究的与混合正态极限相关的Edgeworth展开的一般理论。后一种方法大量使用Maliavincalculus的不同方面，如分部积分公式和概率定律平滑的条件。在第二步中，我们将展示学生化统计数据密度的Edgeworth展开式，该展开式可用于为差异过程X的二次变化构建更精确的置信域。pape r的组织如下。我们描述了主要设置，并回顾了第2节中的预平均方法。第3节给出了二次方差预平均估计的二阶随机分解。

在第4节中，我们证明了Edgeworth展开的一般理论，并讨论了混合正规极限。在第5节中，我们将渐近理论应用于预平均估计，并给出了统计学研究版本的Edgeworth展开式。在第6节中，我们分别讨论了不满足非简并条件的常数波动情况。第7节演示了一个示例，第8节收集了一些预防步骤。2.设置在本文中，我们处理的是完全渐近性，即数据是在等距网格i上观察到的n、 在有限的地平线上n~n0。我们还需要1{是一个正整数。假设终端时间T是固定的，我们假设T“1而不丧失一般性。为简单起见，我们使用符号ti:“in、 关于过滤概率空间pOhm, F、pFtqtPr0、1s、Pq（具体见第5.2节），我们考虑一个满足随机微分方程dxt“br1spXtqdWt`br2spXtqdt（2.1）的微分模型以有界随机变量xa为起始值，标准布朗运动W和连续函数br1s，br2s:R~nR。我们有意选择符号br1s，br2s，以强调在本文的渐近展开中，扩散项br1s主导迁移项br2s。我们对估算综合波动率感兴趣，我们用v“zpbr1spxtqdt”（2.2）表示。然而，由于微观结构噪声的影响，我们无法直接观察过程X，只能通过扭曲来观察。更具体地说，我们假设基本观察值pYtiqiě0由yti“Xti`εti（2.3）给出其中，pεtiqiě0是一系列i.i.d.随机变量，它们分别是εtis“0和Erεtis”ωa0，（2.4）和εtii。此外，我们假设过程ε和x是独立的。这种加性噪声模型广泛应用于金融数学中，参见。

[2,5,9,15]等等。我们需要一些符号来描述预平均估计量，这与文献[5,9]中的结果是一致的。我们选取一个正整数序列pknqn“1和一个正实数θ，这样kn1{2n“θ`op1{2nq和dn:“Zknn^P n.（2.5）此外，我们在r0上考虑了一个连续的非负函数g，2.6）此外，我们还介绍了以下与g相关的符号：此外，我们介绍了以下与g相关的符号：hpj{KNNQ“KNNQ”gppj{KNNQ“knq”gppj“knq”gppj“1PJ{KNNQ”GPPPJ {knq{knq 元Q \\元Q \\\\\\元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元“1pgpj{knqqpj\'1{2q.此外，我们需要下面写的符号。前四个是术语ψni，1did4.ψ“zrgpsqds，ψ”zgpsqds，ψ“zgpsqds，ψ”zsgpsqds，ψ“zzugpsqdsgpqdu，ψ”z“zugpsqdsqdpuqzupgpsq qdszupgpsq qdsdu”gpqduz我们在预处理阶段平均了gpqdu gpu的增量nviasUti“kn\'1"yj”1gpj{knqni\'jU“kn\'1"yj”0\'hpj{knkti\'j，其中最后，我们准备介绍二次变量V:Vn“ψndn\'1"yi”0psYtiknq'ψndn的预平均估计量n2ψnkn1{n"yi“1pniY q.（2.7）我们指出，Vn本质上是[5]中提出的估计量，不同之处在于我们在本文中只使用非重叠窗口。这使得更容易确定估计量的主导鞅mn，这在第3节和第4节中是必需的，而在[5]中研究的原始估计量的鞅ale部分的计算远不明显。正如我们将在下文中看到的，我们需要一个与Vn相关的渐近条件变量的一致估计，它被定义为Fn“2”\'1{2n3pψnqdn\'1"yi“0psYtiknq。

（2.8）我们回顾了一系列随机变量pYnqně1，其定义为pOhm, 度量空间E中的F、Pq和take值称为稳定收敛于极限Y，极限Y定义在扩展p上Ohm, F、 p的PqOhm, F、 Pq，如果对于任何有界连续函数F和任何有界F-可测随机变量Z，它认为erfpynqzs~nErf pY qZs，n~n8。（2.9）在s-Short中，我们使用符号Yndst'Y~nY。我们说Y是正态和随机方差Z的混合，并写出Y“M Np0，Zq，如果Y”ZU，其中U Np0，1q，Za0和U，Z是独立的。表示“锌”1{4npVn\'V q，我们开始第一个简单的结果，证明基本上遵循了[5,9]的工作。我们在第8节中提供了一个证明的草图。定理2.1。在条件Erpεtqsa8下，我们推导出zndst'YM ·MNp0，Cq与C“2θzpbr1spXtqq`ωψθψ˙dt。此外，我们得到了FnP'YC。我们注意到，由于zndst'YM和FnP'YC，以及稳定收敛的性质，研究统计满足zn？Fnd'YN p0，1q。在本文中，我们将首先推导出对pZn，fnq的渐近展开式，然后继续计算研究统计的相关Edgeworth展开式。示例2.2。g的主要例子是函数gpxq“x^p1\'xq。在这种情况下，我们得到了ψn”1，ψn“kn`212kn，ψn”，ψn“kn`224knwhen knis evens和ψn”kn`1kn，ψn“kn\'112kn，ψn”kn\'14kn，ψn“kn`224knwhen knis knis奇。此外，我们还得到了ψ“1，ψ”，ψ，“ψ”，ψ，“ψ”，ψ”，ψ，“ψ”，ψ”，ψ，ψ，ψ”，ψ，ψ，ψ，ψ，ψ，ψ，ψ“.3 Zn的随机分解在本节中，我们为前一节中定义的随机变量Zn的偏差修正版本提供了随机分解。这种二阶随机展开对于获得第4节和第5节中讨论的Edgeworth展开式至关重要。

由于估值器Vndein（2.7）的第一项使用0diddnkn来计算观测值，因此我们有效地估计了区间r0，dnkn上X的二次变化纳什。出于这个原因，我们考虑了经过偏差校正的统计数据Zn“Zn”\'1{4nzdnknNPBR1SPXTQDT。（3.1）很明显，统计学也满足定理2.1，因为修正在概率上收敛到0。然而，偏差可能会影响高阶渐近性。在下一步中，我们继续估计偏差，以构造一个可行的统计量。我们基本上遵循[4，第4节]中提出的程序。设pn为满足pn~n8，pn的整数序列n~n0和pn？n~n8，并设置Jn:“t1{n\'pn\'1，1{努。对于每个t P RDKNn、 我们定义为：“ψnkn”npn"yi`knPJnpsYtiq'ψn2θψnpn"yiPJnpniY q，在t中是常数。在[4]中已经证明了这个局部估计对于pbr1spXtqq是一致的。因此，通过zèn“Zn”获得了统计数据的一个可能版本\'1{4nzdnknNPPBr1spxtqdt。（3.2）我们标记为1\'dnknn“Op1{2nq，这意味着zèn\'Zn“oPp1{4nq.（3.3）在下一步中，我们将展示zèn“Mn`1{4nnn这里有一些紧的随机变量序列。在详细讨论之前，我们需要更多的注释。我们再次考虑SDE定义（2.1）。然而，在本节中，我们假设br1s，br2sP CpRq。在这个光滑性假设下，我们应用伊藤引理，并在随机微分形式asdbrkspXtq中写入brkspXtq，k“1，2“brk.1spXtqdWt`brk.2spXtqdt。同样，我们定义了过程brk.k.kspxtqk，k，k”1，2。在本文中，我们还将使用shor thand符号sbrk，…，kdst“brk，…，kdspXtq，d“1，2，3，k，…，kd”1，2。（3.4）以下过程，即sytikn的一阶近似，将在整个证明过程中发挥重要作用：αtikn“br1stikn”Dεtikn。

（3.5）注意，从Sytiknv获得的αTikni量是在Tikna时刻冻结挥发过程，忽略漂移过程br2s。我们还需要定义函数gna和一个过程W pi，tq:gnpsq“kn\'1"yj”1gpj{knq1ppj\'1qn、 jnspsq，（3.6）W pi，tq“ztpi`1qkn^ttikn^tgnpu\'tiknqdWu.（3.7）我们注意到，对于sd0和sapkn\'1q，gnpsq消失n、 此外，我们得到了恒等式DWtikn“W pi，tpi`1qknq。下一个命题，给出了Zèn的展开式，是本节的中心结果。命题3.1.我们得到了Zèn“Mn”1{4nNn，其中mn“\'1{4nψndn\'1"yi“0”αtikn\'Erαtikn | Ftikns\'和Nn“"yk”1Nn，k`RnwithNn，1“2”\'1{2nψndn\'1"yi“0br1stiknztpi`1qkntiknνnipuqdWuNn，2”2\'1{2nψndn\'1"yi“0br1stiknb2.1stiknztpi\'1qkntiknzutikndWsW pi，uqgnpu\'tiknqdu，Nn，3”3{2nknpψnqψndn\'1"yi“0pbr2stiknq，Nn，4”3{2nknp2ψn′ψnq2ψndn′1"yi“02br1stiknbr1.2stikn`pbr1.1stiknqNn，5”2\'\'1{2nψndn\'\'1"yi“0sεtikn"yψnknnbr2stikn`br1。1.北卡罗来纳州\'1{2nψndnψnkn>>–ω\'n1{n"yi“1pεniq fif，Rn“opp1qq”其中νnipuq“br1.1stiknzutikn”2pWs\'Wtiknqgnps\'tikn\'W pi，sq‰dWs,gnpu\'tiknq\'br1.1stiknzutiknnps\'tiknqdsgnpu\'tikn\'tpi\'1qnupgnps\'tiknq\'ψnqds,ngnpu’tiknqbr2stikn。证据见第8节。第5.4节关于混合正态极限的渐近展开理论将解释数量pMn，Nnq的含义和渐近行为。在本节中，我们简要总结了[13]中提出的混合正态极限的鞅展开的主要元素。在一个过滤概率空间p上Ohm, F、 pFtqtPr0,1s，Pq，我们有一个辅助随机变量zn，满足zn“Mn`rnNn，其中nni是随机变量s的紧序列，prnq是满足rn~n0的正数序列（在我们的框架rn中）1{4n）。注意，我们在上一节中进行了这种类型的分解。

此外，我们假设Mn是某些连续pFtq鞅pMntqtPr0，1swith Mn“0的一个终值。我们假设Mn（以及因此而来的Zn）在法律上稳定地收敛到一个混合法向极限M:Mndst'Y~nM“MNp0，Cq。这里，M定义在一个扩展p上Ohm, F、 p的PqOhm, F、 Pq。设fn为参考范围变量，此处为一般变量，但将在第5节中为Fnof（2.8）。我们对pZn，Fnq的渐近展开感兴趣。让pCntqtPr0,1表示MN和pMtqtPr0,1s的二次变化过程，定义在一个表达式p上Ohm, F，p的PqOhm, F、 Pq，对于Cn:“Cn”和Fn，我们分别表示Pn“r\'1npCn\'Cq和Pfn”r\'1npFn\'fq，其中C和F是一些随机变量。我们在[B1]（i）涉及函数稳定收敛的情况下施加以下关键假设。[B1]（i）pMn¨，Nn，pCn，pFnqdst'Y~npM¨，N，pC，pF q，（ii）每台TPR0、1s的MTN p0、Ctq。关于pZn，Fnq的Edgeworth展开式的所有信息都包含在两个随机符号σ和σ中，这两个符号将在下一小节中介绍。4.1随机符号σ和σ我们从随机符号σ开始。LetrF“F|σpM q。我们假设存在随机变量srcpzq，rNpzq，rF pzq，使得rcpmq”ErpC | rFs，rNpM q”ErN | rFs，rF pM q”ErpF | rFs。然后，我们通过σpz，iu，ivq“piuqrCpzq`iurNpzq`ivrF pzq.”来定义自适应（经典）随机符号σ。（4.1）预期随机符号σ更多地被涉及，并且只被隐含地给出。为此，我们定义了Φnpu，ixpereq“vuc”{2`ivF qpenpuq`1qψns（4.2），其中entpuq`uCnt{2q和ψ是一个截断泛函，它在r0中取值，满足至少（i）Prψn“1s”1\'opr1`κnq为n~n8的某些正常数κ，以及（ii）每当ψn“1”时Cn\'C有界。我们观察到，pentpuqqtPr0,1是一个指数鞅，在ψn截断下可积。