预平均估计的Edgeworth展开

Φnpu的计算，vq可以像ψn“1一样进行，因为截断的影响是渐近可忽略的。对于α“pα，αq p n，让|α|”α`α。对于两个变量的函数，我们使用以下微分算子符号：dα“dαxdαx”和Bα“i'|α| dα。设置Φαnpu，vq”BαΦnpu，vq。我们假设“limn~n8r\'1nΦαnpu，vqe存在并具有形式Φαpu，vq”BαErexpp\'uC{2`ivF qσpiu，ivq（4.3）对于每个αpz`，其中σ由σ“jcjpiuqmivqnj（有限和）（4.4）给出，其中nj、mjP N和cj是随机变量。有关随机符号的详细信息，请参见[13]。N“Z`”t0，1，2，….注释4.1。我们注意，随机符号σ可追溯到[11]它处理与正常极限相关的马尔代尔扩张。另一方面，随机符号σ首次出现在[13]中，是由于极限的混合正态性。事实上，如果C是确定性的，由于ntpuq的鞅性质，我们可以通过一个合适的停止参数来假装ψn“1，并得到ψnpu，vq”0。这意味着σ“0.4.2 pZn，fnq的渐近展开式。我们通过σ“σ`σ”定义完整的随机符号σ。我们回顾fr om（4.1）和（4.4）Tσ和σ是具有随机系数的piu，ivq中的有限多项式。因此，σ允许分解σpz，iu，ivq“jcjpzqpiuqmivqnj（有限和）对于一些nj，mjP N.我们设置pZn，Fnq aspnpz，xq”Erφpz；0，Cq | F”xspFpxq（4.5）`rn"yjp | dzqmjp | dxqnj`Ercjpzqφpz；0，Cq | F | xspFpxq，其中φp¨；0，bq和pfpq分别表示p0n，bq和F的密度。我们注意到，由于条件的存在，将在稍后施加γ，pq“h:R|R|h是可测量的，|hpz，xq | Kp1 | z | | | x | qγ（.hpepk，γq，我们表示nphq“ErhpZn，Fnqszhpz，xqpnpz，xqdzdxˇˇˇˇ。我们现在正处于回顾基本结果的阶段。我们需要Malliavincalculus的元素来陈述它；主要概念参见例如书[8]。

接下来，为了简单起见，我们将只处理一维泛函mn和Fn，并将二维高斯过程作为输入过程。然而，就本文而言，这是足够的。对于H“Lpr\'1，1s^t1，2u，dt^νq，ν作为计数度量，让w”pwphqhphbe是一个与hilbe-rt-spa-ce H相关的高斯过程。也就是说，w是一个中心高斯随机变量族，使得H的erwphqwpgq“r\'1，1s^t1，2uhgdxdν。Malliavin导数用D表示，而它的对偶，也称为散度算子，用δ表示“D。对于可分离的bleHilbert空间E，定义了E值随机变量的Sobolev空间Ds，ppEq，其中s是可微性指数，p是可积性指数。我们只需写出Ds，pfor Ds，ppRq。设Ds，8pEq“pa1Ds，ppEq。对于多元函数U”pU，…，Udq，U的Malliavin协方差矩阵由σU给出：“pxDUi，DUjyHq1di，jdd.我们还设置了U：“detσU.除[B1]外，我们还将考虑以下条件。我们不认为下面的右值函数ξn是用来构造截断函数ψn.[B2]l（i） F P Dl,8和C P Dl,8.（ii）MnP Dl`1,8，FnP Dl`1,8，CnP Dl,8，NnP Dl`1,8和ξnP Dl,8.此外，对于每一个pa1，supnPN“}Mn}l`1，p`}Cn}l`1，p`}Fn}l`1，p`}Nn}l`1，p`}ξn}l,p*8[B3]（i）limn~n8Pr|n|1{2s“1.（ii）Cn|C|r1|n|1，其中p p0，1{3q是常数。（iii）对于任何pa1，lim supn~n8E“t|n|1”\'ppMn，fqa8和C\'1PSpa1Lp。[B4]l,m、 n（i）σ是形式为σpz，iu，ivq“"yjbjzkjpiuqmjpivqnjpbjP D4,8，mjd2，njd1q的随机符号（ii）存在一个随机符号σ，它有一个重新表示σpiu，ivq“"yjcpiuqmjpivqnjpcjpd”l,8，mjdm，njdnqand（4.3）对每一个αpz′保持不变。在假设[B5]中，术语Φn（见（4.2））涉及截断泛函ψn，如下所述。

假设ψ：R~nr0，在CpRq中，CpRq（CpRq）满足了CpRq（CpRq）的要求。在CpRq（CpRq）中，CpRq（CpRq）满足了《CpRq（CpRq）中，中国人民党（CpRq）中，中国人民党（CpRq）满足了中国人民党（CpRq）和中国人民党（pxq）的要求。让Qn“pMn，F q和RNN，F q和RNN”pNn，FQ和RNN“pNn”pNn，FN，FQ和RNN，Fnq和RNN，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，Fnq，并定义了一个随机矩阵和一个随机的随机矩阵的随机矩阵的随机矩阵。一个随机矩阵。一个随机矩阵。一个随机矩阵是由一个随机的随机矩阵的ByRNBRNBRNNByn的4.6）函数ξn将在第8.5节中为我们的应用进行更详细的设置。[B5]对于每个αpz`和一些ε“ε”εPαqp p0，1q，lim supn~n8suppu，vqP∧np2，qqqr\'1n | pu，vq | 3 |ε|Φαnpu，vq | 8，其中∧np2，qq“tpu，vq；| pu，vq | r | qnu和q”p1 aq{2l maxp5，2rpn`3q{2sq.设K，γpp0，8qandκpp0，1q为任意数.假设条件rB1s，rB2sl, Rb3s，rB4sl,m、 nand Rb5是满意的。然后对于一些常数K“KpK，γ，κq，suphPE pK，γqnphqdKP“|ξn|a1{2‰κ`oprnq.（4.7）换句话说，如果事件被ξ截短，Pnq是pZn，Fnq对分布的二阶Edgeworth展开。参见[13]有关上述定理和其他信息的详细信息，以及AlSorXIV 12 10.3680v3的更新。利用Malliavin微积分推导了辛展开式pn。此外，我们需要Malliavin协方差的非简并性，因为渐近e展开的有效性问题与基础泛函的分布规律性有着密切的关系。即使在经典扩展中，如果[B3]（iii）不满足，也有一个反例。条件[B5]也是对同一类型的不确定性的要求，但考虑与预期随机符号对应的校正项。备注4.3。在Pr|ξn|271; 1{2s“1”Oprκnqf代替[B3]（i）的Stronger假设下，我们可以简单地使用ψn“ψpξnq而不使用ξ，并删除（4.7）右侧的第一项。

虽然在证明中重新构造了更深的截断（4.6），但这使得结果的表示稍微简单一些。在这种情况下，由于截断减少，条件[B5]可能会变得更强。5主要结果：预平均估计的渐近展开在本节中，我们利用了混合正态极限的一般理论的结果，得到了预平均估计的Edgeworth展开式。5.1假设我们将（2.8）中定义的Fn视为C的一致估计量。我们用Cb表示R上的光滑函数集，其所有正序导数都有界。Letapxq“2θ^pbr1spxqq`ωψθψ˙。我们假设suppLtXu是紧的，ω是正的。我们对过程br1s和br2s施加以下条件。[V]（i）br1s，br2sP cb和br1spxq“0表示x P支持。（ii）rk”1 | dkxapXq | 0.备注5.1.如果BR1为非负，条件[V]（ii）可替换为（ii）rk“1 | dkxbr1spXq | 0.备注5.2.通过假设，supp LtXu是紧的。我们不假设在Br1的整个域上的差异具有一致的椭圆度。微观结构可以作为Mn分布的一个更平滑的部分。另一方面，我们需要定理2.1中定义的C分布规律。实际上，这将满足C是随机的。如果C是确定性的，则交感膨胀问题成为经典问题，可由[11]处理。我们参考第6节来阐述这种设置。5.2稳定极限理论我们在前一节中看到n，σ的随机系数完全取决于条件[B1]中发现的稳定收敛极限。因此，我们需要计算M，N，pC，pF。在本节中，我们假设εti“ω其中对于高斯过程w“pwphqhph，Bt”wpr\'1，ts^t2uq表示tpr\'1，1s，以及Wt“wpr0，ts^t1uq表示tpr0，1s。我们假设w与X无关。

W和B方向上的Malliavin导数分别用dp1qa和Dp2q表示。该模型（5.1）的特定高斯框架是为了能够使用Malliavin演算。我们的结果可以直接推广到更一般的设置εti“在对随机过程pωtqtě0（cf.[5]）的温和假设下，ω适应于过滤Gt“σpX，pWsqsdtq。然而，我们省去了这种情况的详细阐述。与gnpsq和W pi，tq类似，我们定义了HNPSQ“kn\'1"yj”0hpj{knq1ptj\'1，tqsjsq，εpi，tqΩ”我们把εtikn“εpi，tpi\'1qkn\'1q”标记为εpi，tpi\'1qkn\'1q。让αpi，uq“br1stiknW pi，uq\'εpi，uq，uq，并注意到αpi，uq，有条件地在Ftikn上，按n0，zutikn\'1rgnpu\'1stinq\'分布\'1nhnpu\'tiknqsdu,。我们将对F“pFtqtPr0,1s进行过滤，每个fts由X，twsusr0，tsa和tbsusr\'1，ts生成。它的引理意味着mn是F-连续鞅mnt”2的终值根据表达式（5.2），我们观察到NSatis fiescn“xMny”4的二次变化\'1{2npψnqdn\'1"yi“0ztpi`1qkntiknαpi，uqrdαpi，uqs，其中αpi，uqs”rpbr1stiknqgnpu\'tiknq`ω\'1nhnpu\'tiknqsdu。（5.3）在讨论s表极限定理之前，我们观察到NN中包含的一些项以概率收敛。我们想把它们和别人分开吃。引理5.3。我们得到了概率Nn，kP'YNk，k“2，3，4的收敛性，其中，在3.1命题和N“θpψqψbr1subr2.1sudu，N”θpψqψpbr2suqdu，N“θp2ψ'ψq2ψ2br1subr1.2su'pbr1.1suqdu”中定义的量，在回顾了前面章节pcn中使用的以下符号后\'1{4npCn\'Cq，pFn“\'1{4npFn\'Cq，我们准备好陈述我们的稳定收敛结果。定理5.4。

我们得到了稳定收敛的Mn，Nn，pCn，pFn\'dst'Y~npM，N，pC，pF q\'Mn^u，z∑sds˙，其中u“u”u∑s∑s∑s“0，u”u“z”pbr1ss，br2ss，br1.1ssqdWs`k“2nd∑s”2θ^pbr1ssq`ωθψψψ˙，br2ss，br1.1ssq，br2ss1。“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的“s”的PBR1SSSSQQQQQQQ商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商商p4ψ′ψqψyz′ψy‰`4ωψψ“ψy`ψz‰`3ωψθ.证明.见第8.5.3节σ和σ的计算.现在计算σ是很简单的.实际上，定理5.4和（4.1）中的极限混合范数意味着σpz，iu，ivq”piuqHpzq`iuH`ivHpzq（5.4），其中Hpzq“zs∑sdss∑sds，H”u，Hpzq“zs∑sdss∑sdss∑sds”。现在，我们将σ的计算传递到σpz的计算中.期望随机符号∑3以αpu为特征，vq“BαErexppp`u{2`ivqCqσpiu，ivqs（5.5）在目前的情况下。使用Malliavin演算的技术，我们得到了以下结果。命题5.5。我们得到了恒等式σpiu，ivq“iu^'u`iv˙H`iu 710'u`iv˙H，（5.6）其中cpxq”“pbr1sqpqq`ωψθψθφ305和H”“4θψpbr1sqr1pxqdqdqdr 380t，pbr9t'qdrcpXrqpDp1qtXrq`cpXrqDp1qtDp1qtXridr˙dt。证据参见第8.5.4节预平均估值器的渐近展开式，考虑到f（5.4）和（5.6），我们观察到全随机符号σ“σ`σ”由σpz，iu，ivq“"yj”1cjpzqpiuqmivqnj（5.7）给出，其中m“1，n”0，cpzq“H，m”0，n“1，cpzq”Hpzq，m“0，cpzq”Hpzq，m“1，n”0，cpzq“H，m”1，n“2，cpzq”H，m“3，n”1，cpzq“H”，cpzq“n”0“H.我们继续按照第4.2节的规定，确定密度pnpz，xq bypnpz，xq”φpz；0，xqpCpxq（5.8）`1{4n"yj“1p\'dzqmjp\'dxqnj`φpz；0，xqpCpxqErcjpzq | C”xs，根据（4.5）。对于hpepk，γq，我们还记得符号nphq“ˇˇErhpZèn，Fnqszhpz，xqpnpz，xqdzdxˇˇˇ。以下定理是本文的主要结果。定理5.6。

假设条件rV s满足。设Ka0，γa0。然后是suphpe pK，γqnphq“op1{4nqProof.参见第8节。这个定理并不是故事的结尾。从统计学应用的角度来看，与学生化统计学有关的Edgeworth展开更有趣。因为（5.7）中σ的表示与[10，第6节]中的相同，我们很容易得到Zèn的二阶Edgeworth展开{Fn.推论5.7.假设条件rV s已满。我们通过恒等式Hkpzq“zrHk，k”1，3定义随机变量r。然后Zèn{Fn的二阶Edgeworth展开式由pzèn{Fnpyq”φpy；0，1q`给出1{4nφpy；0，1 q“y\'ErHC\'1{2s\'ErHC\'3{2s\'ErHC\'5{2s\'ErrHC\'1{2s\'y\'ErrHC\'1{2s\'ErrHC\'1{2s\'ErrHC\'1{2si注意，二阶项中涉及的多项式是3阶奇数。然而，在一般情况下，它与三阶Hermite多项式无关，后者出现在i.i.d观测框架下的经典Edgeworth展开中，参见[2.3]中的e.5].6恒定波动的情况本文的主要重点是研究当估计对象C为随机m时的渐近展开，如前几节所示。然而，我们注意到，当br1spxq“b对所有x都适用时，rV s（ii）的条件并不满足。特别是，推论5.7的渐近展开不能直接应用于常数波动的情况。为了完整性，我们在设置br1spxq”b时同样地给出了二阶边正交展开，这依赖于之前的工作[11]本文研究的是与经典中心极限定理有关的符号表示，它不需要条件rV s（ii）。我们注意到，在恒定波动的情况下，符号密度pZèn{fn的表达式相当简单。

特别是，在注释4.1的v ie w中，我们得到了σ“0”。因此，H“H”0。推论5.7的以下版本是[11，定理1]的一个结果。定理6.1。假设br1spxq“b与条件rV s（i）相同。然后Zèn{？fn的二阶Edgeworth展开式由pzèn{？Fnpyq“φpy；0，1q`1{4nφpy；0，1qc\'1{2“y\'ErHs`rH\'3rH\'y\'rH\'rHi证明。首先，我们注意到，条件nrv s（i）暗示了[11，定理1]的假设。对于pZèn，Fnq对[11，定理1]还没有得到渐近展开式，因此我们需要对studentizedstatistic Zèn{fnn直接进行随机展开在这里，我们回顾了“r\'1npFn”的注记，回顾了“r\'1npFn”的注记，我们回顾了“r\'1npFn”的注记，回顾了我们的注记，我们已经有了MnC1{2和NnC1，我们有了MnC1{2和NnC1和NnC1.2和NnC1和NnC1和NnC1.2.2.2.2.2.2\'MNPF2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.pCC,“：pM，η，ξq，其中ξa和η遵循[11]定理1中的符号。回顾方程（4.1）和（5.4），我们观察到恒等式η| M“zs”ErHsC1{2\'zrH2C1{2和Erξ| M“zs”2zrHC1{2。[11，定理1]的二阶Edgeworth展开意味着公式pzèn{Fnpyq“φpy；0，1q`rnBypErξM”y |“ys.一个简单的计算意味着期望的渐近展开。7例例7.1.设Aa0和σa0。

我们考虑Black-Scholes模型来净化前面几节的计算：dxtt“aXtdt`σXtdWt。在这个框架中，我们有br1st”σXt，br1.1st“σXt，br1.2st”aσXt，br2st“aXt，br2.1st”aσXt，br2.2st“aσXt，br2.2st”aXt。然后，我们立即得到c“2θz^σXt`ωψθθψψ˙dt，rH”2θsψψsψXt` dtsρsrH 6;我们观察到，DP1Q1QQP是令人满意的，对于t（283）ψ，Dp1qsXt“AD1QSXXTDT”是“AD1QSXTDT”是“AD1QSXXXXXTDT”是，对于t（283）是，DP1QSX”AD1QXXXXXXXXXXTDT”是“AD1QXXXXXXTDT”是“D1QXXXXXXTDT”是”的，DP1QSXXXDWDWT，DP1QSDWDWDWT是，DP1QSX是，是“XXXXX是”是”是。这是很容易容易容易地简化的“DP1QSX”是“XX”是“公司”是“公司”的意思。这很容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易容易地地是”的。这是在”的“公司的“公司”是”的“公司的“tcpXrqXrdr˙dt，H“2θψσψzXt^t“cpXrqXr`cpXrqXr‰dr˙dt.使用上述量，我们可以得到Zèn{？fn的二阶Edgeworth展开式。使用推论5.7.8证明8.1定理2.1的证明草图，在不丧失一般性的情况下，我们假设过程br1和br2是有界的。这是按照标准的局部化过程完成的，请参见[1]详细信息。由αtikn“br1stiknDWtikn’sεtikn”过程给出的syticonis的三阶近似（另见命题3.1的陈述）。因此，我们得出ZnisMn中的支配项\'1{4nψndn\'1"yi“0”αtikn\'Erαtikn | Ftikns*。使用符号βtikn“1{4nψn'αtikn'Erαtikn | Ftikns'，我们观察到βtikns Ftpi`1qkn可测量且Erβtikn | Ftikns“0成立。此外，我们还得到了dn\'1"yi“0Er`βtiknFtikns”2\'1{2npψnqdn\'1"yi“0^pbr1stiknqψnknn`ψnωkn˙P'Y~nC.因此，第一个主张来自[7]的定理IX.7.28。至于第二种说法，我们再次观察到，αtikn过程给出了Syticonis的一阶近似值。此外，我们还发现FNSTATIES中的主要术语2\'1{2n3pψnqdn\'1"yi“0Er`αtikn| Ftikns”2\'1{2ndn\'1"yi“0^pbr1stiknqknn′ψnωψnkn˙P'Y~nC.8.2命题3.1的证明和定理5.4命题3.1的证明。

如前一节所述，我们应用一个局部化过程，并假设所有形式的过程brk。。。kms，ki“1，2，是bo unded。我们将多次应用以下版本的Burkholder’s sinequality s。对于（2.1）中具有有界漂移和扩散项的任何过程U和任何pě0，我们有| Ut | Us | psdCp | t | s{2.（8.1）。因此，我们可以将此结果应用于以下项：br1s、br2s、br1.1s、br1.2s、br1.2s、br2.1s和br2.2s\'1{4nVn“\'1{4nψndn\'1"yi“0`sXtikn`2\'1{4nψndn\'1"yi“0sXtiknsεtikn`\'1{4nψndn\'1"yi“0”sεtikn\'ψnωkn`\'1{4nψndnψnkn>>–ω\'n1{n"yi“1pYniq文件：Rp1qn`Rp2qn`Rp3qn`1{4nNn，6`oPp1{4nq.（8.2）让我们先来看看术语Rr2sn。由于“br1stiknDWtiknztpi\'1qkntikn”pbr1su\'br1stiknqdW pi，uq\'gnpu\'tiknqbr2sudui，我们得到了rP2qn”2\'1{4nψndn\'1"yi“0#br1stiknDWtiknsεtikn`ztpi`1qkntiknpbr1su`br1stiknqdW pi，uq^sεtikn+`2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi\'1qkntikntingnpu\'tiknqbr2sudu^sεtikn”2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1stiknsDWtiknsεtikn`2\'1{4nψndn\'1"yi“0br1.1stiknztpi`1qkntiknzutikndWsdW pi，uq`br2stiknψnknn,sεtikn`oPp1{4nq”：Rp2.1qn`1{4nNn，5`oPp1{4nq.（8.3）在上述计算中，oPp1{4nq误差项是通过将（8.1）应用于过程br1.1和br2s获得的。让我们提供一些细节。（8.1）应用于过程BR2simpleser | br2su | br2stikn | psdCpp{4n.对于每一个0diddn\'1和tikndudtpi`1qkn.然后，我们得到ztpi`1qkntiknpu`tiknqpbr2su`br2stiknqdu^sεtikn“OPpnq和2\'1{4nψndn\'1"yi“0ztpi\'1qkntikningnpu\'tiknqpbr2su\'br2stiknqdu^sεtikn”OPp1{2nq，其中我们使用了X和ε的独立性，以及上面第二个结果中ε的i.i.d假设。现在，我们转到Rp1qn的展开式。