多元混合动力学模型：移位动力学和

因此，将单一资产遵循几何布朗运动并引入单一布朗冲击之间的常数相关性的模型视为多维基准似乎很自然。然而，当从一维框架转移到多维框架时，会出现更多可能的期权工具，用于比较参考模型和分析模型下的价格，具体选择取决于我们感兴趣的特定产品。Austing[1]最近就一些最受欢迎的多资产产品进行了讨论，建议使用复合期权作为基准来定义隐含相关性。在本文中，我们采用了一种不同的方法，基于与S（t）期权的比较，S（t）与支付（S（t）S（t）- K） +。（3.1）假设这对（S，S）遵循一个二维Black and Scholes模型，换句话说，沙遵循两个几何布朗运动，相关系数ρ和3相关偏斜8考虑方程（3.1）中的支付。考虑到Black和Scholes对S的隐含波动率，使得二维Black和Scholes模型下的价格与市场价格相同的值ρimplate（S（0），S（0），K，T）=BS_价格（S（0），S（0），K，T，ρimpl（K，T））称为隐含相关性。如果我们试图匹配给定到期日T和两个不同的行权K，K的期权价格，我们将观察到隐含相关性的两个不同值。这与二维Black-and-Scholes模型中的常相关假设相反。曲线K→ ρimpl（K，T）称为相关偏斜。

因此，相关性偏斜可以被视为一种描述性工具/度量，类似于一维情况下的波动率微笑，不同之处在于，它主要描述的是隐含依赖性，而不是波动性。3.1用单参数ρviamuvm解释MVMD中的偏差本节的目的是在使用等式（3.1）中带支付的期权时，引入移位MVMD动态下隐含相关性的定义。这使得三角关系的研究在外汇市场中得到了直接的应用。例如，想象一下，Sand S分别表示美元/欧元和欧元/日元的汇率。交叉资产S=SSS代表美元/日元汇率，等式（3.1）中相应的支付是美元/日元汇率看涨期权的支付。在下文中，我们将研究一旦将单个成分S校准为单变量移位LMD模型，移位MVMD模型是否能够始终如一地重现S的隐含波动率。例如，为了从流动性较高的货币对重建流动性较低的交叉货币对的时间经验，这类一致性属性很重要。在继续之前，我们对ρ的解释做一个评论。考虑到二元扩散模型ρL（t）：=dhS，SitpdhS，SitdhS，SitdhS中瞬时局部相关性的定义，并利用Schwartz不等式，我们得出在s hif ted MVMD模型下局部相关性的绝对值小于在移位SCMD模型下的值。

结果包含在下面的命题中。命题6（移位MVMD和移位SCMD中的局部相关性）移位SCMD模型下的瞬时局部相关性为ρ，而对于移位MVMD模型，我们有ρL（t）=ρPNk，k′=1λkλk′σ（k）σ（k′）~l（kk′）t（x，x）rPNk，k′=1λkλk′σ（k）2~l（kk′）t（x，x）PNk，k′=1λkλk′σ（k′）2~l（kk′）t（x，x）,|ρL（t）|≤ ρ其中√l（kk′）t（x，x）被定义为方程（2.4）中的i。3相关性偏斜9我们看到ρ进入了MVMD模型中瞬时局部相关性ρ的公式，尽管后者比常量ρ更复杂。我们的目标是在移动MVMD动态与市场价格的情况下，找到与等式（3.1）中的付息期权价格匹配的ρ值。为了做到这一点，我们将使用一个参数不确定的模型，其移动MVMD是一个马尔可夫投影。事实上，如Brigo等人[10]所示，定义3中的VMD模型（无移位）是定义如下的模型的马尔可夫投影ξi（t）=uiξi（t）dt+σIii（t）ξi（t）dZi（t），i=1。。。，n、 （3.2）其中每个Z是一个标准的一维布朗运动，具有d hZi，Zjit=ρi，jdt，uiare常数，σi:=[σi，…，σInn]是一个独立于Z的随机向量，用i，…，表示不确定的波动性，相互独立。更具体地说，每一个σi都在一组N个概率为λki的确定性函数σki中取值。

因此，对于（ε）中的所有时间+∞) 对于小ε，我们有（t7）-→ σIii（t））=（t 7-→ σi（t））与Q概率λi（t7）-→ σi（t））与Q概率λi。。。（t 7-→ σNi（t））与Q概率λNiNow很容易证明，如果我们向每个分量添加一个移位，如下＠ξi（t）=ξi（t）+βieuit（3.3），我们得到一个具有移位MVMD模型（2.3）-（2.5）的模型，作为马尔可夫投影。这可以很容易地用Gy"ongy引理来证明[13]。定理7移位MVMD模型是移位MUVMMD模型的马尔可夫投影。证据伊藤引理的一个简单应用表明，满足以下SDEs系统的是∧ξ（t）=diag（u）~ξ（t）dt+diag（∧ξ（t）- α（t））AI（t）dW（t）（3.4），其中diag（α（t））是一个确定性矩阵，其第i个对角线元素是移位βieuItan，AI（t）是协方差矩阵∑Ii，j（t）：=σIii（t）σIjj（t）ρij的Cholesky分解。定义v（t，ξ（t））=diag（ξ（t）- α（t））AI（t）。为了证明MVMD模型是MUVM模型的马尔可夫投影，我们需要证明E[~v~vT |ξ（t）=~x]=~σ~~σt（t，x）。（3.5）式中，σ（t，x）=diag（x）eC（t，x）B和c的定义如（2.3）所示。观察这一点[v~vT|ξ（t）∈ dx]=E[diag（～ξ（t）- α（t）∑diag（～ξ（t）- α（t））1{ξ（t）∈dx}]E[1{ξ（t）∈dx}]=diag（x- α（t））PNk，。。。，kn=1λk。。。λknnVk，。。。，kn（t）~lKkn1，。。。，Nt（x）diag（x）- α（t））dxPNk，。。。，kn=1λk。。。λknn√lKkn1，。。。，Nt（x）dx3相关偏斜10和p执行简单的矩阵运算，方程（3.5）很容易得到。由于我们将从（3.1）中的期权价格中推断ρ的值，其收益仅取决于时间T时（S，S）的值，因此我们可以在移位的MUVMM而不是移位的MVMD下进行计算，因为这两个模型具有相同的一维（初始）分布。

移位MUVM模型下的计算更容易（相对于移位MVMD情况），因为在{Ii=j}条件下，ξi遵循波动率σji的移位几何布朗运动。我们将特别关注二维规格，在这种情况下，移位MUVM减少todS（t）=uS（t）dt+σI（t）（S（t）- βeut）dW（t）dS（t）=uS（t）dt+σI（t）（S（t）- βeut）dW（t）（3.6），其中布朗运动W，Whave相关ρ。一旦我们独立地校准了Sand，每个都是单变量移位LMD模型，我们注意到，在计算（3.1）中具有支付效果的期权的价格时，唯一缺少的参数是ρ。定义8：我们将移位MVMD模型中的隐含相关参数定义为ρ值，以最小化移位MVMD模型下带支付（3.1）期权的隐含波动率与市场隐含波动率之间的平方百分比差异。3.2 SCMD中的相关偏差通过ρ现在，假设将（S，S）的联合动力学建模为移位的SCMD模型。在这种情况下，ds（t）=uS（t）dt+ν（t，S（t）- βeut（S（t）- βeut）dW（t），dS（t）=uS（t）dt+ν（t，S（t）- βeut（S（t）- βeut）dW（t）（3.7）与ν（t，x）=PNk=1λkσk（t）lkt（x）PNk=1λklkt（x）1/2，ν（t，x）=PNk=1λkσk（t）lkt（x）PNk=1λklkt（x）1/2（3.8），其中布朗运动W，Whave关联ρ。在这种情况下，参数ρ实际上代表了瞬时局部相关性的真实值，与MMD情况相反。我们仍然将隐含相关性定义为ρ值，该值最小化了在转移SCMD模型下支付（3.1）期权的隐含波动率与市场隐含波动率之间的平方百分比差异。3.3定价在转移MUVMNow下，我们考虑在转移模型下计算期权的价格，如（3.1），即交叉汇率期权。一般来说，对于不移位的情况，一个会失去可处理性。

然而，人们仍然可以通过一个包含双重积分的半解析公式来表示价格：3相关性偏斜11e-rTE[（B）- K） +]=e-rTNXi，j=1λiλjZ∞KdB（B）- K） 兹洛格B/α-αF（T）+∑i，i1,1-∞dxn（x；0，∑i，i1,1）n（Di，j（B，x）；0, (1 - ρ） ∑j，j2,2）B- αF（T）ex-∑i，i1,1/2- αα（3.9），其中n（x；m，S）是一维高斯随机变量的密度函数，平均值为m，标准偏差为S，Di，j（B，x）=lnBF（t）ex-∑i，i1,1+α- α- ln（F（t））+∑j，j2,2- ρxvuut∑j，j2,2∑i，i1,1和∑i，jh，k=σihσjkT，对于h，k=1,2和i，j=1。N这是因为产品的密度b=SS=（ξ+βeuT）（ξ+βeuT）可以写成aspBT（b）dB=Q（BT）∈ dB）=E[1{BT∈dB}]=NXi，j=1λiλjEh{（ξi+βeuT）（ξj+βeuT）∈dB}i（3.10）式中，ξ（t）=uξ（t）dt+σi（t）ξ（t）dW（t）dξ（t）=uξ（t）dt+σj（t）ξ（t）dW（t）现在我们集中在求和（3.10）中的一个项上，为了简单起见，我们省略了超级脚本i，j。

调用F（t），F（t）t-远期资产价格，定义xi=lnξiFi（t）+∑i，iwe可以将预期改写为zdxdx{（F（t）ex-∑1,1/2+α）（F（t）ex-Σ2,2/2+α)∈dB}n（x；0，∑）=-ddbzdbxdxn（x；0，∑）其中n（x；0，∑）是二元正态分布的密度，平均值等于零，协方差矩阵∑定义如下∑=∑1,1ρp∑1,1∑2,2ρp∑1,1∑2,2,2（3.11）观察到n（x；0，∑）=n（x；0，∑1,1）n（x-ρxp∑2,2/σ1,1；0, (1-ρ） ∑2,2），关于x的积分，在（3.10）中代入，我们得到pbt（B）=NXi，j=1λiλjZlogB/α-αF（T）+∑i，i1,1-∞dxn（x；0，∑i，j1,1）n（Di，j（B，x）；0, (1 - ρ） ∑i，j2,2）B- αF（T）ex-∑i，j1,1- αα，方程式（3.9）很容易推导出来。4比较移位MVMD和SCMD中的相关偏差124比较移位MVMD和SCMD中的相关偏差本节的目的是根据隐含相关性比较移位MVMD和移位SCMD模型，分析它们在再现三角关系方面的性能。4.1交叉汇率的数值案例研究特别是，我们考虑了两个分量（t）=X（t）+βe（re）的ashifted MUVM模型下的交易所S=USD/EUR，S=EUR/JPY-r$）tS（t）=X（t）+βe（rY-re）twithdX（t）=（re- r$）X（t）dt+σI（t）X（t）dW1，etdX（t）=（rY- re）X（t）dt+σI（t）X（t）dW2，其中re，r$，Ry分别是欧元，美元和日元利率，σI（t），σI（t）如等式（3.2）所示。W1，Et和W2，t表明我们正在考虑S的沙的动力学，每个沙都在其本国的衡量标准下，即在沙的情况下是欧元，在S的情况下是日元。我们独立地校准沙，每个沙都根据其自身的波动曲线，使用2个分量，并最小化模型和市场隐含的波动性之间的平方百分比差异。

然后，我们查看代表美元/日元交叉汇率的产品SS，并检查该模型是否能够与单个资产的里程一致地再现交叉微笑。特别是，我们发现ρ使篮子期权的隐含波动率S=S与市场隐含波动率之间的平方百分比差异最小化，在移动MVMD模型（移动SCMD模型）下。换句话说，我们研究了移位MVMD模型和移位SCMD模型下的隐含相关性。在S上进行校准时，我们表示X和X在日元下的动力学：dX（t）=（re- r$- ρσI（t）σI（t））X（t）dt+σIX（t）dW1，YtdX（t）=（rY- re）X（t）dt+σI（t）X（t）dW2，Yt，然后我们计算期权的价格on（t）=（X（t）+βe（re）-r$）t）（X（t）+βe（rY）-re）t）。我们数值实验的所有数据都是从彭博终端下载的。我们首先考虑2015年2月19日的数据。S的初始值为（0）=0.878，S（0）=135.44。首先，我们使用4的隐含波动率来校准Sand，比较6个月到期的移位MVMD和SCMD 13期权的相关偏差。表示η=sRTσ（s）dsT，sRTσ（s）dsTη=sRTσ（s）dsT，sRTσ（s）dsT沙S仪器过程的T项波动率，分别为λ=（λ，λ），λ=（λ，λ）各分量的概率向量和β，β的移位参数，我们得到η=（0.1952,0.0709），λ=（0.1402,0.8598），β=0.00068，对于资产沙η=（0.1184,0.0962），λ=（0.2735,0.7265），β=0.9752，我们使用到期日为6个月的看涨期权的波动率对叉积S=USD/JPY进行校准，得出的值为：ρMV MD（6M）=-0.6015对于移动的MVMD模型和ρSCM D（6M）=-0.5472适用于移位的SCMD模型。

移位MVMD模型中相关性参数的较高值（绝对值）是由于与移位SCMD模型相比，差异矩阵中的状态依赖性较高。这部分与命题有关。换句话说，为了实现与移位SCMD模型中相同的局部相关性，移位MVMD模型需要更高的ρ绝对值。相应的价格和隐含波动率绘制在图1中，而表1报告了市场和模型值之间的绝对差异，对应于一系列的波动。报告的曲线图显示，与转移的SCMD模型相比，转移的MVMD模型更能降低市场价格。在这个例子中，非常值得注意的是，移位的MVMD仅用一个ρ值就完成了整个相关偏差。作为第二个数值实验，我们使用到期日为9个月的价格重复校准。具体地说，我们首先校准Sand，获得资产S的值η=（0.2236，0.0761），λ=（0.0262，0.9738），β=0.0100。对于资产S，我们观察到更高的波动性现在具有最高的概率，而不是6个月期权的结果。然后，我们利用到期日为9个月的看涨期权的波动率，在交叉产品S=USD/JPY的混合动力14中引入随机相关性，进行校准，得出以下值：ρMV MD（9M）=-0.6199对于移动的MVMD模型和ρSCM D（9M）=-0.5288适用于移位的SCMD型号。这些数值与6个月选项的数值相当。这表明该模型是相当一致的。图2显示了相应的价格和隐含波动率，而表2显示了模型和市场价值之间的一些绝对差异。

总的来说，在这种情况下，转移MVM D模型在交叉产品上产生市场价格的能力方面优于转移SCMD。罢工105 110 115 120 125 130 135 1400.51.52.53.54.5校准移动的MVMD市场价格模型罢工105 110 115 120 125 130 135 1400.10.1050.110.1150.120.1250.13校准移动的MVMDMarket隐含的VolModel隐含的Vol罢工105 110 115 120 125 130 135 1400.51.52.53.54.5校准移动的SCMD市场价格模型罢工105 110 115 120 125 130 135 1400.10.1050.110.1150.120.1250.1250.131400.10.1050.110.1150.120.1250.13校准转移SCMDMarket隐含收益模型隐含收益图1：相对于2015年2月19日的6个月期权校准。隐含的相关性为ρ=-对于移位MVMD模型（顶部），0.6015，ρ=-0.5472对于移位的SC MD模型（底部）。5在混合动态中引入随机相关性单一相关参数ρ可能不足以确定交叉资产的价格。为了克服这一点，我们可以在移位MUVM模型（3.6）中考虑单个资产之间的随机相关性。具体而言，5在混合物动力学中引入随机相关性15T=6个月时，MVMD移位了SCMD107。16 0.0107 0.0188114.12 0.0095 0.0463118.3 0.019 0.0394124.88 0.0045 0.0104137.9 0.0026 0.0073T=6个月时，K移位MVMD移位SCMD107。16 0.0004 0.0007114.12 0.0004 0.0018118.3 0.0011 0.0023124.88 0.0006 0.0015137.9 0.0022 0.007表1：相对于2015年2月19日的6个月选项校准。该表报告了市场和模型价格之间的绝对差异（顶部）以及市场和模型隐含波动率之间的绝对差异（底部）。dS（t）=uS（t）dt+σI（t）（S（t）- βeut）dWI（t）dS（t）=uS（t）dt+σI（t）（S（t）- βeut）dWI（t）（5.1），其中布朗运动WI，WInow具有相关性ρI，I。