多元混合动力学模型：移位动力学和

因此，相关参数将假定值ρh，kin与概率λhλk的一对（σh，σk）对应。定理9具有不确定相关参数的shi-fted MUVM模型，作为马尔可夫投影，具有SDE（2.3）的移位MVMD模型解，但方程（1.17）转换为Vk，。。。，kn（t）=hσkii（t）ρki，kji，jσkjj（t）ii，j=1，。。。，n、 （5.2）证据。马尔可夫投影性质可以通过应用格林引理很容易地表示出来，类似于定理7的证明。换句话说，两个通用仪器过程Yki，yhjj之间的相关性不仅取决于资产Si，Sj，还将对应于仪器过程Yki，yhjthem自身的特定选择。5.1具有随机相关性的移位MVMD的交叉汇率研究作为数值说明，我们在移位MVMD模型上进行了与第4节相同的实验。我们从2015年9月7日起使用了6个月的期权。单一外汇汇率的初始值为S（0）=0.8950，S（0）=133.345。在这种情况下，移位SCMD模型的校准要差得多，以至于ρ的值无法满足通过该模型获得的任何价格。

另一方面，在移位MVMD模型的情况下，尤其是在引入随机相关性时，在混合动力中引入随机相关性16次冲击100 105 110 115 120 125 130 135 140 1450.51.52.5校准移动MVMD市场价格模型价格冲击100 105 110 115 120 125 130 135 140 1450.10.1050.110.1150.120.1250.130.1350.14校准移动MVMD市场隐含VolModel隐含Volstrikes 100 105 110 125 130 140 1450.52.5校准移动SCMDMarket价格模型价格交易100 105 110 115 120 125 130 135 140 1450.10.1050.110.1150.120.1250.130.1350.14校准转移SCMDMarket隐含收益模型隐含收益图2：相对于2015年2月19日的9个月期权的校准。隐含的相关性为ρ=-0.6199，对于移位MVMD模型（顶部），ρ=-0.5288，与使用6个月选项获得的值相当。取得了很好的效果。与之前的案例一样，我们根据相应的隐含波动率独立校准S=USD/EUR和S=EUR/JPY，获得η=（0.1803,0.0916），λ=（0.0274,0.9726），β=0.0128η=（0.1230,0.0501），λ=（0.6575,0.3425），β=0.1867，然后我们查看交叉汇率S=SS=USD/JPY。当使用仅具有一个相关参数的移位MVMD模型进行校准时，我们得到ρ=-0.6147，而当使用随机相关性时，我们有ρ1,1=-0.8717, ρ1,2= -0.1762, ρ2,1= -0.6591, ρ2,2= -0.2269.与表3相关的对应图如图3所示。在这种情况下，我们还发现使用随机相关性相对于使用单一相关参数的情况改善了fit。

此外，计算风险中性测度Q下随机相关性的期望值和标准差，我们得到EQ（ρi，j）=-0.51445在混合物动力学中引入随机相关性17T=9个月时，K移位MVMD移位SCMD104。2 0.2098 0.0961112.84 0.0116 0.0485117.91 0.0223 0.0329122.49 0.0088 0.0089144.25 0.0013 0.0025T=9个月的移动MVMD移动SCMD104。2 0.0073 0.0034112.84 0.0008 0.0024117.91 0.0035 0.005122.49 0.0028 0.0029144.25 0.005 0.01表2：相对于2015年2月19日，9个月选项的校准。该表报告了市场和模型价格之间的绝对差异（顶部）以及市场和模型隐含波动率之间的绝对差异（底部）。StdQ（ρi，j）=0.2105满足| EQ（ρi，j）- ρ|<StdQ（ρi，j）。换句话说，Q预期随机相关性和确定性相关性之间的绝对差异小于Q标准差的一半。这意味着，平均而言，随机相关性与确定性值相差不大。最后，我们使用期限为9个月的期权重复同样的实验。我们发现：η=（0.2073,0.0936），λ=（0.0012,0.9988），β=0.0216η=（0.1573,0.0689），λ=（0.3563,0.6437），β=0.1288。在研究SS=USD/JPY的叉积时，我们得到ρ=-如果只有一个相关参数，则为0.7488，且ρ1,1=-0.8679, ρ1,2= -0.2208, ρ2,1= -0.8303, ρ2,2= -在引入随机相关性的情况下为0.3270。

在图4和表4中可以找到市场和模型价格/隐含波动率之间的对应图和绝对差异，这表明在这种情况下，具有随机相关性的s移位MVMD模型也优于恒定确定性相关性模型。Q测量下的预期随机相关和标准偏差值eEq（ρi，j）=-0.5063StdQ（ρi，j）=0.2411.5在混合物动力学中引入随机相关性18次冲击110 115 120 130 1400.050.10.150.20.250.3校准移位MVMD市场价格模型价格冲击110 115 120 125 130 1400.1020.1040.1060.1080.110.1120.1140.1160.118校准移位MVMD市场隐含VolModel隐含Volstrikes 110 115 120 125 130 1400.050.10.150.20.250.3校准移位MVMD随机相关性市场价格模型价格预测110 115 120 125 130 135 1400.1020.1040.1060.1080.110.1120.1140.1160.118校准移位MVMD随机相关性市场隐含价值模型隐含价值图3：相对于2015年9月7日的数据，对6个月期权的MVMD模型进行校准。顶部显示了使用单个相关参数的校准，该参数对应于等于ρ=-0.6147. 在底部，使用具有随机相关性的MVMD模型进行校准。相应的相关系数为ρ1,1=-0.8717, ρ1,2= -0.1762, ρ2,1= -0.6591, ρ2,2= -0.2269.关于6个月期权的情况，我们观察到Q-期望随机相关性从恒定相关性中移开。此外，如果我们观察终端相关性，即S（T）和S（T）之间的相关性，对于T=9个月，我们得到^ρ（9M）=-0.6894，如果ρ是确定性的，而^ρ是随机的（9M）=-如果ρ是随机的，则为0.5596。

作为最终观察，我们注意到，在ρ为常数的情况下，施瓦茨不等式的应用表明，终端相关性的绝对值总是小于瞬时相关性的绝对值，正如上述结果所验证的。如果我们用随机相关性的平均值代替瞬时值，人们可能会想，在随机相关性的情况下，是否同样的不等式成立。在这种情况下，我们不可能像以前那样使用Schwartz不等式，事实上，得到的结果表明，不等式不成立，至少在上面考虑的例子中不成立。6微笑外推的潜在用途：一项人民币案例研究19T=6个月HK移位MVMD移位MVMDRC115。36 0.0359 0.02228118.57 0.0016 0.0024122.18 0.0042 0.0022126.68 0.0008 1.18 * 10-5136.32 0.0003 1.94 * 10-5T=6个月，移动MVMD移动MVMDRC115。36 0.0036 0.0022118.57 0.0002 0.0004122.18 0.0018 0.0009126.68 0.0011 1.159 * 10-5136.32 0.0025 0.0002表3：相对于2015年9月7日的6个月选项校准。这些表格报告了市场和模型价格之间的绝对差异（顶部）以及市场和模型隐含波动率之间的绝对差异（底部）。6微笑外推的潜在用途：人民币案例研究是我们对第4节和第5节中的移动MVMD模型模拟实验进行的数值说明，使用与2015年12月18日数据相关的6个月期权。我们首先根据相应的隐含波动率独立校准汇率S=欧元/美元和S=美元/CNH，从而获得η=（0.1132，0.0841），λ=（0.2209，0.7791），β=0.0063η=（0.0447，0.1455），λ=（0.5956，0.4044），β=-0.0587，其中单一外汇汇率的初始值为S（0）=1.0842和S（0）=6.55。

相应的图如图5（上图）所示。为了测试模型在查看外汇cros利率s=SS=EUR/CNH时的表现，我们首先仅使用atm呼叫选项校准移位MVMD模型，从而获得ρMV M D（6M）=-0.1205.然后，我们绘制与ρ校准值对应的整个波动率曲线。图5（左下）显示了这一点，图中显示了一个很好的结果。此外，如果我们不仅尝试使用atm选项，而且尝试使用一定数量的不同击数进行校准，我们获得的校准相关性q值接近于之前的值ρMV MD（6M）。作为第二个实验，我们在产生随机相关性时，对移位MVMD模型进行了校准。所得值为ρ1,1=0.864，ρ1,2=-0.2843, ρ2,1= -0.3417, ρ2,2= -0.10067结论20行程110 115 120 125 130 135 140 1450.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04校准移位MVMD市场价格模型行程110 115 120 125 130 135 140 1450.10.1050.110.1150.120.125校准移位MVMD市场隐含VolModel隐含VolStrikes 110 115 120 125 130 135 140 1450.0050.010.0150.020.0250.030.04校准移位MVMD随机相关市场价格模型价格指数110 115 120 125 130 135 140 1450.10.1050.110.1150.120.125校准移位MVMD随机相关性市场隐含价值模型隐含价值图4：相对于2015年9月7日的数据，9个月期权的MVMD模型校准。顶部显示了使用单个相关参数的校准，该参数对应于等于ρ=-0.7488. 在底部，使用具有随机相关性的MVMD模型进行校准。相应的相关系数为ρ1,1=-0.8679, ρ1,2= -0.2208, ρ2,1= -0.8303, ρ2,2= -0.3270.相应的图如图5所示（右下）。

Q测量下的预期随机相关性和标准偏差值为eq（ρi，j）=-0.1020StdQ（ρi，j）=0.3904.7结论我们引入了一个移位的MVMD模型，其中每个资产遵循移位的LMD动力学，这些动力学组合在一起，以便将混合属性提升到多变量水平，方式与非移位情况相同[8]。在这个框架中，我们分析了交叉汇率的隐含相关性，并将结果与移位SCMD模型中的结果进行了比较。在移位SCMD模型中，通过简单地引入驱动每个资产的布朗运动之间的瞬时相关性，将单个资产连接起来。最后，我们将[8]中的MUVM模型（MVMD为马尔可夫投影）推广为具有随机相关性的移位模型，实现了更大的灵活性。这使我们能够更好地捕捉相关偏差。事实上，we8附录21T=9个月的数值实验使MVMD移动了MVMDRC112。84 0.0125 0.0069116.99 0.0011 0.0003121.04 0.0011 0.0002126.18 0.0002 3.29 * 10-5141.66 3.46 * 10-52.2* 10-5T=9个月，移动MVMD移动MVMDRC112。84 0.0054 0.0028116.99 0.0013 0.0004121.04 0.004 0.0007126.18 0.0026 0.0005141.66 0.01 0.0003表4：相对于2015年9月7日，9个月选项的校准。这些表格报告了市场和模型价格之间的绝对差异（顶部），以及市场和模型隐含波动率之间的绝对差异（底部）。已经进行的研究表明，该模型可能能够始终如一地重现外汇交叉汇率之间的三角关系，或者换句话说，以与单一汇率的隐含波动一致的方式重现跨汇率的隐含波动。这里给出的模型的一个可能的进一步使用是，将两个流动性外汇汇率的乘积产生的非流动性交叉外汇汇率的微笑进行代理。

虽然我们必须找到相关的相关参数，可能是基于历史估计，并对风险溢价进行一些调整，但本文给出的模型允许我们以无套利的方式推断交叉汇率微笑的详细结构。8附录在本附录中，我们提供了定义5的详细信息。我们首先将移位应用于每项资产的每个组成部分ykio，即f ollowski（t）=Yki（t）+βieuit。请记住，Ykisatis fiesdyki（t）=uiYki（t）dt+σki（t）Yki（t）dZi（t）dhZi，Zji=ρijdt，（8.1）我们通过应用伊藤的公式得出：滑雪（t）- 是吗天珠（t）。（8.2）因此，相应的资产价格将是一个移位LMD模型，其移位等式为βieuit。为了发现整个多维过程S（t）的动态，附录221 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25删除。0940.0960.0980.10.1020.1040.1060.1080.110.112 LMD市场隐含量模型隐含量6。4.6.6.8 7.2 7.4 7.6 7.8罢工0。060.070.080.090.10.110.12校准移动LMD市场隐含容量模型隐含容量6。8.7.27.4 7.6 7.8 8.2 8.4 8.6罢工0。110.1150.120.1250.130.1350.14 ATM选项市场隐含Vol6上的校准移动MVMD。8.7.27.4 7.6 7.8 8.2 8.4 8.6罢工0。110.1150.120.1250.130.1350.14校准移位MVMD随机相关性市场隐含收益率模型隐含收益率图5：顶部，在移位LM D模型上分别独立校准欧元/美元D汇率（左）和美元/CNH汇率（右）。我们使用了2015年12月18日的数据。在底部，在EUR/CNH交易所校准MVMD模型。在左边的情况下，通过将移位的MVMD模型仅安装到atmoption，获得ρ=-0.1205. 在右边的例子中，校准是通过用随机相关性拟合移位的MVMD模型来实现的。

在最后一种情况下，ρ=0.864，ρ=-0.2843, ρ= -0.3417, ρ= -0.1006.是对应于S（t）的过程吗？在应用移位后，我们寻找类型为ds（t）=diag（u）S（t）dt+diag（S（t））eC（t，S（t））BdW（t）（8.3）的SDE，其中ρ=bbt确保相应的密度满足S（t）（x）=NXk，k，。。。kn=1λk···λknn√lKkn1，。。。Nt（x）（8.4）~lKkn1，。。。Nt（x）=p[Sk（t），…，Sknn（t）]t（x）。（8.5）换句话说，密度pS（t）是通过以所有可能的方式混合单一密度pSki（t）（x）得到的。为了找到扩散矩阵C，我们计算了Ps（t）和√的福克-普朗克方程lKkn1，。。。Nt、 定义a（t，S（t））=（eCB）（eCB）t表示第i行ofeC，我们得到测试程序集（t）（x）=-nXi=1xiuixipS（t）（x）+nXi，j=1xixj~aij（t，x）xixjpS（t）（x）（8.6）参考文献23和~lKkn1，。。。Nt（x）t=-nXi=1xiukiixi~lKkn1，。。。Nt（x）+nXi，j=1xixjσkii（t）（xi）- βieukii）σkjj（t）（xj）- βjeukjjt）ρi，j~lKkn1，。。。Nt（x）。利用等式（8.4）和上述等式tpS（t）（x）=NXk，k，。。。kn=1λk··λknnt)lKkn1，。。。Nt（x）=NXk，k，。。。kn=1λk···λknnh-nXi=1xiuixilKkn1，。。。Nt（x）+nXi，j=1xixjσkii（t）（xi）- βieui）σkjj（t）（xj）- βjeujt）ρi，jlKkn1，。。。Nt（x）i.另一方面，从等式（8.6）测试程序集（t）（x）=-nXi=1xiuixiNXk，k，。。。kn=1λk···λknn√lKkn1，。。。Nt（x）+nXi，j=1xixj~aij（t，x）xixjNXk，k，。。。kn=1λk···λknn√lKkn1，。。。Nt（x）.最后，比较f或f的两个表达式tpS（t）（x）nXi，j=1xixjNXk，k，。。。kn=1λk···λknnhaij（t，x）xixj-σkii（t）（xi）- βieui）σkjj（t）（xj）- βjeujt）ρi，jilKkn1，。。。Nt（x）=0所以aij=PNk，k，。。。kn=1λk··λknnσkii（t）（xi）- βieui）σkjj（t）（xj）- βjeujt）ρi，jlKkn1，。。。Nt（x）xixjPNk，k，。。。kn=1λk···λknn√lKkn1，。。。Nt（x）。参考文献[1]P.奥斯汀，《微笑定价解释》，帕尔格雷夫·麦克米伦，（2014）[2]G.巴克希，N.卡帕迪亚，D。

Madan St-ock收益特征、扭曲定律和个人股权期权的差异定价，《金融研究评论》，16（1）（2003），第101-143页[3]F.Black，M.Scholes，《期权定价和公司责任》，政治经济杂志，81（3）（1973），第637-659页，参考文献24[4]D.Brigo，F.Mercurio，《混杂的微笑，风险》，13（9），2000年9月，第123-126页[5]D.Brigo，F.Mercurio，《分析可处理微笑模型的替代和混合差异，数学金融——2000年学士学位代表大会》，德国杰曼，马丹，哥伦比亚特区，普利斯卡，S.R.，沃斯特，A.C.F.，柏林斯普林格，斯普林格出版社编辑（2001年），第151-174页[6]彭博社，股票的局部波动性联合国德莱因大学，技术代表（2012年），2015年12月9日从彭博终端[7]D.Brigo，F.Mercurio检索，Lognormal–混合动力学和市场波动率微笑的校准，国际理论与应用金融杂志，5（4）（2002），第427-446页[8]D.Brigo，F.Mercurio，F.Rapisarda连接单变量微笑和篮子动力学：篮子期权的新多维动力学，可用athttp://www.ima.umn.edu/talks/workshops/4-12-16.2004/rapisarda/MultivariateSmile.pdf，（2004）[9]D.Brigo，F.Mercurio，G.Sartorelli另类资产价格动态和波动率模型，定量金融，3（3）（2003），第173-183页[10]D.Brigo，F.Rapisarda，A.Sridi无套利多元混合动态模型：一致的单一资产和指数波动率s英里，可在SSRN和arXiv（2014）[11]J.Da Fonseca，M.Grasselli和C.Tebaldi（2007）上获得，相关性随机时的期权定价：分析框架，衍生工具研究综述，10:151–180。[12] C.Gourieroux（2007），随机风险的连续时间Wishart过程，计量经济学评论，25:2:177–217。[13] 我。