多元混合动力学模型：移位动力学和

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英文标题：
《The Multivariate Mixture Dynamics Model: Shifted dynamics and
  correlation skew》
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作者：
Damiano Brigo, Camilla Pisani, Francesco Rapisarda
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The Multi Variate Mixture Dynamics model is a tractable, dynamical, arbitrage-free multivariate model characterized by transparency on the dependence structure, since closed form formulae for terminal correlations, average correlations and copula function are available. It also allows for complete decorrelation between assets and instantaneous variances. Each single asset is modelled according to a lognormal mixture dynamics model, and this univariate version is widely used in the industry due to its flexibility and accuracy. The same property holds for the multivariate process of all assets, whose density is a mixture of multivariate basic densities. This allows for consistency of single asset and index/portfolio smile. In this paper, we generalize the MVMD model by introducing shifted dynamics and we propose a definition of implied correlation under this model. We investigate whether the model is able to consistently reproduce the implied volatility of FX cross rates once the single components are calibrated to univariate shifted lognormal mixture dynamics models. We consider in particular the case of the Chinese renminbi FX rate, showing that the shifted MVMD model correctly recovers the CNY/EUR smile given the EUR/USD smile and the USD/CNY smile, thus highlighting that the model can also work as an arbitrage free volatility smile extrapolation tool for cross currencies that may not be liquid or fully observable. We compare the performance of the shifted MVMD model in terms of implied correlation with those of the shifted Simply Correlated Mixture Dynamics model where the dynamics of the single assets are connected naively by introducing correlation among their Brownian motions. Finally, we introduce a model with uncertain volatilities and correlation. The Markovian projection of this model is a generalization of the shifted MVMD model.
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中文摘要：
多变量混合动力学模型是一个易于处理的、动态的、无套利的多变量模型，其特点是依赖结构的透明性，因为终端相关性、平均相关性和copula函数的封闭式公式是可用的。它还允许资产和瞬时方差之间完全不相关。每个单一资产都是根据对数正态混合动力学模型建模的，这种单变量模型因其灵活性和准确性在行业中得到广泛应用。所有资产的多元过程也具有相同的性质，其密度是多元基本密度的混合物。这使得单一资产和指数/投资组合保持一致。在本文中，我们通过引入移位动力学来推广MVMD模型，并在此模型下提出了隐含相关性的定义。我们研究了当单一成分被校准为单变量移位对数正态混合动力学模型后，该模型是否能够一致地再现外汇交叉汇率的隐含波动性。我们特别考虑了中国人民币汇率的情况，表明考虑到欧元/美元和美元/人民币的微笑，转移后的MVMD模型正确地恢复了人民币/欧元的微笑，从而强调该模型也可以作为无套利波动率微笑外推工具，用于可能不具有流动性或完全可观察的跨货币。我们比较了移位MVMD模型在隐含相关性方面的性能，以及移位简单相关混合动力学模型的性能，后者通过引入布朗运动之间的相关性，将单个资产的动力学简单地连接起来。最后，我们介绍了一个波动率和相关性不确定的模型。该模型的马尔可夫投影是移位MVMD模型的推广。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：混合动力 动力学 Multivariate Quantitative correlations

最后，我们引入了一个波动率和相关性不确定的模型。该模型的马尔可夫投影是移位MVMD模型的一般化。关键词：MVMD模型、密度混合、多变量局部波动、相关偏斜、随机相关、校准、交叉汇率、外汇微笑、指数波动微笑、人民币-欧元微笑、人民币-美元微笑、人民币-欧元微笑、人民币-美元微笑、人民币-欧元微笑、SCMD模型AMS分类代码：60H10、60J 60、62H20、9 1B28、91 B70。杰尔：G13。*伦敦帝国理工学院数学系。达米亚诺。brigo@imperial.ac.uk+丹麦奥胡斯大学经济和商业经济学系。导致这些结果的研究得到了欧洲联盟第七框架计划FP7/2007-2013/REA赠款协议下的人民计划（玛丽·居里行动）的资助o289032.然而，本文仅反映了作者的个人观点，工会对其中所含信息的任何使用不承担任何责任。卡米拉。pisani@gmail.com.彭博社。本文件仅反映作者的个人意见，不代表作者的雇主的意见，无论是现在还是过去。frapisarda6@bloomberg.net1多元混合物动力学简介21多元混合物动力学简介Brigo、Mercurioa和Rapisarda[8]提出的多元混合物动力学模型（MVMD），最近在Bri go中进行了更深入的描述，Rapisarda和Sridi[10]是一个易于处理的动态无套利模型，定义为[4]和[5]中对数正态混合动力学模型（LMD）的多维版本（参见[9]）。

这缓解了本地波动率模型的共同缺点，即资产和s方波动率之间存在完美的瞬时相关性。在本文中，我们推广了MVMD模型，包括单个资产的动态转移，并在此框架下研究了相关偏差。在详细讨论之前，我们先回顾一下MVMD模型的定义（在非移位情况下），从单变量LMD模型开始，然后推广到多维情况。1.1单一资产的波动率微笑混合动力学模型假设到期日T>0，我们用P（0，T）表示在T到期的零耦合债券在0时的价格，并用(Ohm, F、 P）具有过滤（Ft）t的概率空间∈[0，T]是P-完全且满足通常条件的。我们假设存在一个等价于P的度量，称为风险中性或定价度量，以确保经典设置中的套利自由，例如Harrison、Kreps和Pliska[14,15]。在这个框架中，我们考虑了N个纯仪器扩散过程Yi（t）与动态Yi（t）=uYi（t）dt+vi（t，Yi（t））Yi（t）dW（t）（1.1）和确定性初始值Yi（0），边际密度和扩散系数vi.我们定义了ds（t）=uS（t）dt+S（t，S（t））S（t）dW（t）（1.2）1多元混合动力学导论，其中S是局部波动函数，即仅为t和S的确定函数，andit的计算使得边缘密度ptof S（t）是密度pit[4,5,7]：pt=Xiλipitwithλi的线性凸组合≥ 0, i和xiλi=1。（1.3）在下文中，我们仅限于本案Yi（0）=S（0），vi（t，x）=σi（t），vi（t）=qRtσi（S）dspit（x）=√2πxVi（t）exp-2Vi（t）自然对数xS（0）- ut+Vi（t）= l它（x）（1.4）具有σ理想确定性。参数u完全由Q指定。

如果资产是支付连续股息收益率q且r是时间T恒定无风险利率，则u=r- q、 如果资产是汇率，rd和Rf分别是时间T的（确定性）国内和国外汇率，则u=rd- 射频。如果资产是远期价格，则u=0。Brigo和Mercurio[5]证明了定义（t，x）=PNk=1λkσk（t）lkt（x）PNk=1λklkt（x）！1/2（1.5），并假设σi上的一些额外的非连续假设，相应的STAT动力学给出了一个唯一的强解。定理1 LMD模型解的存在唯一性。假设所有实函数σi（t），定义在实数t上≥ 0是一个连续可微分的常数，由两个正实常数从上到下限定。假设在一个小的初始时间间隔t内∈ [0，]，>0，函数σi（t）有一个相同的恒量值σ。然后，由DST=uStdt+s（t，St）StdWt，s，s（t，x）=PNk=1λkσk（t）定义的对数正态混合动力模型（LMD）lkt（x）PNk=1λklkt（x）！1/2，（1.6）允许一个唯一的强解，正科尔莫戈罗夫方程（福克-普朗克方程）的密度允许一个满足（1.3）的唯一解，它是对数正态密度的混合物。上述构造的一个重要结果是，欧式期权价格onS可以写成权重为λi的Black-Scholes价格的线性组合。相同的组合在时间0.1.2时适用于G reeks，组合了几种资产的混合动态：SCMDN现在考虑不同的资产价格S。根据LMD模型、asin方程（1.6）进行校准，并用λki、σk表示与资产i的第k个仪器过程相关的参数。有两种可能的方法将单个资产的多变量混合动力学引入到多变量模型中。

第一种更直接的方法是在布朗运动之间引入一个非零二次协变量，驱动S的方程（1.6）的MD模型。SNMD导致了所谓的SCMD模型。定义2 SCMD模型。我们将S=[S，…，Sn]的简单相关多元混合动力学（SCM D）模型定义为一元LMD模型的向量，每个模型都满足定理1的扩散系数S，Sn由方程式（1.6）和密度给出l, . . . , l应用于每个资产，并通过驱动资产i和j的布朗运动之间的二次协变量ρij简单连接。这相当于以下n维扩散过程，其中我们保持W的独立性，并将布朗协变量嵌入扩散矩阵C中，其第i行我们用¨Ci:dS（t）=diag（u）s（t）dt+diag（s（t））-C（t，s（t））dW（t）表示，\'ai，j（t，S）：=\'Ci\'CTj（1.7）\'ai，j（t，S）=si（t，si）sj（t，sj）ρij=PNk=1λkiσki（t）lki，t（Si）PNk=1λkilki，t（Si）PNk=1λkjσkj（t）lkj，t（Sj）PNk=1λkjlkj，t（Sj）！1/2ρij（1.8），其中T代表换位算子。假定我们假设ρ=（ρij）i，j为正定义。从之前的构造中可以明显看出，SCMD与单资产的动力学Si和瞬时相关矩阵ρ一致。此外，我们可以很容易地通过外部计算ρ来模拟S的路径，例如根据历史数据，假设ρ随时间保持不变，并应用简单的Euler格式。然而，在SCMD动力学下，S=[S，…，Sn]密度的明确表达式是不可用的。

因此，如果我们的目标是计算期权的价格，其收益取决于时间T的价值，那么我们仍然需要在区间[0，T]上模拟S的整个路径，这可能非常耗时。1.3将混合动态提升到资产向量：MVMDA不同的方法仍然与单一资产的动态一致，在于将单一资产的动态进行混合，使混合属性提升到多变量密度，相应的模型相对于SCMD模型获得一些进一步的可处理性。这可以通过以所有可能的方式混合每个单独资产的仪器过程密度，并通过在单个仪器过程水平上施加相关结构ρ来实现，而不是像我们对SCMD模型所做的那样，在资产水平上施加相关结构ρ。这对相关性的实际结构有重要影响，见[8]。下面我们总结了导致MMD模型的构造，同时参考Brigo等人[10]了解更多细节。假设我们已经为每个Si（t）校准了LMD模型：如果pSi（t）是Si的密度，我们写下pSi（t）（x）=NiXk=1λkilki，t（x），带λki≥ 0, k和xkλki=1，（1.9），其中(lki，t）根据随机微分方程计算（Yki）k的密度，对数正态筛分的仪器过程：dYki（t）=uiYki（t）dt+σki（t）Yki（t）dZi（t），dhZi，Zjit=ρijdt，Yki（0）=Si（0）。（1.10）1多元混合物动力学导论5为了符号简单，我们假设所有资产的基密度N都相同。外生相关结构ρij由对称的正定义矩阵ρ给出。用S（t）=[S（t），··，Sn（t）]t表示资产价格的向量，其中ds（t）=diag（u）S（t）dt+diag（S（t））A（t，S（t））dW（t）。

（1.11）正如我们对一维情况所做的那样，我们寻找一个矩阵a，使得ps（t）（x）=NXk，k，·kn=1λk··λknnlKkn1，。。。，Nt（x），lKkn1，。。。，Nt（x）：=phYk（t），。。。，Yknn（t）iT（x），（1.12）或更明确地表示lKkn1，。。。，Nt（x）=（2π）npdetΞ（k··kn）（t）∏ni=1xiexp”-~x（k··kn）TΞ（k··kn）（T）-1x（k···kn）#其中Ξ（k··kn）（t）是综合协方差矩阵，其（i，j）元素为Ξ（k··kn）ij（t）=Ztσkii（s）σkjj（s）ρijds（1.13）~x（k··kn）i=ln xi- ln xi（0）- uit+Ztσkii（s）ds。（1.14）计算表明，如果存在解决方案，则必须满足以下定义。定义3 MVMD模型。给出了（对数正态）多变量混合动力学（MVMD）模型：bydS（T）=diag（u）S（T）dt+diag（S（T））C（T，S（T））B dW（T），（1.15）Ci（T，x）：=PNk，。。。，kn=1λk。。。λknnσkii（t）lKkn1，。。。，Nt（x）PNk，。。。，kn=1λk。。。λknnlKkn1，。。。，Nt（x），lKkn1，。。。，Nt（x）：=phYk（t），。。。，Yknn（t）iT（x）并定义B，使得ρ=BBT，a=CB（CB）t，ai，j（t，x）=PNk，。。。，kn=1λk。。。λknnVk，。。。，千牛（吨）lKkn1，。。。，Nt（x）PNk，。。。，kn=1λk。。。λknnlKkn1，。。。，Nt（x）（1.16），其中vk，。。。，kn（t）=hσkii（t）ρi，jσkjj（t）ii，j=1，。。。，n、 （1.17）从之前的定义来看，CMD模型中单一资产的动态明显是马尔可夫的。另一方面，在MVMD模型下，虽然整个向量S的动力学是马尔可夫的，但单个资产的动力学不是。

这将导致更现实的动态。在温和的假设下，解的存在唯一性可以通过下面的定理来证明。2引入MVMD中的一个移位6定理4假设所有i的波动率σkii（t）都是连续可微的，从下到上分别由两个正实数σ和^σ一致限定，并且它们取t的一个公共常数值σ∈ [0，]对于一个小的正实数，即∑=inft≥0mini=1··n，ki=1，··n（σkii（t））,^σ=支持≥0maxi=1··n，ki=1··n（σkii（t））σkii（t）=所有t的σ>0∈ [0, ].还假设矩阵ρ为正定义。然后，MVMD n维随机微分方程（1.15）允许一个唯一的强解。（1.16）中的差异矩阵a（t，x）对所有t和x都是正定义的。2引入了MVMD的变化。当通过LMD模型对一维资产价格建模时，只有在与远期资产价格完全相等的走向下，隐含波动率最小才是唯一可能的。为了获得更大的灵活性，从而从ATM向前移动微笑最小点，我们可以通过时间的确定函数，小心地调整总体密度，以保持风险中性，从而保证无套利。这就是所谓的移位对数正态混合动力学模型[7]。在该模型下，新资产价格过程S定义为asSt=βeut+Xt（2.1），β实常数和xtt满足（1.6）。假设K- βeuT>0行使K且到期日T的欧式看涨期权在0时的价格可以写成asP（0，T）ET{（ST- K） +}=P（0，T）ET{（XT）- [K]- βeuT]）+}（2.2），因此作为Black和Scholes价格与strike K的组合- βeuT。

因此，该模型保持了与非移位情况下相同的可操作性水平，具有获得更多灵活性的优势。一旦每个资产被校准到一个移位的LMD模型，我们就有两种可能性来重建多维过程的动力学。第一种可能性是通过在布朗运动之间引入非零二次协变量（正如我们对SCMD模型所做的那样）来连接单个资产，从而形成我们所称的移位SCMD模型。第二种可能性与导致MVMD模型的方法相同，在于将相同的移位βieuit应用于每个资产的每个仪器过程ykio XiSki（t）=Yki（t）+βieuit，其中Ykisatis将动力学定义为（1.10）（这相当于将移位βieuit直接应用于第i个资产），然后以所有可能的方式混合相应的密度pSki（t）（x）。与非移位情况类似的计算表明，如果存在解，它必须满足以下定义（计算细节见附录）。3相关偏差定义5移位MVMD模型。

移位的多变量混合动力模型由以下公式给出：bydS（t）=diag（u）S（t）dt+diag（S（t））eC（t，S（t））BdW（t），（2.3）eCi（t，x）：=PNk，。。。，kn=1λk。。。λknnσkii（t）（xi）- βieuit）~lKkn1，。。。，Nt（x）xiPNk，。。。，kn=1λk。。。λknn√lKkn1，。。。，Nt（x），~lKkn1，。。。Nt（x）=p[Sk（t），…，Sknn（t）]t（x）=lKkn1，。。。，Nt（x）- βeut）（2.4）和定义B，使得ρ=BBT，~a=eCB（eCB）t，~aij（t，x）=PNk，k，。。。kn=1λk···λknnVk，。。。，kn（t）（xi）- βieuit）（xj- βjeujt）~lKkn1，。。。Nt（x）xixjPNk，k，。。。kn=1λk···λknn√lKkn1，。。。Nt（x）（2.5）与Vk，。。。，克纳斯（1.17）。我们现在有了所有的工具来引入相关偏斜，并研究其在移位SCMD和移位MVMD动力学下的行为。3相关性偏差本节的目的是介绍相关性偏差的定义，并研究其在移位MVMD动力学下的行为，与移位SCMD动力学下的相关性偏差进行比较。在正常市场条件下的实践中观察到，资产之间的相关性相对较弱。然而，在市场压力期间，观察到更强的相关性。这一事实表明，一篮子资产或指数上所有期权报价的单一相关性参数可能不足以重现给定到期日篮子/指数上的所有期权价格。事实上，当从一组单一资产动态中引入多维动态时，这就是Isobe在经验上的作用。其中，Baks hi等人[2]对S&P100指数的期权以及Langnau[16]对欧洲斯托克50指数和DAXindex的期权进行了说明。计算隐含波动率时，考虑了欧式看涨期权价格（或等价看跌期权价格），参考模型为基准Black&Scholes[3]模型。