非均衡条件下套利效应的校正与模拟

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英文标题：
《Calibration and simulation of arbitrage effects in a non-equilibrium
  quantum Black-Scholes model by using semiclassical methods》
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作者：
Mauricio Contreras, Rely Pellicer, Daniel Santiagos and Marcelo
  Villena
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  An interacting Black-Scholes model for option pricing, where the usual constant interest rate r is replaced by a stochastic time dependent rate r(t) of the form r(t)=r+f(t) dW/dt, accounting for market imperfections and prices non-alignment, was developed in [1]. The white noise amplitude f(t), called arbitrage bubble, generates a time dependent potential U(t) which changes the usual equilibrium dynamics of the traditional Black-Scholes model. The purpose of this article is to tackle the inverse problem, that is, is it possible to extract the time dependent potential U(t) and its associated bubble shape f(t) from the real empirical financial data? In order to give an answer to this question, the interacting Black-Scholes equation must be interpreted as a quantum Schrodinger equation with hamiltonian operator H=H0+U(t), where H0 is the equilibrium Black-Scholes hamiltonian and U(t) is the interaction term. If the U(t) term is small enough, the interaction potential can be thought as a perturbation, so one can compute the solution of the interacting Black-Scholes equation in an approximate form by perturbation theory. In [2] by applying the semi-classical considerations, an approximate solution of the non equilibrium Black-Scholes equation for an arbitrary bubble shape f(t) was developed. Using this semi-classical solution and the knowledge about the mispricing of the financial data, one can determinate an equation, which solutions permit obtain the functional form of the potential term U(t) and its associated bubble f(t). In all the studied cases, the non equilibrium model performs a better estimation of the real data than the usual equilibrium model. It is expected that this new and simple methodology for calibrating and simulating option pricing solutions in the presence of market imperfections, could help to improve option pricing estimations.
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中文摘要：
[1]中提出了一种期权定价的交互Black-Scholes模型，其中通常的恒定利率r被形式为r（t）=r+f（t）dW/dt的随机时间相关利率r（t）取代，考虑了市场缺陷和价格不一致性。白噪声振幅f（t）被称为套利泡沫，它产生了一个与时间相关的势U（t），改变了传统Black-Scholes模型通常的平衡动力学。本文的目的是解决反问题，也就是说，是否有可能从真实的经验金融数据中提取与时间相关的势U（t）及其相关的泡沫形状f（t）？为了回答这个问题，相互作用的Black-Scholes方程必须解释为具有哈密顿算符H=H0+U（t）的量子薛定谔方程，其中H0是平衡的Black-Scholes哈密顿量，U（t）是相互作用项。如果U（t）项足够小，相互作用势可以看作是微扰，因此可以用微扰理论近似地计算相互作用的Black-Scholes方程的解。在[2]中，通过应用半经典考虑，得到了任意气泡形状f（t）的非平衡Black-Scholes方程的近似解。利用这种半经典解和有关金融数据错误定价的知识，可以确定一个方程，该方程的解允许获得势项U（t）及其相关气泡f（t）的函数形式。在所有研究案例中，非均衡模型比通常的均衡模型对真实数据的估计效果更好。预计这种在存在市场缺陷的情况下校准和模拟期权定价解决方案的新的简单方法将有助于改进期权定价估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Calibration_and_simulation_of_arbitrage_effects_in_a_non-equilibrium_quantum_Bla.pdf (533.91 KB)

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关键词：均衡条件 非均衡 Perturbation Mathematical Quantitative

使用半经典方法校准和模拟非平衡量子Black-Scholes模型中的套利效应Muricio Contreras、Rele Pellicer、Daniel Santiagos和Marcelo Villena*.2018年10月14日[1]发展了一个期权定价的交互Black-Scholes模型，其中通常的恒定利率ris被形式为r（t）=r+f（t）˙W（t）的随机时间相关利率r（t）取代，考虑到市场不完善和价格不一致。白噪声振幅f（t）被称为套利泡沫，它产生了一个与时间相关的势U（t），改变了传统Black-Scholes模型通常的平衡动力学。本文的目的是解决反问题，即是否有可能从真实的经验金融数据中提取与时间相关的势U（t）及其相关的气泡形状f（t）？为了回答这个问题，相互作用的Black-Scholes方程必须被解释为一个量子薛定谔方程，哈密顿算符H=H+U（t），其中平衡态Black-Scholes哈密顿量和U（t）是相互作用项。如果U（t）项足够小，相互作用势可以看作是微扰，因此可以用微扰理论近似地计算相互作用的Black-Scholes方程的解。在[2]中，通过应用半经典考虑，得到了任意气泡形状f（t）的非平衡Black-Scholese方程的近似解。利用这种半经典解和有关金融数据错误定价的知识，我们可以确定一个方程，该方程的解允许获得势项U（t）及其相关bubblef（t）的函数形式。在所有研究案例中，非均衡模型比通常的均衡模型对真实数据的估计更好。

预计这种在存在市场缺陷的情况下校准和模拟期权定价解决方案的新的简单方法将有助于改进期权定价估计。*智利阿道夫·伊巴涅斯大学工程与科学学院。1简介自Black and Scholes（1973，[3]）和Merton（1973，[4]）发表开创性文章以来，近35年来，Black-Scholes（B-S）模型已广泛应用于金融工程中，用于对股权衍生工具的价格进行建模。在分析术语中，如果B（t）和S（t）是无风险资产和基础股票价格，则该模型中债券和股票的价格动态由以下等式给出：dB（t）=rB（t）dtdS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t）（1），其中r、u和σ为常数，W（t）为维纳过程。为了给金融衍生工具定价，假设它可以交易，因此可以根据衍生工具和基础股票（不包括债券）形成投资组合。考虑到只有非股息支付资产且没有消费组合，购买新投资组合必须仅通过出售当前投资组合来融资。这里，π（S，t）表示期权价格，~h（t）=（hS，hπ）表示投资组合，~P（t）=（S，π）表示股票的价格向量。称V（t）为时间t时投资组合的价值；没有消费的自我融资投资组合的动态由dV（t）=~h（t）·d~P（t）（2）给出。换句话说，在没有外部收入或提款的模型中，任何价值的变化都是由于资产价格的变化。推导B-S方程的另一个重要假设是，市场在不存在套利可能性的情况下是有效的。

这相当于存在一个自我融资的投资组合，其价值过程V（t）满足动态：dV（t）=rV（t）dt（3），这意味着任何本地无风险投资组合的回报率都与债券相同。对于上述经典模型，导数π（t）的价格过程存在一个众所周知的解决方案（例如，参见[5]）。考虑到它的简单性，这个公式可以被描述为业内最流行的标准之一。然而今天，我们可以找到放松了Black-Scholes模型几乎所有初始假设的模型，例如具有交易成本、不同概率分布函数、随机波动性、不完全信息等的模型；所有这些都提高了原始B-S模型的预测能力。请参阅[5]-[8]了解这些扩展的一些完整评论。[1]、[9]、[10]、[11]中提出了一些改进Black-Scholes模型预测的尝试，这些模型考虑了套利情况下均衡的偏差。在这种情况下，其中一些模型假设B-S投资组合的回报不等于恒定的无风险利率，但相反，无套利原则（3）根据方程式dV（t）=（r+α（t））V（t）dt进行了修改，其中α（t）是随机套利回报。该公式为模型提供了极大的灵活性，因为α（t）可以被视为传统假设均衡的任何偏差，而不仅仅是无轨回报。例如，Ilinski（1999，[12]）和Ilinski and Stepanenko（1999，[13]）假设α（t）遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。偏离无套利假设意味着投资者可以从无风险利率中获得超额收益。

例如，如果α（t）大于零，那么我们可以做的是：从银行借款，支付利率r，投资无风险利率的股票组合，并获得利润。或者，我们可以做空期权，对其进行增量对冲。本文的目的是研究套利对期权价格的影响。这项研究将有两个主要组成部分：1）校准：一个希望从实证金融数据中获得套利效应的度量，以及2）模拟：上述度量可用于获得“改进”期权价格，并与通常的Black-Scholes模型和实物期权价格进行比较。为此，假设套利可以使用等式（4）建模，因此，我们将考虑（1）中的B-S模型和（2）中的自我融资投资组合条件，并在接下来的条件中假设以下套利条件：dV（t）=rV（t）dt+f（S，t）V（t）dW（t）（5），其中f=f（S，t）是一个被称为“套利泡沫”的给定确定性函数[1]，W是标的股票S动态中的相同维纳过程。等式（5）将产生一个非平衡布莱克-斯科尔斯模型。注意，条件（5）可以重写为dv（t）=rV（t）dt+f（S，t）V（t）dW（t）=r+f（S，t）˙W（t）V（t）dt（6），其中˙W是白噪声。这可以解释为投资组合收益率的随机扰动，振幅为f：α=α（S，t）=f（S，t）˙W（t）。众所周知，在原始B-S模型假设的完全竞争市场中，买家和卖家利用套利机会的行为将导致在很短的时间内消除套利，因此在我们的环境中，我们将通过模拟“套利泡沫”来隐式考虑市场调整的速度，可以定义套利泡沫的持续时间和规模，考虑到这种方式的市场清除力。所有这些信息都包含在函数f=f（S，t）中。

事实上，在[1]中表明，对于有限的套利泡沫f，非平衡Black-Scholes模型变为通常的Black-Scholes模型，因此（5）隐含地解释了市场力量的清除。[9]-[13]中提出了Black-Scholes模型的不同推广。这些模型包括一个随机利率模型，其动态由独立于资产布朗运动的第二布朗运动生成。从某种意义上说，这些模型的灵感来自“随机波动性思想”。我们在这里试图做的是将套利效应纳入其中，但尽可能接近原始的Black-Scholes模型，该模型只有一个随机性来源（与资产价格相关），其中B红利动态是完全确定的。其核心思想是套利效应可以随机地改变投资组合的回报，而随机性的来源必须由同一资产布朗运动产生。正是在这种意义上，“内生随机套利”一词出现在论文[1]的标题中。在这种情况下，唯一剩下的自由度是方程（5）中所表示的布朗运动的振幅。尽管等式（5）可以改写为等式（6）中的随机利率模型，但尚不清楚这种解释是否在数学术语中定义良好，或者甚至是可积的。因此，我们的观点不是将我们的模型视为一个随机利率模型，而是一个“扰动投资组合回报模型”，由方程（5）定义。因此，我们假设一种依赖于模型的套利，套利可能性是用管理标的股票的相同随机过程建模的。这个假设允许我们将套利方程与B-S原始模型联系起来。

从理论角度来看，这种假设对于某些类型的套利是合理的，这些套利是标的资产固有的，在分析中是资产的内生性质。这一假设的有效性已经在下面的经验性测试中得到验证，例如[14]。在[1]中，我们找到了一个非平衡Black-Scholes模型的解析解，对于一个期限为T:f（T）的期权，它是一个与时间相关的“阶跃函数”套利泡沫f=0 0 ≤ t<TfT≤ T≤ t0t<T≤ T（7）这种特殊形状的泡沫是由1997年9月至2009年6月对标准普尔500指数期货的实证研究所推动的。在这里，通过对未来错误定价的实证分析，我们可以得到套利泡沫的形状，在这种情况下，它大致对应于一个阶跃函数形状，如下图所示：图1：未来的错误定价。从另一方面来说，套利应以B-s模型为外生模型。因此，在期权定价背景下，人们自然会问：套利泡沫f的形状能否通过期权定价的实证分析得到，使用与[1]中给出的标准普尔500指数期货相同的方法？本文的目的是证明答案是肯定的，并通过对期权错误定价的分析，开发一种从经验金融数据中提取套利泡沫f的方法。为了做到这一点，需要使用[2]中提出的适用于期权定价的半经典近似的一些结果。在此基础上，构造了存在任意套利泡沫的非平衡Black-Scholes方程的近似解。这个半经典解加上期权错误定价数据，可以得到套利泡沫的非线性方程。

通过用数值方法求解这个方程，可以得到套利泡沫f的近似形状。然后，把这个套利泡沫带回到非平衡Black-Scholes方程，我们可以用Crank-Nicolson方法确定“精确”的交互期权价格解，并将其与通常的平衡Black-Scholes解进行比较。在所研究的所有情况下，非平衡解比通常的Black-Scholes解对经验数据进行了更好的数值估计。为了继续并使论文完整，第2节根据[1]回顾了相互作用的Black-Scholes模型，第3节将其解释为量子模型。第4节，快速回顾将半经典量子思想应用于[2]中发展的相互作用Black-Scholes模型的主要结果。第5节分析了校准问题，即如何在非平衡Black-Scholes框架下估计相互作用势，以及如何从实际金融数据中推导出套利泡沫f（t）的方程式。在第6节中，针对几个不同的数据集，开发了模拟问题，以获得非均衡模型的精确期权价格解。最后，在第7节中，给出了最终结论和未来展望。2非均衡Black-Scholes模型[1]我们将发现内生风险条件下金融衍生品的价格动态（5）。我们将导出价格动力学，作为某些边值问题的解π（t，S）。

在接下来的内容中，我们考虑价格过程依赖于t，S，但为了简单起见，我们省略了这种依赖性。利用它，我们得到：dπ=πtdt+π十二烷基硫酸钠+π在（1）中，我们有：dπ=πt+微秒πS+σSπsdt+σSπ（2）中的SdWSelf融资组合条件可以理解为dV=hSdS+hπdπ。考虑到这一点和（5）并替换S和π的动力学，我们得到：hS（uSdt+σSdW）+hππt+微秒πS+σSπsdt+σSπSdW== r（hSS+hππ）dt+f（hSS+hππ）dwdt-和dW-项我们有：hSS（u- r） +hππt+微秒πS+σSπs- rπ= 0hSS（σ）- f） +hπσSπs- fπ= 0（8）满足（8）的非平凡投资组合（hS，hπ）存在的条件给出了以下结果：给定（1）中金融市场的B-S模型，自融资投资组合条件（2）和（5）中的随机套利条件，导数的价格过程π是[0，T]×R+域中下列边值问题的解。πt+σSπS+rσ- ufσ- Fsπs- π= 0π（T，s）=Φ（s）（9）对于常数r，u，σ，任何函数f和简单未定权益Φ。因此，等式（9）显示了一种特殊类型的套利，即当基础资产及其套利可能性由一个共同的内生随机过程产生时发生的套利。这个公式是相当普遍的，在这个意义上，f可以采取任何函数形式。这个函数将被称为套利泡沫。

请注意，当f=0时，标准平衡B-S模型被恢复。这里需要强调的是，由方程（9）生成的模型是一个非平衡模型，从这个意义上讲，它不满足f 6=0.3的鞅假设——作为薛定谔量子方程的相互作用Black-Scholes模型。存在套利泡沫时的Black-Scholes方程（9）可以写成ˇLBSπ+（r- u）f（S，t）σ- f（S，t）sπs- π= 0（10）其中ˇLBSπ=πt+σSπS+rsπs- π是通常的无套利Black-Scholes算子。因素（S，t）≡（r）- u）f（S，t）σ- f（S，t）（11）可以被解释为套利泡沫f（S，t）引起的一种有效势。通过这种方式，套利的存在产生了一种依赖于时间的外部力量，这种力量具有相关的潜在U（S，t）。然后，从物理学的角度来看，在[1]中发展的相互作用Black-Scholes模型对应于具有外场力的相互作用粒子。显然，当势能消失时，外电势为零，我们恢复了通常的Black-Scholes动力学。我们还可以看到，期权价格动态π（S，t）明确依赖于套利泡泡形式f（S，t）。从金融角度来看，套利泡沫应该是时间有限的，并且应该有一个特征振幅。因此，一般来说，套利泡沫可以通过三个参数来定义：出生时间、死亡时间和这两个时间之间的最大振幅。