商品市场中的前向曲线模型的逼近

在陈述之前，我们先介绍一种符号，以备日后使用：定义Θ：Hα→ C×L（R+，C），f7→ （f（0），wαf′，（8）式中wα（x）：=exα/2≥ 那么Θ是Hilbert空间的等距。其反比由Θ给出-1:C×L（R+，C）→ Hα，（z，f）7→ z+z（·）w-1α（y）f（y）dy。（9） 我们用这些算子来证明：推论3.4。系统{g*, {gn}n∈Z} （5）-（6）中定义的是Hα的封闭子空间HTα的Riesz基。的确，HTα是由{g]生成的空间*, {gn}n∈Z} 。此外，还有一个连续线性投影∏，范围为HTα，算子为normq1-E-2λTsuch∏h（x）=h（x），h∈ Hα，x∈ [0，T]。因此，对于任何t，都是∏Uth（x）=Ut∏h（x）=h（x+t）∈ [0，T]和任意x∈ [0，T-t] 。双正交系统{g**, {g*n} n∈Z} 是byg给的**（x） =1g*n（x）=Zxe-yαe*n（y）dye在哪里*命题3.3中给出的任何n∈ Z、 x≥ 0.证明。让{en}n∈Zbe命题3.3的Riesz基，V由{en}n生成的线性向量空间∈Z（实际上是run（A））和PAthe投影仪。然后{（1，0），{（0，en）}n∈Z} 是C×V的Riesz基。此外，{g*, {gn}n∈Z} 是Θ的Riesz基-1（C×V）因为g*= Θ-1（1,0）和gn=Θ-1（0，en）。定义∏：=Θ-1（Id，PA）Θ。那么∏是一个与PAwhere（Id，PA）（z，f）具有相同边界的线性投影仪：=（z，PAf），z∈ C、 f∈ L（R+，C）.8本特和克什内莱h∈ Hα。观察任何x∈ [0，T]，0时切（y）=y≤ Y≤ x、 我们从各种算子的定义中得出∏h（x）=Θ-1（Id，PA）（h（0），exp（α·/2）h′（x）=Θ-1.（h（0），（exp（（λ+α/2）·h′）|[0，T）（切（·exp）(-λ·))（x） =h（0）+Zxe-（λ+α/2）ye（λ+α/2）cut（y）h′（cut（y））dy=h（0）+Zxh′（y）dy=h（x）。因此，对于任何x，∏h（x）=h（x）∈ [0，T]。我们顺便说一句，微不足道的g**= G*. 在下一个命题中，我们计算移位半群{Ut}t的作用≥推论3.4的Riesz基和双正交系上的对偶半群。提案3.5。

对于Riesz基{g*, {gn}n∈Z} in（5）-（6）及其双正交系{g**, {g*n} n∈Z} 在推论3.4中导出，它保持（1）Utgn=eλntgn+gn（t）g*和（2）U*甘油三酯*n=eλntg*n、 对任何人来说∈ Z.证明。权利要求（1）源自一个简单的计算。对于索赔（2），我们计算*甘油三酯*n=g*胡*甘油三酯*n、 g*iα+Xk∈Zg*胡*甘油三酯*n、 gkiα=g*汞*n、 Utg*iα+Xk∈Zg*khg*n、 Utgkiα=eλntg*n.任何∈ Z、 t≥ 因此，命题如下。在比较PDE（1）的投影解和近似解时，某个李交换子起着至关重要的作用。在下一个命题中，我们导出了收敛性的理论结果，这些结果将在下一节中用于分析SPDE（1）的近似值。提议3.6。让k∈ N、 t≥ 0，HTα是由Riesz基{g生成的Hα的闭子空间*, {gn}n∈Z} 定义在（5）-（6）中的双正交系统{g**, {g*n} n∈Z} 在推论3.4中给出。确定投影∏k:HTα→ span{g*, G-Kgk}，h7→ h（0）g*+kXn=-kgnhh，g*niα，ck，t:=P | n |>kgn（t）g*n、 和操作员K，t:HTα→ span{g*}, h 7→ hh，ck，tiαg*.远期价格的有限维逼近9k∏kkopis一致有界于k∏kh→ h、 小吃∈[0，t]kCk，shkα→ 0代表k→ ∞还有任何∈ 这里，∏k，Ut]表示∏kand-Ut的李交换子，即∏k，Ut]=Ck，t- Ut∏k。此外，设X是一个随机过程，其值在HTα中，使得X（t）=Y（t）+M（t）对于某些有限变量的平方可积过程Y和平方可积函数M→∞ZtCk，t-sdX（s）=0，其中收敛为L(Ohm, Hα）。证据让h∈ HTα。自从{g*, {gn}n∈Z} 是HTα的Riesz基，我们有H=g*啊，g*iα+Xn∈Zgnhh，g*niα，因此我们得到∏kh→ h代表k→ ∞.证明了∏kis的算子范数在k中一致有界∈ N

回想推论3.4和（9）gn=Θ-1（0，荷兰银行），n∈ Z和g*= Θ-1（1，0），其中A在（4）和{bn}n中定义∈Zi是L（[0，T]，C）的正交基。在不丧失一般性的情况下，我们假设h（0）=0表示h∈ HTα，发现∏kh=kXn=-kgnhh，g*niα=kXn=-kT bn（T）-1h，bn）=txn=-kbn（T）-1h，bn）。这里，tf:=Θ-1（0，Af）∈ f的Hα∈ L（[0，T]，C），这是一个有界线性算子。因此，sincePkn=-kbn（T）-1h，bn）是T的投影-1小时∈ L（[0，T]，C）向下至其前2k+1坐标，k∏khkα≤ | T kopkXn=-kbn（T）-1h，bn）≤ kT kop|T-1h |但自T-1也是有界算子，因此k∏kkop≤ kT kopkT-1点。Benth和Krühner[3，引理3.2]得出Hα中的收敛意味着局部一致收敛。因此，正如我们所知- πkh→ 0，它能承受∈[0，t]| h（s）- |kh（s）|→ 0代表k→ ∞. 因此，我们发现∈[0，t]X | n |>kgn（s）hh，g*niα= 小吃∈[0，t]| h（s）- |kh（s）|→ 0代表k→ ∞. 所以，大家好∈[0，t]kCk，shkα→ 0代表k→ ∞.L(Ohm, Hα）表示Hα值随机变量Z的空间，其中E[kZkα]<∞.10 BENTH和KR"UHNERLet n∈ Z.然后，根据命题3.5[πk，Ut]gn=πk（eλntgn+gn（t）g*) - 1{|n|≤k} Utgn=1{|n|≤k} eλntgn+gn（t）g*- 1{|n|≤k} （eλntgn+gn（t）g*)= 1{n}>k}gn（t）g*= 有没有≥ 0.此外，∏k，Ut]g*= πkg*- Utg*= 0=Ck，tg*.设h hM，Mii（t）=RtQsdhM，Mi（s）是在Peszat和Zabczyk[22，定理8.2]中给出的鞅M的二次变分过程。然后，Peszat和Zabczyk[22，定理8.7（ii）]yieldsEkZtCk，t-sdM（s）kα= EZtTr（Ck，t-sQsC*k、 t-s） 密歇根州dhM。回想一下h∈ HTα，我们发现Ck，th=hh，Ck，tiαg*. 因此，hh，C*k、 甘油三酯*iα=hCk，th，g*iα=hh，ck，tiα，这就得到了C*k、 甘油三酯*= ck，t代表g∈ 与g正交的HTα*我们有*k、 tgiα=hCk，th，giα=hh，ck，tiαhg*, 对于任何h，giα=0∈ HTα和C*k、 tg=0。

我们得到（Ck，t）-sQsC*k、 t-s） =hCk，t-sQsC*k、 t-sg*, G*iα=hQsck，t-s、 ck，t-siα≤ kck，t-skαTr（Qs）。因此，EZtCk，t-传感和诊断模块（s）α!= EZtTr（Ck，t-sQsC*k、 t-s） 密歇根州dhM（s）≤ 小吃∈[0，t]kck，skαEZtTr（Qs）密苏里州dhM（s）= 小吃∈[0，t]kck，skαE公里（吨）- M（0）kα→ 0代表k→ ∞. 同样地，我们得到ZtCk，t-康乐及文化事务署(s)α≤ 小吃∈[0，t]kck，skαZtkdY kα（s）→ 0as k→ 0，其中k dY kα表示与dY相关的总变化量（Seedincleanu[15，定义§2.1]）。这一说法如下。在Peszat和Zabczyk[22]中，hh·、·ii被称为算子角括号过程，而h·、·i是角括号过程。远期价格的有限维近似11投影算子∏kP在远期期限结构的无套利近似中起着重要作用。为了便于注释，我们表示ht，kα：=span{g*, G-Kgk}，（10）对于任何k∈ N.从上述考虑，我们得到∏k将空间HTα投影到HT，kα。我们的下一个目标是确定某些光滑元素f的HT，kα中近似值的收敛速度∈ HTα，也就是说，就riesz基函数的数量而言，∏kf与f有多接近。我们首先展示了几个技术结果。推论3.7。让f∈ HTα。那么，我们有-2λT1- E-2λT | f（0）|+Xn∈Z | hf，g*niα|！≤ kfα≤1.- E-2λT | f（0）|+Xn∈Z | hf，g*niα|！。证据推论3.4指出{g*, {gn}n∈Z} 是HTα的Riesz基。此外，它是由g*= Θ-1（1,0），gn=Θ-1（0，en）表示任意n∈ Z，其中Θ是（9）和{en}n中给出的等距∈Zi是命题3.3中给出的Riesz基。此外，对于任意n，引理3.1 yieldsthat en=abn∈ Z其中{bn}n∈Zi是L（[0，T]，C）和kAkop的正交基≤1.-E-2λT。因此，我们可以构造一个具有正交基{b]的希尔伯特空间*, {bn}n∈Z} 以及一个有界线性算子B和kBkop≤1.-E-2λT，使得g*= Bb*,gn=Bbn。

因此，我们有kfkα=kg*hf，g*iα+Xn∈Zgnhf，g*niαkα=kBb*hf，g*iα+Xn∈ZBbnhf，g*niαkα≤1.- E-2λT | hf，g*iα|+Xn∈Z | hf，g*niα|！哪里{g*, {g*n} n∈Z} 将双正交系统表示为{g*, {gn}n∈Z} 在推论3.4中给出。下不等式只是使用引理3.1的下不等式。下一个技术结果将HTα中元素的内积与双正交基函数连接到[0，T]上的一个简单的类傅里叶积分：推论3.8。假设f∈ HTα。那么，对于任何n∈ Z、 hf，g*niα=（1）- E-2λT）-1T-1/2ZTf′（x）exp(-2πiTn- λ+α）x证明。首先，回想一下g*n=Θ*（0，en）表示n∈ Z、 其中Θ在（9）中定义。因此，hf，g*ni=hf，Θ*（0，en）iα=（f，（0，en））C×L（R+）=（f（0），eα·/2f′，（0，en））C×L（R+）=（eα·/2f′，en）。12 BENTH和KR"UHNERNote，exp（α·/2）f′和en=abn是ran（A）的元素。如果h∈ ran（A），那么就存在A^h∈ L（[0，T]，C）使得h=A^h，或h（x）=exp(-λx）^h（切（x））。观察x∈ [0，T]，^h（x）=exp（λx）h（x）。那么，如果g∈ ran（A），我们发现（h，g）=Z∞h（x）g（x）dx=Z∞E-2λx^h（截（x））^g（截（x）dx=∞Xn=0e-2λnTZ（n+1）TnTe-2λ（x）-nT）^h（切（x））^g（切（x））dx=∞Xn=0e-2λnTZTe-2λx^h（x）^g（x）dx=（1）- E-2λT）-1ZTh（x）g（x）dx。因此，hf，g*ni=（1）- E-2λT）-1ZTeαx/2f′（x）en（x）dx=（1）- E-2λT）-1T-1/2ZTf′（x）exp(-2πiTn- λ+α）x因此，结果如下。有了这些结果，我们可以证明HTα中的充分啮合函数的收敛速度为1/k阶。提案3.9。假设f∈ HTα使得f |[0，T]是两次连续可微的。然后，我们有KF- πkfkα≤Ck，任何k∈ N、 式中c=Tf′（T）eT(-λ+α/2)- f′（0）+ （RT|f′（x）|ex(-λ+α/2）dx）π（1）- E-2λT），我们回忆起命题3.6中的投影算子∏kf。证据推论3.7 yieldskf- πkfkα=kX | n |>kgnhf，g*niαkα≤ CX | n |>k | hf，g*niα|远期价格的有限维近似，其中C:=（1）- E-2λT）-1.定义hn（x）：=exp（ξnx），x≥ 0，其中我们表示ξn=-2πiTn- λ +α.

然后，通过推论3.8和部分积分，我们发现| hf，g*niα|=CT-1.ZTf′（x）hn（x）dx= 计算机断层扫描-1 |ξn|f′（T）hn（T）- f′（0）hn（0）-ZTf′（x）hn（x）dx≤2CT |ξn | Af，对于任意n∈ Z\\{0}，其中常数AfisAf：=f′（T）eT(-λ+α/2)- f′（0）+ （ZT|f′（x）ex（λ）-α/2）dx）。此外，我们有x |n |>k |ξn |=2Xn>k |ξn|≤T2πk。把这些估计加起来，我们得到kf- πkfkα≤ AfCTπk，如前所述。对于ck，t，我们可以找到一个类似的收敛速度，这个结果后来变得有用：引理3.10。让ck，t如命题3.6所示。然后，kck，tkα≤Ck，任何k∈ N、 其中C=T/π（1- 经验(-2λT）。证据我们使用{g}调用推论3.7*n} n∈双正交系统{gn}n的Zas Riesz基∈Z、 要找到kck，tkα=kX | n |>kgn（t）g*nkα≤ CX |n |>k | gn（t）|=CTX |n |>k |λn|eλnt- 1.≤2CT（1+e）-（2λ+α）t）X | n |>k |λn|≤CTπk，对于C=（1- 经验(-2λT）-1.因此，结果如下。14 BENTH和KR"Uhner根据这些结果，我们现在可以研究（1）中远期动态的无套利近似。远期期限结构模型的无套利近似在本节中，我们找到了一个远期期限结构模型的无套利近似，如Heath Jarrow Morton类型设置中所述，该模型存在于有限维状态空间中。此外，我们还推导了近似值的收敛速度，并将结果推广到在一段时间内交付基础商品的远期合同，这是电力和天然气的情况。考虑带有温和溶液f的SPDE（1）∈ Hα由（2）给出。我们从（5）（6）和推论3.4中回顾了Riesz基{g*, {gn}n∈Z} 关于双正交系统{g]的空间HTα*, {g*n} n∈Z} 。此外，∏是Hα在HTα上的投影，而从（10）和命题3.5我们得到了Hα在HT，kα上的投影∏kof HTα和算子Ck，tfork∈ N、 t≥ 0.让我们定义连续线性算子∧k:Hα→ HT，kα乘以∧k=对于任何k∏k∏（11）∈ N

以下定理是本文的主要结果之一：定理4.1。为了k∈ N、 设fk为SPDEdfk（t）的温和溶液xfk（t）dt+kβ（t）dt+kψ（t）dL（t），t≥ 0，fk（0）=∧kf。（12） 然后，我们有（1）E好的∈[0，T-t] |fk（t，x）- f（t，x）|→ 0代表k→ ∞ 还有什么t∈ [0，T]，（2）fk取有限维空间HT，kα中的值，此外，fk是SPDE（12）的强解，即fk∈ 多姆(x） ，t7→ xfk（t）是P-a.s.Bochnerintegrable和fk（t）=fk（0）+Zt(xfk（s）+∧kβ（s））ds+Zt∧kψ（s）dL（s），（3）和，fk（t）=Sk（t）+kXn=-Keλnthfk（0），g*niα+Zteλn（t-s） dXn（s）式中，Sk（t）=δ（fk（t））和Xn（t）：=Rth∏β（s）ds+∏ψ（s）dL（s），g*anyn的niα∈ Z、 t≥ 0.证明。（1） 定义∏（t）：=Ut∏f+ZUT-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），t≥ 0 .远期价格的有限维近似因为FK是一个温和的解，我们有FK（t）=Ut∏k∏f+ZtUt-s∏k（β（s）ds+ψ（s）dL（s））=πkUt∏f+Zt∏kUt-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））=kUt∏f+ZtUt-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））=k（f∏（t））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））对于任何t≥ 从Benth和Krühner[3，引理3.2]可知，超范数由Hα范数支配。因此，存在一个常数c>0，使得e“supx∈[0，T-t] |∏k（f∏t，x））- f∏（t，x）|#≤ 总工程师k（πk）- 一） f∏（t）kα无论如何≥ 其中I表示Hα上的恒等式算子。支配收敛定理得出，对于k，右边收敛到0→ ∞. 显然，我们有SUPX∈[0，T-t] |Ck，tf∏（0，x）|≤ ckCk，tf∏（0）kα→ 0代表k→ ∞. 提案3.6规定：ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））α→ 0代表k→ 因此，我们有了eSupx∈[0，T-t] |fk（t，x）- f∏（t，x）|！→ 0代表k→ ∞ 还有什么t∈ [0，T]。因为对于任何t，f∏（t，x）=f（t，x）∈ [0，T]，x∈ [0，T- t] 第一部分如下。（2） 首先要注意xgn（x）=exp（λnx）/√T=λngn（x）+g*（十）/√T，因此xgn∈HT，kα| n |≤ K

因此，HT，kα在生成器下是不变的x、 它对HT，kα的限制是连续且有界的。我们发现FK只取HT，kα的值，因为Efk（t）=∏kUt∏f+ZtUt-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（∏β（s）ds+∏ψ（s）dL（s）），其中所有和数都清楚地在HT中，kα.16 BENTH和KR"UHNER（3）作为fk（t）∈ HT，kα，我们有代表性fk（t）=hfk（t），g**iαg*+kXn=-卡夫克（t），g*niαgn。自从g**= 1，我们发现hfk（t），g**iα=fk（t，0）=δ（fk（t））。因此，从（12）的mild解中，我们发现，使用命题3.5fk（t）=Sk（t）+kXn=-KUtfk（0）+ZtUt-s（λkβ（s）ds+λkψ（s）dL（s）），g*Nαgn=Sk（t）+kXn=-卡夫克（0），美国*甘油三酯*niαgn+kXn=-kZth∧kβ（s）ds+kψ（s）dL（s），U*T-sg*niαgn=Sk（t）+kXn=-keλnthfk（0），g*niαgn+kXn=-kZteλn（t）-s） h∧kβ（s）ds+∧kψ（s）dL（s），g*niαgn。注意任何f∈ Hα∧kf=k∏f=0）g*+kXm=-kh∏f，g*miαgm，以及{g*, {gn}n∈Z} ，{g**, {g*n} n∈Z} 是双正交系统sh∧kf，g*niα=（πf）（0）hg*, G*niα+kXm=-kh∏f，g*miαhgm，g*niα=h∏f，g*niα{n|≤k} 。因此，索赔如下。关于定理4.1的另一种观点是，f的k次近似中的所有过程都可以用因子过程X表示*, 十、-KXk，如下所述。推论4.2。在定理4.1的假设和符号下，我们得到了k∈ N、 fk（t，x）=Sk（t）+kXn=-kUn（t）gn（x），对于任何0≤ t<∞ 还有x≥ 这里，Sk（t）=Sk（0）+X*（t） +kXn=-Kgn（t）Un（0）+Ztgn（t）- s） dXn（s）,远期价格17的有限维近似，Xn（t）：=Zt（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），g*Nα、 X*（t） :=Zt（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），g*α、 Un（t）：=eλnthfk（0），g*ni+Zteλn（t）-s） dXn（s）代表n∈ {-Kk} 。证据第一个等式是对定理4.1中（3）的重申。提案3.5 yieldshUth，g*iα=hh，g*iα+kXn=-kgn（t）hh，g*任意h的niα∈ HT，kα，h=hh，g*iαg*+Pkn=-khh，g*niαgn。

因此，自从g*= 1和gn（0）=0我们有sk（t）=fk（t，0）=hfk（t），g*iα=hUtfk（0），g*iα+zt-s（λkβ（s）ds+λkψ（s）dL（s）），g*iα=hfk（0），g*iα+kXn=-kgn（t）hfk（0），g*niα+Zth∧kβ（s）ds+∧kψ（s）dL（s），g*iα+kXn=-kZtgn（t- s） h∧kβ（s）+∧kψ（s）dL（s），g*niα。在定理4.1的证明中，我们有h∧kf，g*niα=h∏f，g*任意f的niα∈ Hα。类似地，h∧kf，g*iα=h∏f，g*iα表示n∈ Z与| n |≤ k、 结果如下。程序Sk，U-KUkin推论4.2在近似模型中随时捕捉整个市场状态。也就是说，现货价格和远期曲线是这些状态变量的简单函数。正如我们将在下面的推论4.4中看到的，具有交货期的合同的正向价格也可以用这些状态变量表示。注意，如果我们假设h∏β，g*ni，h∏ψ，g*ni是确定的常数，然后（X-KXk）是一个2k+1维的Lévy过程和U-KUkareOrnstein-Uhlenbeck过程。这与本、卡尔森和迈耶·布兰迪斯[2]提出的现货价格模型相对应。根据推论4.2的证明，我们发现Sk（0）=hfk（0），g*我知道。但这时sk（0）=h∧kf，g*iα=h∏f，g*iα=（πf）（0）=f（0）。18 BENTH和KR"Un显然，f（0）等于今天的现货价格，因此我们得到近似过程Sk（t）的起点是今天的现货价格。此外，因为我们有fk（t，0）=Sk（t），因为对于所有n，gn（0）=0∈ Z、 Sk（t）是与fk（t）相关的近似现货价格动态。对于Un（0），n∈ Z调用推论3.8表明un（0）=h∏f，g*niα=√T（1）- E-2λT）ZT（πf）′（y）exp((-λ+α/2）x）exp2πiTnx阿迪。这是初始正向曲线f的傅里叶变换（或者，更确切地说，是指数函数的导数）。

在任何情况下，Sk（0）和Un（0）都由初始正向曲线f的（泛函）给出。接下来，我们想确定近似值的收敛速度，即定理4.1第（1）部分中的收敛速度。提案4.3。假设x7→ f（t，x）是两次连续可微的，设fk是SPDEdfk（t）的温和解xfk（t）dt+kβ（t）dt+kψ（t）dL（t），t≥ 0，fk（0）=∧kf。然后，我们有“supx”∈[0，T-t] |fk（t，x）- f（t，x）|#≤A（t）k，对于任何k>1，其中（t）：=3T（1+α）-1)(1 - E-2λT）（k∏fkα+ZTE[Tr（ψ（s）Qψ*（s） ）]ds+中兴[kβ（s）kα]ds)+3(1 + α-1)π(1 - E-2λT）T E|xf∏（t，t）eT(-λ+α/2)- xf∏（t，0）|+中兴通讯|xf∏（t，x）|前任(-λ+α/2）dx).证据在定理4.1的证明中，我们已经证明了fk（t）=∏k（f∏t））- Ck，t∏f-ZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s）），其中f∏（t）：=Ut∏f+RtUt-对于任何t≥ 0.根据命题3.9，我们得到了kf∏（t）-πk（f∏（t））kα≤C（t）k其中C（t）是由C（t）=t定义的随机变量|xf∏（t，t）eT(-λ+α/2)- xf∏（t，0）|+（RT）|xf∏（t，x）| ex(-λ+α/2）dx）π（1）- E-2λT）。注意，从定理4.1的证明中，我们发现任何h∈ HTαkCk，thkα=khh，ck，tiαg*kα=|hh，ck，tiα|≤ khkαkck，tkα，远期价格的有限维近似，因此，引理3.10kCk，tkα≤ khkαCk，对于常数C=T/π（1- E-2λT）。然后，我们有kfk（t）- f∏（t）kα≤ 3k∏k（f∏t））- f∏（t）kα+3kCk，t∏fkα+3kZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））kα≤3C（t）k+3Ckk∏fkα+3kZtCk，t-s（β（s）ds+ψ（s）dL（s））kα。根据Benth和Krühner[3]中的引理3.2，上确界范数由Hα-范数和常数c限定=√1 + α-1.因此，带着期望，yieldE“supx”∈[0，T-t] |fk（t，x）- f（t，x）|#≤ 总工程师kfk（t）- f∏（t）kα≤3ckE[C（t）]+Ck∏fkα+3ckCZTE[Tr（ψ（s）Qψ）*（s） ）]ds+中兴[kβ（s）kα]ds!.结果如下。在电力和天然气市场，远期合同在未来一段时间内交付，而不是在固定时间交付。