商品市场中的前向曲线模型的逼近

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英文标题：
《Approximation of forward curve models in commodity markets with
  arbitrage-free finite dimensional models》
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作者：
Fred Espen Benth, Paul Kr\\\"uhner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we show how to approximate a Heath-Jarrow-Morton dynamics for the forward prices in commodity markets with arbitrage-free models which have a finite dimensional state space. Moreover, we recover a closed form representation of the forward price dynamics in the approximation models and derive the rate of convergence uniformly over an interval of time to maturity to the true dynamics under certain additional smoothness conditions. In the Markovian case we can strengthen the convergence to be uniform over time as well. Our results are based on the construction of a convenient Riesz basis on the state space of the term structure dynamics.
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中文摘要：
在本文中，我们展示了如何用具有有限维状态空间的无套利模型来近似商品市场远期价格的Heath-Jarrow-Morton动力学。此外，我们在近似模型中恢复了远期价格动态的封闭形式表示，并在某些额外的光滑性条件下，导出了在一段时间间隔内到到期时的一致收敛速度。在马尔可夫的情况下，我们也可以加强收敛性，使其随时间的推移保持一致。我们的结果基于在术语结构动力学的状态空间上构造方便的Riesz基。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Approximation_of_forward_curve_models_in_commodity_markets_with_arbitrage-free_f.pdf (272.8 KB)

2022-5-9 17:02:03 上传

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关键词：商品市场 Mathematical Presentation Construction Quantitative

用无套利有限维模型逼近商品市场中的远期曲线模型Fred ESPEN BENTH和PAUL KR"UHNERABSTRACT。在本文中，我们展示了如何用具有有限维状态空间的无套利模型来近似商品市场远期价格的Heath-Jarrow-Morton动力学。此外，我们在近似模型中恢复了正向价格动态的一个封闭形式表示，并在某些额外的光滑性条件下，导出了在一段时间间隔内到成熟期的一致收敛速度。在马尔可夫的情况下，我们可以加强收敛性，使其随着时间的推移保持一致。我们的结果是基于术语结构动力学的状态空间构造了一个方便的Riesz基。1.导言我们开发了无套利的远期期限结构动态近似模型，用于商品市场。近似的期限结构模型具有有限的维度状态空间，因此便于进一步分析和数值模拟。我们给出了近似项结构的收敛性结果，并在真实项结构的合理光滑性下刻画了速度。我们的结果基于在术语结构动力学的状态空间上构造一个方便的Riesz基。在固定收益市场的背景下，Heath、Jarrow和Morton[19]建议对利率的整个期限结构进行建模。菲利波维奇[16]重新解释了这种方法，即所谓的Musiela参数化，即将所谓的远期利率研究为一阶随机偏微分方程的解。这类随机偏微分方程通常被称为Heath Jarrow Morton Musiela（HJMM）动力学。

这种非常成功的方法已被转移到其他市场，包括商品和能源期货市场（见Clewlow和Strickland[14]以及Benth、Saltyte Benth和Koekebakker[5]），在这些市场中，远期和期货的期限结构由类似的随机偏微分方程建模。利率建模的一个重要研究方向是所谓的HJMM动力学解的有限维实现（见比约克和斯文森[12]、比约克和兰登[11]、菲利波维奇和泰奇曼[18]和塔普[24]）。从一个由d维维纳过程驱动的远期利率方程开始，问题是我们在什么条件下获得波动率和漂移：2018.2010年8月13日数学科目分类的版本。91B24，91G20。关键词和短语。能源市场，希思·贾罗·莫顿，非调和傅立叶分析，无套利近似。F.E.Benth感谢挪威研究委员会ENERGIX项目资助的“能源市场天气风险管理（MAWREM）”项目提供的财务支持。2属于有限维空间的BENTH和KR"Uhner解，即何时可以将整个曲线的动力学分解为有限个因素。该属性与主成分分析（见Carmona和Tehranchi[13]）有着密切的联系，但在评估、模拟、定价和投资组合管理等进一步分析方面也很方便（后者见Benth和Lempa[10]）。在电力和天然气等能源市场，有经验和经济证据表明存在高维噪音。此外，噪音还显示出明显的轻薄迹象（见Benth、Saltyt˙e Benth和Koekebakker[5]及其参考文献）。

这些经验见解推动了在HJMM动力学模型中使用有限维Lévy过程来驱动噪声，从而对远期结构进行建模。我们参考Carmona和Tehranchi[13]对利率市场中具有有限维高斯噪声的HJMM模型进行了全面分析。Benth和Krühner[8]通过有限维高斯过程的从属关系，引入了一类方便的有限维Lévy过程。这些模型用于分析Benth和Krühner[7]中具有有限维Lévy噪声的随机偏微分方程。此外，Benth和Krühner[9]研究了基于此类模型的能源市场衍生品定价和套期保值。本论文的动机是需要在电力金融领域使用Musiela参数化对Heath、Jarrow、Morton风格的模型进行无套利近似。Henseler、Peters和Seydel[20]进行了相关研究，他们构建了一个有限维的af fi fine模型，其中一个重新定义的主成分分析（PCA）方法确实产生了期限结构模型的无套利近似值。我们的主要结果定理4.1表明，基本正向曲线过程f（t，x），x的无套利模型≥ 0是成熟期，t≥ 0是当前时间，可以用fk（t，x）=Sk（t）+kXn形式的进程来近似=-kUn（t）gn（x），其中sk表示近似模型中的现货价格，g-KGK是确定性函数和U-KUkare是一维Ornstein-Uhlenbeck型过程。显然，这种类型的模型在应用中比HJMM方程的一般解更容易处理。该近似值也是HJM方程的解，因此是远期期限结构的无套利模型。

我们证明了FK在时间点上与“真实”远期价格曲线f在空间上的一致收敛性。收敛速度为k阶-1当前进曲线x 7→ f（t，x）是两个连续可微的。我们的方法是基于有限差分格式或有限元方法的HJMM动态数值近似的替代方法，在这种方法中，无法自动确保近似动态的无套利性。我们参考Barth[1]对有限元方法应用于我们研究的随机偏微分方程的分析。我们将我们的结果重新定义为马尔可夫情况，在马尔可夫情况下，收敛性也会随着时间的推移而略微增强，以保持一致。我们的方法是通过显式构造所谓Filipovi’c空间（见Filipovi’c[16]）的子空间的aRiesz基，这是一个绝对连续函数在正实线上的可分离Hilbert空间，其（弱）导数以一定的速度消失。基础是近似fk中的函数Gn，子空间是通过将远期价格的函数无限维近似3菲利波维奇空间集中到有限时间范围x来定义的≤ TBenthand Krühner[7]定义了这个空间，我们在这里扩展了分析，以适应HJMM动力学的无套利有限维近似。在分析中，我们基于有限维Lévy过程的Csemigroups和随机积分的性质（见Peszat和Zabczyk[22]）。本文的组织结构如下。在第2节中，我们从菲利波维奇空间中设定的远期利率的HJMM动力学的数学公式开始。第3节详细定义和分析了为我们的近似值奠定基础的Rieszbase。

第4节构建了期限结构模型的无套利有限维近似，我们研究了收敛性。马尔可夫酶在最后一节5.2中进行了分析。远期价格动态模型在本文中，我们使用希尔伯特空间α：=F∈ AC（R+，C）：Z∞|f′（x）| eαxdx<∞,其中AC（R+，C）表示R+上的复数绝对连续函数的空间。我们赋予Hα标量积hf，giα：=f（0）g（0）+R∞f′（x）g′（x）eαxdx，并用k·kα表示相关范数。菲利波维奇[16，第5节]证明了（Hα，k·kα）是一个可分离的希尔伯特空间。在Filipovi\'c[16]中，该空间被用于债券的期限结构建模，其中推导出了许多数学性质。我们经常将Hα称为菲利波维奇空间。接下来，我们将介绍商品市场远期价格期限结构的动态。用f（t，x）表示远期合约t时的价格，其中标的商品的交货时间为x≥ 0.我们将f视为时间上的随机过程，其值在Filipovi’c空间Hα中。更具体地说，我们假设过程{f（t）}t≥0遵循我们接下来形式化的HJM Musiela模型。关于完全过滤概率空间(Ohm, {Ft}t≥0，F，P），假设过滤是完全连续的，我们使用Hα值的Lévy过程{L（t）}t≥0（参见Peszat和Zabczyk[22，定理4.27（i）]，用于构造Hα值Lévy过程）。我们假设L的有限方差和均值等于零，并用Q表示其协方差算子∈ Hα和f是随机偏微分方程（SPDE）的解df（t）=xf（t）dt+β（t）dt+ψ（t）dL（t），t≥ 0，f（0）=f（1），其中β∈ L((Ohm ×R+，P，P λ） ，Hα），P是可预测的σ场，ψ∈LL（Hα）：=ST>0LL，T（Hα），其中后一个空间定义为Peszat和Zabczyk[22，第113页]。

对于t≥ 0表示Hα上的移位半群，由f的Utf=f（t+·）定义∈ Hα。菲利波维奇[16]指出{Ut}t≥0是Hα上的C-半群，带生成元x、 回想一下，任何C-半群都允许有界kUtkop≤ 对于某些情况，M>0和任何t≥ 这里，k·kopdenotes是算子范数。事实上，在Filipovi\'c[16，方程（5.10）]和Benth and Krühner[4，引理3.4]中，kUtkop≤ 请注意，Filipovi\'c[16]不考虑复值函数。在我们的上下文中，这个小的扩展是方便的，后面会很清楚。4 BENTH和KR"UHNERany t≥ 0和常数CU:=p2（1∧ α-1). 因此s 7→ 美国犹他州-sβ（s）是Bochner可积函数s7→ 美国犹他州-sψ（s）相对于L是可积的。（1）isf（t）=Utf+ZtUt的唯一温和解-sβ（s）ds+ZtUt-sψ（s）dL（s）。（2） 如果我们在风险中性环境下对远期价格动态f进行建模，漂移系数β（t）自然将为零，以确保过程的（局部）鞅性质→ f（t，τ）- t） ，其中τ≥ t是远期交割的时间。在这种情况下，概率P被解释为等价鞅测度（也称为定价测度）。然而，在非零漂移的情况下，远期模型是在市场概率下陈述的，β可能与市场中的风险溢价有关。在电力和天然气等能源市场中，远期合同在一段时间内交付，远期价格可以由f上应用的Filipovi’c空间上的积分运营者表示（有关更多详细信息，请参见Benth和Krühner[3,4]）。f的动力学也可以被视为未来收益理论中的一个模型，见Filipovi\'c[16]。这确实是（1）中SPDE的传统应用领域和分析点。然而，请注意，HJM利率市场方法中最初的无套利条件与此处使用的无套利条件不同。

如果f被理解为在风险中性环境下建模的远期利率，则漂移β、波动率σ和驱动噪声L的协方差之间存在无套利关系。我们参考Carmona和Tehranchi[13]进行详细分析。3.FILIPOVI’C空间的RIESZ基在本节中，我们介绍了Hα定义的Inbenh和Krühner[3，附录A]的一个合适子空间的RIESZ基，并给出了它的各种性质。此外，我们在此基础上给出了明确的声明，并确定了新的属性。我们从Young[26]回忆起，任何Riesz基{gn}n∈非可分希尔伯特空间可以用gn=T enwhere{en}n表示∈Nis是一个正交基，T是一个有界可逆线性构造器。有关Riesz碱的更多性质和定义，请参见Young[26]。在第4节中，我们想用谱方法来近似包含菲利波维奇空间Hα上微分算子的SPDEin（1）。因此，有了微分算子的特征向量基是很方便的。然而，它的特征向量似乎没有很好的基性质。相反，我们建议使用向量系统，形成Riesz基，这几乎是微分算子的特征向量系统。这一性质将在命题3.5和命题3.6中得到精确表述。最后，我们将确定Riesz基展开的收敛速度。固定λ>0，T>0，并引入切口：R+→ [0，T），x7→ 十、- max{tz:z∈ Z:TZ≤ x} andA:L（[0，T），C）→ L（R+，C），f 7→x7→ E-λxf（割（x））. （4） 这里，L（A，C）是Borelset A上的复值平方可积函数空间 R+配备了Lebesgue测量装置。L（A，C）的内积将被分解（·，·）和相应的范数···。

我们注意到，集合A将从上下文中清晰可见，因此不会在范数和内积的符号中指明。远期价格的有限维近似5We定义*（x） ：=1，（5）gn（x）：=λn√T（exp（λnx）- 1） 式中λn:=2πiTn- λ -α、 （7）对于任何n∈ Z、 x≥ 0.验证gn∈ 任意n的Hα∈ Z和g*∈ Hα。正如我们将看到的，向量系统{g*, {gn}n∈Z} 形成一个Riesz基础，我们将利用它获得远期价格动态的无套利有限维近似值（1）。我们从Benth和Krühner[3]证明的算子A的一些基本性质开始分析。引理3.1。A是有界线性算子，其范围在L（R+，C）中是封闭的。此外，e-2Tλ1- E-2Tλ| f|≤ | Af|≤1.- E-2Tλ| f |对于任何f∈ 这个证明可以在Benth和Krühner[3，引理A.1]中找到。在下面的命题3.3中，我们计算了空间ran（a）及其双正交系统的Riesz基。Riesz基将作为一个正交基L（[0，T），C）的映象给出。因此，它的双正交系统由（A）的映象给出-1)*,我们在下面的引理中计算：引理3.2。双重（A）-1)*关于A的逆：L（[0，T），C）→ ran（A）由（A）给出-1)*: L（[0，T），C）→ 跑（A），（A）-1)*f（x）=（1）- E-2λT）e-λxe2λ截（x）f（截（x））= (1 - E-2λT）e2λ截（x）Af（x），x≥ 0 .证据让f，g∈ L（[0，T]，C）和定义h（x）：=（1）- E-2λT）e2λ截（x）Af（x）用于anyx≥ 那么我们有（h，Ag）=Z∞h（y）Ag（y）dy=（1）- E-2λT）∞Xn=0Z（n+1）TnTe2λ（x-（新界）（e）-λxf（x）- （新界）-λxg（x）- nT））dx=（1- E-2λT）∞Xn=0e-2λnTZ（n+1）TnTf（x- nT）g（x）- nT）dx=ZTf（y）g（y）dy.6 BENTH和KR"UHNEROn另一方面，（（A）-1)*f、 Ag）=（f，g）=ZTf（y）g（y）dy。因为g是任意的，所以我们有h=（A）-1)*f如所称。下一个命题的部分内容可以在Benth和Krühner[3，引理A.3]中找到。

在这篇论文中，我们在这里填写的证据似乎存在差距。提议3.3。工程师（x）：=√特克斯2πinT- λ十、, 十、≥ 0，n∈ Z.然后{en}n∈在L（R+，C）和f的闭子空间ran（a）上Zis是Riesz基：={f∈ L（R+，C）：f（x）=0，x∈ [0，T）}是ran（a）的闭向量空间的补充。连续线性范围ran（a）和核F具有算子normq1-E-2λ，我们有paf（x）=f（x），x∈ [0，T]，f∈ L（R+，C）。双正交系统{en}*N∈关于Riesz基{en}n∈再见*n（x）=1.- E-2λTe2λ割（x）en（x）证明。回想一下，由于引理3.1中给出的下界，A的范围是L（R+，C）的一个闭子空间。此外，{bn}n∈zbn（x）：=√特克斯2πinTx, N∈ Z、 x∈ [0，T]是L（[0，T]，C）的正交基。注意，en=abn，因此{en}n∈Zbecomes是ran（a）的Riesz基础。定义连续线性算子mλ：L（[0，T），C）→ L（[0，T），C），Mλf（x）：=eλxf（x），C:L（R+，C）→ L（[0，T），C），f7→ f |[0，T）和PA:=AMλC。注意，MλCA是L（[0，T），C）上的恒等算子，因此PA=PA。因此，pai是核f和rangeran（a）的连续线性投影∈ L（R+，C）与PA核的任何元素正交，那么f（x）=0Lebesgue-a.e≥ T因此，我们有| PAf |=Xn∈NZnT+TnT（东）-λxeλ（x）-nT）| f（x- nT）| dx=Xn∈氖-2nλT | f |=1- E-2λT | f |远期价格7的有限维近似，由此得出kPAkop=q1-E-根据引理3.2，我们有*n（x）=（A）-1)*bn（x）=（1- E-2λT）e-λxe2λ截（x）bn（截（x））=1.- E-2λTe2λ截（x）en（x），对于任意n∈ Z、 x≥ 0，根据需要。到目前为止，本节收集的语句都是关于空间L（R+，C）的。然而，我们实际上对空间Hα感兴趣，它对C×L（R+，C）有一个自然而简单的等距。下一个推论将把上面的L（R+，C）-语句转换为Hα。