商品市场中的前向曲线模型的逼近

远期合同持有人在约定的时间段[T，T]内收到统一的电力或天然气流。交付期合同的远期价格可以从“固定交付时间”远期曲线模型（见Benth等人[5]）byF（t，t，t）：=t得出- TZTTf（t，s）- t） ，ds（13），其中f由SPDE（1）给出。以下推论使定理4.1适用于有交付期的远期合同。推论4.4。假设定理4.1和定义fk（t，t，t）：=t的条件- TZTTfk（t，s-t） 对于任何0≤ T≤ T≤ T≤ T然后，我们有fk（t，t，t）→ F（t，t，t）20 BENTH和KR"Uhnerfork→ ∞ 在洛杉矶(Ohm) 其中F在（13）中给出。此外，Fk（t，t，t）=Sk（t）+kXn=-kGn（t，t，t）eλnthg*n、 fk（0）iα+Zteλn（t-s） dXn（s）,无论如何≤ T≤ T≤ 其中Sk（T）=δ（fk（T）），Gn（T，T，T）=exp（λn（T- t） )- exp（λn（T）- t） )- λn（T）- T） λn√T（T- T） 和Xn（T）：=Rth∏β（s）ds+∏ψ（s）dL（s），g*niα。证据定理4.1给出了FK中出现的被积函数与F中出现的被积函数的一致L收敛性，因此收敛性如下。紧随定理4.1第（3）部分的下列表述。我们顺便指出，温度衍生品市场（见Benth和Saltyt˙eBenth[6]）也以“交割期”进行远期交易。在这个市场上，货运代理是根据一个城市在一段时间内测得的日平均气温指数进行现金结算的。5.对马尔可夫远期价格模型的改进在本节中，我们对马尔可夫远期价格模型的分析进行了重新定义，提出了系数β和ψ取决于远期曲线状态的附加假设。

更具体地说，我们假设β（t）=b（t，f（t）），（14）ψ（t）=ψ（t，f（t）），（15），其中b:R+×Hα→ Hα，ψ：R+×Hα→ L（Hα）是sensekb（t，f）中线性增长的可测Lipschitz连续函数- b（t，g）kα≤ Cbkf- gkα，（16）k（ψ（t，f）- ψ（t，g））Q1/2kHS≤ Cψkf- gkα，（17）和kb（t，f）kα≤ Cb（1+kfkα），（18）kψ（t，f）Q1/2kHS≤ Cψ（1+kfkα），（19）对于正常数Cb，Cψ。在这些条件下，半线性SPDEdf（t）=（xf（t）+b（t，f（t）））dt+ψ（t，f（t）-))dL（t），f（0）=f.（20）我们想指出，Peszat and Zabczyk[22]和Tappe[25]在书中讨论了半线性SPDE。此外，我们假设b（t，h）=b（t，g），（21）ψ（t，h）=ψ（t，g），（22）任何h，g的远期价格21的有限维近似∈ Hα使得任意x的H（x）=g（x）∈ [0，T- t] ，即超出时间范围t的曲线结构不会影响曲线值过程f（t）的动力学。在继续分析马尔可夫过程中的无套利近似之前，我们展示了几个有用的引理。第一种是关于Lévyprocess L的Volterra-like Hilbert空间值随机积分的Doob线质量版本，主要来自Filipovi\'c、Tappe和Teichman[17]。引理5.1。假设∈ LL（Hα）。然后，喝一杯∈[0，t]kZsUs-rΦ（r）dL（r）kα#≤ 4ctZtEkΦ（r）Q1/2kHSdr，对于ct>0，在t证明中最多呈指数增长。首先要注意的是，由于Benth和Krühner[3，引理3.5]，C-半群（Ut）t≥0是伪收缩的。Filipovi\'c、Tappe和Teichmann[17，Prop.8.7]指出，Hα的aHilbert空间扩张H（即H是Hilbert空间，Hα是其子空间，Hα的形式等于Hα的范数）和c群（Vt）t∈Ron H，因此Vt | Hα=t的UT≥ 0

那么，我们有晚餐∈[0，t]kZsUs-rΦ（r）dL（r）kα≤ 小吃∈[0，t]kVs-tkopkZsUt-rΦ（r）dL（r）kα≤ 小吃∈[0，t]kVskopsups∈[0，t]kZsUt-rΦ（r）dL（r）kα。因此，通过Doob的最大不等式Thm。2.2.7在Prevot和R"ockner[23]中，我们找到了“SUP”∈[0，t]kZsUs-rΦ（r）dL（r）kα#≤ 小吃∈[0，t]kVskopE“sups∈[0，t]kZsUt-rΦ（r）dL（r）kα#≤ 4杯∈[0，t]kVskopEkZtUt-rΦ（r）dL（r）kα= 4杯∈[0，t]kVskopZtE库特-rΦ（r）Q1/2kHS博士≤ 4杯∈[0，t]kVskopsups∈[0，t]kUskopZtEkΦ（r）Q1/2kHSdr这通过让ct=sups来证明引理∈[0，t]kVskopsup0≤s≤tkUskopand重申，任何C-群在算子范数中都有一个指数递增函数int的界。因此，ct≤ c exp（wt）对于某些常数c，w>0。我们顺便指出，上述结果适用于任何伪压缩半群st，t≥ 0.22 BENTH和KR"Uhnerth下一个引理是关于过程与积分算子固定点之间距离的有用技术结果，通过（20）的温和解定义。引理在证明（20）的某些无套利近似收敛到正确极限方面起着关键作用。引理5.2。对于Hα值自适应和cádlág随机过程H，def（H）（t）：=Utf+ZtUt-sb（s，h（s））ds+ZtUt-sψ（s，h（s）-)) dL（s），对于任何t≥ 0.那么，V有一个固定的点bf，并且它保持不变sup0≤s≤将军澳(s)-bf（s）kα≤πexp（4Ct）Esup0≤s≤tkV（h）（s）- h（s）kα,无论如何≥ 0和任意Hα值自适应cádlág随机过程H，根据t.证明，Ct是一个正常数。如果h是一个自适应的cádlághα值随机过程，使得E[Rtkh（s）kαds]<∞, 然后根据b上的线性增长假设（18），我们发现[ZtkUt-sb（s，h（s））kαds]≤ Cbewt（t+E[Ztkh（s）kαds]）≤ Cbewt（t+√tE[Ztkh（s）kαds]1/2）<∞.此外，根据ψE[ZtkUt]上的线性增长条件（19）-sψ（s，h（s））kαds]≤ 2Cψe2wtt+E[Ztkh（s）kαds]< ∞.因此，V（h）定义明确，是一个适应的cádlág过程。

通过再次使用b和ψ的线性增长进行直接估计，我们发现类似的e[ZtkV（h）（s）kαds]≤ 计算机断层扫描1+E[Ztkhkαds]< ∞,因此，对于某些Ct>0的常数，V映射到它自己的域中，因此可以被删除。我们注意到，根据一般理论，SPDEdf（t）=xf（t）dt+b（t，f（t））dt+ψ（t，f（t）-)) dL（t）有一种独特的温和溶液bF，它具有cádLág修饰，参见Tappe[25，理论4.5，备注4.6]。通过对温和溶液的定义，我们看到bf是V的一个x点，即V（bf）=bf。远期价格的有限维逼近23设g，h为hα值适应cádlág随机过程和t≥ 0.那么，我们有了sup0≤s≤tkV（h）（s）- V（g）（s）kα≤ 2Esup0≤s≤tkZsUs-r（b（r，h（r））- b（r，g（r）））drkα+ 2Esup0≤s≤tkZsUs-r（ψ）（r，h（r）-)) - ψ（r，g（r）-))) dL（r）kα.以不平等右侧的第一项为例。通过Bochner积分的范数不等式和b在（16）中的Lipschitz连续性，我们发现sup0≤s≤tkZsUs-r（b（r，h（r））- b（r，g（r）））drkα≤ E“sup0≤s≤T兹库斯-rkopkb（r，h（r））- b（r，g（r））kαdr#≤ tEsup0≤s≤茨库斯-rkopkb（r，h（r））- b（r，g（r））kαdr≤ tsup0≤s≤特库斯科普Ztkb（r，h（r））- b（r，g（r））kαdr≤ tCbsup0≤s≤tkUskopZtEkh（r）- g（r）kα博士，我们应用了柯西-施瓦茨不等式。回想一下，由于UTI是一个伪收缩半群，我们发现一些w>0，它认为sup0≤s≤特库斯科普≤ exp（2wt）<∞.对于第二项，我们通过引理5.1和ψE的Lipschitz连续性（17）得出结论sup0≤s≤tkZsUs-r（ψ）（r，h（r）-)) - ψ（r，g（r）-))) dL（r）kα≤ 4ctZtEk（ψ（r，h（r））- ψ（r，g（r）））Q1/2kHS博士≤ 4ctCψ中兴通讯kh（r）- g（r）kα这里，引理5.1中的常数CTI。用常数表示：=2Cbtsups∈[0，t]kUskop+8ctCψt.24 BENTH和KR"UHNERThen，我们有sup0≤s≤tkVn（h）（s）- Vn（g）（s）kα≤ 中兴通讯kVn-1（h）（s）- 越南-1（g）（s）kαds≤ CntZtZs··Zsn-1Ekh（sn）- g（sn）kαdsn。ds≤Cntn！Esup0≤s≤将军澳(s)- g（s）kα,对任何人来说∈ N

用La表示(Ohm, D（[0，t]，Hα））Hα值适应cádlágstochastic过程{f（s）}s的空间∈[0，t]其中E[sups∈[0，t]kf（s）kα]<∞. 为该空间配备KFKT定义的标准k·KT:=E[sups∈f的[0，t]kf（s）kα]∈ 洛杉矶(Ohm, D（[0，t]，Hα））。从上面的估计中，我们可以看到V作用于正规空间La(Ohm, D（[0，t]，Hα））。此外，对于足够大的n，Vnis Lipschitz连续常数小于1。因此，根据巴纳赫的不动点定理，V最多有一个不动点。因此，^f是V的唯一fix点。此外，韦哈维sup0≤s≤tkVn（h）（s）- h（s）kα1/2≤N-1Xk=0Esup0≤s≤tkVk+1（h）（s）- Vk（h）（s）kα1/2≤ Esup0≤s≤tkV（h）（s）- h（s）kα1/2n-1Xk=0Cktk！1/2.从柯西-施瓦茨不等式中我们得到了-1Xk=0Cktk！1/2=n-1Xk=0（k+1）-1.（k+1）Cktk！1/2≤N-1Xk=0（k+1）！1/2n-1Xk=0（k+1）Cktk！！1/2≤π√N-1Xk=0kCktk！！1/2≤π√exp（2Ct），其中我们使用了初等不等式k+1≤ 2k，k∈ N让我们定义Lipschitz连续函数b∏：=o b和ψ∏：=πo ψ. 然后，Tappe[25，定理4.5]为SPDEdf∏（t）=(xf∏（t）+b∏（t，f∏（t）））dt+ψ∏（t，f∏（t）-)) dL（t），f∏（0）=∏f（23）远期价格的有限维近似25此外，对于任何h，使用符号sbk（t，h）：=∧k（b（t，h）），（24）ψk（t，h）：=∧k（ψ（t，h））（25）都是方便的∈ Hα，t≥ 在定理4.1的证明中，我们将解f与投影解∏f进行了比较，由于∏的性质，投影解∏f本质上是相同的。然后我们比较了∏f和∏f，两者的增益基本相同。最后，我们将∏kf∏与由某个李换向器给出的差分的预测SPDE的解进行了比较。然而，在马尔可夫环境中，我们也希望改变系数的依赖性，这使近似结果的证明变得复杂。定理5.3。

用BFKBE表示SPDEdbfk（t）的温和溶液=(xbfk（t）+bk（t，bfk（t）））dt+ψk（t，bfk（t）-)) dL（t），bfk（0）=∧kf，t≥ 0 .那么，bfk∈ HT，kα是强解，我们有“supt”∈[0，T]，x∈[0，T-t] |^fk（t，x）- f（t，x）|#→ 0代表k→ ∞.证据首先，我们注意到，由于Tappe[25，定理4.5]，SPDE存在唯一的温和解bfkof。defi neVk（h）（t）：=Utfk（0）+ZtUt-s（bk（s，h（s））ds+ψk（s，h（s）-)) dL（s）），适用于任何k∈ N、 t≥ 0和hα中的任意自适应cádlág随机过程h。设fk定义为fk（t）：=Utfk（0）+ZtUt-s（bk（s，f（s））ds+ψk（s，f（s））dL（s）=Utfk（0）+ZtUt-s（bk（s，f∏s））ds+ψk（s，f∏s）-)) dL（s）=Vk（f∏）（t），对于fk（0）=∧kf（0）。此外，bfk（t）=Vk（bfk）（t）。根据引理5.2，它保持不变sup0≤s≤tkf∏（t）-^fk（t）kα≤πexp（4Ct）Esup0≤s≤tkfk(s)- f∏（s）kα,对于任何k∈ N、 t≥ 引理中给出了0和Ct（回想第2节，移位半群Uti的算子范数一致有界于常数CU）。在FK和f∏的定义之前，我们发现了KFK- f∏（s）kα≤ 2kZsUs-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））drkα+2kZsUs-r（ψk（r，f∏）r-)) - ψ∏（r，f∏（r）-))) dL（r）kα.26 BENTH和KR"Uhner考虑了不等式右侧的第一项。通过Bochner积分的范数不等式，Cauchy-Schwartz不等式和算子范数的有界性≤ t） kZsUs-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））drkα≤兹库斯-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））kαdr≤ tZtkUs-r（bk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r）））kαdr≤ tCUZtkbk（r，f∏（r））- b∏（r，f∏（r））kαdr≤ tCUZtk（πk）- 一） 这里，I表示HTα上的恒等式算子。

因此，使用引理5.1和{U}t≥0是伪收缩的，Esup0≤s≤tkfk(s)- f∏（s）kα≤ 2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+2Esup0≤s≤tkZsUs-r（ψk（r，f∏）r-)) -ψ∏（r，f∏（r）-))) dL（r）kα≤ 2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+8ctZtEk（ψk（r，f∏（r））- ψ∏（r，f∏（r）））Q1/2kHS博士≤ 2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+8ctZtEk（πk）- 一） ψ∏（r，f∏（r））Q1/2kHS博士表示byKt（k）：=2tCUZtEk（πk）- 一） b∏（r，f∏（r））kαdr+8ctZtEk（πk）- 一） ψ∏（r，f∏（r））Q1/2kHSdr，27K远期价格的有限维近似∈ N.通过标准范数不等式，我们得到了kT（k）：=4tCU（1+k∏kkop）ZtEkb∏（r，f∏（r））kαdr+16ct（1+k∏kkop）中兴通讯kψ∏（r，f∏（r））kopdr，它被认为是在k中一致有界的∈ N来自提案3.6。因此，我们有kT（k）→ 0代表k→ ∞ 还有什么t≥ 由于∏k，由支配收敛定理得到0- 一） h→ 0代表k→ ∞ 还有任何∈ HTα。因此，我们发现sup0≤T≤Tkfk（t）-^fk（t）kα→ 0代表k→ ∞. 最后，对于任何t，f∏（t，x）=f（t，x）∈ [0，T]，x∈ [0，T- t] 。此外，从Benth和Krühner[3]的引理3.2来看，超范数由Hα范数支配，因此我们有“超范数”∈[0，T]，x∈[T]-t] |^fk（t，x）- f（t，x）|#≤ 总工程师sup0≤T≤Tk^fk（t）-f∏（t）kα→ 0代表k→ ∞. 这一命题如下。Thm中的哲学。5.3将f（t）作为实际的前向曲线动力学，并研究其有限维近似值BFk（t）。通过构造，bfksolves aHJMM动态，从而使近似的正向曲线变得无套利。从主定理出发，近似bfk（t）一致收敛于f（t）forx∈ [0，T- t] 。随着时间t的推移，成熟时间x≥ 我们得到的收敛收缩为0。其原因是，在SPDE的动力学中，f的信息被传输到左侧。

我们记得，f的近似值是通过首先将f本地化为x来构建的∈ [0，T]对于固定的时间范围T，通过投影算子∏向下到htα，然后创建该时间范围的有限维近似值。或者，我们可以使用f∏（t）作为我们的远期价格模型。然后，有限维近似fk（t）将在所有x上一致收敛∈ [0，T]。实际上，期货市场将有一个我们没有信息的时间范围。例如，在NordPool和EEX等自由化的电力市场中，没有结算期超过6年的期货合约。因此，在这个范围之外对期货价格曲线的动态进行建模是一项微妙的任务。然后，另一种选择显然是将建模视角局限于x中定义的到期日的动态∈ [0，T]。事实上，在这种情况下，结构条件（21）和（22）将基本满足，因为我们在任何情况下都会将模型参数限制在x上的行为∈ [0，T]。最后，我们简要讨论了FK（t）的一种可能的数值实现，即f（t）的有限维近似。自bfk（t）∈ HT，kα，我们可以表示为bfk（t）=bfk，*（t） +kXn=-kgnbfk，n（t），28 BENTH和KR"UHNERwherebfk，*（t） =bfk（t，0）g*和bfk，n（t）=hbfk（t），g*niα是C值函数。对安∈ HT，kα由此得出bk（t，h）∈ HT，kα。n的定义=-Kk函数bk，n:R+×C2k+2→ C（t，x*, 十、-Kxk）7→*bk（t，x）*G*+kXj=-kxjgj），g*n+α，bk，*: R+×C2k+2→ C（t，x*, 十、-Kxk）7→*B*（t，x*G*+kXj=-kxjgj），g*n+α。此外，ψk（t，h）∈ LHS（Hα，HT，kα）。因此，对于任何g∈ Hα我们有ψk（t，H）（g）∈HT，kα。我们定义了映射ψk，n:R+×C2k+2→ H*α; （t，x*, 十、-Kxk）7→*ψk（t，x）*G*+kXj=-kxjgj）（·），g*n+αψk，*: R+×C2k+2→ H*α; （t，x*, 十、-Kxk）7→*ψ*（t，x*G*+kXj=-kxjgj）（·），g*n的n+α=-KK

现在，自从xg*= 0和xgn=λngn+g*/√T，我们从FKB的SPDE中发现以下2k+2随机微分方程组（在比较了关于Riesz基函数的项之后），dbfk，*（t）=√TXN=-kbfk，n（t）+bk，*（t，bfk，*（t） ，bfk，-k（t），bfk，k（t））！dt+dψk，*（t，bfk，*（t）-),bfk，-k（t）-), . . . ,bfk，k（t）-))（L（t））dbfk，-k（t）=λ-kbfk，-k（t）+bk，-k（t，bfk，*（t） ，bfk，-k（t），bfk，k（t））dt+dψk，-k（t，bfk，*（t）-),bfk，-k（t）-), . . . ,bfk，k（t）-))（L（t））·dbfk，k（t）=λkbfk，k（t）+bk，k（t，bfk，*（t） ，bfk，-k（t），bfk，k（t））dt+dψk，k（t，bfk，*（t）-),bfk，-k（t）-), . . . ,bfk，k（t）-))（L（t））在紧凑矩阵表示法中，定义x（t）=（x（t），x（t），x2k+2（t））′andA=√T√T√T···√T0λ-k0···00λ-k+1··0··0··λk,我们有动力系数x（t）=（Ax（t）+bk（t，x（t）））dt+dψk（t，x（t））-))（L（t）），远期价格的有限维近似值29bfk，*= x、 bfk，-k=x，bfk，k=xk。例如，使用欧拉近似，我们可以导出这个随机微分方程inC2k+2的迭代数值格式。关于维纳噪声驱动的随机微分方程数值解的详细分析，请参考Kloeden和Platen[21]。参考文献[1]A.Barth（2010）。鞅驱动的随机偏微分方程的有限元方法。《随机分析通讯》，4（3），第355-373页。[2] F.E.Benth、J.Kallsen和T.Meyer Brandis（2007年）。电力现货价格建模和衍生品定价的非高斯Ornstein-Uhlenbeck过程。《应用数学金融》，14，第153-169页。[3] F.E.Benth和P.Krühner（2014）。商品市场中有限维远期价格模型的表示。《数学与统计通讯》，第2期，第47-106页。[4] F.E.Benth和P.Krühner（2015）。能源市场中的衍生品定价：有限维方法。

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