具有线性市场影响和伽马效应的备兑期权套期保值

利用备注2.1中的凹性和单调性，将之前关于（t，x）的不等式与核函数ψδ（·，·/κ）/κ进行积分2，singxxv`，kis为非阳性，我们得到最小值(-电视δ`，k-σxxvδ`，k2（1- Fxxvδ\'，k），\'γ- xxvδ`，k）≥ [ρ\'，k+δ，T上的0（2.12）- ρ`，k）×(-十、-`,k、 x+`，k），其中vδ`，k（t，x）：=ZR×Rv`，k（[t]+，x）κ（x）ψδT- ·,十、- ·κ（x）dtdxandx+`，k+Δκ（x+`，k）=`- ρ`，kand- 十、-`,K-δκ(-十、-`,k） =-` + ρ`，k.上述内容已明确定义，见备注2.3。通过备注2.3和（2.11），±x±，k→±∞ ρ`，k→ 0作为k→ ∞ 然后呢→ ∞. 此外，vδ`，k→ \'v,K、 δ′γ为K→ ∞然后呢→ ∞, 导数也会收敛。因此，（2.12）意味着,K、 δ′γ是[δ，T）×R.c上（1.17）的上解。我们通过讨论T处的边界条件得出结论。我们从命题2.4中知道,K′γ≥ ^gK+/2，在[T]上- cK, T]×R.由于^g是一致连续的，见（1.16），因此^gK也是一致连续的，因此v,K、 δ′γ（T，·）≥ ^gKon紧集[-2xK，2xK]对于δ>0，相对于, 有关xK的定义，请参见引理2.2≥ 现在观察x≥ 2xKand | x-x|≤Δκ（x）意味着x≥ 2xK（1）-δcK）-δck，其中ck和ck是常数。这实际上源于κ在[xK]上的有效行为，∞), 参见（2.5）和引理2.2。对于足够小的δ，我们得到x≥ xK。由于^gk是[xK]上的一个函数，∞), 由于ψ在其第二个参数中是对称的，请参见（2.9），因此它遵循‘v,K、 δ′γ（T，x）≥ZR×R^gK（x）κ（x）ψδT- T、 x- xκ（x）对于所有x，dtdx=^gK（x）≥ 2xK。这也适用于x≤ -2xK，用同样的论点。我们现在可以使用验证参数，并提供本节的主要结果。定理2.8。将“v”γ定义为命题2.5。它有线性增长。此外，“v”γ≥ [0，T]×R.证明上的v′γ。线性增长性质已在命题2.5中陈述。我们现在展示了vγ≥ vγ通过对v应用验证参数,K、 δ′γ。

从现在起0< ≤ o在哪儿o如（2.5）所示。在命题2.7中选择了参数K，δ>0。固定（t，x）∈ （0，T）×R和δ∈ （0，t∧ ). 将（X，Y，V）定义为（1.6）（1.2）-（1.7）中的（X，x-v,K、 δ′γ（t，x），\'v,K、 δ′γ（t，x）- x-v,K、 δ′γ（t，x）x）作为t的初始条件，对于马尔可夫控制，α=σxx’v,K、 δ′γ1- Fxx’v,K、 δ′γ！（·，X）^b=tx-v,K、 δ′γ+xx’v,K、 δ′γ（u+^aσf）+xxx’v,K、 δ′γ（σ+^af）1- Fxx’v,K、 δ′γ！（·，X）。通过定义F，（1.13）和（1.1），上述定义是明确的，因为分母总是大于inf Fι>0。所有涉及的函数都有界，见命题2.7，很容易检查相应随机微分方程的解是否存在，以及（^a，^b）∈ A.o. 直接计算表明Y=x-v,K、 δ′γ（·X）。此外，事实上,K、 δ′γ是在[t，t]×R上F[~n]=0的上解，确保伽马约束（1.12）在某些K中保持不变≥ 1，还有-电视,K、 δ′γ（·X）-σ（X）^a≥ [t，t]上的0。最后一个不等式加上^a的定义意味着f（X）^a≥ 电视,K、 δ′γ（·X）+（σ（X）+f（X）^a）^a=电视,K、 δ′γ（·X）+（σ^aX（X））xx’v,K、 [t，t]上的δ′γ（·X）。因此，VT=\'v,K、 δ′γ（t，x）+ZTtf（Xu）^audu+ZTtx-v,K、 δ′γ（u，Xu）dXu≥ \'v,K、 δ′γ（t，x）+ZTtd′v,K、 δ′γ（u，Xu）=v,K、 δ′γ（T，XT）≥ g（XT），其中最后一个不等式再次来自命题2.7。它仍需达到极限δ， → 0.根据命题2.4，“v”,K′γ是连续的，所以,K、 δ′γ逐点收敛到‘v,K′γasδ→ 0.根据命题2.5，“v”,K′γ在点方向上收敛到v′γas → 0和K→ ∞. 鉴于上述情况，这意味着所需的结果：\'v\'γ≥ v′γ。备注2.9。

注意，在上面的证明中，我们已经在Ak，γ（t，x）中构造了一个超级混合策略，并从| Yt|开始≤ k、 为了一些k≥ 1可以以统一的方式表示（t，x），而,K、 δ′γ呈线性增长。2.1.3比较原则我们在这里提供了在上述情况下多次使用的比较原则。在陈述之前，让我们根据直接计算得出以下结论。召回（1.1）和（1.13）。提议2.10。修正ρ>0。考虑一下地图（t，x，M）∈ [0，T]×R×r7→ ψ（t，x，M）=σ（x）M2（eρt）- f（x）M）。然后，我7岁了→ ψ（t，x，M）是连续的，在（t，x）中是一致的，onO:={（t，x，M）∈ [0，T]×R×R:M≤ eρt′γ（x）}。此外，存在L>0，因此x7→ ψ（t，x，M）是O上的L-Lipschitz定理2.11。修理 ∈ [0, o]. 设U（分别为V）是F的上半连续粘性子解（分别为下半连续上解）[0，T）×R上的κ=0。假设U和V呈线性增长，而U≤ V在{T}×R上，然后U≤ Von[0，T]×R.证明。集合^U（t，x）：=eρtU（t，x），^V（t，x）：=eρtV（t，x）。然后，^U和^V分别是minx的次解和上解∈Dκminρφ - t~n-σ（x）xx~n2（eρt- f（x）xx~n），eρt′γ（x）- xx~n= [0，T）×R上的0（2.13）。为便于以后使用，请注意，在Dκ是通过上述相关功能的连续性实现的。如果sup[0，T]×R（^U）-^V）>0，那么我们可以找到λ∈ （0，1）使得sup[0，T]×R（^U）-^Vλ）>0且^Vλ：=λ^V+（1）- λ） w，其中w（t，x）：=（t- t） A+（cU+cU |·|-ι| | |）conc（x）+ι| x |与cU，两个常数，使得eρT | U |≤ cU+cU |·| andA:=supσ1-ιfι，其中ι>0如（1.13）所示。注意，^Vλ（T，·）≥^U（T，·），（2.14），thatw是（2.13）的粘性上解^Vλ是λ′γ+（1）的粘性上解- λ)ι- xx~n≥ 0.（2.15）此外，通过注释2.1，^Vλ是（2.13）的上解。

定义ε>0和n≥ εn:=sup（t，x，y）∈[0，T]×Rh^U（T，x）-^Vλ（t，y）-ε| x |+n | x- y|i=：η>0，（2.16），其中最后一个不等式适用于足够大的n>0和足够小的ε>0。用（tεn，xεn，yεn）表示达到该上确界的点。根据（2.14），它必须认为tεn<t，根据标准参数，参见[10，命题3.7]，limn→∞n | xεn- yεn |=0。（2.17）此外，Ishii引理暗示（aεn，Mεn，nεn）的存在∈ 例如（aεn，εxε+n（xεn- yεn），Mεn）∈\'P2，+U（tεn，xεn）（aεn，-n（xεn）- yεn），nεn）∈\'P2，-^Vλ（tεn，yεn），其中\'P2，+和\'P2，-像往常一样表示封闭抛物线超命题和子命题，参见[10]，和Mεn0-NεN≤ Rεn+n（Rεn）=3n1.-1.-1 1+3ε+εn-ε-ε 0带rεn:=n1+εn-1.-1 1.特别是Mεn- NεN≤ Δεn，其中Δεn:=ε+εn.（2.18），然后，通过（2.15）和（1.13），0<（1- λ)ι≤ eρtεn′γ（^yεn）- NεN≤ eρtεn′γ（^yεn）- Mεn+Δεn，（2.19），其中^yεn∈ Dκ（yεn）。鉴于备注2.3，这表明eρtεn′γ（^xεn）-对于某些^xεn，Mεn>0∈ Dκ（xεn），对于足够大的n和足够小的ε，回忆（2.17）。因此，^Vλ和^U的上下解性质意味着我们可以找到Uεn∈[-, ] 再加上^yε和^xεn求出^yεn+uεnκ（^yεn）=yεn，^xεn+uεnκ（^xεn）=xεn（2.20）和ρ（^u（tεn，xεn）-^Vλ（tεn，yεn））≤σ（^xεn）Mεn2（eρtεn）- f（^xεn）Mεn）-σ（^yεn）nεn2（eρtεn- f（^yεn）nεn）。通过注释2.1和（2.18），这表明ρ（^U（tεn，xεn）-^Vλ（tεn，yεn））≤σ（^xεn）（nεn+Δεn）2（eρtεn）- f（^xεn）（nεn+Δεn））-σ（^yεn）nεn2（eρtεn- f（^yεn）nεn）。对于足够大的n和足够小的ε，仍然需要应用命题2.10和（2.19）来获得ρ（^U（tεn，xεn）-^Vλ（tεn，yεn））≤σ（^xεn）nεn2（eρtεn- f（^xεn）nεn）-σ（^yεn）nεn2（eρtεn- f（^yεn）nεn）+Oεn（1）≤ L|^xεn- ^yεn |+Oεn（1）对于某些L>0，其中Oεn（1）→ 0作为n→ ∞ 然后ε→ 0.通过连续性和（2.17）结合备注2.3和（2.20），这与n largeenough的（2.16）相矛盾。

2.2弱公式的上解性质在这一部分中，我们提供了vγ的下界vγ，它是（1.17）的上解。它是根据[8，第5节]的精神，通过考虑随机目标问题（1.15）的弱公式构建的。由于我们的方法略有不同，我们提供了主要论点。在C（R+）上，现在让我们用（~ζ：=（~a，~b，~α，~β），~W）表示坐标过程，并用~F表示o= （~F）os） s≤通过它的原始过滤。我们说一个概率测度Pbelongs to Akif W是一个P-布朗运动，如果全部为0≤ δ ≤ 1和r≥ 0.对于某些a，我认为a=a+Z·βsds+Z·αsd·wss∈ R、 （2.21）supR+|||ζ|≤ k，（2.22）和~Phsupn |ζs-ζs |，r≤ s≤ s≤ s+δo |Fo里≤ kδ。（2.23）对于φ：=（y，~a，~b），y∈ R、 我们在（1.6）-（1.2）-（1.7）中定义了与时间为0的初始条件（x，Y，v）相关的（~Xx，~Y，~Y，~φ，~Vx，v，~φ），并用~W代替W。对于t≤ T和k≥ 1，我们说∈~Gk，γ（t，x，v，y）ifh~Vx，v，φt-T≥ g（~Xx，~φT）-t） 及- K≤ γ~aY（~Xx，~φ）≤ R+i~P上的γ（~Xx，~φ）- a、 s.（2.24）我们最终定义了k′γ（t，x）：=inf{v=c+yx:（c，y）∈ R×[-k、 k]s.t.~Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y）6=},andv′γ（t，x）：=lim-inf（k，t，x）→ (∞, t、 x）（t，x）∈ [0，T）×Rvk′γ（T，x），（T，x）∈ [0，T]×R.（2.25）以下是我们定义的直接结果。提案2.12。v′γ≥ [0，T）×R上的v′γ。在本节的其余部分，我们证明v′γ是（1.17）的粘度上解。我们从一个简单的注释开始。注释2.13。注意（2.24）中的伽马约束意味着我们可以找到ε>0，使得ε1+kε-1.≤ σ~aX（~Xx，~φ）≤ ε-1+ ε-2和|a |≤ ε-1~P- a、 美国，对所有人来说∈~Ak∩~Gk、~γ（t，x，v，y）和k≥ 1.事实上，如果a≥ -σ/f-K≤ γ~aY≤ γ意味着(-kσ1+kf）∨ (-σf）≤ ~a≤γσ1 - γ-fand-af+σ≥ σ/（1+kf）。那么我们的索赔如下（1.1）-（1.13）。

另一方面，如果σ+~af<0，则γ~aY≤ “γ”意味着“a”≥ γσ/(1 - f′γ）≥ 0，见（1.13），而a<-f/σ<0，a矛盾。然后我们证明，当k足够大时，vk′γ具有线性增长。提议2.14。这里有柯≥ 1使得{vk\'γ|，k≥ ko}由一个线性增长的连续映射从上面统一包围。证据a、 首先请注意，备注2.9意味着{（vk′γ）+，k≥ ko}是由一个线性增长的映射从上面统一包围起来的，对于一些kolarge来说已经足够了。b、 现在让我们来看看∈~Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y）。使用备注2.13结合（1.1）和（~a，~b，~α，~β）是~P-本质有界的条件，我们可以找到Gp~在P下，Yφsd是[0，T]上的鞅- t] 。然后，条件＠Vx，v，＠φT-T≥ g（~Xx，~φT）-t） §P-a.s.意味着v+EˇP[RT-t~asf（~Xx，~φs）ds]≥ inf g>-∞,回忆（1.16）。在备注2.13和（1.1）中，v≥ inf g- C>-∞, 对于一些独立于P的常数∈ ∪k（~Ak）∩~Gk，γ（t，x，v，y））。因此{（vk′γ）-, K≥ ko}由一个常数限定。我们现在证明了定义vk′γ的问题的存在性，并且它是低半连续的。提案2.15。适用于所有人（t，x）∈ [0，T]×R和k≥ 1足够大，存在（c，y）∈ R×[-k、 k]使得vk′γ（t，x）=c+yx和∧Ak∩~Gk，~γ（t，c+xy，y）6=.此外，对于每个k，vk′γ都是较低的半连续的≥ 1个足够大。证据根据[20，命题XIII.1.5]和r=0的条件（2.23），这个集合是弱相对紧的。此外，[16，定理7.10和定理8.1]暗示任何极限点（P*, T*, 十、*, C*, Y*) 序列（Pn，tn，xn，cn，yn）n≥1这样的Pn∈~Ak∩对于每一个n，Gk，γ（tn，xn，cn+xnyn，yn）≥ 1.满足感P*∈~Ak∩~Gk，γ（t）*, 十、*, C*+ 十、*Y*, Y*). 由于vk′γ是局部有界的，当k≥ ko，宣布的存在和下半连续性很快就出现了。我们最终可以证明本节的主要结果。定理2.16。

函数v′γ是（1.17）的粘度上解。它有直线生长。证据线性生长特性是{vk\'γ|，k的均匀线性生长的直接结果≥ ko}在提案2.14中陈述。为了证明上解的性质，必须证明它适用于每一个vk′γ，其中k≥ ko，然后应用标准稳定性结果，参见例[2]。a、 我们首先证明了[0，T）×R上的上解性质。我们将[8]中的论点与我们的上下文相适应。让我们考虑一个C∞b测试功能φ和（t，x）∈ [0，T）×Rsuch（严格）min[0，T）×R（vk′γ- ν）=（vk′γ- ν）（t，x）=0。回想一下，根据命题2.15，vk′γ是下半连续的。由于在定义vkγ时达到了最大值，根据上述命题，存在| y |≤ k和P∈~Ak∩~Gk（t，x，v，y），使得对于某些c，v:=c+yx=vk′γ（t，x）∈ R.让我们设置（~X，~Y，~V）：=（~Xx，~φ，~Y ~φ，~Vx，V，~φ），其中~~φ=（Y，~a，~b）。设θobe为增加原始过滤F的停止时间o, 定义θ：=θo∧ θ随θ：=inf{s:|Xs- x|≥ 1} 。然后，根据下面的命题2.17，它得出≈Vθo≥ vk′γ（t+θo，~Xθo）≥ ψ（t+θo，~Xθo），其中此处和之后的不等式取＠P-a.s.意义。两次应用It^o的公式后，上述不等式为：Zθ`sds+ZθY- x~n（t，x）+Zsmrdr+Zsnrd-XrdXs≥ 0.（2.26）式中`:=~af（~X）- Laа（t+·X·），m:=ua，аX- 洛杉矶xа（t+·，~x·）n:=γy（~x）- xxа（t+·X·），带Lаa:=t+（σ≈aX）关于剩下的证据，我们回忆（2.22）。连同（1.1）和备注2.13，这意味着-1和ua，~bX（~X）是~P-本质有界的。在对测量值进行等效更改后，我们可以找到P~P和aˇPBrownian运动ˇW，使得：X=Z·∑asX（Xs）dˇWs。（2.27）很明显，P和W都依赖于（~a，~b，y）。1。我们首先证明y=x k（t，x），因此θ\'sds+ZθZsmrdrdXs+ZθZsnrdXrdXs≥ 0

（2.28）设ˇPλ~ˋP是ˋWλ：=ˋW+Z·λ[σasX（Xs）]-1（y）- x~n（t，x））是一个71pλ-布朗运动。考虑θo:=η>0的情况。因为所有的系数都是有界的，所以在71pλ下取期望值，并使用（2.26）implyCη≥ λ（y）- xˋ（t，x））EˋPλ[θ]+EˋPλZθZsmrdr+Zsnrd-Xrλ（y）- x~n（t，x））ds对于一些C>0的人来说。现在我们用η除以两边，并使用（η∧θ)/η → 1ˇPλ-a.s.asη→ 0到Actainc≥ λ（y）- x~n（t，x））。然后，我们发送λ→ ∞ 推断y=xа（t，x）。我们现在证明这一点xx~n（t，x）≤ γ~aY（x）≤ γ（x）。（2.29）我们首先考虑时间变化h（t）=inf{r≥ 0:Zrh（σasX（~Xs））[0，θ]（s）+1[0，θ]c（s）id≥ t} 。同样，σ＠aX（＠X）和σ＠aX（＠X）-1基本上受备注2.13的限制，因此h是绝对连续的，其密度h满足0<ht≤ h（t）：=h（σaX（~X））[0，θ]（t）+1[0，θ]c（t）i-1.≤对于某些常数h和所有t，ht（2.30）≥ 0.此外，^W:=~xh是时变过滤中的布朗运动。现在我们取θo:=h-1（η）表示一些0<η<1。然后，（2.28）读0≤Zη∧H-1（θ）`h（s）h（s）ds+Zη∧H-1（θ）Zsmh（r）h（r）drd^Ws+Zη∧H-1（θ）Zsnh（r）d^Wrd^Ws。（2.31）因为所有涉及的过程都是连续且有界的，并且因为（η）∧H-1(θ))/η →1 a.s.asη→ 0，上述结合[8，定理A.1b.和命题A.3]意味着γy（x）- xx~n（t，x）=limr↓0nh（r）=limr↓0nr≥ 0.自γ~aY（~X）≤ γ（~X），这证明了（2.29）。还有待证明的是，定义F[~n]（t，x）的第一项也是非负的，回忆（1.14）。再次，让我们取θo:=h-1（η）并从2中召回。thatlimη→0(η ∧ H-1（θ））/η=1ˇP-a.s.注意，a的形式（2.21）和条件（2.22），它满足[8，条件（a.2）]，n也满足[8，定理2和命题a.3]和（2.31），然后我们推导出`h（0）-N≥ 0

因此，（2.30）和基于（1.8）imply0的直接计算≤~af（x）- La（t，x）-γ~aY（x）- xx~n（t，x）（σ~aX（x））=af（x）- t~n（t，x）-γ~aY（x）（σ~aX（x））=-t~n（t，x）-σ（x）1- f（x）γaY（x）γaY（x）≤ -t~n（t，x）-σ（x）1- f（x）xx~n（t，x）xx~n（t，x），其中我们使用xx~n（t，x）≤ γ~aY（x）≤ γ（x）和z 7→ z/（1）-f（x）z）在非递减on(-∞, γ（x）] (-∞, 1/f（x）），最后一个不等式。b、 现在我们考虑T处的边界条件。因为vkγ是γ的上解- xx~n≥ [0，T）×R上的0，与[11，引理5.1]中相同的参数意味着vk′γ-“对于任何二次可微函数而言，Γ是凹的”，因此xxΓ=Γγ。函数vk′γ是下半连续的，mapx 7→ G（x）：=lim inft→ T，x→ xt<Tvk′γ（t，x）等于G≥ g和g-Γ是凹的。因此，G=（G-“Γ）浓度+”≥ （g）-“Γ）浓度+”Γ=^g。以上证明中使用的动态规划原理仍有待阐明。提议2.17。固定（t，x，v，y）∈ [0，T]×R×[-k、 k]并设θ为F的∧P-增广的停止时间o取[0，T]中的P-a.s.值- t] 。假设∈~Ak∩~Gk，γ（t，x，v，y）。然后，Vx，v，φθ≥ vk′γ（t+θ，~Xx，~φθ）~P- a、 其中φ：=（y，~a，~b）。证据由于vk′γ是下半连续的，所有涉及的过程都有连续的路径，直到用有限时间网格中的一系列停止时间近似θ，因此有必要证明我们在θ情况下的说法≡ R∈ [0，T-t] 。设Pω为给定F的正则条件概率orforP.它与P[·F]重合or] （ω）在一组N~P-测度零之外。

那么，总的来说ω/∈ N、 0≤ δ ≤ 1和r≥ 0条件（2.21）-（2.22）-（2.23）在C（R+）上由 Prω[ω]定义的Prω保持∈ A] =~Pω[ωr+·∈ A] 。此外，[9，定理3.3]确保在可能修改N之后，~Prωh~Vξr（ω），θr（ω），^φ（ω）T-（t+r）≥ g（~Xξr（ω），^φ（ω）T-（t+r））i=1和~Prωhγ~aY（~Xξr（ω），^φ（ω））≤ r+i=1上的γ（~Xξr（ω），φ（ω）），对于ω/∈ N、 式中（ξr，θr，^φ）：=（Xx，~φr，~Vx，v，~φr，（~Yx，~φr，~a，~b））。这表明θr（ω）≥ vk'γ（t+r，ξr（ω））位于空集N之外，这是所需的结果。2.3关于证明的结论和几乎最优策略的构造我们首先总结定理1.4的证明。定理1.4的证明。命题2.5和定理2.8暗示“v”γ≥ 其中vγ呈线性增长，是（1.17）的连续粘度溶液。另一方面，命题2.12和定理2.16暗示v′γ≤ [0，T）×Rin上的v′γ，其中v′γ是线性增长的，是（1.17）的粘性上解 = 0，v′γ≥ vγ。因此，[0，T）×R上的v′γ=v′γ=\'v′γ和[0，T]×R（2.32）上的v′γ=\'v′γ，因为v′γ是连续的，这表明lim（T，x）→ （T，x）T<Tv′γ（T，x）=v′γ（T，x）=v′γ（T，x）。因此，v′γ是（1.17）的粘度溶液，具有线性增长。备注2.18（几乎最优控制）。在定理2.8的证明中，我们构造了一个从“v”开始的超级对冲策略,K、 δ′γ（t，x）。自“v”,K、 δ′γ（t，x）→\'v\'γ（t，x）=v\'γ（t，x）作为δ， → 0和K→ ∞, 这提供了一种构建与任何初始财富v>v′γ（t，x）相关的超级对冲策略的方法。3增加弹性效应在本节中，我们解释了如何将弹性效应添加到我们的模型中。在离散再平衡设置中，我们将动力学（1.4）替换为xn=X+Z·u（Xns）ds+Z·σ（Xns）dWs+Rn，其中rnn定义为R+nXi=1[tni，T]δntnif（Xntni-) -Z·ρRnsds，对于某些ρ>0和R∈ R