具有线性市场影响和伽马效应的备兑期权套期保值

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英文标题：
《Hedging of covered options with linear market impact and gamma
  constraint》
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作者：
B Bouchard (CEREMADE), G Loeper (FiQuant), Y Zou (CEREMADE)
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Within a financial model with linear price impact, we study the problem of hedging a covered European option under gamma constraint. Using stochastic target and partial differential equation smoothing techniques, we prove that the super-replication price is the viscosity solution of a fully non-linear parabolic equation. As a by-product, we show how $\\epsilon$-optimal strategies can be constructed. Finally, a numerical resolution scheme is proposed.
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中文摘要：
在一个具有线性价格影响的金融模型中，我们研究了gamma约束下覆盖欧式期权的套期保值问题。利用随机目标和偏微分方程平滑技术，我们证明了超复制价格是一个完全非线性抛物方程的粘性解。作为副产品，我们展示了如何构建$\\epsilon$最优策略。最后，提出了一种数值求解方法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Hedging_of_covered_options_with_linear_market_impact_and_gamma_constraint.pdf (1017.19 KB)

2022-5-9 17:40:52 上传

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关键词：套期保值 Applications Differential Quantitative Application

具有线性市场影响和伽马约束的备兑期权套期保值。布查德*+, G.Loeper和Y.Zou*2015年12月23日摘要在一个具有线性价格影响的金融模型中，我们研究了伽马约束下覆盖欧洲期权的套期保值问题。利用随机目标和偏微分方程平滑技术，我们证明了超复制价格是一个完全非线性抛物方程的粘性解。作为副产品，我们展示了如何构造ε-最优策略。最后，提出了一种数值求解方案。关键词：套期保值，价格影响，随机目标。AMS 2010学科分类：91G20；93E20；49L20简介受[1,18]的启发，[4]中的作者考虑了一个具有永久价格影响的金融市场，其中影响函数表现为购买股票数量的线性函数（围绕原点）。这类模型致力于在被套期产品的名义价值与标的资产的日均交易量相比，delta套期保值不可忽略的情况下，衍生工具的定价和套期保值。因此，delta对冲策略将*巴黎多芬大学、PSL研究型大学、塞雷梅德、UMR 7534、75775Paris cedex 16、法国+澳大利亚维多利亚州莫纳什大学数学科学学院ANR Liquirisk资助的研究。会对价格动态产生影响，也会产生流动性成本。[1,4,18]中研究的线性冲击模型将这两种影响纳入衍生工具的定价和对冲中，同时保持市场的完整性（在一定程度上），并最终导致精确的复制策略。

作为不完善的市场模型，这种方法可以提供真实市场条件的近似值，从业者可以使用它来帮助他们以系统的方式设计合适的对冲，而不必依赖特殊的风险标准。在[4]中，作者考虑了以现金结算的欧洲期权的套期保值：在开始时，期权卖方必须建立初始的增量套期保值，反之，在到期时，套期保值必须清算，以现金结算最终索赔。结果表明，最优超复制策略的价格函数不再像经典情形那样解线性抛物方程，而是拟线性方程。此外，套期保值策略包括遵循修改后的delta套期保值规则，其中delta按标的资产的“未受干扰”价值计算，即，如果交易员的头寸被立即清算，标的资产将有一个。因此，在[4]中获得的方法和结果与[1,18]有很大不同。事实上，虽然[1,18]中考虑的影响模型是相同的，但控制问题在适用于覆盖期权对冲的意义上是不同的。这指的是期权的买方在接受时交付所需的初始delta头寸，并接受股票（以其当前市场价格）和现金的组合作为最终索赔的支付，这消除了初始和最终对冲产生的成本。令人惊讶的是，这并不是[4]中所研究问题的真正近似值。初始套期保值和最终套期保值是一个基本问题，定价问题的结构完全不同：在[4]中，等式是准线性的，而在[1,18]中是完全非线性的。与[4]相反，[1,18]中的作者使用验证参数来构建准确的复制策略。

由于非线性的特殊形式，当解不满足伽马型约束时，方程是不适定的。本文的目的是通过随机目标技术提供一个直接的特征，并从一开始就在套期保值策略中加入伽马约束。超解性质可以通过（本质上）遵循[8]的论点来证明。子溶液的表征更难获得。实际上，与[8]不同，我们无法证明所需的几何动态规划原理，因为由于市场影响，套期保值策略和基础价格过程之间存在强烈的相互作用。相反，我们使用[5]中开发的平滑技术。我们构造了一个光滑超解序列，通过一个验证参数，它提供了超混合价格的上界。当它们收敛到目标定价方程的解时，一个比较原则的论点意味着它们的极限是超级套期保值价格。作为aby产品，这种结构提供了明确的ε-最优套期保值策略。我们还提供了一个比较原理和一个数值分辨率方案。为了简单起见，我们首先考虑一个只有永久价格影响的模型，我们在第3节中解释了为什么增加弹性效应不会影响我们的分析。请注意，这是因为我们在这里考虑的弹性效应没有二次变化，这与[1]相反，在[1]中，弹性会破坏方程的抛物线性，并使精确复制变得非最优。我们通过指出一些相关参考文献来结束本文的介绍。[6] 考虑到流动性成本，但没有价格影响，价格曲线不受交易策略的影响。如[7]和[24]所述，可以通过增加对可接受策略的限制进行修改。

这导致了一个修正的定价方程，该方程在解的二阶导数中显示二次项，并使定价方程完全非线性，甚至不是无条件抛物线。其他文章侧重于通过清算条件推导价格动态，参见[12]、[22]、[21]，其中供需曲线来自“参考”和“计划”交易者（即期权套期保值者）；导致价格变动，但不考虑流动性成本，另见[17]。最后，一系列文献[23]、[8]、[24]通过对可接受交易策略的“伽马”施加边界，间接地解决了流动性问题，没有明确建模流动性成本或价格影响。一般符号。纵观本文，Ohm 是R+上从0开始的连续函数的正则空间，P是维纳测度，W是正则过程，F=（Ft）t≥0是其原始过滤F的增加o= （F）ot） t≥0.所有随机变量均定义在(Ohm, F∞, P） 。我们用| x |表示x的欧几里德范数∈ Rn，整数n≥ 1由上下文给出。除非另有规定，否则涉及随机变量的不等式采用P-a、 美国的感觉。我们使用约定x/0=符号（x）×的形式∞ 符号（0）=+.1模型和对冲问题本节致力于推导动力学和描述伽马约束。我们还详细解释了如何获得定价方程，并陈述了我们的主要结果。1.1影响规则和离散时间交易动态我们考虑[4]中研究的框架。也就是说，策略对价格过程的影响是通过影响函数f建模的：购买一个（最小）数δ引起的价格变化∈ 考虑到交易前资产的价格为x，股票的R为δf（x）。

购买额外δ单元的成本为δx+δf（x）=δZδδ（x+ιf（x））dι，其中Zδδ（x+ιf（x））dι可以解释为每个额外单元的平均成本。在两个交易实例τ之间，τ与τ≤ τ、 股票的动力学由随机微分方程dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt的强解给出。在本文中，我们假设∈ Cb和inf f>0，（u，σ）是Lipschitz和有界的，infσ>0。（1.1）如[4]中所述，交易员希望持有的股份数量由一个连续的信息技术流程Y给出，该流程Y=Y+Z·bsds+Z·asdWs。（1.2）我们说（a，b）属于aokif（a，b）是连续的，F-适应的，a=a+Z·βsds+Z·αsdw其中（α，β）是连续的，F-适应的，ζ：=（a，b，α，β）基本上由k限定，因此esup公司|ζs- ζs |，t≤ s≤ s≤ s+δ≤ T|FoT≤ 所有0的kδ≤ δ ≤ 1和t∈ [0，T- δ].在[4]中，（a，b）只要求是渐进可测量的，并且基本上是有界的。这里施加的额外限制对于我们在第2.2节中的结果是必要的。然后我们呼吸困难o:= ∪灵魂ok、 为了推导连续时间动力学，我们首先考虑离散时间设置，然后传递到极限。在离散时间设置中，位置在时间tni:=iT/n，i=0，n、 n≥ 1.换句话说，交易者在每个时间间隔[tni，tni+1]内保持股票头寸。

因此，他在t isYnt股票中的位置：=n-1Xi=0Ytni{tni≤t<tni+1}+YT{t=t}，（1.3）以及在tni+1购买的股份数量δntni+1:=Ytni+1- 伊特尼。根据我们的影响规则，股票价格过程的相应动力学为xn=X+Z·|u（Xns）ds+Z·∑（Xns）dWs+nXi=1[tni，T]δntnif（Xntni-), （1.4）其中Xis是常数。投资组合过程被描述为持有的现金量与股票头寸相关的潜在财富YnXn之和：Vn=现金头寸+YnXn。它与投资组合的清算价值不一致，除非Yn=0。这是因为，由于价格影响，Ynstocks的清算不会产生与YnXn相等的收益。然而，人们可以从这对夫妇（Vn，Yn）的知识中推断出投资组合中现金和股票的准确组成。在本文中，我们假设无风险利率为零（以符号表示）。那么，Vn=V+Z·Yns-dXns+nXi=1[tni，T]（δntni）f（Xntni）-). （1.5）这个财富方程是根据[4]中的基本计算得出的。右边的最后一个术语来自这样一个事实：在tni时，δNtnishare是以平均执行价格Xntni购买的-+δntnif（Xntni-), 股票价格以Xntni收盘-+ δntnif（Xntni-), 额外的专业术语从何而来。然而，我们可以检查一下，不能建立一个有利的往返贸易，见[4，备注3]。备注1.1。请注意，在这项工作中，我们将自己局限于永久性的价格影响，没有建模弹性影响。我们将在下面的第3节中解释为什么考虑灵活性不会影响我们的分析。具体见命题3。1.1.2连续时间交易动态连续时间交易动态通过传递到极限n来获得→ ∞,i、 例如，通过考虑越来越频繁的再平衡策略。提议1.2。

[4，命题1]设Z:=（X，Y，V），其中Y定义为（1.2）中的某些（a，b）∈ A.o, （X，V）解算X=X+Z·σ（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYs+Z·（u（Xs）+as（σf）（Xs））ds=X+Z·σasX（Xs）dWs+Z·uas，bsX（Xs）ds（1.6）与σasX:=（σ+asf），uas，bsX:=（u+bsf+asσf），V=V+Z·YsdXs s+Z·asf（Xs）ds。（1.7）将Zn:=（Xn，Yn，Vn）定义为（1.4）-（1.3）-（1.5）。然后，存在一个常数C>0，这样的常数sup[0，T]E|锌- Z|≤ Cn-1对于所有n≥ 1.因此，在本文的其余部分，我们将考虑（1.7）-（1.6）投资组合和价格过程的动态。备注1.3。正如[4]中所解释的，前面的分析可以扩展到订单大小的非线性影响规则。为此，我们注意到，对于更一般的影响规则δ7，上述持续时间交易动力学是相同的→ 当满足F（x，0）=ΔδF（x，0）=0和δF（x，0）=F（x）。对于我们的分析，我们只需要考虑原点处影响函数的值和斜率。1.3套期保值方程和伽马约束激励φ=（y，a，b）∈ R×Ao和（t，x，v）∈ [0，T]×R×R，我们现在写出（Xt，x，φ，Yt，φ，Vt，x，v，φ）解（1.6）-（1.2）-（1.7）与时间T初始条件（x，y，v）相关的控制（a，b）。在本文中，我们考虑了覆盖期权，即在初始时间t，交易者被赋予启动其享乐策略所需的股票数量Yt=y，并且可以在t以现金和股票支付期权的报酬（按其即时价值评估）。因此，他不会在时间t或t对其股票头寸的初始构建或最终清算产生任何直接影响。如果V代表现金头寸和所持股份数量之和乘以其价格，则在t时带支付g（Xt，x，φt）的期权的超级套期保值价格定义为V（t，x）：=inf{V=c+yx:（c，y）∈ Rs.t。

G（t，x，v，y）6=},其中G（t，x，v，y）是元素集（a，b）∈ A.o使得φ：=（y，a，b）满足vt，x，v，φT≥ g（Xt，x，φT）。为了理解相关的偏微分方程是什么，让我们首先用X:dYt，φt=γatY（Xt，X，φt）dXt，X，φt+uat，btY（Xt，X，φt）dt改写Y的动力学，其中γaY:=aσ+fa，μa，bY:=b- γaYua，bX。（1.8）假设套期保值策略包括跟踪超级套期保值价格，就像在经典完整市场模型中一样，那么应该有Vt，x，v，φ=v（·Xt，x，φ）。如果v是光滑的，回忆（1.6）-（1.7）并应用它的引理两次，意味着y，φ=xv（·，Xt，x，φ），γaY（Xt，x，φ）=xxv（·，Xt，x，φ），（1.9）andaf（Xt，x，φ）=tv（·，Xt，x，φ）+（σaX）（Xt，x，φ）xxv（·，Xt，x，φ）。（1.10）然后，将（1.9）的右侧与γAy的定义结合起来，得出toa=σxxv（·，Xt，x，φ）1- Fxxv（·，Xt，x，φ），σaX=σ1- Fxxv（·，Xt，x，φ）和（1.10）简化为-电视-σ(1 - F二十五）二十五（1.11）这正是[1,18]中得到的定价方程。由于f处的奇异性，需要考虑方程式（1.11）并采取一些预防措施xxv=1。因此，我们需要执行这一点1-Fxxv不会改变符号。我们选择将解限制为满足1-Fxxv>0，因为具有相反的不等式意味着a与a没有相同的符号xxv，所以，在卖出凸型股票后，人们会在股票上涨时卖出，下跌时买入，这是一个非常违反直觉的事实。在下面，我们将约束-K≤γaY（Xt，x，φ）≤ γ（Xt，x，φ），在[t，t]P上- a、 e.，（1.12）应该保持一些k≥ 0，其中γ是满足ι的有界连续映射≤ γ ≤ 一楼- ι、 对一些人来说ι>0。

（1.13）我们用Ak，\'-γ（t，x）表示元素（a，b）的集合∈ A.ok如（1.12）保持并消除γ（t，x）：=∪K≥0Ak，γ（t，x）。然后，必须对方程（1.11）进行修改，以考虑该伽马约束，自然导致toF[v′γ]：=min-电视γ-σ1 - Fxxv′γxxvγ，γ- xxv′γ= [0，T）×R（1.14）上的0，其中v′γ定义为v，但与G′γ（T，x，v，y）：=G（T，x，v，y）∩ A′γ（t，x）代替G（t，x，v，y）。更精确地说，v′γ（t，x）：=inf{v=c+yx:（c，y）∈ Rs.t.G′γ（t，x，v，y）6=}. （1.15）对于T-边界条件，我们通过定义知道v′γ（T，·）=g。然而，通常情况下，（1.14）中对伽马的约束应传播到边界，并且g必须被其表面提升版本^g所取代，定义为g上方的最小函数，即方程式γ的粘度超解- xx~n≥ 0.通过考虑任意两次连续可微分函数“Γ”得到xx′Γ=’γ，然后设置^g:=（g-“Γ）conc+”Γ，其中上标conc表示凹面包络，参见[23，引理3.1]。因此，我们期望v′γ（T-, ·) = R上的^g。从现在开始，我们假设^g是一致连续的，g是下半连续的，g-是有界的，g+是线性增长的。（1.16）我们现在可以陈述我们的主要结果。从现在起，v′γ（T，x）代表lim（T，x）→ （T，x）T<Tv′γ（T，x），只要定义清楚。定理1.4。值函数v′γ是线性增长的连续函数。此外，v′γ是唯一的粘度溶液，其线性增长为[~n]1[0，T）+（ν- ^g）1{T}=0在[0，T]×R.（1.17）我们用额外的注释来结束这一节。备注1.5。注意，^g可以是均匀连续的，而g不是连续的。以g（x）=1{x为例≥K} 和K∈ R、 考虑一下‘γ>0是常数的情况。那么，^g（x）=[1{x≥xo}γ（x- xo）]∧ 1，其中xo:=K- (2/γ).备注1.6。图^g继承了g的线性增长。