具有线性市场影响和伽马效应的备兑期权套期保值

的确，让c，c≥ 0因为| g（x）|≤ w（x）：=c+c | x |。自从^g≥ 通过构造，我们有-≤ w、 另一方面，因为≥ ι>0，由（1.13）可知，根据[23，引理3.1]中的论证，^g≤ （w）-Γconc+Γ，其中Γ（x）=ιx/2。现在，我们可以很容易地通过直接计算来检验（w-Γ）conc=（w）-Γ（xo）1[-xo，xo]+（w-~Γ)1[-xo，xo]cwhith xo:=c/ι。因此-Γconc+Γ与w具有相同的线性增长。显然，在Γ中添加一个新的映射不会改变^g的定义。备注1.7。正如我们接下来的分析所显示的，我们很可能会在冲击函数f和γ中引入时间依赖性。第二作者在[18]和[19]中研究的另一个有趣的问题涉及解的光滑性，以及约束对解的影响xxv自然地由1产生的快速差异强制执行- Fxxv接近于0。备注1.8（原始部分微分方程存在光滑解）。当定价方程（1.17）允许使用验证定理的平滑解（参见[18]和[19]）时，可以从经典解构造精确的复制策略。根据定理2的比较原理。11，这表明价值函数是定价方程的经典解，最优策略存在，并且是带有支付函数^g的期权的精确复制策略。我们将在下面的备注2.18中解释，即使不存在光滑解，也可以显式构造几乎最优的超套期保值策略。备注1.9（冲击函数的单调性）。注意，映射λ∈ R7→σ（x）M1-λMis在{λ：λM<1}上不递减，对于所有（t，x，M）∈ [0，T]×R×R。现在我们把v′γ写成vf′γ，以强调它对f的依赖性，并考虑另一个冲击函数f满足与f相同的要求。我们用v′f′γ表示相应的超级套期保值价格。

然后，上述考虑因素结合定理1.4和下面定理2.11的比较原理，意味着v/f¨γ≥vf′γf≥ f在R上。这同样意味着vf′γ≥ 式中，解热型方程-t~n-σ[0，T）×R上的xxа=0，终端条件а（T，·）=g（回想一下^g≥ g） 。有关这一事实的数字说明，请参见第4.2节。2粘度解特征在这一节中，我们提供定理1.4的证明。我们的策略如下。1.首先，我们采用[5]中使用的偏微分方程平滑技术来提供平滑的上解,K、 [δ，T]×R上（1.17）的δ′γ > 0，可以通过标准化参数构建超级对冲策略。尤其是“v”,K、 δ′γ≥ [δ，T]×R上的v′γ。此外，该序列具有均匀的线性增长，并收敛到粘度为（1.17）asδ的溶液v′γ， → 0和K→ ∞. 见第2.1.2节。第二，我们构造了一个v′γ的下界v′γ，它是（1.17）的上解。它是通过考虑超级混合问题的弱公式，并遵循[8，第5节]中基于几何动态规划原理（见第2.2节）的一个方面的参数获得的。结果表明，该函数也具有线性增长性。3.然后，我们可以通过使用上述和下面定理2.11（1.17）的比较原理得出结论：v′γ≥ “v”γ，但vγ≤ v′γ≤ 所以vγ=，vγ=vγ，vγ是粘度为（1.17）的溶液，并且具有线性增长。4.我们的比较原理，即下面的定理2.11，允许我们得出结论，v′γ是线性增长的（1.17）的唯一解。正如引言中已经提到的，与[8]不同，我们无法证明所需的几何动态规划原理，该原理应直接导致解的性质（从而避免使用上述1.中提到的平滑技术）。

这是由于套期保值策略和通过市场影响的基础价格过程之间的强烈互动。[8]中没有这种反馈效应。2.1光滑上解序列我们首先构造一个光滑上解序列,K、 δ′γ为（1.17），通过简单的验证论证，它似乎是超级套期保值价格v′γ的上限。为此，我们采用了[5]中介绍的方法：首先构造一个（1.17）版本的粘度解决方案，其中包含振动系数（用[15]的术语），然后用一个内核将其平滑。这里的主要困难在于我们的终端条件^g是无界的，不像[5]。这需要额外的重要技术开发。2.1.1构造具有振动系数的算子的解我们从构造具有振动系数的算子开始。鉴于 > 0和线性增长的（一致）严格正连续映射κ，这将在后面定义，让我们介绍（1.17）：F中出现的算子的一系列扰动κ（t，x，q，M）：=minx∈Dκ（x）min-Q-σ（x）M2（1）- f（x）M），γ（x）- M,在哪里κ（x）：={x∈ R:（x）- x） /κ（x）∈ [-, ]}. （2.1）为了便于记法，我们设置κ[~n]（t，x）：=Fκ（t，x，t~n（t，x），xxа（t，x）），只要а是光滑的。备注2.1。为了以后使用，请注意地图∈ (-∞, γ（x）]7→σ（x）M2（1）-对于每个x，f（x）M）是非递减的和凸的∈ R、 回忆（1.13）。因此，（q，M）∈R×(-∞, γ（x）]7→ Fκ（·，q，M）在M中是凹形的且不增加 ≥ 0.这是我们平滑方法的基础。我们还通过使用近似序列来修改原始终端条件^g，该序列的元素对于|x |的大值是有效的。引理2.2。

对于所有的K>0，存在一个一致连续的映射^gKandxK≥ K使得o^gk在[xK]上有效，∞) 等等(-∞, -xK]o^gK=^g on[-K、 K]o^gK≥ ^go^gK-“Γ对于任何C函数都是凹的”xxΓ=Γγ。此外，（^gK）K>0一致有界于线性增长映射，并在紧集上一致收敛于^g。证据修复一个CfunctionΓo令人满意的xxΓo= γ. 根据定义，^g-Γo它是凹的。让我们考虑一个因素+（分别为。-) 在K（分别为。-K） 。集^goK（x）：=^g（x）1[-K、 K]（x）+^g（K）+(++ xΓo（K） ）（十- （K）（K），∞)（十）+^g(-K） +(-+ xΓo(-K） ）（x+K）(-∞,-K） （十）。现在考虑另一个C函数“Γ”xxΓ=Γγ。自Γo和“不同的是，通过一张平面图，可以看出^g的凹度oK-Γ相当于^goK-Γo.后者的凹度源自^g的定义oK、 作为超差oK-Γo不因建筑而增加。尤其是^goK-Γo≥ ^g-Γo因此^goK≥ ^g.我们最终确定^gKby^gK=min{^goK、 （2c+c |·|-\'Γo)浓度+\'Γo}, （2.2）c>0和c≥ 0以至于-C≤ ^g（x）≤ c+c | x |，x∈ R、 回想备注1.6。通过与备注1.6中相同的推理，函数^gk具有与2c+c |·|相同的线性增长。因为2c>c，^gK=^goK=^g on[-K、 K]。此外，由于两个凹函数的最小值是凹的，所以^gK也是凹的-“对于任何C功能”xxΓ=Γγ。其他断言是直接的。我们现在设置^gK:=^gK+ （2.3）并考虑方程式Fκ[~n]1[0，T）+（~n- ^gK） 1{T}=0。（2.4）然后我们选择κ和o∈ （0，1）使得κ∈ C∞对于所有阶的有界导数，infκ>0且κ=|^gK |+1(-∞, -[xK]∪ [xK，∞),-1/o< xκ<1/o,（2.5）其中xK≥ K在引理2.2中定义。我们忽略了κ对K的依赖性。备注2.3。为了以后使用，请注意|xκ|<1/o确保地图x 7→ x+κ（x）和x7→ 十、- κ（x）在所有0≤  ≤ o.

还要注意xn→ x和xn∈ Dκ（xn），对于所有n，意味着xn收敛于元素x∈ Dκ（x），在可能传递到子序列之后。特别是Fκ是连续的。当κ≡ 1和^gK≡ ^g+, （2.4）对应于（1.17）中的运算符，用[15]的传统术语表示，具有沙肯系数。下面将使用函数κ来处理^g单位的潜在线性增长。引入附加近似值^gKis的动机是，以下建议2.7的证明要求在实体中表现出色。如前所述，这些额外的复杂情况没有出现在[5]中，因为它们的终端条件是有界的。我们现在证明（2.4）允许粘度溶液在小时间间隔[T]内保持在终端条件^g以上- cK, [T]。如前所述，我们稍后将使用常规内核平滑此解决方案，以便提供（1.17）的ooth上解。提议2.4。总之 ∈ [0, o] 当K>0时，存在一个唯一的连续粘性溶液\'v,（2.4）的K′γ具有线性增长。它满足了,K′γ≥ ^gK+/2，在[T]上- cK, T]×R，（2.6）对于某些cK∈ （0，T）。此外，{v},K′γ]+， ∈ [0, o], K>0}由一个线性增长的映射和{v}限定,K′γ]-,  ∈ [0, o], K>0}以sup g为界-.证据该证明主要是对通常的Perron方法的修正，见[10，第4节]。a、 我们首先证明了存在两个线性增长的连续函数w和w，对于任何一个函数，它们分别是（2.4）的上解和下解 ∈ [0, o].自从^gK=^gK+ ≥ 根据引理2.2，它必须满足setw:=inf g>-∞,见（1.16）。为了构造一个上解，让我们定义η∈ (0, ι ∧inf f-1） 使用ιasin（1.13），设置Γ（x）=ηx/2，定义ιg=（^g）oK-Γconc+Γ。然后，~g≥ ^goK、 而与备注1.6中相同的推理意味着g与^g具有相同的线性增长oK、 参见（2.3）和引理2.2。

然后我们用w（t，x）=g（x）+1+（t）来定义w- t） Ain whichA:=supσ′γ2（1）- f′γ）。常数A是有限的，而“w”与“g”具有相同的线性增长，见（1.1）-（1.13）。因为凹函数是-xx~n≥ 0，我们推导出∧g是η的粘度上解-xx~n≥ 0.那么，`w是粘度上解Fmin-t~n- A，η- xx~n≥ 0.自γ≥ ι ≥ η、 仍需使用备注2.1得出结论，即“w”是（2.4）的上解。b、 现在，我们将（2.4）表示为整个域[0，T]×上的单个方程，使用以下定义f,Kκ，+（t，x，r，q，M）：=Fκ（t，x，q，M）1[0，t）+maxFκ（t，x，q，M），r- ^gK（x）{T}F,Kκ，-（t，x，r，q，M）：=Fκ（t，x，q，M）1[0，t）+minFκ（t，x，q，M），r- ^gK（x）{T}。和往常一样F,Kκ，±[~n]（t，x）：=F,Kκ，±（t，x，~n（t，x），t~n（t，x），xx~n（t，x））。回想一下，用F表示的公式,Kκ，±产生与（2.4）相同的粘度溶液（见附录中的引理5.1）。这是我们应用佩龙方法的公式。从a的角度来看，函数w和w是F的上下解,Kκ，-= 0和F,Kκ+=0。定义：v,K′γ：=sup{v∈ 南加州大学：w≤ 五、≤ w和v是F的一个子解,Kκ，-= 0}，其中USC表示上半连续映射类。然后，上（下）半连续包络线（\'v,K′γ）*（分别）,K′γ）*) “v”的,K′γ是F的粘性子解,Kκ，-[~n]=0（分别为F的上解）,Kκ，+[~n]=0）线性增长时，回想备注2.3的连续性属性，参见示例[10，第4节]。下面所述定理2.11的比较结果表明：,K′γ）*= （\'v,K′γ）*, 在[0，T]×R上，因此，\'v,K′γ是（2.4）的连续粘度溶液，回想引理5.1。通过构造，它具有线性增长。这个类的唯一性同样来自定理2.11。c、 还有待证明（2.6）。为此，我们需要对“v”的行为进行控制,K′γas t→ T

对于下界v，这就足够了,我们首先建造的。设φ为测试函数，使（严格）min[0，T）×R（`v,K′γ- ν）=（°v）,K′γ- 对于某些（t，x），则为（t，x）∈ [0，T）×R.由上解性质minx∈Dκ（x）{γ（x）- xx~n（t，x）}≥ 回顾（1.1）和（1.13），这意味着∈ Dκ（x），1- f（x）xx~n（t，x）≥ ιf（x）≥ ιinf=：ι>0。利用上解性质和上述不等式yields0≤ 貂皮∈Dκ（x）-t~n（t，x）-σ（x）xx~n（t，x）2（1）- f（x）xx~n（t，x））≤ 貂皮∈Dκ（x）(-t~n（t，x）-σ（x）xx~n（t，x）- γ（x）2(1 - f（x）xx~n（t，x）））≤ -t~n（t，x）-~σxxι（t，x）2ι+ισιγ（x）2ι式中ισ：=supσ。用v表示,K的独特粘度溶液-t~n-~σxx~n2ι+σ′γ2ι[0，T）+（ν）- ^gK） 1{T}=0。（2.7）的比较原则（2.7）和费曼-卡克公式意味着,K′γ（t，x）≥ 五、,K（t，x）=E-ZT-tσγ（Sxr）2ιdr+gK（SxT）-（t）式中，sx=x+~σ√ιW.仍需证明（2.6）适用于v,“v”的亲属住所,K′γ。这个论点是标准的。由于^gk是一致连续的，见引理2.2，我们可以找到BKε>0，这样^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{| SxT-T-x|≤BKε}≤ ε表示所有ε>0。我们现在考虑| SxT的情况-T- x |>BKε。设C>0表示不依赖于（t，x）但可以从一行到另一行变化的ageneric常数。因为，^gk是[xK]上的一个函数，∞) 等等(-∞, -参见引理2.2，嗯^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{SxT-T≥xK}i≤ C（T）-t） 如果x≥ 安第斯^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{SxT-T≤-xK}i≤ C（T）-t） 如果x≤ -xK。另一方面，通过^g的线性增长K、 如果x<xK，那么呢^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）{SxT-T≥xK}{| SxT-T-x|≥BKε}i≤ 嗯^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）知识产权|SxT-T- x|≥ |xK- x|∨ BKε≤ C（1+| x |）（T）- t） |xK- x|∨ BKε≤CBKε（T）- t） 。剩下的（四）个病例也进行了类似的治疗，我们发现^gK（SxT）-（t）- ^gK（x）≤CBKε（T）- t） +ε。由于γ是有界的，这表明| v,K（t，x）- ^gK（x）|≤CBKε（T）- t） +ε表示t∈ [T]- 1，T]。

因此v的结果是必需的,K.自‘v,K′γ≥ 五、,K、 这就是（2.6）的证明。在以后使用时，请注意，通过稳定性,当 → 0和K→ ∞.提议2.5。像 → 0和K→ ∞, \'v,K′γ收敛到函数v′γ，它是（1.17）的唯一粘度溶液，具有线性增长。证据函数族{v,K′γ， ∈ (0, o], K>0}由一个线性增长的映射一致限定，见命题2.4。鉴于下面定理2.11的比较结果，有必要应用[2，定理4.1]。备注2.6。“v”γ的界限可以明确，这对设计数值格式很有用，见下文第4.1节。首先，作为命题2.4证明的副产品,K′γ≥ inf g.传递到极限 → 0和K→ ∞ 导致“v”γ≥ inf g=：w.我们还得到了,K′γ≤ （^g）oK-Γ）conc+Γ+1+Ain哪个x 7→Γ（x）=对于某些η，ηx/2∈ (0, ι ∧ inf f-1） 与（1.13）中的ι一样，andA:=T sup（σ′γ/[2（1- f′γ）]）。另一方面，（2.2）意味着^goK≤ 1+（2c+c |·|-\'Γo)浓度+\'Γo为了“Γ”o以至于xxΓo= γ. 然后，“v”,K′γ≤1+（2c+c |·|-\'Γo)浓度+\'Γo-~Γ浓度+Γ+1+A≤1+（2c+c |·|-Γ）conc+Γ-~Γ浓度+Γ+1+A=1+2c+c |·|-~Γconc+~Γ+1+A=：\'wand\'v\'γ≤ “w.上述函数”w可通过如Remark1中所述的论证进行明确计算。6.还要注意（2.2）和备注1.6中的参数意味着存在常数C>0，使得lim sup | x|→∞|\'v,K′γ（x）|/（1+|^gK（x）|）≤ C、 总之 ∈ [0, o] K>0。（2.8）2.1.2正则化和验证在应用我们的验证参数之前，仍然需要平滑函数“v”,K′γ。这与[5，第3节]类似，但在这里，^g可能没有边界这一事实再次引发了额外的困难。

特别是，我们需要使用具有空间相关窗口的内核。我们首先得到一个光滑核ψδ：=δ-2ψ（·/δ），其中δ>0和ψ∈ C∞bis是一个非负函数，它的支持函数是封闭的[-1, 0] × [-1，1]积分为1，使得zyψ（·，y）dy=0。（2.9）让我们设定“v”,K、 δ′γ（t，x）：=ZR×R′v,K′γ（[t]+，x）κ（x）ψδT- t、 x- xκ（x）dtdx。（2.10）我们记得κ参与了F的定义κ和满意度（2.5）。以下内容显示了“v”,K、 δ′γ是（1.17）的光滑上解，具有允许有界导数的空间梯度。这是由于窗口的空间依赖性按κ缩放，这对我们的验证参数至关重要。提议2.7。对于所有0< < o当K>0足够大时，存在δo> 以至于,K、 δ′γ是C∞所有0<δ<δ的（1.17）的上解o. 它有线性生长和x-v,K、 δ′γ具有任意阶的有界导数。证据a、 它来自（2.5）和（2.8）thatlim sup|x|→∞|\'v,K′γ（x）|/（1+|κ（x）|）∞.直接计算和（2.5）表明,K、 δ′γ具有线性增长，并且x-v,K、 δ′γ一致有界。b、 现在我们证明了抛物线区域内的上解性质。由于证明与[5，定理3.3]非常接近，我们只提供需要修改的论证，并参考他们的证明了解其他基本细节。修正`>0和setv`（t，x）：=\'v,K、 δ′γ（t(-`) ∨ 十、∧ `).在这个证明中，我们省略了超级丰富的上标。给定k≥ 1，setv`，k（z）：=infz∈[0，T]×Rv`（z）+k|z- z|.由于v`是有界且连续的，因此上述的最大值是由k中的点^z`，k（z）=（^t`，k（z），^x`，k（z）），以及v`，kis有界来实现的≥ 1.这意味着我们可以找到C`>0，与k无关，因此| z- ^z`，k（z）|≤ C`/k=：（ρ`，k）。

（2.11）此外，变量参数的简单变化表明，如果φ是一个光滑函数，那么v`，k- 在z处达到最小值∈ [0，T）×(-`, `), 然后(t，x k，xx~n）（z）∈\'P-v`（^z`，k（z）），其中`P-v`（^z`，k（z））表示v`at^z`，k（z）的封闭抛物线子集；有关定义，请参见示例[10]。然后，命题2.4暗示v`，kis是minx的上解∈Dκ（^x`，k）min-t~n-σ（x）xx~n2（1）- f（x）xx~n），γ（x）- xx~n≥ 0on[ρ\'，k，T-ρ`，k）×(-`+ρ`，k`-ρ`，k）。接下来，我们从（2.11）推导出x∈ D/2κ（x）意味着-κ（x）- C`/k≤ ^x`，k（t，x）- 十、≤κ（x）+C`/k。由于infκ>0，这表明x∈ Dκ（^x`，k（t，x））表示k足够大，与`。所以，v`，kis是minx的上解∈D/2κmin-t~n-σ（x）xx~n2（1）- f（x）xx~n），γ（x）- xx~n≥ 0on[ρ\'，k，T- ρ`，k）×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k）。我们现在的争论如[13]所述。由于v`，kis半凹，存在2，absxxv`，k∈ Land一个Lebesgue奇异负Radon测度2，singxxv`，K就这样xxv`，k（dz）=2，absxxv`，k（z）dz+2.分布意义上的singxxv`，k（dz）(电视`，k，xv`，k，2，absxxv`，k）∈\'P-v`，卡。e、 关于[ρk，T]- ρk]×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k），见[14，第3节]。因此，上面的意思是Minx∈D/2κmin(-电视`，k-σ（x）2，absxxv`，k2（1- f（x）2，absxxv`，k，\'\'γ（x）- 2，absxxv`，k）≥ 0a。e、 关于[ρ\'，k，T- ρ`，k）×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k），或相当于（2.1），min(-电视`，k-σ（x）2，absxxv`，k2（1- f（x）2，absxxv`，k，\'\'γ（x）- 2，absxxv`，k）（t，x）≥ 0表示所有x和a.e.（t，x）∈ [ρ\'，k，T- ρ`，k）×(-` + ρ`，k，`- ρ`，k）使得2 | x- x|≤ κ（x）。取0<δ<ε/2。