信用风险模型

换句话说，对于不相关的投资组合，参数α可以解释为违约概率的（简单函数）。这个结果的证明在附录B中给出。由于二项式分布对应于独立的默认值，它具有直观的意义。当没有任何关于经验相关性的信息时，最大熵原理会选择它。5.2. 在前面的小节中，我们看到了{αi:=α|i=1,2，…，N}和{βij=0的丛林模型，（i，j）∈ φ} ，成为二项分布。然后，信用工具违约的概率变成（α的简单函数）。我们可能会问自己，将βij（一个小的β仅对一对节点，比如12，对于任何其他对节点ij不同于12）的最小数量添加到对应于二项分布（仅与α）的丛林模型中，会对投资组合产生什么影响，或者换句话说，我们有兴趣围绕二项模型进行微扰扩展，为了找出βij的影响，也就是说，看看βij是否可以根据经验参数p和ρ来解释，对于二项分布，我们可以将α解释为基础p的（简单函数）。该投资组合损失的相应概率分布为：12月2日，2015年MV19˙续˙20150923Pβ（l，l，···，lN）=ZexpαNXi=1li+βll！（14） 我们的问题的答案是ρβ与β成正比，对于较小的β和给定的违约概率，如附录C所示。换句话说，当少量传染性增加到不相关的信贷组合中时，违约相关性增加（从0开始）。

而增长率与β成正比，因此对于小规模的传染，系数β可以解释为违约相关性的简单函数，就像对于无传染，α可以解释为违约概率的简单函数一样。此外，我们可以通过对称性看到pβ=pβ。但pβ>pβ=0，增加量与β成比例。相反，pβj=pβ=0j，j=3，·N，因为节点j=3，·N不受传染的影响。换句话说，当加入一些传染时，α不再是p的（简单函数），因为α和β之间存在“混合”，以及它们与p和ρ的关系。我们想强调的是，上述模型并不对应于违约概率已知且彼此相等的信贷组合，{pi=：p | i=1，2，…，N}，并且默认相关性仅为节点12对已知，对于ij 6=12，β=：β和βij=0。如上所述，模型的违约概率如下所述：Pβ（l，l，···，lN）=ZexpαNXi=1li+βll！（15） 对于所有节点来说都不一样：具有传染链（如l）的信用工具，相对于没有传染链（如l）的节点，其违约概率会增加。满足经验条件的概率分布，使得违约概率已知且彼此相等，{pi=：p | i=1,2，…，N}默认的相关性仅为节点对12已知，β=：β和βij=0，因为ij 6=12是：pβ（l，l，·l，lN）=Zexpα（l+l）+αNXi=3li+βll！（16） 式中，α表示满足约束hliβ=hliβ=p，不同于满足约束hliβ=·hlNiβ=p所需的α。

在这种情况下，对于较小的β，对12的默认相关性与β成正比也是正确的。在模型同时包含α和βij的一般丛林情况下：P（l，l，…，lN）=Zexpxi∈θαili+X（i，j）∈伊里尔（17） α是违约概率的（一个简单函数），β是违约相关性的（一个简单函数）：对于一般的丛林案例，α和β以及它们与p和ρ的关系之间存在“混合”。2015年12月2日MV19（续）201509235.3。蒲公英模型蒲公英模型对应于一个有N+1个借贷者的丛林模型，第一个借贷者被定义为i=0，被认为是蒲公英的中心，在蒲公英的外表面与所有剩余的借贷者“连接”，使得i=1，2，··，N的β0i=：β6=0。任何其他借贷者保持不连接，i=1，2，··，N&j>i。为了简单起见，我们假设αi=：α表示i=1，2，··，N。蒲公英模型的概率分布是：P（l，l。

，lN）=Zexpαl+αNXi=1li+βNXi=1lli！（18） 蒲公英模型虽然相互作用，但可以完全求解，其损失的概率分布为：P（`=NXi=1li）=ZN`（exp（α`）+exp（α+`（α+β））（19）式中，Z由以下公式给出：Z=（1+eα）N+eα（1+eα+β）N（20）和α、α和β作为经验数据的函数明确给出，p，pandρ：α=（N）- 1） 日志1.- 聚丙烯+ N日志P- q1- P- p+q（21）α=对数P- q1- P- p+q（22）β=对数qp- q1- P- p+qp- Q（23）式中，q可从违约相关性的定义中得出：ρ=q- pppp（1- p） pp（1）- p） （24）证据可在附录D中找到。为了给蒲公英模型提供直观性，我们计算了一组合理参数的概率分布，N=800，p=p=2.8%，对应于全球投机等级债券的历史平均违约率，根据（穆迪投资者服务2011），以及给定范围的可能违约相关性。结果如图4所示：图表中的概率分布显示了一种“双峰”模式：一方面，一个以低损失为中心的峰值，与二项分布的相应峰值没有什么不同。另一方面，较小但不明显的第二个峰值，对应于高水平的损失，并与传染引起的雪崩/多米诺骨牌效应一致。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923N=800 p=0.028 p0=0.028 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 20 40 60 80 100损失概率损失（%）ρ=0.00ρ=0.01ρ=0.02ρ=0.04ρ=0.08ρ=0.16ρ=0.32 0 0.0005 0.001 0.0015 0 5 10 15 20 30 35 40 0.08 0.09 0.1 2图4。蒲公英模型损失的概率分布，对应于不同的违约相关性违约相关性越高，极端损失越高（第二个峰值在图表上进一步向右移动）。

此外，违约相关性越高，Firstpeak的损失越低。传染是双向的：违约导致更多违约（关于二项式案例），非违约导致更多非违约（关于二项式案例）。从图表中的两个插图可以更具体地看到这两种效果。此外，违约相关性越高，风险价值和预期缺口就越高。下表（99%置信水平）举例说明了这两个风险度量与相应违约相关性的相关性。ρVaR ES0。00 0.041 0.0440.01 0.043 0.0460.02 0.049 0.0550.04 0.069 0.0760.08 0.109 0.1170.16 0.188 0.1980.32 0.344 0.356蒲公英模型可以理解为宏观经济风险因素和传染之间的桥梁。具体而言，在附录D中蒲公英模型的推导过程中，出现了以下等式：p=（1- p） p（α）+pp（α+β）（25），其中p（α）=1+e-α（26）2015年12月2日MV19˙cont˙20150923对应于二项式（非相互作用）情况下描述的p和α之间的关系。因此，蒲公英的中心节点可以被解释为内生性地产生了“宏观经济状态”，在一小部分时间内，1- p经济仍然处于“良好”的经济状态，其组成部分的违约概率由p（α）=1+e决定-α、 在p给出的一小部分时间内，经济仍处于“糟糕”的经济状态，其组成部分的违约概率由p（α+β）=1+e给出-（α+β），其中p（α+β）>p（α），差异由“传染因子”β解释。换句话说，蒲公英模型内生性地生成了一种二元模型的混合物，能够生成双峰分布和违约聚集。5.4.

钻石模型钻石模型定义为：Z=Xl，l，。。。，进出口αNXi=1li+βXi>jlilj（27）钻石模型描述了一组相互作用的积分。例如，ifN=4，节点1可以是银行，节点2可以是水泥生产商，节点3可以是房地产开发商，节点4可以是汽车经销商。水泥生产商、房地产开发商和汽车经销商从银行获得资金，因此第12、13和14对之间存在违约相关性。此外，水泥生产商是房地产开发商的供应商，因此这对23也是相关的。

最后，2号和3号公司的员工从汽车经销商处购买汽车，因此2号或3号公司的违约会影响4号公司的业务，也会在24号和34号公司之间产生违约相关性。菱形模型的配分函数为：Z=NX`=0N`经验(α -β)` +β`（28）相应的损失概率分布为：P（`=NXi=1li）=N`经验(α -β)` +β`Z（29）我们可以将经验数据p和ρ与模型参数α和β联系起来，从以下两个方程可以进行数值反演：p=ZNNX`=0N`` 经验(α -β)` +β`（30）q=ZN（N）- 1） NX`=0N``(` - 1） 经验(α -β)` +β`（31）附录E给出了之前声明的证明。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923钻石模型清楚地展示了Junglemodel最有趣的现象之一：准相变。让我们看看当我们顺利改变违约相关性时，钻石模型的损失概率分布是如何变化的，对于在给定水平上确定的违约概率（参数N=20和p=40%，便于目视检查；下面，我们将提供另一个示例，N=50和p=2.8%）：0 0.06 0.12 0.18 0 20 60 80 100概率ρ=0%（二项式）0 0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100ρ=10%0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 80 100概率ρ=20%0 0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 80100ρ=25%0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100概率损失（%）ρ=30%0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100损失（%）ρ=40%图5。

当我们将ρ从10%平稳地改变到20%到30%时，在这些违约相关性之间的某个点上，我们可以看到违约相关性在准相位转换点下方、周围和上方的损失概率分布突然发生变化：2015年12月2日MV19˙cont˙20150923违约相关性在10%左右或以下，菱形模型呈现了一种标准行为，损失以预期值40%左右的给定宽度扩散。然而，当默认相关性仅略微增加（比如说增加到25%）时，损失概率分布的不同行为开始出现：损失的概率分布变得双峰，如图5所示。违约相关性增加越多，右边第二个峰值的潜在损失就越大。另一个数值例子是（穆迪投资者服务2011）样本中的特殊等级债券的平均违约率，这次N=50，p=2.8%，显示了准相位转换如何显著改变损失概率分布的风险概率，考虑到决定投资组合的经验值的微小变化（违约概率，尤其是违约相关性）：0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100累积损失概率ρ=2%VaR=15%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 100ρ=3%VaR=18%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 100累积损失概率损失（%）ρ=4%VaR=90%0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75100损失（%）ρ=5%VaR=94%图6。

违约相关性的累积概率损失分布在准相位转换点以下、周围和上方。从图6中，我们可以看到，在99.9%的置信水平下，如果违约相关性略有增加，风险值会突然增加。当模型参数α和β发生变化时，通过观察经验变量（违约概率和违约相关性）如何变化，也可以分析上述现象，如图7所示。尽管事实上，对于一个有限的N，不可能有（完全不连续的）相变，但从上面的图中，我们可以看到，在模型参数空间中清晰可见的对角线上，有一个尖锐的、几乎不连续的行为。通过类比，我们称之为“准相位”。这是对“相变”概念使用的解释，借用自统计力学。相位转换是指给定变量的突然跳变，由另一个基础变量的微小变化引起。然而，准相变并不是统计力学中正确定义的相变。例如，伊辛模型的相变，相当于物理学中的丛林模型，不可能在有限的N内发生，在本文中，我们假设N始终是有限的。2015年12月2日MV19˙续˙20150923“过渡”至该现象。这样一条线的存在，以所谓的“临界点”结尾，在凝聚态物理文献中是众所周知的。由于经验参数、违约概率和违约相关性以及模型参数α和β之间存在已知关系，分析师可以使用经验参数或模型参数来描述模型的行为。

模型参数在分析此类系统的行为时往往更有用，因为从图7中观察到，经验参数的微小变化总是导致模型参数的微小变化，但情况显然相反（在准相变线上）：-10-8.-6.-4.-2 00.05 0.10 0.15 0.20αβ0.00.20.40.60.81.00.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9-10-8.-6.-4.-200.05 0.10 0.15 0.20αβ0.00.20.40.60.81.00.1 0.20.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9图7。给定一组模型（标准化为0和1之间的值）参数的违约概率和违约相关性，α和β，N=80。此外，任何信贷组合都受到基本经济因素（宏观经济和微观经济）的驱动。因此，我们可以理解这样一个模型描述的资产组合在时间上的演化，即当潜在的、基本的经济因素发生变化时，模型参数的平滑变化。