具有可违约数量的金融模型

如果外部数字由篮子给出，如（3）所示，这正是上文所述的框架，其中篮子报价用S表示。我们说概率测度Qi是关于第i种货币的估值测度，如果价格相对于Qi是上乘的。概率测度(Ohm, F（T））是关于篮子的估值度量，如果篮子报价是关于Q的局部鞅，则为0≤ 硅≤ 1对于所有i，Q是关于篮子的估值度量，当且仅当S是Q-鞅。3测量的聚合和分解我们现在研究如何聚合一系列（Qi）iof评估测量，每个测量都在集合的一个子集上得到支持Ohm 在可能的情况下，相对于d货币中的一种，对于C=I（I），（5）在（3）的帮助下，对于每个I，C=|a（T）|Xj的估值度量∈A（T）Sj（T）Sj，i（T）=|A（T）|Xj∈A（T）Si（T）=Si（T）。到篮下。我们在第4节中提供了本节断言的证据。我们将这项研究分为四个部分。第3.1小节讨论了与篮子yieldsa族d概率测度有关的估值测度Q的存在性，这些概率测度不一定等价。这些d指标中的每一个都可以被解释为一个估值指标，其中一个数字是固定的。此外，这些度量通过num’eraire公式的广义变化相互关联。这个属性称为num\'eraire一致性。然后，我们证明，如果一系列概率测度是数一致的，它们可以“粘在一起”，从而产生一个关于篮子的估值测度。第3分节。2将第3.1小节的结果与数学金融中的经典估值公式进行比较。第3分节。3提供了两个例子。它们特别说明了Carr等人。

（2014）和C^amara和Heston（2008）是本文设置的特例。在第3.4小节中，我们从d概率度量开始，每一个都再次作为固定数量的估值度量。然而，这一次我们并不认为这些措施是一致的。然后，我们研究了是否存在一个关于篮子的估值测度。3.1聚合与num’eraire一致性和解聚我们首先介绍并讨论以下一致性条件。定义3.1（概率度量的数值一致性）。假设（Qi）是一系列概率测度。我们说（Qi）是一个数一致的概率测度族，如果对于所有a∈ 我们有eqi[Si，j（t）1A]=Si，j（0）Qj（A）∩{Sj，i（t）>0}）（6）对于所有i，j和t.命题3.2（数一致概率测度族的性质）。假设（Qi）是一个数一致的概率测度族。那么下面的陈述就成立了，对于每一个i，j.（a）sii，都是一个Qi–supermartingale；因此，特别是Qi（Tt{i∈ A（t）}=1。更准确地说，对于所有有界F（t）可测的随机变量X和r，我们几乎可以肯定（7）为haveEQir[Si，j（t）X]=Si，j（r）EQjr[X1{Sj，i（t）>0}]≤ t、 （b）Si，jis a Qi——局部鞅当且仅当Sj，i在Qj下不跳到零。（c） 对于每个停止时间τ，Sτi，jis a Qi–鞅当且仅当Qj（Sj，i（τ）>0）=1。此外，在这种情况下，我们有dQj/dQi | F（τ）=Sj，i（0）Si，j（τ）。特别是，第i种货币相对于第j种货币不完全取值，当且仅当Si，jis是真正的Qi-鞅。注意，（7）可以解释为num’eraire公式的变化。备注3.3（对num’eraire一致性的解释）。让（Qi）ibe有一系列一致的可能性度量。

然后用wi，j=Si，j（0）/PkSi，k（0）∈ （0，1）对于所有i，j，我们有pjwi，j=1和1-PkSi，k（0）EQiXjSi，j（T）=Xjwi，j1.-Sj，i（0）EQi[Si，j（T）]=所有i的Xjwi，jQj（Sj，i（T）=0。因此，以第i种货币衡量的所有货币总价值的标准化预期下降，等于第i种货币完全贬值的加权概率之和。权重正好对应于时间零点对应货币的比例值。我们现在已经准备好为一系列数量一致的概率测量制定第一个聚合结果。定理3.4（聚合和分解）。以下陈述成立。（a） 给定一个关于篮子的估值测度Q，就存在一个唯一的数一致的概率测度族（Qi），即PIQI~Q和qr[C]=Xj∈A（r）Sj（r）EQjrCj | A（t）|（8） 对于所有的r和C∈ C就这样∈ L（Q）。（b） 给定一个数一致的概率测度族（Qi），它存在一个唯一的估值测度EQ~关于满足（8）所有r和C的篮子∈ C这样的话∈ L（Qi）对于所有i.（c）考虑与篮子相关的估值措施。设（Qi）i为（a）和（r）中对应的一致概率测度族。如果或有索赔C∈ C满足性=C1{i∈A（T）}，Q–几乎可以肯定，对于一些i和C∈ 那么我们有eqr[C]=Si（r）EQir[Ci]。（9） 理论的证明。4揭示了dQi/dQ=Si（T）/Si（0）和Q=PiSi（0）Qi之间的关系。让我们来解释（8）中的表述。为了计算或有权益C的估值∈ C.低估估价措施~关于篮子，可以按照以下步骤进行。首先，用claimeC=C/|A（T）|替换权利要求C；也就是说，我们用到期时的活跃货币数除以有条件索赔的收益。

然后，计算QJ下的预期收益，对应于将第j种货币定义为每个j的数值。然后将所有这些值转换成篮子并相加。如果在第i种货币完全贬值的情况下，未定权益C的回报为零，则（9）成立。因此，在这种情况下，只需计算第i种货币为num’eraire的相应估值预期，即可计算公式[C]。在Sch¨onbucher（2003，2004）的术语中，Qi被称为“生存度量”（对应于第i种货币），因为它相当于概率度量，以第i种货币不完全贬值为条件。3.2与经典设置的比较在本小节中，我们比较了Theorem3的聚合结果。4采用数学金融中的经典估值公式。正如经典设置中的惯例，我们定义了一个数字；比如，对应于交换矩阵第一行的那个。此外，我们假设S，关于这个数值的报价向量，是某个概率测度P的P-半鞅。为了澄清这个比较，我们现在考虑三种不同的情况。1.假设存在一个概率测度Q~ Psuch是Q-鞅，在P下大于0。用yan（1998）的术语来说，在这种情况下，市场是公平的。特别是，inDelbaen和Schachermayer（1994）定义的容许策略的NFLVR与P有关。我们可以通过改变num’eraire公式Qidq=Si，1（0）S1，i（T）来定义一个num’eraire一致的概率测度族（Qi）。（10） 事实上，对于所有的i，j，t和A，我们有eqi[Si，j（t）1A]=Si，1（0）EQ[S1，i（t）Si，j（t）1A]=Si，j（0）Qj（A）∈ F（t）。观察气~ QJ代表所有的i、j和Piqi~ P.在这种情况下，所有i、r和C都有（9）∈ C使Ci∈ L（Qi）代表所有i.2。

假设现在存在一个概率测度Q~ Psuch认为，在P下，Sis a Q–鞅不一定是正的。在这种情况下，用Yan（1998）的术语来说，市场也是公平的。然而，第i种货币可能不是一个经典的数字，因为它不会保持严格的正面。然而，可以将其解释为“可违约数”，我们可以重新定义一系列概率度量（10）。我们观察到，现在气不必与Q等价，而只与qf有关的所有i和piqi是绝对连续的~ Q.概率测度的族数是一致的，因为eEqi[Si，j（t）1A]=Si，1（0）EQ[S1，i（t）Si，j（t）1A]∩{Si，j（t）<∞}] = Si，j（0）Qj（A）∩{Si，j（t）<∞})= Si，j（0）Qj（A）∩ {Sj，i（t）>0}）。Si可能不是一个Qi-局部鞅，而只是一个Qi-超鞅。此外，NFLVRas inDelbaen和Schachermayer（1994）不一定适用于Qi。根据定理3.4（c），对于所有的r和c，我们有EQr[c]=S（r）EQr[c]（11）∈ C就这样∈ L（Q）。关于其他货币，我≥ 然而，（9）不一定是真的。事实上，（11）和（7）使我们能够在事件{i]上写下以数字表示的估值∈ A（r）}，asEQr[C]Si（r）=Si，1（r）EQr[C]=EQir[Si，1（T）C]+Si，1（r）EQr[C{S1，i（T）=0}]=EQr[Ci]+Si，1（r）EQr[C{S1 i（T）=0}表示所有r，i和C∈ C就这样∈ L（Q）。因此，如果估值公式以第i种货币表示，则条件预期值必须根据第i种货币贬值的概率Q进行调整。现在让我们来定义i和C∈ C、 用C∈ 研究所有r的修正项Fi（r）=Si，1（r）EQr[C{S1，i（T）=0}]，然后Fi（T）=Si，1（T）C{Si，1（T）=∞}= 齐下0。此外，对于r≤ rwe-haveqir[Fi（r）]=Si，1（r）EQrh{S1，i（r）>0}EQr[C{S1，i（T）=0}]i≤ Fi（r）在Qi之下。因此，校正项fi是一个Qi-势。

更准确地说，通过同样的计算，Fi确实是一个Qi-局部鞅，只要S1在Q下不跳到零。因此，在这种无跳条件下，估值产生一个局部鞅，其Riesz分解等于Qi下的条件期望加上校正项Fi。3.假设现在不存在测度Q~ 这是一个Q-鞅。在这种情况下，根据inYan（1998）的定理3.2，P-允许策略的NFLVR不成立。尽管如此，我们还是假设存在一系列数量一致性概率测度（Qi）i。因为它只是一个Q-超鞅，并且不一定存在一个概率测度，相当于作为局部鞅的Punder，关于可容许策略，正如Delbaen和Schachermayer（1994）所定义的，NFLVR可能会失败。然而，感谢Theorem3。4.根据概率测量，如果篮筐被选为num\'eraire，NFLVR有效~皮奇。这个扩展模型将偏离经典的设置，如Q（S1，i（T）=∞) > 对于某些i，0。在（8）中的表示在该设置中提供了一个具有经济意义的估值公式。即使在将第一种货币定义为num\'eraire后，违反了与P–allowablestrategies（甚至是可接受的策略）相关的NFLV R，这也是可能的。关键是考虑允许第一种货币贬值的非等价概率度量，并在套利考虑和期权估值时始终考虑这些世界状态。正如我们举例说明的那样。5.这些估值公式可以应用于严格的局部鞅模型，收益率值符合市场惯例，如看跌期权平价。

该估值框架纠正了经典条件期望估值方法的不足。3.3如Lewis（2000）、Cox和Hobson（2005）、Madan和Yor（2006）以及Carr等人（2014）所述，严格的局部鞅测度并不总是适用于估值目的，因为使用该测度通过预期计算的估值不符合市场惯例，如看跌期权平价。Lewis（2000）和Madan and Yor（2006）的著作提出了解决这些缺陷的特别修正术语。与Invor等人（2014年）的研究类似，我们认识到，问题在于严格的局部鞅测度没有考虑相应货币贬值的世界状态。例3.5（情况d=2）。考虑一个d=2货币的经济体，并假设存在一个数量一致的族（Q，Q）。事实上，给定一个概率测度qs，比如S1,2是非负Q-超鞅，概率测度qc可以被构造成（Q，Q）是数值一致的，例如通过inF¨ollmer（1972）开创的方法；另见珀科夫斯基和联阵（2015年）。在下文中，我们推导了Q的一个表示，即以篮子为基础的估值测度，其存在性由定理3保证。4（b）。为此，fix a time r和未定权益C∈ C这样的Ci∈ L（Qi）代表所有的i，我们得到eq[C]=S（r）EQrC | A（T）|+S（r）EQrC | A（T）|=S（r）EQrC{S1,2（T）>0}+ EQrC{S1,2（T）=0}+S（r）EQrC{S1,2（T）<∞}+ EQrC{S1,2（T）=∞}=S（r）EQr[C]+S（r）EQr[C{S1,2（T）=∞}]. （12） 这里我们使用（7）（应用j=1，i=2，X=C/2）来推导出s（r）EQrC{S1,2（T）<∞}=S（r）EQrC{S1,2（T）>0}.交易策略是P——如果相应的财富过程从下方以恒定时间Pjs1，j，P为界，则允许P——几乎可以肯定。

请参阅Yan（1998）的精确定义。用第一个数字表示（12），然后我们得到，关于事件{1∈ A（r）}，EQ[C]S（r）=EQr[C]+S1,2（r）EQr[C{S1,2（T）=∞}]. （13） 这正好对应于Invor等人（2014）的估值公式，该公式是为了在严格的局部鞅模型中恢复看跌期权平价而构建的。（13）的右边是两项的总和。如果选择第一种货币作为基数，则第一项是或有权益的估值预期。第二项可以解释为修正系数。它是汇率的产物，将第二种货币的单位转换为第一种货币的单位，以及另一种估值预期。这一次，使用第二种货币作为num’eraire进行估价预期。它考虑第一种货币完全贬值时的或有权益。如果或有索赔C是欧洲催缴股款（第一种货币选择为num’eraire），则第二个术语正好对应于特别修正的Lewis（2000）。因此，（13）准确地检索了Lewis（2000）、Madan and Yor（2006）、Paulot（2013）和Kardaras（2015）中的估值公式。我们还参考了Herdegen和Schweizer（2017）中的第6节，了解基于精心选择的无套利原则的替代方法。接下来，我们将研究C^amara和Heston（2008）提出的Black-Scholes-Merton模型的扩展。他们建议通过允许相对价格跃升至零并保持不变来扩大原始的Black-Scholes-Merton模型。

跳转到零“调整布莱克-斯科尔斯模型中与货币外看跌期权相关的偏差”，跳转到内在“捕捉市场的繁荣和极端上升潜力，并导致风险中性密度，比布莱克-斯科尔斯模型中隐含的密度具有更多正偏度和峰度。”C^amara和Heston（2008）随后说明，这种修正指数产生的隐含波动率更接近市场观察到的波动率。例3.6（Black-Scholes，跳跃至零且不完整）。我们再考虑两种货币，即d=2。我们假设相对价格是通过Black-Scholes模型描述的；然而，现在的另一个特点是，价格可能会在某个指数时间跃升到零或在某个指数时间。我们通过在P上指定一个概率测度来正式引入该模型(Ohm, F（T））。为此，假设τ和τ分别是强度为λ和λP的指数分布停止时间，且满足P（τ=τ）=0。然后我们设置1,2（t）=S1,2（0）expσW（t）-σt+ut{t<τ∧τ}+ ∞1{τ≤T∧τ} ，其中u，σ∈ R是常数，σ6=0，W是P-布朗运动，与τ和τ无关。这直接产生了2,1（t）=S2,1（0）exp-σW（t）+σt- ut{t<τ∧τ}+ ∞1{τ≤T∧τ}.因此，在{τ<τ}事件中，第一种货币在时间τ完全贬值，而在{τ<τ}事件中，第二种货币在时间τ完全贬值。我们现在想要构建一个关于篮子的估值度量。为此，我们首先构建了一个数量一致的概率测度族（Q，Q），然后应用定理3。4（b）。特别是，在Qthe过程S1下，2是实值的，是一个超鞅；类似的说法也适用于Q。首先，我们定义了概率测度Pand PbydPdP={τ>τ∧T}P（τ>τ）∧ T |τ）=1{τ>T∧τ} eλP（T）∧τ); （14） dPdP={τ>τ∧T}P（τ>τ）∧ T |τ）=1{τ>T∧τ} eλP（T）∧τ).

（15） 下一步，我们将确定一些任意常数u，u∈ R和λ，λ>0，并定义概率度量Qand QbydQdP=Eu- uσW（T）e（λP）-λ） （T）∧τ)λP{τ≤T}；（16） dQdP=Eu- u + σσW（T）e（λP）-λ） （T）∧τ)λP{τ≤T}。（17） 然后τ的Q-强度等于λ，τ的Q-强度等于λ。此外，我们得到了S1,2（t）=S1,2（0）expσW（t）-σt+λt{t<τ}eut-λt，Q——几乎可以肯定；（18） S2,1（t）=S2,1（0）expσW（t）-σt+λt{t<τ}e-ut-λt，Q–几乎可以肯定（19）对于所有t，Wa Q–布朗运动独立于τ，Wa Q–布朗运动独立于τ。很明显，必须有λ≥ -u和λ≥ u分别表示S1,2和S2,1的超可压缩性。现在修好∈ [0，T]和A∈ F（t）。然后，通过（16）-（17）、（14）-（15）和（18）-（19）Q（A）∩{S1,2（t）>0}）=EPEu-uσW（t） e（λP+λP）-λ） t{t<τ∧τ} A;S1,2（0）等式[S2,1（t）1A]=EPEu-uσW（t） e（λP+λP）-u-λ） t{t<τ∧τ} A.这就产生了，对于（6），我们需要施加λ- λ= u= u.事实上，这对于（Q，Q）的数值一致性是足够的，因为同样地，S2,1（0）EQ[S1,2（t）1A]=Q（A）∩{S2,1（t）>0}）。理论3。4（b）现在产生一个关于篮子的估值测度Q，对应于族（Q，Q）。接下来考虑一个交换选项C=（C，C）和C=（S1，2（T）- K） +和C=（1）-KS2,1（T））+，其中K∈ R.也就是说，在时间T时，期权授予将第一种货币的K单位兑换成第二种货币的一个单位的权利。然后，示例3.5中EQin（12）的表示yieldsEQ[C]=S（0）EQ[（S1,2（T）- K） +{τ>T}]+S（0）Q（τ）≤ T）=S（0）Q（τ>T）EQS1,2（0）eσW（T）+（λ）-λ-σ/2）T- K++S（0）（1）-E-λT）=S（0）e-λTΦ（d）- S（0）Ke-λTΦ（d）+S（0）（1）-E-λT），（20）式中d=σ√T自然对数S1,2（0）K+λ- λ+σT; d=d- σ√TandΦ是标准的正态累积分布函数。