具有可违约数量的金融模型

对于（20）中的最后一个等式，我们使用了利率为λ的标准Black-Scholes-Merton公式- λ.（20）中的表达式对应于C^amara和Heston（2008）中的公式（16）。这个公式是通过解一个偏积分微分方程得到的。相比之下，（20）是通过基于等效超马尔可夫测度的纯概率方法推导出来的。请注意，在C^amara-Heston框架中，使用num^eraireconsistent族可以系统地评估更复杂、可能依赖路径的目标。此外，这个例子还表明，C^amara-Heston框架不存在套利，即存在一个关于篮子的估值测度Q。由于存在跳转到零的情况，并且由于模型的不完整性，Carr等人（2014）未涵盖该示例。我们强调，这种方法并不局限于布莱克-斯科尔斯模型。可以采用任何模型，例如Heston模型，然后添加一个跳转到零和一个跳转到单位。通过与本例相同的步骤，可以得到一个num’eraire一致的家族，该家族可以修正货币看跌期权和看涨期权的深层次价格。3.4无数量一致性的聚集3。4（b）表明，给定一个数一致的概率测度族（Qi）i，存在一个关于篮子的估值测度。在实践中，可能很难确定阿吉文概率测度族（Qi）的数量是否一致。因此，问题就出现了，在这种情况下，不一定存在数量一致的概率测度族，就产生了关于篮子的估值测度。下一个定理为概率测度（Qi）i的任意族提供了更容易验证的条件。它需要以下定义。定义3.7（NOD）。

我们说概率测度P(Ohm, 如果P∈ 在{τ<∞} ∩ {i∈ A（τ）}，P–几乎可以肯定，对于所有i和停止时间τ。满足NOD的概率度量P保证了以下几点。如果在任何时间点τ某一货币i尚未违约，则该货币在未来不会违约的概率为正。Carr等人（2014年）研究了d=2的情况，并引入了“无明显过度反应”的概念，似乎有所不同。然而，该论文还有一个长期假设，即不存在通过跳跃而突然完全贬值的情况（见下文定义3.9）。在这种情况下，“没有明显的过度膨胀”的说法与本文的观点并不一致。定理3.8（无数值一致性的聚合）。让（Qi）ibe成为一系列概率测度。然后存在一个估值测度Q~如果满足以下两个条件之一，则与篮子相关的Piqi。（a）Sia Qi–每个i的鞅。（b）以下四个条件成立。（i） Si是一个Qi——每个i.（ii）PiQi/d满足的局部鞅；参见定义3。7.（iii）对于每个i，Qi | F∩{PjSi，j（T）<∞}~XkQkF∩{PjSi，j（T）<∞}.（iv）存在>0，N∈ N、 可预测时间（Tn）N∈{1，··，N}这样（t，ω）：XjSi，j（t）=∞ 和xjsi，j（t-) ≤ d+εN[N=1[[Tn]]，（PiQi/d）——几乎可以肯定。如下面的例子3.10所示，定理3.8（b）不足以证明篮子的估值测度的存在，一般来说，没有（b）（i），即Si是每个i的Qi–局部鞅。定理3中的条件。8（b）（ii）规定，PIQI/d必须满足NOD给出的最低无套利条件——出售活跃货币不会产生简单的套利策略。事实上，很明显，这个条件是必要的。

如下面的例子3.11所示，没有（b）（ii），定理3.8的结论是错误的。因此，考虑到其他条件，这对于定理的表述来说并不是多余的。理论中的条件3。8（b）（iii）表示QI的支持是事件{PjSi，j（T）<∞} 对于每一个i，这样一个条件的必要性是例3的内容。下文第12段。理论3。8（b）（iv）是一个技术条件，我们不知道这个定理的陈述是否有必要成立。这种情况允许第k种货币突然贬值，只要它在sensePjSi，j≤ d+ε。然而，如果“强势”货币突然贬值，它只能在固定的、可预测的时间内贬值。特别是，任何具有无数时间步长的离散时间模型都满足这一条件。从以下定义的意义上讲，这种情况也能使ifPiQi/d满足SD。定义3.9（NSD）。我们说概率测度P不满足突然贬值（NSD）ifP（Si，jj）跳到∞) = 在NSD下，任何货币都不会突然对任何其他货币完全贬值。下面的例子3.11表明，存在一个满足NSD但不满足NOD的概率度量P。构建一个满足NOD而非NSD的例子很简单。例3.10（关于定理3.8（b）（i）的必要性）。F ix T=d=2和Ohm = {ω，ω}以及f（t）={, Ohm} 对于所有t<1和F（t）={, Ohm, {ω} ，对于所有t≥ 1.设S1,2（ω，t）=1和S1,2（ω，t）≡ 也就是说，世界上有两种状态是可能的；在时间1之前，两种货币之间的汇率保持不变，而在时间1，第二种货币要么完全贬值，要么什么都没有发生，这取决于世界的状况。现在我们让Q（{ω}）=Q（{ω}）=1/2，并且Q（{ω}）=1。那么S1,2是严格的Q-超鞅，S2,1是Q-鞅。

此外，定理3中的所有条件。8（b）除了（i）之外，都是令人满意的。然而，在时间零点出售一单位第二种货币并购买一单位第一种货币会产生一个非负财富过程，在ω状态下严格为正，具有严格的正（Q+Q）/2概率；因此，这是一种明显的套利行为。因此，新星测量~ （Q+Q）关于篮筐可以存在。这说明定理3.8确实需要（b）（i）中表述的局部鞅性质。例3.11（关于定理3.8（b）（ii）的必要性）。我们稍微修改了示例3.10。再一次，假设fixt=d=2(Ohm, F（T），Q）支持一个布朗运动B，B从零开始，然后停止-1，以及一个独立的{0，1}分布的随机变量X，其中Q（X=0）=Q（X=1）=1/2。现在，letS1，2（t）=1+1{X=1}B棕褐色的0∨π（t）-1)现在让（F（t））t忽略使S1,2适应的最小右连续过滤。然后1，2在时间1之前保持不变，之后保持不变，概率为1/2，但运动就像一个时间变化的布朗运动，在到达零时停止，否则。我们现在设置Q=Q（·|{X=0}），并注意到S2,1是一个（常数）Q-鞅。然后是定理3中的条件。8（b）（i）、（iii）和（iv）都是满意的，但与前一个例子中相同的策略产生了套利，当选择篮子作为数字时，套利是允许的。因此，定理3.8（b）（ii）是使该定理有效的必要条件。请注意，在本例中，（Q+Q）/2满足NSD，但不满足NOD。例3.12（关于定理3.8（b）（iii）的必要性）。在d=2资产的情况下，我们现在为一系列局部鞅测度（Q，Q）提供了一个例子，使得（Q+Q）/2满足NSD和NOD，但没有估值测度Q~ （Q+Q）相对于篮筐存在。

F ix T=2和过滤概率空间(Ohm, F（2），（F（t））t，Q）支持三维贝塞尔过程。接下来，让τ表示R达到1/2的最小时间；特别地，我们有Q（τ<T）>0和Q（τ=∞) > 0 . 现在考虑进程1,2=1+R-[[τ,∞[[>0.带Q（·）=Q（·|{τ=∞}) 我们有Q（S1，2=1）=1。此外，S2，1是一个Q-局部鞅andA（T）={1，2}。特别是，（Q+Q）/2满足NSD和NOD的要求。然而，命题3。2（c）不存在数量一致的概率测度族。因此，理论3。4（a）产生新估值测量值~ （Q+Q）关于篮筐也存在。这表明，如果没有（b）（iii）中的支持条件，定理3.8（b）是不正确的。命题3.2的4个证明以及命题3.2的定理3.4和3.8的证明。在接下来的部分中，我们将讨论该陈述的三个部分。（a） ：修正i和j，注意（6）会产生Qi（i/∈ A（t））=0。对于所有有界F（t）-可测随机变量X和所有t.单调收敛，然后YieldSeqi[Si，j（t）X]=Si，j（0）EQj[X1{Sj，i（t）>0}]（21）表示（7），fix A有界F（t）-可测随机变量X，A）∈ F（r）和r≤ t、 然后我们有EQi[Si，j（t）X1A]=EQi[Si，j（t）X1A{Sj，i（r）>0}]=Si，j（0）EQj[X1{Sj，i（t）>0}A{Sj，i（r）>0}=Si，j（0）EQj[EQjr[X1{Sj，i（t）>0}]1A{Sj，i（r）>0}]=EQi i[Si，j（r）EQjr）>1A，i（t）>7），两次应用产生（21）。事实上，Si是一个Qi–supermartingale，它遵循（7）中的s，X=1。（b） ：修正i和j。如Perkowski和Ruf（2015）中的命题2.3所述，我们可以将（6）中的t替换为时间τ。用A=Ohm, 然后，对于所有停止时间τ，我们有eqi[Si，j（τ）]=Si，j（0）Qj（Sj，i（τ）>0。现在回想一下，Si，jis是一个Qi——可以通过一系列的交叉时间来进行超级渲染和本地化。（c） ：第一部分如下（b）所示。

第二句话直接引自（7）。定理3.4的证明。（a） &（c）：让Q作为篮子的估值指标。通过dQi/dQ=Si（T）/Si（0）定义一个家族（Qi）IOF概率度量（Qi）。由于（4），我们有了Pisi（0）Qi=Q和thusQ~皮奇。此外，由于（3），我们得到了[Si，j（t）1A]=（Si（0））-1EQ[Si，j（t）1ASi（t）1{Sj，i（t）>0}]=（Si（0））-1EQ[Sj（t）1A{Sj，i（t）>0}]=（Si（0））-1Sj（0）Qj（A）∩{Sj，i（t）>0}=Si，j（0）Qj（A）∩{Sj，i（t）>0}）对于所有i，j，A∈ 因此，家族（Qi）的数量是一致的。接下来，假设C∈ L（Q）。由（5）和贝叶斯公式yieldqr[C]=XjEQr给出的C的表示Cj | A（T）| Sj（T）1{j∈A（T）}=XjEQjrCj | A（T）|Sj（r）1{j∈A（r）}；因此（8）如下。如果C=C1{i∈A（T）}，Q–几乎可以肯定，对于一些i，那么相同的计算，结合CjSj（T）=CiSi（T），从（3）中得出所有j∈ A（T），收益率（9）。r=0，C=1A的（Qi）i在（9）中的唯一性∩{i∈A（T）}∈ F（T）。（b） ：独特性显而易见。对于存在，定义Q=PiSi（0）Qi。很明显，Q~皮奇。通过第一部分的计算，我们只需要证明过程是一个Q-鞅，dQi/dQ=Si（T）/Si（0）。为此，有必要证明EQ[Si（t）1A]=Si（0）Qi（A）（22）适用于所有i、t和A∈ F（t）。事实上（3）和命题3.2（a）实现了[Si（t）1A]=XjSj（0）EQj[Si（t）1A]=XjSi（0）Si，j（0）EQj[Si（t）1A{Sj，i（t）>0}]=XjSi（0）EQi[Si，j（t）Si（t）1A]=XjSi（0）EQi[Sj（t）1A]=Si（0）Qi（a），产生（22）。定理3.8的证明。（a） ：考虑概率测度seqi，由每个i的deQi/dQi=PjSi，j（T）/PjSi，j（0）和Q=PieQi/d给出。然后我们得到Q~PjQj。此外，S是每个i的aeQi-鞅，因此它也是aQ-鞅。（b） ：我们将P=PiQi/d和fixε>0设置为（b）（iv）。为了证明这一陈述足以构造严格正的P-鞅Z，使得ZS也是一个P-鞅。

我们分几个步骤进行。第一步：对于下面Z的构造，我们将反复选择最强的货币，直到它不再是最强的，这时我们切换到新的最强货币。要遵循该程序，请确定停止时间（τn）n的顺序∈Nand货币识别码（in）n∈Nbyτ=0和In=arg mini∈{1，…，d}{（Si（τn-1))-1}; （23）τn=inf{t∈ [τn-1，T]：（Sin（T））-1> d+ε}（24）对于所有n∈ N、 （23）中可能出现的冲突可通过字典顺序解决。第二步：我们声称P（limn↑∞τn>T）=1。要了解这一点，假设P（limn↑∞τn≤ T）>0。然后存在i和j，这样（Si）-1从d到d+ε有很多上交点，其概率为严格正。接下来，通过一个简单的本地化论证，我们可以假设（Sj）-1是一个Qj-鞅，我们考虑相应的测度bq，由dbQ/dQj=Sj（0）（Sj（T））给出-1.请注意~ Qjandt该过程是一个有界的BQ-鞅，它有许多从1/d到1/（d+ε）的正概率下穿。然而，这与超鞅收敛定理相矛盾，后者产生了矛盾。因此，这种说法成立。第3步：假设我们得到一个非负随机过程Z，使得每个n的Zτ和ZτnSτnare P-鞅∈ N、 用（24）表示。然后我们声称Z和ZS是P-鞅。要了解这一点，请注意，在第2步中，Z和ZS是P-局部鞅。接下来，定义一系列概率度量（Qn）n∈Nvia dQn/dP=Zτn（T），注意sτ是一个Qn–满足sin（τn）的鞅-1) ≥ 事件{τn上的1/d-1.≤ T}，其中在（23）中给出。因此，关于{τn-1.≤ 我们已经≤ EQnSin（τn）|F（τn-1)≤ 1.- qn+qnd+ε，其中qn=qn（τn≤ T | F（τn）-1） ），每n∈ N

我们得到了≤d+εd- D- εd+εd- d=η∈ （0，1），这又一次屈服于sqn（τn）≤ （T）≤ EQnQn（τn）≤ T | F（τn）-1） ）1{τn-1.≤T}≤ ηQn（τn）-1.≤ （T）≤ ηn∈ N、 这里最后一个不等式后面是归纳法。这就产生了limn↑∞Qn（τn）≤ T）=0。现在，引理III.3.3 inJacod和Shiryaev（2003）的一个简单扩展，例如推论2.2 inBlanchet和Ruf（2016）中的一个，得出Z是一个P-鞅。因为S是有界的，所以ZS也是P-鞅。第4步：我们现在构造一个满足第3步假设的随机过程。为此，对于每一个i，让齐达诺得到唯一的P-鞅，使得dQi/dP=Zi（T）。用（24），（b）（ii）和（iii）的符号表示，得到Zin（τn）-1） 每n大于0∈ N.这使我们能够定义过程z-inductivelybyeZ（0）=1和z（t）=eZ（τN-1） ×（Sin（t））-1{Zin（t）>0}Zin（t）（Sin（τn）-1))-1Zin（τn）-1） 尽管如此，t∈ （τn）-1，τn∧ T]和n∈ 这里我们再次使用了指数∈Nof（23）。A sEP[（Sin（τn））-1{Zin（τn）>0}Zin（τn）|F（τn）-1） ]=EQin[（Sin（τn））-1 | F（τn）-1） [Zin（τn）-1） =（Sin（τn）-1))-1Zin（τn）-1） 关于{τn-1.≤ T}，过程τ是每个n的P-鞅∈ N.我们现在fix j并论证了每N的sτnjeZτnisa P-鞅∈ N.由于（3）我们有Sj（t）eZ（t）=Sj（τN）-1） eZ（τn）-1） ×Sin，j（t）1{Zin（t）>0}Zin（t）Sin，j（τn）-1） Zin（τn）-1） 尽管如此，t∈ （τn）-1，τn∧ 关于{Sj（τn）的T]-1） >0}和n∈ N.因为零是sjUnmp=PiQi/d的吸收态，所以与上述参数相同的参数产生了每个N的τnjeZτnis P-鞅∈ N.第5步：如果P满足NSD，则NEZ严格为正，因为每N的Ezezin（τN）>0∈ N、 在（23）和（24）的旋转中。在这种情况下，（b）的证明已经完成。然而，在（b）（iv）中更一般的条件下，不能保证P-鞅是严格正的，因为它可能在n上跳到零∈N[[τN]]TSm∈{1，··，N}[[Tm]]。

为了解决这个问题，我们将在可预测时间（Tm）m修改步骤4中的构造∈{1，··，N}得到严格正的P-鞅Z，使得ZS也是aP-鞅。步骤5A：我们可以假设0<Tm<Tm+1on{Tm<∞} 尽管如此，我∈ {1，··，N}和，set，放弃符号方便性，T=0和TN+1=∞. 在步骤5B中，我们将构造一个严格正的P-鞅（Ym）m族∈满足以下两个条件的{1，··，N+1}：oYm=ytmm和YTm-1m=1；和oYmSTm-STm-1是所有m的P-鞅∈ {1，··，N+1}。如果我们有这样一个族，那么过程Z=QN+1m=1ym是一个严格正的P-鞅，而ZS是一个负的P-鞅。这就是证明。步骤5B：为了构造一个严格正的P-鞅（Ym）m族∈{1，··，N+1}根据需要，让我们将一些m∈ {1，··，N+1}。我们首先在[[0，Tm]上定义一个processeY byeYm=1-1] ]然后完全按照步骤4进行，但τ=0替换为τ=Tm-1，对于每个i，用stm替换s，用ztmi替换zi。neymis是一个非负P-鞅，满足步骤5A的两个条件。LetfM现在表示y的随机对数和（Si）的随机对数-1.每个i.请注意，对于每个i，mi仅定义为第一次（Si）-1Zihits zero，见Alsolasson和Ruf（2017年）。接下来，定义随机过程m=fM+|A（Tm）-)|Xj∈A（Tm）-)Mj（Tm）-fM（Tm）[Tm，∞[[；也就是说，除了时间Tmon{Tm<∞ }, 其中，我们将其跳跃替换为当前活跃货币对应的汇率的平均跳跃。然后我们有M>1，这意味着它的随机指数Ym=E（M）是严格正的。由于停止时间Tm是可预测的，可预测停止定理暗示Ym是P-鞅，并且步骤5A中的两个条件是满足的。

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