Black-Scholes隐含波动率的一致界

注意，当建议的dis值接近最小值d时，建议的上界接近YBS（c，k）的真实值*= -k/y+y/2。原则上，可以通过在定理3中选择方便的控件来找到下限。3.然而，在实践中，我们发现了其他论点，虽然缺乏相同的统一原则，但它们确实具有简单的优点。在下面的证明中，我们通常只考虑k≥ 0例，因为k<0例直接来自命题2.1。在开始之前，我们需要一个关于标准正规分位数函数Φ的渐近行为的引理-引理4.1。Asε↓ 我们有Φ-1(ε)= -2对数ε+O（对数(-对数ε）。特别是，我们有-1(ε) = -P-2对数ε+O日志(-对数ε）√-对数ε证据设ε=Φ(-x） 对于大x>0且letR（x）=Φ(-x） xφ（x）。在这个符号中，我们有identitylogΦ(-x） =-x/2- 日志(√2πx）+logr（x）。因为众所周知R（x）→ 1作为x→ ∞ 我们有很多(-x） x→ -1/2或相当于[Φ-1（ε）]logε→ -2.将这个极限代入恒等式，得到第一个结论，泰勒定理得到第二个结论。第一个例子来自[26]。当c接近其上界1时，该渐近公式考虑了YBSW的行为。这一结果有助于研究非常长期限内的隐含波动性，即当走向固定时。定理4.2。固定k∈ R、 我们有b（k，c）=p-8日志（1）- c） +奥洛格[-日志（1）- c） ]p-日志（1）- c） !！作为c↑ 1.上述定理的证明依赖于以下简单的界，这些界保持uniformlyin（c，k）。提案4.3。修理k∈ R和（1）- （埃克）+≤ c<1。为了k≥ 我们有-2Φ-1.1.- C≤ YBS（k，c）≤ -2Φ-1.1.- c1+ek对于k<0，我们有-2Φ-1.1.- c2ek≤ YBS（k，c）≤ -2Φ-1.1.- c1+ek.证据对于上界，设d=Φ-1.1.-c1+ek在定理3.1中。对于下限，设y=YBS（k，c）。

请注意，CBS（·，y）正在减少，并且为1- 2Φ(-y/2）=CBS（0，y）≥ CBS（k，y）=cwhen k≥ 0.当k<0时，注意1- E-kp1+e-k=1- c1+EK1- E-kp=1- c2ek。现在请参考命题2.1的看跌期权平价公式。定理4.2的证明。通过命题4.3和引理4.1，我们得到了Ybs（k，c）≤ -2Φ-1.1.- c1+ek=P-8日志（1）- c） +奥洛格[-日志（1）- c） ]p-日志（1）- c） !！我们利用了我们拥有的固定k-2原木1.- c1+ek=P-2日志（1）- c） +O（p-日志（1）- c） ）作为c↑ 1.同样地，根据命题4.3，我们得到了k≥ 0 thatYBS（k，c）≥ -2Φ-1.1.- C=P-8日志（1）- c） +奥洛格[-日志（1）- c） ]p-日志（1）- c） ！。k<0是相同的。图2展示了YBS（k，c）作为c的行为↑ 1，与命题4.3的一致上下界和定理4.2的渐近公式进行了比较。我们计算了对数货币性k=0.2，并绘制了四个函数：（1）Yupper（c）=-2Φ-1.1.-c1+ek是命题4.3的上界；（2） Y*（c） =YBS（k，c）是我们兴趣的真正函数；（3） Y功率（c）=-2Φ-1.1.-C是命题4.3的下限；（4） Yasym（c）=p-8日志（1）- c） 是定理4.2中的渐近形状。注意，尤珀≥ Y*≥ 正如预测的那样。此外，有趣的是，在c的大范围内，YLOWER是非常好的近似≥ 实际上，Yasym是Y的一个相当差的近似值*由于错误项记录(-日志（1）- c） ）/p-日志（1）- c） 当c<1时，它实际上在增加- E-e=0.9994！我们在本节中考虑的下一个例子是Roper&Rutkowski[23]给出的，并讨论了c接近其下限（1）的情况-ek）+。特别是，该制度有助于研究非常接近到期的期权的隐含波动率。定理4.4（Roper&Rutkowski）。

如果k>0，则ybs（k，c）=k√-2日志c+O日志(-日志c）(-日志c）3/2作为c↓ 0.如果k<0，则ybs（k，c）=-K√-2原木p+O日志(-日志（p）(-日志p）3/2作为c↓ 1.- ek，其中p=c+ek- 1.图2。YBS（k，·）as c的界与渐近性↑ 1.一如既往，我们将通过寻找一致界来证明渐近结果。正如第2节所讨论的，我们可以通过函数^c.命题4.5重新使用当c接近1时紧的边界。对于k>0和0<c<1，我们有1- CL（k，c）≤^C（k，C）≤ 1.- 这里（5）L（k，c）=k“Φ-1.c1+ek+ 2#.证据对于上限，只需注意CBS（k，y）+CBS（k，2k/y）=1- 2ekΦ(-k/y- y/2）≤ 1.现在^C（k，C）=1-Zc2kYBS（k，u）du=1-ZcYBS（k，^C（k，u））2kdu≥ 1.-ZcYBS（k，1- u） 2.利用命题2.2和上界的两个应用。现在，我们利用命题4.3中的上界得出结论：^C（k，C）≥ 1.-kZcΦ-1.u1+ekdu=1-2（1+ek）kZ∞-Φ-1.c1+ekxφ（x）dx。要完成证明，请注意边界∞Axφ（x）dx=Aφ（A）+Φ(-（A）≤ （A+2）Φ(-A） 这对所有人都适用≥ 0现在我们证明了一个不等式，它提供了一种简单的方法来转换当c↑ 1.当c↓ 0.提案4.6。固定k>0和0<c<1。然后是2Kybs（k，1- c）≤ YBS（k，c）≤2kYBS（k，1- cl（k，c））。式中，L（k，c）由等式（5）确定。特别是，我们有b（k，c）≥K-Φ-1.c1+ek如果cl（k，c）≤ 1.我们有B（k，c）≤K-Φ-1.CL（k，c）.证据第一个主张源于YBS（k，·）增加的事实和命题2.2。第二组主张遵循命题4.3中的界限。备注4.7。不等式YBS（k，c）YBS（k，1）- c）≥ 2K适用于所有k>0和0<c<1，具有吸引人的对称性！定理4.4的证明。第一个fix k>0。

利用命题4.6的第二个下界和引理4.1，我们得到了thatYBS（k，c）≥K-2日志c+O日志(-日志c）(-日志c）3/2.同样，因为引理4.1暗示命题4.5中的量L（k，c）是渐近序L（k，c）=O（logc）为c↓ 0由于命题4.1，上界如下。k<0的情况源自命题2.1的put-call对称性。图3显示了YBS（k，c）作为c的行为↓ 与命题4.6的一致上下界和定理4.4中的渐近公式进行了比较。我们计算了对数货币性k=0.2，并绘制了四个函数：（1）Yupper（c）=k-Φ-1（cl（k，c））是命题4.6的上界；（2） Y*（c） =YBS（k，c）是我们兴趣的真正函数；（3） Ylower（c）=k-Φ-1.c1+ek是命题4.6的下限；图3。YBS（k，·）as c的界与渐近性↓ 0.（4）Yasym（c）=k√-2.定理4.4中的渐近形状。请再次注意，Yupper≥ Y*≥ 正如预测的那样。最后，请注意Yasym≤ 下一个例子是Gulisashvili[13]。这一结果有助于研究极端冲击但到期日固定的隐含波动率面。定理4.8（Gulisashvili）。如果c（k）↓ 0作为k↑ +∞ 那么ybs（k，c（k））=p-2日志（e）-kc（k））-P-2对数c（k）+Olog(-对数c（k））p-日志c（k）！。如果e-kp（k）↓ 0作为k↓ -∞ 那么ybs（k，c（k））=p-2对数p（k）-P-2日志（e）-kp（k））+Olog(-日志（e）-kp（k）））p-日志（e）-kp（k））！。式中c（k）=1- ek+p（k）。如前所述，证明将依赖于适当的统一界限：命题4.9。修理k∈ R和（1）- （埃克）+≤ c<1。如果k≥ 我们有-1（c）+p[Φ-1（c）]+2k≤ YBS（k，c）≤ Φ-1（2c）- Φ-1（e）-kc）对于k<0，我们有Φ-1（e）-kp）+p[Φ-1（e）-（kp）]- 2k≤ YBS（k，c）≤ Φ-1（2e）-（kp）- Φ-1（p），其中p=c+ek- 1.证据。以k为例≥ 0.对于上界，设d=Φ-1（e）-kc）在定理3.1中。对于下限，设y=YBS（k，c）。

注意-ky+y= c+ekΦ-基尼-Y≥ c、 结论如下：严格增加的mapx 7→ x+√从R到（0，∞) 是mapy 7的倒数→ -ky+yfrom（0，∞) 对于R，k<0的情况一如既往地由put调用对称处理。备注4.10。下限背后的想法是简单不等式（X- （K）+≤ X1[K，∞)（十） 这适用于所有X，K≥ 0.定理4.8的证明。为了k≥ 0，我们将命题4.9和引理4.1应用于getYBS（k，c（k））≤ Φ-1（2c（k））- Φ-1（e）-kc（k））=-P-2对数c（k）+p-2日志e-kc（k）+Olog(-对数c（k））p-日志c（k）！我们在哪里使用DP-2对数（2c）=√-2对数c+O(√-把c）记为c↓ 0来控制第一项的误差，以及界限e-kc（k）≤ c（k）控制第二项的误差。类似地，对于上界命题4.9和引理4.1 yieldYBS（k，c（k））≥ Φ-1（c）+p[Φ-1（c）]+2k=-P-2对数c（k）+p-2日志e-kc（k）+Olog(-对数c（k））p-日志c（k）！。k↓ -∞ 情况类似。图4显示了当c（k）时YBS（k，c（k））的行为↓ 0作为k↑ ∞, 与命题4.9的一致上下界和定理4.8的渐近公式进行了比较。我们根据方差伽马模型选择了函数c（·）。也就是说，我们定义了一个时间范围T>0，并且letc（k）=E[（x- ek）+]其中x=eσW（GT）+ΘGT+m，σ和Θ是实常数，过程W是服从于伽马过程G的布朗运动，伽马过程G是一个独立的L′evy过程，具有跳跃测度u（dx）=νxe-对于某些常数ν>0，x/νdx。选择常数m，使e[X]=1。图4。YBS（·，c（·））as c（k）的界和渐近性↓ 0作为k↑ ∞.众所周知，GT的伽马分布具有均值T和方差νT。

通过对正态分布和伽马分布的矩母函数进行常规计算，我们发现对数X的矩母函数M为beM（r）=ermT（1）- ν（Θr+σr/2））-T/ν。因此，我们必须设置m=νlog（1- ν(Θ + σ/2)).注意，我们必须假设参数为Θ+σ/2<1/ν，以确保m为实。回想一下，随机变量X的解释是，某项资产的time-T价格与初始time-T远期价格之比X=ST/F0。预期值是在固定的时间T向前测量下计算的。因此，c（k）模型具有对数货币性k和到期日T的看涨期权的初始标准化价格。我们使用参数σ=0.1213，ν=0.1686和Θ=-根据Madan、Carr和Chang[20]的校准建议，0.1436，并设置T=5。和之前一样，我们绘制了四个函数：（1）Yupper（k）=Φ-1（2c（k））- Φ-1（e）-kc（k））是命题4.9的上界；（2） Y*（k） =YBS（k，c（k））是我们兴趣的真正函数；（3） Ylower（k）=Φ-1（c（k））+p[Φ-1（c（k））]+2k是命题4.9的下界；（4） Yasym（k）=p-2日志（e）-kc（k））-P-2 log c（k）是定理4的渐近形状。8.一如既往，请注意Yupper≥ Y*≥ 正如预测的那样。最后，请注意Yasym≤ 下面就是这个例子。值得注意的是，对于Y图最右边的点*金钱K/F0，T≈ 10和标准化买入价格C0，T，K/（F0，TB0，T）≈ 10-15超出了典型流动性市场价格的范围。De Marco，Hillairet&Jacquier最近的论文[9]研究了类似的渐近区域，即k↓ -∞ 定理4.8的情况，除了现在的假设是-kp（k）→ u>0。有关更多信息，请参见Gulisashvili[15]的论文。其动机是研究在标的股票价格可能达到零的情况下隐含波动率微笑的左翼行为。

接下来的扩张中的前两个任期已经被知道了几年；例如参见[27]。最近，Jacquier&Keller Ressel[16]将相应的（Viaposition 2.1）右翼公式解释为具有价格泡沫的市场模型。我们将在下面对这种解释进行评论。定理4.11（De Marco、Hillairet和Jacquier）。假设e-kp（k）→ u as k↓ -∞ 其中0<u<1。然后让c（k）=p（k）+1- ekwe haveYBS（k，c（k））=√-2k+Φ-1（u）+O√-k+ε（k）作为k↓ -∞, 式中ε（k）=e-kp（k）- u、 （贾奎尔和凯勒·雷塞尔）。此外，假设c（k）→ u as k↑ +∞ 其中0<u<1。然后是ybs（k，c（k））=√2k+Φ-1（u）+O√k+ε（k）式中ε（k）=c（k）- 我们对定理4.11的证明重用了命题4.9的统一下界。然而，在这种情况下需要另一个上限：命题4.12。修理k∈ R和（1）- （埃克）+≤ c<1。如果k≥ 0，我们有b（k，c）≤ Φ-1（c+ek）(-√2k）+√如果k<0，我们有ybs（k，c）≤ Φ-1（e）-kp+e-kΦ(-√-2k）+√-2kP=c+ek- 1.证据。在定理3.1的陈述中，设d=-√2k如果k≥ 0，或者让d=√-2k ifk<0。定理4.11的证明。仅证明k<0的情况是有效的。回想一下正常Mills ratioexΦ上的standardbound(-√2x）≤√4πx→ 0作为x↑ ∞.因此，通过命题4.12，我们得到了Ybs（k，c）-√-2k≤ Φ-1（u+ε（k）+(-4πk）-1/2)= Φ-1（u）+O（ε（k）+(-（k）-1/2).同样地，根据命题4.8，我们有Ybs（k，c（k））-√-2k≥ Φ-1（u+ε（k））+p[Φ-1（u+ε（k））]- 2k-√-2k=Φ-1（u）+O（ε（k）+(-（k）-1/2）完成证明。图5显示了当e-kp（k）→ u>0为k↓ -∞, 其中p（k）-c（k）=ek-1.与命题4.12的一致上界、命题4.9的下界和定理4.11中的渐近公式进行了比较。我们根据Black-Scholes模型选择了函数C（·），并跳转到默认值。

也就是说，我们定义了一个大于0的水平线，letc（k）=E[（x- ek）+]式中x=1{T<τ}eσWT+（λ-σ/2）和σ和λ是正常数，过程W是布朗运动，随机变量τ与W无关，并随速率λ呈指数分布，因此e[X]=1。请注意-kp（k）=E[（1）- E-kX）+]→ P（X=0）=P（τ）≤ T）=1- E-λT。另一方面，计算ec（k）=CBS（k）很简单- λT，σ√T）。我们使用参数σ=0.60和λ=0.05，时间范围T=4。和之前一样，我们绘制了四个函数：（1）Yupper（k）=Φ-1[e]-kp（k）+e-kΦ(-√-2k）]+√-2k命题4的上界。12;（2） Y*（k） =YBS（k，c（k））是我们兴趣的真正函数；（3） Ylower（k）=Φ-1（e）-kp（k））+pΦ-1（e）-金伯利进程（k））- 2k是命题4的下限。9;（4） 亚西姆（c）=√-2k+Φ-1（u）是定理4.11中的渐近形状。一如既往，请注意Yupper≥ Y*≥ Yloweras预测，Yuppery是一个出人意料的好近似值*, 那Yasym≤ 下面就是这个例子。对于图的左侧点，货币性K/F0，T≈ 0.04在一定程度上超出了典型流动性市场价格的范围。备注4.13。要计算给定模型的隐含波动率，通常需要三个要素：债券价格B0，T，远期价格F0，和买入价格C0，T，K。考虑利率为零且标的股票不支付股息的情况。特别是，对于这个讨论B0，T=1。在离散时间的情况下，人们通常会对股票价格（St）t进行建模≥0作为鞅，因此不存在套利。然后计算买入价asC0，T，K=E[（ST- K） +]，证明上述价格与一般无套利一致，并且在完整市场的情况下，唯一风险中性指标下的预期支出如图5所示。

YBS（·，c（·））as e的界和渐近性-kp（k）↓ u>0为k↓ -∞.是期权的复制成本，因此是唯一的无套利价格。类似地，对于远期价格，我们有以下公式f0，T=E[ST]=S。在连续时间设置中，由于双策略的存在，情况更加微妙。如果假设NFLVR是无套利的概念，那么根据Delbaen&Schachermayer的资产定价基本定理[10]，资产价格是sigma鞅，但不一定是真鞅。特别是，给出了底层流程（St）的动态模型≥0，这种无套利条件本身并不能唯一地指定看涨和远期价格，即使在一个完整的市场中也是如此。例如，关于这一问题的讨论见联阵的文件[24]。当市场完成时，候选买入价格为最低复制成本CREPL=E[（ST- K） +]。另一种合理的看涨期权定价方法是假设看跌期权的价格是其最小复制成本，看涨期权的定价是看跌期权平价：Cparity=S- K+E[（K- ST）+]=S- E[K]∧ 类似地，远期价格可以通过静态复制Fstatic=Sor或动态复制Fdyn=E[ST]给出。当然，如果（St）t≥0是一个真鞅，对应的候选价格一致；然而，最近人们对模型产生了兴趣，例如，过程（St）t≥0是非负严格局部鞅，因此是严格上鞅。（这种价格过程通常被描述为泡沫；例如，见考克斯和霍布森[8]的论文。）这里引用的Jacquier&Keller Ressel的结果作为定理4.11的后半部分，对应于选择C0，T，K=cparity和F0，T=fstatics，从而隐含波动率是σ隐含的=√TY（原木（K/S），1- E[K]∧ ST]/S）。我们注意到[26]中也采用了定义隐含波动率的惯例。

另一方面，请注意，在引言的等式（2）中使用了约定C0，T，K=Crepland F0，T=Fdyn。在这一节中，我们用一些关于界和渐近公式的评论作为结束。数值结果表明，至少在某些情况下，与相应的最低阶渐近公式相比，上下限中的一个更接近隐含的总标准差。有人可能会说，在交感级数中有更多的项，渐近性可以获得更好的精度。虽然这样的目标确实是合理的，但有几个原因说明它离题了。首先，这里给出的数值结果只应被视为概念证明，而不是最先进的近似值之间的正面竞争。然而，值得注意的是，给定的界和渐近公式都只是近似值，因此有一个误差项。但与渐近公式的误差项不同，我们的界的误差项有一个已知的符号。第二，给定一个界，第3节的定理给出了一个系统的方法来确定一个更好的界。事实上，k>0时的fix（k，c），让y*= YBS（k，c）。假设它知道那件事*< 这里有一些给定的近似值。定义F：（ymin，∞) → (0, ∞) byF（y）=H(-k/y+y/2；k、 c）式中，Ymin=Φ-1（c）+p[Φ-1（c）]+2K以及第3节等式（3）定义的函数。Lettingy=F（y）我们通过定理3.1得到*< y、 然而，事实并非如此。请注意，地图F有一个唯一的固定点y*. 辛塞利米↓yminF（y）=∞我们通过F的连续性得出结论：对于ymin<y<y，F（y）>y*, 更重要的是，F（y）<y代表y>y*. 尤其是，y=F（y）<y。也就是说，y是y的更好近似值*误差项的符号与原始近似相同。当然，这个过程可以迭代。