Black-Scholes隐含波动率的一致界

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Uniform bounds for Black--Scholes implied volatility》
---
作者：
Michael R. Tehranchi
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  In this note, Black--Scholes implied volatility is expressed in terms of various optimisation problems. From these representations, upper and lower bounds are derived which hold uniformly across moneyness and call price. Various symmetries of the Black--Scholes formula are exploited to derive new bounds from old. These bounds are used to reprove asymptotic formulae for implied volatility at extreme strikes and/or maturities.
---
中文摘要：
在本文中，Black-Scholes隐含波动率用各种优化问题表示。从这些表述中，得到了一致适用于货币性和买入价格的上界和下界。利用Black-Scholes公式的各种对称性，从旧公式推导出新的边界。这些界限用于证明极端冲击和/或到期时隐含波动率的渐近公式。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Uniform_bounds_for_Black--Scholes_implied_volatility.pdf (582.89 KB)

2022-5-10 12:53:15 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

BLACK-SCHOLES的统一界限意味着挥发性迈克尔·R·德兰丘大学剑桥分校摘要。在本文中，Black–Scholes隐含波动率表示为各种优化问题。根据这些表示，推导出了一致适用于货币性和买入价格的上界和下界。利用Black-Scholes公式的各种对称性，从旧公式推导出新的边界。这些界限用于证明极端冲击和/或到期时隐含波动率的渐近公式。1.简介我们定义了Black–Scholes看涨期权价格函数CBS:R×[0，∞) → [0,1]通过公式cbs（k，y）=Z∞-∞（哎呀-y/2- ek）+φ（z）dz=Φ-ky+y- ekΦ-基尼-Y如果y>0（1- ek）+如果y=0，式中φ（z）=√2πe-z/2是标准正常密度，Φ（x）=Rx-∞φ（z）dz是它的分布函数。众所周知，CBS函数的财务意义在于，在Black–Scholes模型[4]的背景下，在初始价格为E的股票上，具有行使K和到期日T的欧式看涨期权的最小复制成本由应用成本=Se给出-δTCBS日志柯-rTSe-δT, σ√T其中δ是股息率，r是利率，σ是股票的波动率。因此，在CBS（k，y）的定义中，第一个参数k起着期权对数货币的作用，第二个参数y是最终对数股票价格的总标准差。在Black–Scholes复制成本公式中出现的六个参数中，有一个在市场上很容易观察到。实际上，履约K和到期日T由期权合同规定，初始股价为报价。利率是零息债券的收益率B0，T到期日T和单位面值，可以从初始债券价格B0，T=e计算得出-rT。

类似地，股息率可以根据股票的初始时间T远期价格F0，T=Se（r-δ） T.根据Latan’e&Rendleman[17]在1976年提出的建议，假设看涨期权的报价为C0，T，K，则剩余参数波动率σ也可以从市场中推断出来。日期：2018年10月2日。关键词和短语：隐含波动率，看涨期权对称性，渐近公式。2010年数学学科分类：91G20、91B25、41A60。事实上，请注意，对于固定k，映射CBS（k，·）严格递增且连续，因此我们可以定义逆函数ybs（k，·）：[（1- ek）+，1）→ [0, ∞)byy=YBS（k，c）<=> CBS（k，y）=c。然后将看涨期权的隐含波动率定义为σ隐含=√土鳖日志柯-rTSe-δT,C0，T，KSe-δT.由于其财务意义，功能一直是人们感兴趣的话题。例如，在几篇论文[5,7,19,22]中可以找到Yb的近似值。不幸的是，似乎只有一种情况下，函数yb可以用初等函数来表达：当k=0时，我们有cbs（0，y）=2ΦY- 1= 1 - 2 Φ-YhenceYBS（0，c）=2Φ-1.1+c= -2 Φ-1.1.- C.本文的主要贡献是给出了（k，c）的初等函数的数量YBS（k，c）的界。例如，在下面的命题4.3中，我们将看到（1）YBS（k，c）≤ -2Φ-1.1.- c1+ek对于每一个（k，c），使得（1- （埃克）+≤ c<1。我们在这里列出了这种界限的两种可能的应用。当k6=0时，可以对函数进行数值计算。一种简单的方法是使用二分法来查找地图y 7的根→ 哥伦比亚广播公司（k，y）-c、 也就是说，对于固定的（k，c），选择两个点`<u，使得CBS（k，`<c）和CBS（k，u）>c。根据中值定理，我们知道根在区间（`，u）中。

然后让m=（`+u）作为中点。如果CBS（k，m）>c，我们知道根YBS（k，c）在区间（`，m）中，在这种情况下，我们将m重新标记为u。同样地，如果CBS（k，m）<c，我们将m重新标记为`。这个过程一直重复到CBS（k，m）- c |<ε，其中ε>0是给定的公差水平，因此我们宣布B（k，c）≈ m、 （我们在这里注意到，一个更复杂的想法是应用Manaster&Koehler[21]在1982年提出的牛顿-拉斐逊方法。我们将回到第3节的想法。）为了实现二分法，我们需要一个下界和上界来初始化算法。然而，除了明显的下界`=0之外，似乎没有许多已知的关于量YBS（k，c）的明确上界和下界，它们一致地保持在（k，c）中。这个注释提供了这样的界限，事实上，等式（1）就是一个例子。现在我们考虑一下边界的另一个应用。考虑一个有azero息票债券的市场模型，到期日为T，其时间-T价格为Bt，而股票的时间-T价格为St。假设一个具有行使K和到期日T的看涨期权的初始价格为给定的Nbyc0，T，K=B0，TET[（St- K） +]在固定的T-远期指标下的预期。

此外，假设股票的初始时间T远期价格由f0给出，T=ET[ST]。（如果股票不支付股息，静态套利考虑将意味着F0，T=S/B0，T。我们这里不需要这个公式，因此在本次讨论中允许股票支付股息；但是，我们将在下面的备注4.13中回到这一点。）现在，等式（1）暗示隐含波动率以σ隐含波动率为界=√土鳖日志KF0，T,C0，T，KF0，TB0，T(2)≤ -√TΦ-1.ET[ST]∧ K] ET[ST]+K.请注意，上述界限由两部分组成：数量C0、T、K和F0、T的依赖于模型的公式，以及函数YBS的统一且独立于模型的界限。最近人们对隐含波动率渐近性有了很大的兴趣。例如，参见文献[2,3,6,9,12,13,14,15,18,23,26]，了解依赖于最小模型数据的渐近公式，如基础股票收益的分布函数或矩母函数。与上述讨论平行，这种渐近公式可以被视为两个极限的组成部分：第一，模型在极端罢工和/或到期时预测的调用曲面的渐近形状；第二，模型无关函数YBS的渐近性。本文给出的YBST上的一致界被用来提供这些第二个独立于模型的渐近公式的简短的新证明。Andersen&Lipton[1]在他们的长篇调查文章中警告称，近年来出现的许多渐进式波动率公式可能不适用于实际，因为典型的市场参数通常不在任何拟议渐进机制的有效范围内。我们对函数的新边界是一致的，因此避开了对安徒生和利普顿的批评。本说明的其余部分组织如下。

在第二节中，我们讨论了Black-Scholes定价函数CBS的各种对称性。这些对称性将在音符的其余部分重复使用。在第3节中，Black–Scholes隐含的总标准差函数YBSis表示为几个优化问题的值函数。这些结果构成了本注释的主要贡献，因为它们允许Yb通过选择合适的控件插入各自的目标函数，从上到下任意有界。在第4节中，这些界限被用来解释一些已知的符号公式。作为副产品，我们推导出的公式与已知公式具有相同的渐近行为，但保证从上面或下面约束YBSeither。2.卖出和卖出远对称性Black–Scholes买入价格函数包含一定的对称性。为了简化边界的表示，我们从探索其中两种对称开始。治疗这两个病例≥ 0和k<0尽可能有效地，我们从观察开始。假设c是具有对数货币性k的看涨期权的标准化价格。然后根据通常的看跌期权平价公式，具有相同对数货币性的看跌期权的相应标准化价格isp=c+ek- 1.如果c=CBS（k，y）对于某些y>0，那么我们有p=CBS（k，y）+ek- 1=ekΦky+y- Φ基尼-Y= ekCBS(-k、 y）。上述计算是著名的Black–Scholes put call对称公式。我们刚刚证明了以下结果：命题2.1。对于任何k∈ R和c∈ [(1 - 我们有YBS（k，c）=YBS(-k、 e-kc+1-E-k） 。命题2.1的一个结论是，仅在k的情况下研究函数YBS（k，·）是有效的≥ 实际上，为了研究k<0的情况，只需应用上述对称公式即可。现在我们来看另一个不太出名的布莱克-斯科尔斯公式的对称性。

Whileput call symmety涉及将原木货币k替换为-k、 这里讨论的对称性包括用2 | k |/y替换总标准偏差y。通过put call对称，我们可以将我们的讨论限定为k>0的情况。提议2.2。对于所有k>0和0<c<1，设^c（k，c）=1-Zc2k[YBS（k，u）]du。然后^C（k，C）>0，我们有ybs（k，C）=2kYBS（k，^C（k，C））。图1显示了C7的图形→k=0.2时的^C（k，C）。证据我们必须证明^C（k，C）=CBSk、 2kYBS（k，c）,图1。函数^C（k，·）。或者等价地^C（k，CBS（k，y））=CBSk、 2ky,通过区分y的两边，并使用Black-Scholes-vega公式，可以验证上述身份：对于k>0，我们有cbs（k，y）=Zyφ(-k/x+x/2）dx。备注2.3。固定k>0和y>0，让c=CBS（k，y）。注意c≈ 当y为verysmall时为0，事实上，验证log c=-k2y+O（对数y）为y↓ 0.另一方面，我们有c≈ 当y非常大时为1，并且- c） =-y+O（对数y）等于y↑ ∞.现在，让^c=CBS（k，2k/y），通过命题2.2，我们得到了^c=^c（k，c）。根据以上计算，我们得到了log（1）- ^c）=-k2y+O（对数y）为y↓ 0，和log^c=-y+O（对数y）等于y↑ ∞.在Black-Scholes模型中，量y的解释为总标准偏差y=σ√其中σ是波动率，T是期权的到期日。命题2.2则是短期和长期期权价格之间的对称关系。我们用一些简单的观察结果来结束这一节，我们将在后面使用这些观察结果。提议2.4。对于所有k>0，函数^C（k，·）是凸的，并且满足所有0<C<1的函数方程^C（k，^C（k，C））=cholds。证据很容易看出YBS（k，·）在严格地增加。

^C（k，·）是凸的，因为它的梯度-2k/YBS（k，·）在增加。函数方程由notingYBS（k，c）=2kYBS（k，^c（k，c））=YBS（k，^c（k，c）），并利用YBS（k，·）严格递增的事实证明。提议2.5。当k>0时，letJ（k，c）=ZcYBS（k，u）du。然后J（k，c）+J（k，^c）=J（k，1），其中^c=^c（k，c）。证据通过设置c=CBS（k，y）和^c=CBS（k，2k/y），可以通过计算关于左手边y的导数来证明恒等式，并注意它是不可逆的。备注2.6。通过改变变量，我们得到了恒等式j（k，1）=Z∞φ(-k/y+y/2）ydy=Z∞-∞φ（x）√x+2kdx=1K/2√2πK（K/2），其中Kis是一个修正的贝塞尔函数。参见[11]。各种优化问题本节包含本说明的主要结果之一，即各种优化问题的函数Yb的公式。第一个结果是YBS（k，c）可以通过解决最小化问题来计算。特别是，我们可以使用这个公式，通过在可行控制条件下评估目标函数来确定上界。定理3.1。对于所有k∈ R和（1）- （埃克）+≤ c<1我们有b（k，c）=infd∈R[d]- Φ-1.E-k（Φ（d）- c）]= infd∈R[Φ-1.c+ekΦ（d）- d] 此外，如果c>（1- ek）+，则这两个函数在atd中实现*= -ky+y，d*= -基尼-y=YBS（k，c）。备注3.2。我们使用的是-1（u）=+∞ 为了你≥ 1和Φ-1（u）=-∞为了你≤ 0.以下证明出自Pieter Jan De Smet[25]，简化了本文早期版本中的证明。其基本思想是，不平等（X- （K）+≥ （十）- K） 1[H，∞)（十） 适用于所有X，K，H≥ 当且仅当H=K时，等于0。修理k∈ R和（1）-（埃克）+≤ c<1，让y≥ 0使得CBS（k，y）=c。

请注意，对于任何d∈ R我们有c=Z∞-∞（哎呀-y/2- ek）+φ（z）dz≥Z∞-d（eyz）-y/2- ek）+φ（z）dz≥Z∞-d（eyz）-y/2- ek）φ（z）dz=Φ（d+y）- ekΦ（d）。只有当-D≤ k/y+y/2，只有当-D≥ k/y+y/2。重新安排然后屈服≤ Φ-1（c+ekΦ（d））- d、 设d=Φ-1.E-k（Φ（d）- c）在上述不等式中得到第一个表达式。设（3）H（d；k，c）=d- Φ-1.E-k（Φ（d）- c）和（4）H（d；k，c）=Φ-1.c+ekΦ（d）- d、 注意H（d；k，c）=H(-D-k、 e-kc+1- E-k） 与put call对称一致。我们用这个符号来计算最大化问题中的YBS（k，c）。原则上，可以使用这种表示法来确定下限。定理3.3。设C是[0,1]上连续函数的空间。对于k>0和0<c<1，我们有ybs（k，c）=supD∈C、 d∈R2kHiDk、 一,-Rc2kHj（D（u）；k、 u）杜不管怎样，j∈ {1, 2}.证据根据定理3.1，我们有YBS（k，u）≤ Hj（d；k，u）表示所有的d，由于YBS（k，·）在增加，我们表示所有的d∈ C thatYBS（k，^C（k，C））=YBSk、 一,-Zc2kYBS（k，u）du≤ YBSk、 一,-Zc2kHj（D（u）；k、 u）杜≤ 你好Dk、 一,-Zc2kHj（D（u）；k、 u）杜.结论来自命题2.2。根据命题2.2，我们现在给出^C在一个极小问题上的表示。由于put-call对称性，我们将注意力限制在k>0，而没有实际损失。提议3.4。对于k>0和0<c<1，我们有^c（k，c）=supy≥0哥伦比亚广播公司k、 2ky-2ky（c）- 哥伦比亚广播公司（k，y））证据回想一下，根据命题2.4，^C（k，·）是凸的。因此^C（k，C）-^C（k，C）*) ≥ -2kYBS（k，c）*)（c）- C*).对于任何c，c*∈ (0, 1). 设y=YBS（k，c）*) 我们有^C（k，C）≥ 哥伦比亚广播公司k、 2ky-2ky（c）- CBS（k，y））如所述。

当然，在优化问题方面，YBSin还有其他表示形式。例如，我们有ybs（k，c）=inf{y≥ 0:CBS（k，y）≥ c} =sup{y≥ 0:CBS（k，y）≤ c} 。事实上，这个简单的观察结果是导言中讨论的二分法的基础。我们以一个稍微有趣的表述来结束本节。至少在原则上，它可以用来确定YBS（k，c）的上下限。然而，在实践中，如何选择候选控件尚不清楚，因此我们不会在续集中探讨这个想法。这一结果源于Manaster&Koehler[21]，并受牛顿-拉斐逊方法的启发，该方法用于计算隐含波动率。提案3.5（Manaster&Koehler）。修理k≥ 0和0≤ c<1。如果c≤ 哥伦比亚广播公司，√2k）=1/2- ekΦ(-√2k）thenYBS（k，c）=inf0≤Y≤√2ky+c- CBS（k，y）φ(-k/y+y/2）.否则，如果c≥ 1/2 - ekΦ(-√2k）thenYBS（k，c）=supy≥√2ky+c- CBS（k，y）φ(-k/y+y/2）.证据CBS（k，·）对[0，√2k]是凸的，这可以通过微分来证实。因此，根据Black-Scholes-vega公式，我们得到了CBS（k，y）*) - 哥伦比亚广播公司（k，y）≥ φ(-k/y+k/y）（y）*- y） 对于任何一个y，y*∈ [0,√2k]。修缮*让c=CBS（k，y*) 我们有普罗旺斯*≤ y+c- CBS（k，y）φ(-k/y+y/2）根据需要。同样，由于CBS（k，·）对[√2k，∞) 第二个结论如下。4.一致界和渐近性在本节中，我们将提供函数B的一些渐近公式的快速证明。这些公式已经出现在文献中，但这里重要的新奇之处在于，我们将推导出函数Ybsw的界，它保持一致，而不仅仅是渐近的。为了在大多数情况下获得上界，我们只需选择一个方便的数据来插入定理3.1。