竞争市场中多经销商的最优定价模型

（12） 屈服θt+σθss-σγθs+最大δbλb（δb）γ（1）- eγ（s）-δb-rb）+ 最大δaλa（δa）γ（1）- E-γ（s+δa）-（拉）= 0θ（s，q，T）=qs。（17） 利用一阶最优性条件，可以将问题转化为以下问题：θt+σθss-σγθs+Ak+γE-kδa+e-kδb= 0θ（s，q，T）=qs。（18） 在[1]中，作者考虑了θ关于q的渐近展开，并且假设高阶项足够小，可以忽略不计。通过考虑q和q的系数，得到了以下结果：r（s，t）=s- qγσ（T）- t） （19）与等式（11）匹配，然后通过δb+δa=γσ（t）给出买卖价差- t） +γln1+γk. （20） 3.限价订单定价在本节中，我们考虑竞争市场中多个经销商的情况。我们主要讨论经销商在市场上的交易情况。在[1]中，对于市场上只有一个交易商，将到达该交易商的买卖订单的到达率遵循泊松过程，等式（13）中的共同指数到达率取决于交易商的报价。在多个经销商竞争市场的情况下，我们假设市场订单的总体频率将取决于市场中所有经销商的报价。假设市场上有N个经销商，并且经销商对市场订单的到达有影响。在某些假设下，我们将证明市场秩序遵循泊松过程，具有共同的指数到达率λa（δ，···，δN）=λb（δ，··，δN）=Ae-k（βδ+·βNδN）。这里β反映了经销商i对市场订单总体频率的影响（例如竞争力）。在许多研究[1,2,7,9,19]中，已经表明，当执行大型市场订单时，距离δai，δbi（c.f.Eq.（7））和限制订单簿的当前形状决定了执行的优先级。

例如，当购买Q股票的大型市场订单发出时，最低要价的Q限价订单将自动执行。让PQ作为该交易中执行的最高限额订单的价格，我们定义p=pQ- s将是规模Q贸易的临时市场影响。如果代理人的限价指令在该市场指令的范围内，即δai<p、 他的限价令将被执行。为了量化交易商的交易强度，除了市场订单的总体频率之外，我们还需要了解市场订单规模的分布以及大型市场订单的暂时影响。我们有以下建议。命题1假设交易商对市场订单总体频率的影响，即λa（δa，…，δaN）和λb（δb，…，δbN）是“可分离的”，并且具有“相同的函数形式”，即（我们以λaas为例），采取以下形式：λa（δa，··，δaN）=f（δa）f（δa）·fN（δaN）。fi（δai）=f（δai）βi。这里βi描述了交易商i对市场订单总体频率的影响。那么λa（δa，…，δaN）=Ae-k（βδa+·βNδaN）。此外，如果市场订单数量Q的分布服从“幂律”[7,9,19]，即fQ（x）∝ 十、-1.-α和市场影响遵循“对数定律”[2]，即：。，P∝ ln（Q），那么我们有λai=Ae-k（βδa+·βNδaN）e-(1-N） βiδai。这个命题的证明可以在附录A中找到。4多交易商问题在本节中，我们将讨论多个交易商在竞争市场中买卖股票的情况。特别是，我们考虑两种情况：不活跃的经销商和活跃的经销商。根本问题是一个状态反馈控制问题。本节讨论了非活跃经销商的“冻结”策略和活跃经销商的最优报价策略。

对于活跃的经销商，每个经销商都遵循一个多阶段策略，该策略最大化了其目标函数，不仅考虑了自己未来可能采取的行动，还考虑了竞争对手的行动。这比单一经销商案例要复杂得多。讨论了动态经销商的离散模型和连续模型。此外，还比较了活跃经销商和非活跃经销商的绩效。我们的目标是研究竞争市场中不同经销商的交易策略，每个经销商都有自己的库存储备价值。卖方希望在市场上买卖股票，并且假设m id价格由以下随机微分方程（c.f.等式（1））控制：dSu=σDWW，初始值=s。这里{Wu}是标准布朗运动，σ是正常数。每个交易商i（i=1，2，…，N）引用其b id价格pbi（u）和要价pai（u），并承诺在时间u分别在这些价格买入和卖出一股股票。因此，每当执行买入或卖出指令时，交易商i的现金财富Xi（u）就会跃升。dXi（u）=pai（u）dNai（u）- pbi（u）dNbi（u）（21），其中Nbi（u）是买入的股票数量，Nai（u）是Dealeri截至u时卖出的股票数量。它们应该分别遵循泊松过程，强度为λbian和λai。鉴于命题1中的结果，泊松强度的形式如下：λai=Ae-k（βδa+·βNδaN）e-βi（1）-N） δaiλbi=Ae-k（βδb+·βNδbN）e-βi（1）-N） δbi。（22）股票数量由DQI（u）=dNbi（u）管理- 德奈（u）。

（23）设δai（u）=pai（u）- Suandδbi（u）=Su- 然后我们有（Xi（u）+qi（u）Su）=dXi（u）+Sudqi（u）+qi（u）dSu=pai（u）dNai（u）- pbi（u）dNbi（u）+Su（dNbi（u）- dNai（u））+qi（u）σdWu=δai（u）dNai（u）+δbi（u）dNbi（u）+qi（u）σdWu。（25）4.1非活跃交易者我们首先考虑一个非活跃交易者，即交易者i，他在m市场上没有任何限价订单，只是在终端时间T之前持有一个合格库存s，这是反馈控制问题的一个特例，其中（δai，δbi）=(∞, ∞). 在[1]之后，不需要区分thatui（s，xi，qi，t）=-经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）- （t）（26）这与在垄断市场中计算的价值函数相同，直接表明其对市场参数的依赖性。预订的出价和要价由相关部门提供六、xi- rbi（s，qi，t），qi+1，t）=vi（s，xi，qi，t）vi（s，xi+rai（s，qi，t），qi- 1，t）=vi（s，xi，qi，t）（27），这意味着代理人在保持不活跃和以保留出价rbi购买一只股票（或以保留出价rai出售一只股票）之间没有区别。这是直截了当的计算rbi（s，qi，t）=s- （1+2qi）γiσ（T-t） rai（s，qi，t）=s+（1）- 2qi）γiσ（T-t） （28）预订（或差异）价格由i（s，qi，t）=rai（s，qi，t）+rbi（s，qi，t）=s给出- qiγiσ（T）- t） 。（29）4.2积极的经销商一般来说，在竞争性市场中确定经销商的最佳报价策略可能并不容易。在市场上，每个经销商的行为不仅取决于自己，还取决于竞争对手的特点。它们都需要解决一个相对复杂的动态规划（DP）问题，而不是单一经销商案例中遇到的问题。在本节中，我们使用线性近似方法和DP原理制定了一个可行的质量控制策略。

我们首先推导出一个离散模型，然后给出一个递推公式，用于报价和询价。然后我们将离散模型扩展为连续模型。通过直接使用线性近似和theDP原理来解决最优控制问题，可以在连续竞争模型中获得经销商的最优报价策略。4.2.1单周期模型假设市场上有N家经销商，即经销商1、经销商2、。，经销商编号。在一段时间的情况下，我们假设交易商只能在最后一个交易日进行交易-1，tn）并在时间tn后立即交易h ap笔-1.交易商在交易时段开始时选择其出价和询问报价，tn-1.通过对照（δi，bn）确定-1，δi，an-1） Ni=1。这些报价影响时间间隔内市场订单的到达率（tn-1，tn）。根据公式（22），到达率采用以下形式：λi，an-1=Ae-k（βδ1，an）-1+··+βNδN，an-1） e-(1-N） βiδi，an-1λi，bn-1=Ae-k（βδ1，bn）-1+··+βNδN，bn-1） e-(1-N） βiδi，bn-1.（30）对于这个竞争激烈的市场中的任何经销商，目标是确定最佳出价和询价，以最大化其自身的预期效用函数：Vi（sn）-1.xin-1，γ，γ，γN，qn-1，···，qNn-1，田纳西州-1） =maxδi，an-1，δi，bn-1.E-经验(-γiXiT+qiTST)|Fn-1.（31）这是一个随机反馈控制问题。对于任何交易商来说，他只能确定自己的最优出价并询问报价δi，bn-1和δi，an-1.然而，随机反馈问题与最优报价和询问报价δ1，bn有关-1，··，δN，bn-1和δ1-1，··，δN，an-所有经销商中的1位。这也是博弈竞争的问题，尤其是同时博弈问题。

假设在这个博弈问题中所有的交易者都达到了纳什均衡，那么下面的命题的结果如下。命题2：单周期情况下的最优报价策略为δi，an-1=γiln1+γi（k+1）-N） 我+γiσ（T）- tn-1)(-2秦-1+1）δi，bn-1=γiln1+γi（k+1）-N） 我+γiσ（T）- tn-1） （2）秦-1+1）（32）和经销商i的效用由vi（sn）给出-1.xin-1，γ，γ，γN，qn-1，···，qNn-1，田纳西州-1)= -经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1） （T）- tn-1)h1-γitn-1（k+1）-N） βi+γiλi，an-1+λi，bn-1.我（33）在哪里tn-1=tn- tn-1.证据见附录B。我们注意到（i）仅在一个周期的情况下，经销商的报价和要价独立于h is竞争对手。然而，即使在一个周期的情况下，每个经销商的价值函数也不是独立于库存状况和其他参数的，例如竞争对手经销商的风险规避。（ii）交易商i的买卖价差由δi，bn给出-1+δi，an-1=γiln1+γi（k+1）-N） βi！+γiσ（T）- tn-1） （34）与存货无关。在对到达项进行一阶近似后，我们得到λi-1+λi，bn-1=A2.- （k+1）-N） βi（δi，an-1+δi，bn-1) - kXj6=iβj（δj，an-1+δj，bn-1) + ···+（35）线性项不取决于库存变量。因此，如果我们将公式（35）替换为公式（33），我们会得出结论，即经销商i的效用仅取决于他自己的库存-1.

我们将这种近似定义为FI（sn-1.xin-1、秦-1，γ，γ，γN，tn-1） 等于-经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1） （T）- tn-1)欣-1（36）其中-1= 1 -γitn-1（k+1）-N） βi+γin2- （k+1）-N） βihγiln1+γi（k+1-N） βi！+γiσ（T）- tn-1） 我- kXj6=iβjhγiln1+γj（k+1-N） βj！+γjσ（T）- tn-1） 伊奥。（37）（iii）Setfi（sn）-1.xin-1、秦-1，γ，γ，γN，tn-1) = -经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)杜松子酒-1（秦）-1，田纳西州-1） wheregin-1（秦）-1，田纳西州-1） =expγiσ（秦）-1） （T）- tn-1)欣-1独立于股价sn-1和现金财富-1.（iv）我方确定市场报价和询价，单位：十亿美元-1=最小{δi，bn-1，i=1，2，N} 和δan-1=最小{δi，an-1，i=1，2，N} 以及市场买卖价差sn-1=δbn-1+δan-1这取决于经销商的库存。我们注意到，交易商i的买卖价差始终是正的，但市场买卖价差可能是负的。（v） 注意vi（sn-1.xin-1，γ，γ，γN，qn-1，···，qNn-1，田纳西州-1)= -经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1） （T）- tn-1)h1-γitn-1（k+1）-N） βi+γiλi，an-1+λi，bn-1.我>-经验-γi（xin）-1+秦-1sn-1)经验γiσ（秦）-1） （T）- tn-1)这意味着活跃的经销商总是比不活跃的经销商有优势。在下一节中，我们将使用这种线性近似技术来分析多周期情况下的早期市场动态。4.2.2两阶段模型假设经销商i只能在间隔（tn）内交易-2，田纳西州-1） 和（tn）-1，tn）。交易商在交易时间选择出价和询问报价-2和tn-1控制δi，bn-2，δi，an-2，δi，bn-1和δi，an-1.交易在时间之后立即发生-2和tn-1.

采用上述线性近似，可以建立以下命题。命题3在两阶段模型中，经销商的最优报价和询价如下所示：δi，bn-2=γiln1+γi（k+1）-N） 我+γiσ（T）- tn-2） （2）秦-2+1）δi，an-2=γiln1+γi（k+1）-N） 我+γiσ（T）- tn-2)(-2秦-2+1）（38）和经销商i的效用由VI给出锡-2.xin-2，γ，γ，γN，qn-2，··，qNn-2，田纳西州-2.= -经验(-γi（xin）-2+秦-2sn-2） ）经验γiσ（秦）-2） （T）- tn-2)h1-γitn-2（k+1）-N） βiλi，an-2+λi，bn-2.伊欣-1（39）在哪里tn-2=tn-1.- tn-2.证据见附录C。我们注意到（i）价差（与公式（34）相比）δi，bn-2+δi，an-2=γiln1+γi（k+1）-N） βi！+γiσ（T）- tn-2） 与库存无关。通过对阶数到达滤波器M进行一阶近似，我们得到了（与公式（35）相比）λi，bn-2+λi，an-2=A2.- （k+1）-N） βi（δi，an-2+δi，bn-2) - kXj6=iβj（δj，an-2+δj，bn-2) + ···+.（40）我们注意到线性项不依赖于库存。与单周期情况类似，替换λi，bn的线性近似-2+λi，an-2在公式（38）中，可以得到经销商i的效用fi（sn）的近似值-2、秦-2.xin-2，γ，γ，γN，tn-2） ，相当于- 经验(-γi（xin）-2+秦-2sn-2） ）经验γiσ（秦）-2） （T- tn-2)欣-2hin-这只取决于他自己的库存。（ii）Setfi（sn）-2.xin-2、秦-2，γ，γ，γN，tn-2) = -经验-γi（xin）-2+秦-2sn-2)杜松子酒-2（秦）-2，田纳西州-2） wheregin-2（秦）-2，田纳西州-2） =expγiσ（秦）-2） （T）- tn-2)欣-2hin-1独立于股价sn-2.现金财富-2.通过重复本分析的论点，我们可以得到多周期模型的以下结果。4.2.3多期模型假设[t，t]中最多发生N次交易。将时间段划分为n+1个小子间隔（t=t，t），··，（tn-1，tn），（tn，T）。

假设每次交易仅在这些子区间开始后发生，并且（tn，T）中没有交易发生。所有经销商在tl时间（l=0，1，…，n）选择他们的报价和询问报价-1） ，由控制δi，blandδi，al定义。采用经销商效用函数的近似值，并使用前向分析方法，很容易得到以下命题，我们跳过了证明。命题4在n期模型中，经销商的最优出价和要价由以下公式给出：δi，bl=γiln1+γi（k+1-N） 我+γiσ（T）- tl）（2qil+1）δi，al=γiln1+γi（k+1）-N） 我+γiσ（T）- （tl）(-2qil+1）（42）和经销商i的效用由VI给出sl，xil，γ，γN，ql，qNl，tn-2.= -经验(-γi（xil+qilsl））expγiσ（qil）（T）- （tl）h1-γitl（k+1）-N） βiλi，al+λi，bliQn-1m=l+1他（43）在哪里tl=tl+1- tl.4.2.4连续模型在前向模型的每个步骤中，我们采用效用函数中出现的到达滤波器的一阶近似值。然后我们发现，一个近似的经销商的效用函数只取决于他们自己的库存。然后我们考虑连续模型的情况。将近似效用定义为ui（s、xi、qi、t）。下列定理是应用动态规划（DP）原理得出的。定理1竞争条件下经销商市场的最优买入和卖出报价由下式给出：δi，bt=γiln1+γi（k+1-N） 我+γiσ（T）- t） （2qi+1）δi，at=γiln1+γi（k+1）-N） 我+γiσ（T）- （t）(-2qi+1）（44）和经销商在报价策略下的近似效用函数大于非活动情况下的近似效用函数；也就是说，ui（s，xi，qi，t）>-经验(-γi（xi+qis））expγ像质计σ（T）- （t）.（45）证明：我们注意到ui（s，xi，qi，t）=maxδai，δbiEt[-经验(-γi（XiT+qiTST））]当经销商遵循最优策略f或在时间段[t，t]内的每个点设置δbian和δaiat时得出。

为了简化我们的讨论，我们假设其他经销商在古诺竞争环境下是不平衡的[15]。古诺竞争模型是描述一个市场的经济环境，在这个市场上，企业根据产出量进行竞争，并相互依赖地做出决策。利用动态规划（DP）原理，在值函数ui的一定光滑性条件下，得到以下HJB方程。用户界面t+σ用户界面s+最大δbiλbi[ui（s，xi- s+δbi，qi+1，t）- ui（s，xi，qi，t）]+最大δaiλai[ui（s，xi+s+δai，qi- 1.t）- ui（s，xi，qi，t）]=0ui（s，xi，qi，t）=-经验(-γi（xi+qis））。（46）如[1]中所述，以下ansatz被认为是dui（s，xi，qi，t）=-经验(-γixi）exp(-γiθi（s，qi，t）），其中θi（s，qi，t）是库存变量qi中的一个近似二次多项式。HJB方程可以写成如下：θit+σθiss-σγi（θis）+maxδbiλbi（δb，··，δbN）γi1.- exp（γi（s）- δbi- 印度储备银行（rbi）+ 最大δaiλai（δa，··，δaN）γi1.- 经验(-γi（s+δai）- rai）= 0θi（s，qi，T）=qis。（47）根据式（47）中的一阶最优性条件，我们可以在所有经销商的平衡值满足以下条件的情况下，获得最佳距离δA和δis- rbi（s，qi，t）=δbi-γ-iln1.-γiλbiδbiλbi（δb，···，δbN）雷（南、齐、t）- s=δai-γiln1-γiλaiδaiλai（δa，···，δaN）！（48）在哪里rbi（s，qi，t）=θi（s，qi，t）- θi（s，qi）- 1，t）rai（s，qi，t）=θi（s，qi+1，t）- θi（s，qi，t）。（49）以上是经销商i给出的其他经销商报价值的最佳响应函数。在纳什均衡中，所有的经销商都会做出最好的反应。因此，我们可以同时求解上述方程，以获得最优反馈控制δa、··、δana和δb、··、δbN。我们称之为λai=Ae-k（βδa+βδa+·βNδaN）e-βi（1）-N） δai。我们就这样λaiδai=-k+1-Nβiλai（50）和类似，λbiδbi=-k+1-Nβiλbi。