竞争市场中多经销商的最优定价模型

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英文标题：
《On Optimal Pricing Model for Multiple Dealers in a Competitive Market》
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作者：
Wai-Ki Ching, Jia-Wen Gu, Qing-Qing Yang and Tak-Kuen Siu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, the optimal pricing strategy in Avellande-Stoikov\'s for a monopolistic dealer is extended to a general situation where multiple dealers are present in a competitive market. The dealers\' trading intensities, their optimal bid and ask prices and therefore their spreads are derived when the dealers are informed the severity of the competition. The effects of various parameters on the bid-ask quotes and profits of the dealers in a competitive market are also discussed. This study gives some insights on the average spread, profit of the dealers in a competitive trading environment.
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中文摘要：
本文将Avellande-Stoikov的垄断经销商最优定价策略推广到竞争市场中多个经销商的一般情况。当经销商被告知竞争的严重性时，他们的交易强度、他们的最优买入价和卖出价以及他们的价差就会被推导出来。本文还讨论了在竞争市场中，各种参数对经销商的买卖报价和利润的影响。这项研究提供了一些关于在竞争性交易环境中经销商的平均差价和利润的见解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> On_Optimal_Pricing_Model_for_Multiple_Dealers_in_a_Competitive_Market.pdf (291.33 KB)

2022-5-10 12:59:22 上传

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关键词：定价模型 经销商 Quantitative Monopolistic competitive

竞争市场中多经销商的最优定价模型*贾文谷+杨庆庆德权萧2015年12月31日摘要本文将Avellande Stoikov[1]中关于垄断经销商的最优定价策略推广到竞争市场中多个经销商被预先分配的一般情况。当经销商被告知竞争的严重性时，他们的交易强度、他们的最优买入价和卖出价以及他们的分布都会被推导出来。还讨论了各种参数对竞争市场中经销商的报价和利润的影响。这项研究提供了一些关于竞争性交易环境中经销商的平均差价和利润的见解。1简介在证券市场中，投资者的角色是立即做好准备，以规定的买入价和卖出价交易一定数量的证券。希望立即进行交易的投资者（imm ediacy的委托人）可以通过下达市场指令，以最佳可用价格进行交易：卖出时的买入价或买入时的卖出价。流动性提供一度仅由专门的经纪人交易商（即市场庄家）执行。做市商手中有足够的流动性，以满足任何到达的交易者的供求。近年来，随着纳斯达克（Nasdaq）Inet等电子交易所的发展，任何希望在该系统中下单的人都可以轻松扮演交易商的角色。可以根据客户需求发布限价订单的代理*通讯作者。香港大学数学系高级建模与应用计算实验室，香港薄扶林道。电子邮件：wching@hku.hk.+丹麦哥本哈根大学数学科学系。

电子邮件：jwgu。hku@gmail.com.香港薄扶林道香港大学数学系高级建模与应用计算实验室。电子邮件：kerryyang920910@gmail.com.§澳大利亚新南威尔士州悉尼麦格理大学商业与经济学院应用金融与精算研究系2109。电子邮件：ktksiu2005@gmail.comon高频数据的可用性，形成了一个竞争激烈的交易环境。本文主要研究多个经销商竞争下的最优定价策略。微观结构文献对经销商的定价策略进行了广泛研究。交易商面临的两个最常被提及的风险来源是：（1）资产价值不确定性引起的库存风险；（2）知情交易产生的信息不对称风险。正如Demsetz（1968）[6]所指出的，当限价订单处于队列中时，下达限价订单的经销商会产生库存和等待成本。库存成本是由于交易商在其投资组合中可能持有的证券的市场价格不确定而产生的，而他的限价令尚未生效。等待成本是与下订单和执行之间的时间相关的机会成本。反作用成本的概念由Demsetz首次提出[6]。Copeland and Galai（1983）[4]在他们的论文中指出，限价指令也会受到信息劣势的影响，因此他们会被更知情的投资者选择。一般来说，执行限价指令的概率取决于限价指令价格与当前市场价格的接近程度。Cohen et al.（1981）[5]将这一现象称为现有引语的“引力”。

在当前m市场报价下的限价单很可能被执行，而激进限价单的执行概率接近于零。他们还指出，随着证券到达率的降低，执行限价指令的概率降低。斯托尔（1978）[21]为单个交易商开发了一个明确而严格的模型，该模型仅限于单个交易商在单一市场中的行为。他们还讨论了交易成本在经销商不同市场组织中的影响。Ho和Stoll（1981）[13]扩展了Stoll（1978）在不确定性方面的工作（引入交易不确定性），明确处理经销商的多iod策略，以及引入需求方。在供应方面，Demsetz（1968）[6]率先开展了研究工作，Tinic（1972）[22]和Stoll（1978）[21]也做出了额外的理论贡献。Garman（1976）[8]是第一个通过对买卖订单s.Ho和Stoll（1981）[13]之间的暂时不平衡进行建模来研究最优做市条件的人。他们采用了Garman的随机证券供求概念，将出售和购买证券的需求视为对经销商服务的需求，并假设对更大的销售和购买的线性需求关系。他们认为股票的“真实”价格是由一个信息集外部决定的，并假设交易商的价格是相对于“真实”价格的。Ho和Stoll最关心的是经销商面临的风险，以及这如何影响经销商提供服务的意愿。

在Ho和Stoll（1980）[12]的另一篇论文中，分析了竞争中经销商的问题，并证明买卖价格与代理商的保留（或差异）价格有关。基于Ho和Stoll（1981）[13]的思想和工作，Avellaneda和S toikov（2008）[1]将Garman的模型改进为一种量化的做市限制策略，产生持续的正回报；事实上，这个问题的经济背景是相似的。主要区别在于资产“真实”价格的性质、代理人的明确效用以及金融市场微观结构法律规定的交易强度。在[1]中，“真实”价格由市场中间价给出。为了对到达代理的买卖订单的到达率进行建模，他们利用了《物理学》、《波特和布乔德》（2003）[20]的最新结果，给出了市场订单的指数到达率。所采用的方法是将Ho and Stoll（1981）[13]方法的效用框架与实际极限的微观结构相结合，如物理学文献所述。该策略侧重于库存风险的影响，优于“最好的出价最好的要求”做市策略，即交易员以市场上可用的最好的出价和要求发布限价订单。最近，Cartea和Jaimungal[3]使用类似的模型为高频交易引入风险度量。他们使用了一个受Avellaneda Stoikov[1]启发的模型，其中中间价格由隐马尔可夫模型（HMM）建模。Guilbaud和Pham[11]还使用了受Avellanda Stoikov框架启发的DA模型，但包括市场订单和limitorders最佳（以及仅次于最佳）买卖以及s-tochastic价差。古伊恩泰特等。

[10] 当交易者愿意清算投资组合时，提供了一些简单易计算的最优报价表达式。最近的其他一些作品包括阿拉维·法德（2014）[23]和宋等人（2012）[24]等。文献中似乎更多地关注了单个交易商框架中的交易策略，而对多个交易商案例的关注相对较少。我们致力于后一种情况。本文确定了多个交易商情况下的最优报价。最优定价策略考虑了两个关键因素：经销商的库存水平和竞争的公平性。我们的论文从多个方面为高频贸易文学做出了贡献。首先，当经销商被告知竞争的严重性（例如，市场上有多少活跃的经销商）时，我们推导出每个经销商的最优出价和要价。考虑到市场信息，每个交易商都会给出自己的最优价格。经济物理学是一个跨学科的研究领域，它应用物理学的理论和方法来研究经济问题。信息和他自己的库存水平，以最大限度地提高他在终端时间t的最终利润。其次，我们将报价与[1]中的报价进行比较，以了解市场上的交易竞争。第三，我们还对竞争市场中的经销商与单一经销商市场中的经销商产生的利润进行了比较。这种比较有望增强我们对高频交易交易商如何通过提供股票流动性获得利润的理解。本文其余部分的结构如下。在第2节中，为了给读者提供研究背景，我们回顾了两个模型，一个是Ho和Stoll在[13]中提出的，另一个是Avellaneda和Stoilov在[1]中提出的。

在第3节中，我们在[1]中给出了由N个经销商组成的市场的扩展模型和结果。推导了经销商的极限订单簿强度。在第4节中，我们考虑了多经销商问题的两种情况：非活跃经销商和活跃经销商。对于处于竞争市场中的经销商，我们需要利用近似方法和动态规划（DP）原理，即解决方法将反向归纳与状态正向模拟相结合。在第5节中，给出了数值结果，并对一个经销商和多个经销商的情况进行了比较。最后，第6节给出了结束语，以讨论进一步的研究问题。2.两个模型的回顾在本节中，我们通过回顾两个相关模型来描述本研究的背景，一个由Ho和Stoll在[13]中提出，另一个由Avellaneda和Stoilov在[1]中提出。下面的发展遵循[1,13]中的发展。2.1 Ho-Stoll模型Ho和Stoll（1981）[13]提出的模型施加了以下假设。（i） 根据inGarman（1976）[8]所述的泊松跳跃过程，假设事务随时间演化。使用两个泊松过程，一个用于经销商的购买，另一个用于经销商的销售，如下所示：dqa=X{a市场购买订单的到达}QλADD和DQB=X{a市场销售订单的到达}QλBDT其中Xe是事件E的指示函数，Q是市场订单的大小，λa和λ表示交易的强度。这里DqA和DqA分别显示了市场购买订单数量和市场销售订单数量的增加。（ii）如果市场的ale订单到达，经销商会立即确定价格b，如果市场的购买订单到达，经销商会立即确定价格a。

经销商不直接引用b和a，而是分别引用其出价和要价，如下所示：pb=p-b和pa=p+a。这里p是交易商在设定报价时对股票真实价格的看法，该价格应该是给定的常数。（iii）强度λA和λb分别取决于经销商的销售费和购买费。（iv）除了后续交易时间的不确定性外，交易商还面临着现有投资组合回报的不确定性。因此dF=rF-dt- （p- b） dqb+（p+a）dqadI=rIIdt+pdqb- pdqa+IdZIdY=rYY dt+Y dZY。这里F、I、Y分别是现金账户、存货账户和基本财富的余额。这里rI，Ry分别代表单位时间内存货账户和基本财富的平均回报。r是恒定的连续复合无风险利率。这里，Zi和Zy分别是具有平均零和恒定方差率σi和σY的维纳过程。交易商的目标是在终端时间T时，最大化h的预期效用，即总财富Et[U（WT）]，其中WT=FT+IT+YT。请注意，Et[U（WT）]是给定时间t之前信息的U（WT）的条件预期。t和t之间发生了大量交易和价格变化。2.2 Avellanda Stoikov模型Avellanda和Stoikov（2008）[1]在某些方面修改了Ho和Stoll（1981）[13]的模型。（i） 假设货币市场不支付利息，股票的中间市场价格或中间价格根据以下零漂移扩散过程随时间演化：dSu=σdWu（1），其中初始值St=s，{Wu}t≤U≤这是一个标准的一维布朗运动，σ是常数，即常数波动模型。（ii）代理人的目标是使其投资组合在终端时间T的预期指数效用最大化。

指数效用由u（w）=-经验(-γw）（2），其中γ是风险规避参数。（iii）执行代理命令时的泊松强度应为指数。在对称情况下，假设指数到达率采用以下形式：λ（δ）=Ae-kδ（3）（iv）引入了预定买入价和卖出价rb（s，q，t）和ra（s，q，t），这两种价格可以分别解释为买入和卖出的不同价格，并且满足以下条件：v（x）- rb（s，q，t），s，q+1，t）=v（x，s，q，t）v（x+ra（s，q，t），s，q- 1，t）=v（x，s，q，t）（4）其中v（x，s，q，t）=Et[U（WT）]，x是t时的初始财富，q是t时的初始库存水平。在他们的模型中，假设交易系统中只有一个垄断交易商。交易商在市场上买卖一只股票。交易商报出投标价格PBP和askprice pa，并承诺分别以这些价格买卖一股股票。只要有买入或卖出指令，且受DXT=padNat控制，现金财富就会增加- pbdNbt。（5） 这里是交易商购买的股票数量，而这里是卖出的股票数量。假设它们分别遵循强度为λ带λa的泊松过程。然后，经销商持有的库存单位数或库存水平由DQT=dNbt控制-德纳特。（6） 能够设定限价单的交易商的目标是u（s，x，q，t）=maxδa，δbEt[-经验(-γ（XT+qTST））]（7）式中δa=pa-s、 δb=s-Pb和交易商在时间t持有q股票。请注意，从交易商的角度来看，δA和δ分别显示了卖出和买入的即时价格。对于非活动tr ad er的情况，没有选择变量δA和δB。

根据Avellaneda和Stoikov（2008）[1]，在终端时间T之前持有qstock s库存的非活跃经销商的价值函数可以写为：u（x，s，q，T）=-exp（γx）exp(-γqs）expγqσ（T）- （t）. （8） [1]中引入了保留或差异价格的定义，我们都给出了inEq。(11). Dealer的预订出价和要价RB和RAR分别由u（x）- rb（s，q，t），s，q+1，t）=u（x，s，q，t）u（x+ra（s，q，t），s，q- 1，t）=u（x，s，q，t）（9）即。，rb（s，q，t）=s+(-1.- 2q）γσ（T）-t） ra（s，q，t）=s+（1）- 2q）γσ（T）-t） 。（10） 因此，上述两种价格的平均值，如保留价格或差异价格，由（s，q，t）=s给出- γqσ（T）- t） 。（11） 为了考虑活跃经销商的情况，在[1]中，他们将在终端时间T之前做出购买或出售的决定，作者推导了以下HJB方程（例如，参见[1]第3节）：Ut+σUs+maxδbλbhu（s，x- s+δb，q+1，t）- u（s，x，q，t）i+maxδaλa[u（s，x+s+δa，q- 1.t）- u（s，x，q，t）]=0u（s，x，q，t）=-经验(- γ（x+qs））。（12） 为了求解HJB方程，在[1]中，作者考虑了最简单的情况，假设泊松强度采用以下形式（c.f.等式（3））：λb（δ）=λa（δ）=Ae-kδ。（13） 然后采用以下试验方案：u（s，x，q，t）=-经验(-γx）exp(- γθ（s，q，t））（14）其中θ（s，q，t）近似为关于库存变量q的泰勒展开式的二阶：θ（s，q，t）=θ（0）（s，t）+θ（1）（s，t）q+θ（2）（s，t）q+…+。（15） 当库存水平为q时，库存的预定出价和库存的预定要价分别由rb（s，q，t）=θ（s，q+1，t）- θ（s，q，t）ra（s，q，t）=θ（s，q，t）-θ（s，q）- 1，t）。（16） 将θ代入eq。