竞争市场中多经销商的最优定价模型

（51）将等式（48）给出的最优值代入等式（47），并使用命题1中的极限订货率，我们得到θit+σθiss-σγi（θis）+λai+λbik+1-Nβi+γi=0θi（s，qi，T）=qis。（52）我们考虑库存变量qiθi（s，qi，t）=θi，（0）（s，t）+θi，（1）（s，t）qi+θi，（2）qi+·+）中θi（s，qi，t）的渐近展开。（53）根据差异出价和要价的确切关系，RBI和rai，我们得到rai（s，qi，t）=θi，（1）（s，t）+（2qi）- 1） θi，（2）（s，t）++rbi（s，qi，t）=θi，（1）（s，t）+（2qi+1）θi，（2）（s，t）+…+。（54）回顾一阶最优性条件s- rbi（s，qi，t）=δbi-γiln1+γi（k+1-N） 我！雷（南、齐、t）- s=δai-γiln1+γi（k+1-N） 我！（55）我们有δbi+δai=-2θi，（2）（s，t）+γiln1+γi（k+1）-N） 我！（56）不取决于库存合格中介机构。采用orderarrival项λbi+λai=a的一阶近似值2.- （k+1）-N） βi（δai+δbi）- kXj6=iβj（δaj+δbj）+·+（57）我们注意到线性项不依赖于qi。Sin ceθi（s，0，t）=θi，（0），ui（s，xi，0，t）=g（x），然后θi，（0）=0。因此，通过对qi阶项进行分组，我们得到θi，（1）t+σθi，（1）ss=0θi，（1）（s，t）=s（58），其解为θi，（1）（s，t）=s。有序项的分组θi，（2）t+σθi，（2）ss-σγi（θi，（1）s）=0θi，（2）（s，T）=0（59），其解为θi，（2）（s，T）=-σγi（T）- t） 。（60）我们获得的活性剂的价值函数与非活性剂的价值函数ui（s、xi、qi、t）几乎相同≈ -经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）- （t）同样的差异priceri（s，qi，t）=s- qiγiσ（T）- t） 。现在我们分析我们的近似值和我们的HJ方程的精确解之间的差异。假设θi（s，qi，t）=wqi（t）+sqi-σγi（T）- t） 齐（61）何处（wqi）齐∈Nis是一个连续函数族。

将上述表达式直接代入HJB方程，我们得到wqit+gqi（t）=0wqi（t）=0（62），其中（gqi（t））qi∈Nis是一个正函数家族。因此，wqi（t）=ZTtgqi（u）du对于t<t总是大于零。因此我们有θi（s，qi，t）>sqi-σγi（T）- t） 齐。e、 ，ui（s，xi，qi，t）>-经验(-γi（xi+qis））expγ像质计σ（T）- （t）.（63）现在我们将买卖价差设置为δai+δbi=γiσ（T）- t） +γiln1+γi（k+1-N） 我！（64）以及价格调整asmi=δai- δbi=rai+rbi- 2s=2ri- 2s=-2qiγiσ（T）- t） 。（65）我们注意到（i）对于“冻结库存”问题，我们Et[xi+qiST]=xi+qisui（s，xi，qi，t）=-经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）-（t）.对于活跃的经销商，我们有Et【Xi（T）+qi（T）ST】=Xi+qis+EthRTtδaidNai+RTtδbidNbii>Xi+qisui（s，Xi，qi，T）>-经验(-γixi）exp(-γiqis）expγ像质计σ（T）-（t）.这意味着，使用我们的策略报价的活跃经销商始终比不活跃经销商具有优势。（ii）当N=1时，则βi=1，δbi+δai=γiσ（T- t） +γiln1+γik这与Avellanede和Stoikov（2008）的结果一致[1]。（iii）价格调整mi=-2qiγiσ（T）- t） ，取决于经销商的库存。它是一个库存响应方程，规定当库存为正（负）时，价格调整变量为负（正）。当mi<0时，出价和askprice都是“低”的，在这种情况下，经销商更喜欢出售而不是购买，因此这将减少经销商的库存。另一方面，如果mi>0，则经销商更愿意购买而不是销售。

价格对库存变化的反应程度取决于决定投标和询价规模的相同因素（T- t） 、交易商i的风险规避（由γi决定）和方差（由σ决定）；（iv）与“冻结库存策略”相比，我们的策略最终可以改善德莱尔的最终收益，这不亚于原始差异曲线（在“冻结库存”问题中，（δai，δbi）可以被视为(+∞, +∞)).5数值实验在本节中，我们介绍并讨论竞争市场中单个垄断经销商和多个经销商的数值结果。5.1买卖报价Vellaneda和Stoikov（2008）测试了他们“库存”策略的性能，主要关注损益表的形状和最终库存。他们将其与在中间价左右对称的阿本马克策略进行了比较，在垄断经销商的假设下，不管库存如何。在本节中，我们将测试我们的策略在竞争激烈的股市中对多个交易商的表现。假设一个市场里有N个卖家。在数值实验中，我们假设βi’相同，即βi=1/N。就我们的模拟而言，我们选择了以下参数：s=100，t=0，t=1，σ=2，dt=0.005，qi=0，γi=0.1，k=1.5和A=140，其中i=1，2，N（选择与[1]中相同的参数值）。通过以下程序获得模拟结果：（i）在时间t，代理商的报价，δbian和δaii，对于经销商i，（i=1，2。

，N）进行计算，给定状态变量；（ii）在时间t+dt时，状态变量被更新：随着概率λai（δai）dt，交易商i的存货减少1，其财富增加s+δai；随着概率λbi（δbi）dt的增加，经销商i的库存变量增加1，财富减少s- δbi，其中i=1，2，N.中间价格通过随机增量±σ进行更新√dt。图1和图2分别给出了垄断经销商和竞争经销商（两个经销商）的最优买卖报价及其利润。在两个经销商案例中，每个经销商的利润约为垄断案例的一半。这似乎与βi=0.5（i=1，2）的假设一致。Avellaneda-Stoikov的库存策略产生持续的正回报，而我们的扩展策略在竞争激烈的市场中保持了良好的性能。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19899100101102103104中-要价-价格标-价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 101020030405060利润图1：一家垄断经销商的中间价和最优买卖报价。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19899100101102103104105经销商1 mid-要价-价格标-价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1051015202530经销商-1利润（a）经销商10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19899100101102103104经销商2 mid-要价-价格标-价格0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1051015202530经销商-2利润（b）经销商2图2：两个经销商的中间价和最优买卖报价。5.2竞争性经销商及其优势我们考虑在经销商数量不同的竞争性市场中，从一个垄断经销商转变为多个经销商的影响。

数值结果如表1-4以及图3和图4所示。表1：对一家γ=0.1和β=1的经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qT标准（qT）交易商1.49 64.26 5.68 0.20 3.40表2：两个交易商的1000次模拟，其中γ=γ=0.1，β=β=0.5。代理商平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）经销商1 2.11 29.15 6.09-0.02 2.88经销商2 2.11 29.40 6.22 0.08 2.7910 15 20 25 30 35 40 50 55010203040506070经销商-1个利润调节器-图3：γ=γ=0.1和β=β=0.5。表3：对三家γ=γ=γ=0.1和β=β=β=1/3的经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qT标准（qT）交易商1 2.79 15.69 5.65 0.14 2.51交易商2 2.79 15.85 5.69-0.11 2.58交易商3 2.79 15.88 5.53-0.01 2.44-5 0 5 10 15 20 25 30 35 4001020304050607080经销商-1个利润调节器-2.利润调节器-图4：γ=γ=γ=0.1和β=β=β=1/3。表4:1000个模拟的s偶数发生器，γi=0.1，βi=1/7。代理平均差价标准差（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 5.40 1.76 2.34 0.028 0.79交易商2 5.40 1.93 2.52-0.045 0.84交易商3 5.40 1.95 2.57 0.003 0.82交易商4 5.40 1.79 2.46-0.03 0.80交易商5 5.40 1.83 2.49 0.003 0.796交易商6 5.40 1.86 2.50-0.001 0.837交易商1.40 1.86 2.60-0.019 0.86相比之下，我们观察到QTW的标准差相对较大在大多数情况下| qT |的值。就s偶数经销商而言，与相应的利润相比，利润的标准偏差也相对较大。当经销商数量增加时，我们观察到利润减少，但平均利润增加。连续市场的特点是买卖双方可以进行交易。b id ask价差反映了活跃买家必须支付的金额与活跃卖家收到的金额之间的差异。

它是交易成本和市场流动性不足的指标。我们可以从结果中看到，当越来越多的代理人进入竞争性市场时，一个小时内，竞争变得激烈，这降低了每个代理人可以从股票市场获得的利润。另一方面，股票的流动性增强，这为交易员s.5.3γ的敏感性研究提供了支持。我们现在考虑改变参数γ的影响。假设竞争市场中的经销商数量固定，且除风险规避参数外，所有经销商的初始状态相同。我们可以从表5和表6以及图5和图6中看到，风险交易商的仓位比风险厌恶交易商的仓位更大。它们的平均价差值较小，利润较大，但也受到利润和最终库存qT差异较大的影响，这会导致更高水平的不确定性。表5：对γ=0.01、γ=1和β=0.5的两个经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 2.01 23.97 7.44 0.07 4.30交易商2 3.39 17.98 4.25-0.074 1.610 10 20 30 40 50 600010203040506070 10 20 40 50 600010203040506070交易商-1个利润调节器-2利润图5：γ=0.01、γ=1和β=0.5表6：三家经销商的1000次模拟，γ=0.01、γ=0.1、γ=1和β=1/3。代理平均差价标准（Pro fit）qtsd（qT）。经销商1 2.77 14.36 6.26-0.09 3.43经销商2 2.79 14.21 5.68-0.01 2.70经销商3 3.74 10.99 3.74 0.08 1.47-10 0 10 20 30 40 5001020304050607080经销商-1个利润调节器-2.利润调节器-3利润图6：γ=0.01、γ=0.1、γ=1和β=β=β=1/35.4初始库存头寸的敏感性研究我们还考虑了不同库存对经销商绩效的影响。

为了简单起见，我们考虑了两个经销商的案例。表7：两个经销商的1000次模拟，γ=γ=0.1，β=β=0.5，q=10，d q=1。代理平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 2.11 14.85 19.59 0.19 2.94交易商2 2.11 30.24 6.34-0.13 3.00-50 0 50 100010203040506070经销商-1个利润调节器-图7：γ=γ=0.1，β=β=0.5，q=10和q=1。表8：对γ=γ=0.1、β=β=0.5、q=50和q=0的两个经销商进行1000次模拟。代理平均差价标准（Pro fit）qTStd（qT）交易商1 2.11-391.98 84.14 2.09 2.99交易商2 2.11 37.55 12.45-1.98 2.91表9：两个交易商的1000次模拟，γ=γ=0.01，β=β=0.5，q=50和q=0。代理商平均差价标准（Pro fit）qT标准（qT）经销商1 2.01 13.11 40.42 25.31 4.74经销商2 2.01 32.69 16.18-7.12 4.57将所有参数设置为相同，我们假设经销商仅在其初始库存位置有所不同。从表7和表8以及图7可以看出，在两个例子中，当初始头寸较大时，交易商1获得的利润较小。当初始头寸显著较大（表8）时，交易商1获得的利润为负，因为人们可能更喜欢风险较小、负利润的头寸，而风险较大、现金流为正的头寸。从表9可以看出，当降低交易商1的风险规避时，其最终收益将相应增加。我们向感兴趣的读者推荐Ho和Stoll（1980）[12]的论文中关于初始库存影响的分析。6结论市场微观结构领域包括两种一般类型的模型，即库存模型和信息模型。在本文中，我们重点讨论了库存的影响，并将Davellanede Stoikov的垄断经销商最优价格策略推广到竞争市场中多个经销商的最优价格策略。

当经销商被告知竞争的严重性时，我们推导出每个经销商的近似最优出价和要价。我们还分析了模型中的各种参数对竞争市场中经销商的买卖报价和利润的影响。在未来的研究中，可以考虑模型中存在的其他市场因素，如订单处理成本、不对称信息和交易商间交易。在本文中，假设股票的中间价遵循公式（1）。在我们未来的研究中，我们将考虑一个更一般的波动模型，例如Heston随机波动模型[16,17,18]。我们假设中间价遵循以下随机微分方程：dSu=√VudwVu=θ（α- vu）du+ξ√vudBudWu·dBu=ρdu（66），其中θ、α和ξ为正常数，波动率σu=√vu通过式（66）和ρ7附录7中的第三个等式与股票价格水平相关。1附录A.证明：首先考虑市场订单的到达率。当N=1时，λa=λa（δa）=Ae-kδa.根据条件（i），当N=2λa=λa（δa，δa）=f（δa）βf（δa）β，其中（β+β=1）；当δa=δa=δa时，这相当于when N=1的情况，即isf（δa）βf（δa）β=λa（δa，δa）=λa（δa）=Ae-kδa序列lyf（δa）=Ae-kδa和λa=λa（δa，δa）=Ae-k（βδa+βδa）。根据条件（i），对于任意N，λa=λa（δa，···，δan）=f（δa）β····f（δan）βN，其中β+··+βN=1。当δa=···=δaN=δa时，这种情况相当于N=1的情况，即λa（δa，···，δa）=f（δa）β···f（δa）βN=λa（δa）=Ae-kδa和f（δa）=Ae-因此，我们给出了λa=λa（δa。

，δaN）=Ae-k（βδa+·βNδaN）。为了计算到达经销商的买卖订单的到达率，我们需要以下信息：（i）市场订单的总体频率；（ii）市场订单规模的分布；（iii）大型市场订单的临时影响。从上面，我们得到了一个市场订单频率的估计。对于其他条件，从许多研究中，例如[7,9,19]，我们有一些极限订单的统计性质，例如，市场订单的规模分布Q服从幂律：fQ（x）∝ 十、-1.-α和市场影响遵循“对数定律”[2]，即：。，P∝ ln（Q）或p=回转窑（Q）。在这里我们回忆起p=pQ- 其中pq是交易中执行的最高限价订单的价格，s是股票中间价。