货币体系中金融流动的稳态空间的体积

我们也写：b=NFNFNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNbNT（13），其中0和1是向量，Mtotis是沉积物的总量。然后，根据[1]确定一组特定参数的零空间ξ的尺寸，使得nb<nf<nw=100。我们发现，在图1中检查的情况下，矩阵ξ没有满秩，因此系统ξx=b被低估。0 5 10 15 20 25nf02468101214dim（零空间）NB159图1：用r=0.03、α=0.75、α=0.1、δ=0.1和nw=100数值确定的ξ的零空间尺寸。该尺寸仅针对由标记o）确定的nf值进行计算。nb、nf、nw是这样的，即nb<nf<nw每个变量的上界xmaxi是独立设置的，并且是流动正性和货币总存量守恒的逻辑结果：我∈ [1，nh]，密歇根州∈ [0，Mtot]。o我∈ [1，nf]，李∈ [0，Mtot]。o我∈ [1，nf]，Ki∈ [0，Mtot]。o我∈ [1，nf]，AFi∈ [0，δMtot]。o我∈ [1，nf]，Ii∈ [0，δMtot]。o我∈ [1，nh]，IDi∈ [0，rMtot]。o我∈ [1，nf]，伊犁∈ [0，rMtot]。图2给出了代理人之间随机抽样连接的货币交易的图形表示。因为Anf、nh、Bnf、nf、Cnf、nh、Dnb、nf、Enb、nh是随机变量的实现，所以ξ属于随机矩阵的集合，将被注释为Ξ（nb，nf，nh）。当ξ为常数时，定义一个凸有界多面体，它出现在许多学科中，如第1.3节所述。第1节将对这类欠规范问题的解决方案进行研究。4和1.5。有兴趣研究其他明确的流量规格的读者可以参考[21]和Firmsworkers bankscurcap hh b（a）Workers Firms Bankshurchur hhcurcapbcapbcap（b）图2：货币交易子集图。

cur、cap、w、b代表企业的活期和资本账户、工人存款账户、银行存款账户。（a） 每个班级只有一个代理人；（b） 随机连接，2家银行，3家公司，4名员工。[22]. Lavoie和Godley研究了许多越来越详细的模型（开放经济，…），以及水流的动态特性。据我们所知，与SFC模型相对应的随机矩阵的性质在经济学文献中尚未建立。这种表述要求在复杂网络研究领域的许多工作之后进行更仔细的检查。1.3. 经济学、经济物理学和网络科学方面的相关工作复式簿记用于建立国民账户，作为一种手段，在不同的汇总水平上一致记录每个国家的估计流量和存量。国家会计师建立资产负债表、收入和产品账户，以便比较经济，并及时分析经济行为，如增长。政策制定者也在宏观经济建模中使用这些账户来校准可计算的一般均衡模型。然而，这种类型的模型（例如DSGE）并不能明确地强制实现库存流量一致性。早在次贷危机爆发之前，许多著作就已经将资产负债管理作为一种替代方案，以期摆脱被认为不合理的假设。均衡、理性和代表性因素的假设已经受到许多经济学家的批评[23,3]。尽管所有ABM都不能验证股流一致性，但这是几位作者使用的假设[9,24,10,11,12]。ABM因其灵活性、研究大量可能以非线性方式相互作用的异质和学习因素的能力而受到赞扬。然而，反弹道导弹需要计算机密集型仿真，并面临参数化过度的问题。

因此，校准是困难且不稳定的，因为与参数空间的维度相比，经验研究和可靠数据并不丰富。最近的工作解决了有效探索参数空间的问题[25]。将amodel与实验数据进行比较的问题是对从业者提出的另一个问题，不同的方法已经解决了这个问题[26]。在简化的假设下，例如一个子集的聚合，最近在一个股流一致的框架中获得了一些宏观经济ABM的理论结果，并为特定的动态规则建立了相图[27,28]。经济学强调了网络所体现的互动组织的重要性[29]。理论工作研究了它们的一般性质（供应链[30]、银行间网络[31]、贸易信贷[32]）。实证研究强调了实体经济网络的拓扑结构，如商品市场、国家企业间贸易[33]、世界贸易[34]、全球企业控制等https://github.com/kennt/monetary-economicstransnational企业[35]，企业所有权网络。它们有时必须从有限的信息（股票市场[36]和银行间市场[37]的股权投资）开始重建。在个人层面上，似乎缺乏关于银行、就业或消费的详细拓扑信息。这些经验和理论材料可以作为形成上述方程和不等式组的输入。1.4. 约束满足问题如第1.1节所示，与式（5）相关的稳态解空间是一个有界凸多边形。在不丧失一般性的情况下，S可以被认为具有全行秩。多面体是一个n- 嵌入在n维空间中的多维对象。

凸多面体的性质，例如它们的不同表示，已经得到了很好的研究[38]。精确计算它们的体积可以通过解决顶点枚举问题来实现，这是#P-困难的。现有的实现，如Avis等人的lrs，允许在n- m等于或小于10。在线性规划和运筹学中，精确计算方法被用来解决经典的约束满足问题，如地图着色问题，并在现实生活中有应用，例如在资源分配问题中。放松硬约束可以得到更多的解。研究代谢网络和代谢稳态流空间的研究人员提出了确定溶液空间的近似方法。这些方法允许对解空间进行采样，估计其体积，并近似解的概率特性，如边缘密度[14,2,39,40,41,42]。它们可以用来评估解空间对新约束的敏感性。流量平衡分析（FBA）问题的一个限制在于最大化某些目标约束，这将解决方案空间减少到有限的点集[15,41]或超平面。与之类似的还有随机约束满足问题（rCSP），它位于理论计算机科学和统计物理之间的接口，研究布尔空间中大量随机约束的解集。许多重要的结果，比如沥青质转变[43]。虽然我们主要关注的是连续域，但我们可以利用这个理论。1.5. 稳态解空间的蒙特卡罗抽样在第1.4节中，我们提到了使用顶点计数精确计算稳态解空间的体积，当n- m很小。

得到的结果是数值的，而不是取决于等式（5）中问题参数的解析表达式。[14,44]中提出的另一种适用于更大问题的方法是在解空间中使用点击运行算法进行蒙特卡罗采样。后者需要凸多面体内部的一个初始点，这可以通过MinOver[45]等松弛算法找到。然后，从超球体采样，随机选择方向。由起点定义的半线，该方向与边界相交于一点。这个交点和起点形成了一个线段，可以对其进行均匀采样以获得下一个点。该过程定义了一个马尔可夫链，该链在不确定多项式时间内收敛于多面体上的均匀分布[46,47]*（n） 经过适当的预处理。旋转*（）表示对数因子乘以n和常数，但被忽略[48]。点击并运行方法提供了对每个未知i=1，…，表示为dpi（x）的边际概率密度函数（pdf）的估计，N.还可以估计变量之间的相关性，以及可以用溶液空间的有限样本近似的其他量。它们表征了多面体的形状，由以下公式给出：Pi（x）=vol（Si（x））/vol（S），Si（x）={x∈ S.S.t.xi=x}（14）它们也可以写成所有存量和流量的积分。如[14]所述，点击和运行方法不允许我们估计绝对体积。

相反，可以获得相对体积的近似值，例如r=V ol（S）/V ol（S），其中S与等式（5）中的相同，而SHA是额外的约束，例如变量i的下限。总之，使用高效的蒙特卡罗抽样方法，如点击和运行，我们将能够抽样中等规模的问题（多达数百个变量），以近似PDF，计算相对体积。然而，我们不会得到这些量的解析表达式，也不会得到近似熵。此外，应检查马尔可夫链的混合，以确保收敛。在第2节中，我们使用了Tervonen等人[49]的实现。如第1.4节所述，研究人员还使用复制方法[40]和消息传递算法[2,50,41]来处理估计边缘密度的问题。当表示约束的因子图不包含循环时，消息传递算法的计算时间按O（n）的比例缩放，但如果没有该假设，则无法保证收敛。2.结果图3显示了第1.2节中定义的约束满足问题变量的边缘直方图，其中每个部门由许多代理组成。按照第1.5节中的说明，以ξ常数对溶液进行取样。直方图是针对解决方案计算的，在每个部门选择一个代理。第2.2节将对Ξ（nb、nf、nh）平均值的影响进行检查。沉积物的总量是恒定的，参数的值汇总在选项卡中。6、我们可以首先指出，图3中的pdf可以按形状分组：公式（1）中的CDPDF和W B都是指数形状。IDS的分布与M的分布形状相同。这与式（4）中的线性关系一致。如图4（a）所示，M的分布符合连续指数分布。

这可以与经验发现相比较，对于许多工业化国家，财富分布的较低部分可以近似为指数或伽马分布[51,2.3]。第2.2节将检查重新取样ξ对该结果的影响。资本K存量的pdf与Id、AFs、AFD的形状相同，它们都通过线性方程关联。L和ILdhave的PDF形状相似，与式（3）一致。最后一种形状将在第2.2节中讨论。可以对供给侧和需求侧进行比较。消费供给的平均流量大于消费需求的平均流量，这与企业数量小于家庭数量的事实相一致。同样，家庭的平均工资供应量低于企业支付的平均工资。支付给家庭的存款利息的平均值低于银行的IDdpaid，因为银行的数量小于住房的数量。由于每个客户的供应CSI确定了其客户需求的总和，通过中心极限论证，我们可以预期当客户数量增加时，Csto收敛到正常规律。由于拓扑效应，不同药剂之间的流量分布是不均匀的，如图4（b）中两种药剂的消耗需求所示。可以计算资本产出比γ=Ki/Yi=Ki/（Cs，i+Is，i），其在所有企业和CSP所有解决方案中的直方图如图4（c）所示。

总体层面的经济计量研究报告称，从长期来看，许多国家的这一比率的值一直保持在2到8之间（见[52]和相应的补充材料）。更一般地说，这些评论表明，本文中描述的模型具有有趣的特性，可以很容易地修改，但在能够再现程式化事实之前需要做更多的工作。我们将在第3节讨论这个话题。http://piketty.pse.ens.fr/fr/capitalisbackCsFrequency020025000CDFrequency0515050000ISFrequency046025000IDFrequency0480WBSFFrequency0510050000WBDFFrequency1530030000AFSFFrequency0480AFDFFrequency0480ILSFFrequency0。5.2.00 30000ILD频率。0 1.5 3.00 25000ids频率。0.6 1.20 60000IDDFFrequency0。5 2.00 30000频率0 20 400 40000LF频率0 40 800Kf频率0 40 800图3：对应于单个稳态货币股票和流动的边际pdf的直方图，根据标签标记。3，nb=2，nf=3，nh=10。约束满足问题解的样本数为N=3.10。为了清晰起见，删除了下标。参数值α0.0α0.75α0.1r 0.03δ0.1总计表6：线性流动参数值，见[1，第7章]。货币存量M，lambda=0.1密度0.20 40 60 800.00 0.02 0.04 0.06（a）0.5 10 15 200 500 1000 1500 2000 2500 cd频率CD1CD2（b）Ki/YiFrequency0 2 4 6 80 100000 250000（c）图4：（a）货币存量M和指数函数的直方图；（b） 不同药物的CDR直方图；（b） 资本输出。2.1. 敲除对多介质系统的影响第1.5节中设计的相对体积法用于研究外部扰动对溶液空间体积的影响，例如当流体受到约束时。

这被称为代谢网络分析，但在目前的情况下，可以解释为对货币变量施加的限制，如信贷短缺。让我们定义：SI={Xs.tξX=0，0≤ xi≤ Xmax，我∈ 一} （15）SαI\\I={Xs.tξX=0,0≤ xi≤ Xmax，我∈ I\\I，0≤ xi≤ αxmaxi，我∈ 一} （16）式中，X=[X，…，xn]，n是ξ的列数，I是索引变量空间的集合，I是将被α部分删除的变量集合。让我们也定义一下：rV=vol（SαI\\I）/vol（SI）（17）。体积比rV测量选择性变量敲除对溶液空间的影响。我们对一个随机拓扑结构进行了抽样，如图2（b）所示，其中包括2家银行、3家公司和10个家庭。在本节剩下的部分中，我们将保持这种拓扑结构不变，并对解决方案空间进行采样，并在图5中总结结果，图5中删除了重叠曲线。所有比率都是1的函数- α.可以在图5（a）中注意到，单流敲除能够显著减少稳态溶液空间的体积。例如，在这个简单模型中定义的三家公司中，有一家公司的投资被淘汰了33%，这意味着容积率减少了20%。图5（b）中受群体淘汰影响最大的变量似乎是银行贷款利息（ILs）、企业投资（IS）、企业向工人支付工资（W Bd）。如图5（a，b）所示，这种排列在个体和群体水平上是部分保守的。受群体淘汰影响最小的变量是消费品需求（Cd）。[0，xmaxi]右边具有显著边际概率的变量（如图3中的ILsin）因尾部被切断而大幅减少。相反，在[0，xmaxi]右边有一个小尾巴的变量，比如Cd，几乎没有减少。比较图的左面板和右面板。

5.我们注意到，集体淘汰对产量的影响大于单一淘汰。这句话留待进一步的理论分析。2.2. 随机矩阵迄今为止，矩阵ξ被认为是常数。当研究一个特定的经济网络时，这个假设很有趣。然而，当重点更多地放在网络随机集合的性质上，而不是放在特定实例上时，ξ必须在Ξ（nb，nf，nh）中随机选择。因此，在本节中，我们考虑了解空间和随机矩阵集合Ξ（nb，nf，nh）上的经验平均值。出于计算原因，网络大小设置为nb=2、nf=3、nh=6。即使在这种特殊情况下，由于其组合性质，可能的拓扑集也很大，但可以在合理的时间内进行彻底采样。然而，由于对于每个随机抽样的矩阵ξ，相应的解空间smu也必须抽样（其比例为O）*（n） ，如第1.5节所述），抽样矩阵的数量将限制在100个。如图6所示，恢复了第2节开头的主要观察结果：边缘分布以相同的方式分组，平均供给和需求之间的差异得到了保持，货币存款M仍然具有连续的指数形状。我们预计与拓扑结构相关的一些影响将被平均化，如代理之间的异质性，如图4（b）所示。