欧拉离散格式的指数可积性

（3.43）假设δT≤2ηγT-1和呼吸困难=p1- 2ηmγ（δt），b=ux√δt+2ηmγx（δt），c=pηmδt（x+2αδt）。（3.44）一些简单的计算得出以下上限：I≤ 经验uxδt+ηmα（δt）Φ（z）+aexpc+b2an1- Φ（z）o，（3.45），其中Φ是标准正常CDF，z=-xγ√δt- ux√δt，z=-axγ√δt-文学士。（3.46）假设δT≤γmax+, -u-1.然后1+μγδt>0，因此z<0。从（3.44）开始，aγ√δt（z）- z） =（1）- a） （γxδt）- ax）+γ√δt（b）- ux√δt）=（1）- a） x（1+μγδt）。（3.47）因此，由于x>0和a∈ （0,1]，z≤ z<0。从（3.44）可以看出，C+b2a-uxδt- ηmα（δt）=ηmα（δt）+aηmxδt（1+μγδt）≥ 因此，我≤aexpc+b2an1+Φ（z）- Φ（z）o.（3.49）将中值定理应用于Φ∈ C、 我们可以找到z∈ [z，z]使得Φ（z）- Φ（z）=（z）- z） φ（z）≤ （z）- z） φ（z）。（3.50）因此，使用（3.47），Φ（z）- Φ（z）≤1.- aa√2π·x（1+μγδt）γ√δtexp-x（1+μγδt）2γδt. （3.51）考虑函数g:（0，∞) 7.→ g（u）=ue定义的R-u、 然后是全球最大化-, 当u=1时达到。因此，我们可以从上面把（3.51）右边的项绑定起来，得到Φ（z）- Φ（z）≤1.- aa√2πe≤A.- 1.（3.52）插回（3.49），I≤aexpc+b2a. （3.53）假设δT≤√5.-1.ηγT-1，然后a（1+a）>1，所以a-1.≤ 2.-a、 使用（3.44），a≤1+2ηmγ（δt）<1 + 2ηγTδT. （3.54）结合（3.48），（3.53）和（3.54），我们推断<1 + 2ηγTδT经验2ηmα（δt）+uxδt+aηmxδt（1+μγδt）. （3.55）由于我们选择η，在（3.30）中定义的二阶多项式fη（ω）对于所有ω都是负的∈ [0, 1]. 特别是，fη在一个封闭的有界区间上达到最大值。因此，存在ω∈ [0，1]独立于δt和m，因此fη（ω）≤ fη（ω）<0表示所有ω∈ [0, 1].假设δT≤ -fη（ω）2η(η - λ） γT-1那么1.- A.η - 1 +u2< -fη（ω）≤ -fη（ω），ω ∈ [0, 1]. （3.56）应用ω=mn的不等式，并使用（3.30），我们得到1.- A.η - 1 +u2< η - 1.- 2ηmγ（δt）- 2ηmμγδt。

（3.57）然而，使用（3.44），我们可以将其重写为ηm（1+μγδt）<η（m+1）- 1，（3.58）soI<1 + 2ηγTδTexpn2ηmα（δt）- λxδt+η（m+1）xδ到。（3.59）用这个上限代入（3.38）给出了归纳步骤。最后，takingm=N in（3.37）表示脚趾ΘT≤1 +2ηγTN2NexpηαT1.-N+ ηT y< expnηTα + 4γ+ η溜溜球。（3.60）右侧是有限的，与δt无关，由此得出结论。另一方面，遵循η=1的相同证明线会导致次优的有效条件，而η<1的情况下，我们无法实现归纳步骤。3.3具有吸收系数的显式Euler方案首先，考虑FTE方案，并让Yt=~y+tn，T∈ [tn，tn+1），其中y来自（2.2）。引理3.5。假设 > 0.然后我们可以找到η≥ 1使得所有ω∈ [0,1]，ηωξyT- 2ηω（ky）- *ξy）T- 2η + 2 ≤ 0，（3.61）当且仅当T≤ T*, T在哪里*具体如下：1。当基尼≤ ξy（u）+√0.5),T*=ξy（u）+√2.) - 肯塔基州（3.62）2。当ky>ξy（u）时+√0.5),T*=2（肯塔基州）- ξy）ξy. （3.63）证据。修正任何η≥ 1并定义多项式η（ω）=ωηξyT- 2ωη（ky）- *ξy）T- 2(η - 1） ，（3.64），实根ω1,2=ky- uξy±q（ky）- uξy）+2（η）- 1） ξyηξyT.（3.65）因为ω≥ 0≥ ω、 我们知道fη（[0，1]）≤ 0当且仅当fη（1）≤ 0，即ηξyT- 2η1+（肯塔基州）- *ξy）T+ 2.≤ 0.（3.66）然而，（3.66）在一些η中保持不变≥ 1当且仅当左手边η中的二阶多项式的实根大于或等于1。因此，我们找到了必要且充分的条件：ξy（u）+√2.) - 基尼T≤ 1、（3.67）和2ξyT≤ 基尼- uξy+q（ky）- uξy）+4ξy （3.68）奥基- uξy+q（ky）- uξy）+4ξy < 2.ξyT≤ 4（肯塔基州）- （y）。（3.69）然而，很容易看出条件（3.67）-（3.69）等同于（3.62）-（3.63）。以下结果是Cozma和Reisinger（2015）中命题3.3的扩展。提议3.6。

如果 ≤ 0和T≥ 0或其他，如果 > 0和T≤ T*, 和T*从（3.62）-（3.63）中，存在δT>0，因此对于所有δT∈ （0，δT），FTE方案（3.2）中的指数函数的第一时刻一致有界，即supδT∈（0，δT）supt∈[0，T]EΘt< ∞. （3.70）证据。如果 ≤ 这是引理3.1的结果。如果 > 0和T≤ T*, 我们从引理3.5知道η ≥ 1独立于δt，因此（3.61）适用于所有ω∈ [0, 1]. 修正任何这样的η。我们用0的归纳法证明≤ M≤ N对于δt，E的极小值ΘT≤ E经验uZtN-mqYudWu+λδtN-M-1Xi=0Yti+ηmδtYtN-Mx expn0。5ηkyθy+νyξy（δt）（m）- 1） mo，（3.71）式中，νy=r2πξy+2πqξy+2kyθy。（3.72）注意，当m=0时，我们有等式。假设（3.71）为0≤ m<并证明归纳步骤。GtN上的条件反射-M-1.我们可以ΘT≤ expn0。5ηkyθy+νyξy（δt）（m）- 1） mo×E经验uZtN-M-1qYudWu+λδtN-M-1Xi=0Yti×EtN-M-1.经验ηmδtYtN-m+uqYtN-M-1δWtN-M-1.. （3.73）定义x=~ytN-M-1和x=YtN-M-1.如果Z~ N（0，1），然后是GtN-M-1.⊥⊥ δWtN-M-1法律=√δtZ。让我成为（3.73）中的条件期望，然后≤ E0，xhexpnηmδt maxh0，x+ky（θy- x） δt+ξy√xδtZi+u√xδtZoi。（3.74）如果x=0，则i≤ expnηmkyθy（δt）o.（3.75）如果x>0且z=-kyθyδt+（1）- kyδt）xξy√xδt，（3.76）thenI≤Z∞Z√2πexp-z+u√xδtz+ηmδthx+ky（θy）- x） δt+ξy√xδtzidz+Zz-∞√2πexp-z+u√xδtzdz。（3.77）假设δT≤ 最大值+, 基尼- *ξy-1和密度=ηm1.- （肯塔基州）- uξy）δt+ηmξy（δt）≥ 0.（3.78）一些简单的计算得出以下上限：I≤ 经验ηmkyθy（δt）+uxδt+axδtn1+Φ（z）- Φ（z）o，（3.79），其中z=z- u√xδt=-kyθyδt+1.- （肯塔基州）- uξy）δtxξy√xδt（3.80）和z=z- u√xδt- ηmξy（δt）3/2√x、 （3.81）显然是z≤ z<0，因此我们可以找到z∈ [z，z]使得Φ（z）- Φ（z）=（z）- z） φ（z）≤ （z）- z） φ（z）。

（3.82）因此，使用（3.80）-（3.82），Φ（z）- Φ（z）≤√2πηmξy（δt）3/2g（x），（3.83），其中g:（0，∞) 7.→ R由g（x）定义=√x经验(-kyθyδt+[1- （肯塔基州）- uξy）δt]x2ξyxδt）。（3.84）假设δT≤√2.-1.√最大值+, 基尼-*ξy-1.我们可以很容易地找到函数的全局最大值，从而得到一个上界：g（x）<νy√2πδt.（3.85）用（3.83）和（3.85）替换回（3.79），我们得到≤ 经验ηmkyθy+νyξy（δt）+uxδt+axδt. （3.86）从（3.75）中注意到，当x=0时也成立。应用ω=mn的（3.61）得到ηmξy（δt）- 2ηm（ky）- uξy）δt- 2η + 2 ≤ 因此，从（3.78）开始≤ η（m+1）- 1.（3.88）因此，我≤ 经验ηmkyθy+νyξy（δt）- λxδt+η（m+1）xδt. （3.89）用这个上限代入（3.73）给出了归纳步骤。最后，takingm=N in（3.71）引出脚趾ΘT< 经验ηTkyθy+νyξy+ ηT y. （3.90）右侧是有限的，与δt无关，由此得出结论。另一方面，如果我们遵循η<1的相同证明，我们就无法实现归纳步骤。第二，我们考虑部分截断和吸收方案，让Yt=~y+tn，T∈ [tn，tn+1），其中分别在（2.1）和（2.3）中定义了y。提案3.7.如果 ≤ 0和T≥ 0或其他，如果 > 0和T≤ T*, 和T*从（3.62）-（3.63）中，存在δT>0，因此对于所有δT∈ （0，δT），部分截断和吸收格式（3.2）中的指数泛函的第一阶矩一致有界，即supδT∈（0，δT）supt∈[0，T]EΘt< ∞. （3.91）证据。我们密切关注命题3.6的论点，并注意到（3.74）适用于δT的部分截断方案≤ K-1y，而对于吸收方案，我们有等式。3.4具有反射系数的显式Euler格式首先，考虑反射系数格式，并让Yt=|ytn |，T∈ [tn，tn+1），从（2.4）中加上y。命题3.8。

如果 ≤ 0和T≥ 0或其他，如果 > 0和T≤ T*, 然后存在δT>0，因此对于所有δT∈ （0，δT），反射格式（3.2）的指数函数的第一个矩是一致有界的，即supδT∈（0，δT）supt∈[0，T]EΘt< ∞, （3.92）式中T*具体如下：1。当基尼≤ ξy（|u|+√0.5),T*=ξy（|u|+√2.) - 肯塔基州（3.93）2。当ky>ξy（|u|+√0.5),T*=2（肯塔基州）- |u|ξy）ξy. （3.94）证据。如果 ≤ 这是引理3.1的结果。如果 > 0和T≤ T*, 我们从引理3.5知道η ≥ 1独立于δt，因此对于所有ω∈ [0,1]，ηωξyT- 2ηω（ky）- |u|ξy）T- 2η + 2 ≤ 0.（3.95）固定任何此类η。接下来，我们通过0上的归纳证明≤ M≤ 对于δt的极小值，我们有ΘT≤ E经验uZtN-mqYudWu+λδtN-M-1Xi=0Yti+ηmδtYtN-M×expnη0.5kyθy+νyξy（δt）（m）- 1） mo（3.96）和νyfrom（3.72）。请注意，当m=0时，我们有相等。假设（3.96）为0≤ m<N并证明归纳步骤。GtN上的条件反射-M-1.我们可以ΘT≤ expnη0.5kyθy+νyξy（δt）（m）- 1） mo×E经验uZtN-M-1qYudWu+λδtN-M-1Xi=0Yti×EtN-M-1.经验ηmδtYtN-m+uqYtN-M-1δWtN-M-1.. （3.97）定义x=~ytN-M-1和x=YtN-M-1.如果Z~ N（0，1），然后是GtN-M-1.⊥⊥ δWtN-M-1法律=√δtZ。设I为（3.97）中的条件期望，然后I=E0，~xhepnηmδt~x+ky（θy）- ~x）δt+ξy√xδtZ+ u√xδtZoi。（3.98）如果x=0，则i=expnηmkyθy（δt）o.（3.99）如果~x>0且z=-kyθyδt+（1）- kyδt）xξy√xδt，（3.100）因为x=~x，我们得到i=Zz-∞√2πexp-z+u√xδtz- ηmδthx+ky（θy）- x） δt+ξy√xδtzidz+Z∞Z√2πexp-z+u√xδtz+ηmδthx+ky（θy）- x） δt+ξy√xδtzidz。（3.101）假设δT≤ 最大值+, 基尼- *ξy-1.一些简单的计算会导致toI≤ 经验ηmkyθy（δt）+uxδt+axδtn1+Φ（z）- Φ（z）o，（3.102），定义为（3.78）和z1,2=z-u  ηmξyδt√xδt=-kyθyδt+1.-基尼- uξy±ηmξyδtδtxξy√xδt。

（3.103）假设δT≤ 最大值+, 基尼-uξy+ηξyT-1，然后是z≤ z<0，因此我们可以找到z∈ [z，z]使得Φ（z）- Φ（z）=（z）- z） φ（z）≤ （z）- z） φ（z）=rπηmξy（δt）3/2g（x），（3.104），其中g:（0，∞) 7.→ R由g（x）定义=√x经验(-kyθyδt+1.-基尼- uξy+ηξyTδt十、2ξyxδt）。（3.105）假设δT≤√2.-1.√最大值+, 基尼-uξy+ηξyT-1.如前所述，我们可以得到上限：g（x）<νy√2πδt（3.106）用（3.104）和（3.106）替换回（3.102），我们得到≤ 经验ηmkyθy+2νyξy（δt）+uxδt+axδt. （3.107）如果x<0且z=-kyθyδt- (1 - kyδt）xξy√xδt（3.108），因为x=-~x，我们得到i=Zz-∞√2πexp-z+u√xδtz- ηmδ厚度y（θy+x）δt- x+ξy√xδtzidz+Z∞Z√2πexp-z+u√xδtz+ηmδ厚度y（θy+x）δt- x+ξy√xδtzidz。（3.109）假设δT≤ 最大值+, ky+y-1和de fi neb=ηm1.- （ky+uξy）δt+ηmξy（δt）≥ 0.（3.110）一些简单的计算得出以下上限：I≤ 经验ηmkyθy（δt）+uxδt+bxδtn1+Φ（z）- Φ（z）o，（3.111），其中z1,2=z-u  ηmξyδt√xδt=-kyθyδt-1.-ky+y ηmξyδtδtxξy√xδt（3.112）z≤ z、 假设δT≤√2.-1.√最大值+, ky+μξy+ηξyT-1.然后我们可以找到z∈ [z，z]使得Φ（z）- Φ（z）=Z- Zφ（z）。（3.113）首先，如果x≤ kyθyδt1.-ky+μξy+ηξyTδt-1，我们从（3.112）和（3.113）推导出Φ（z）- Φ（z）≤ 2ηmνyξy（δt）。（3.114）秒，如果x>kyθyδt1.-ky+μξy+ηξyTδt-1，然后0<z≤ zandΦ（z）- Φ（z）≤rπηmξy（δt）3/2h（x），（3.115），其中h:（0，∞) 7.→ R由h（x）定义=√x经验(-kyθyδt-1.-ky+μξy+ηξyTδt十、2ξyxδt）。（3.116）如前所述，我们发现（x）<νy√2πδt，（3.117），这再次导致了（3.114）中的上限。替换回（3.111），我们得到≤ 经验ηmkyθy+2νyξy（δt）+uxδt+bxδt. （3.118）结合（3.99），（3.107）和（3.118），我们推导出独立于x的符号，I≤ 经验ηmkyθy+2νyξy（δt）+uxδt+cxδt, （3.119）式中c=ηm1.- （肯塔基州）- |u|ξy）δt+ηmξy（δt）。

（3.120）应用ω=mn的（3.95）得到ηmξy（δt）- 2ηm（ky）- |u|ξy）δt- 2η + 2 ≤ 0，（3.121）和soc≤ η（m+1）- 1.（3.122）因此，我≤ 经验ηmkyθy+2νyξy（δt）- λxδt+η（m+1）xδt. （3.123）用这个上限替换回（3.97）给出了归纳步骤。取m=Nin（3.96），EΘT< 经验ηTkyθy+2νyξy+ ηT y. （3.124）右侧是有限的，与δt无关，这是证明的结论。其次，考虑（2.5）中的对称Euler格式，让Yt=~ytn，T∈ [tn，tn+1]提案3.9.如果 ≤ 0和T≥ 0或其他，如果 > 0和T≤ T*, 和T*从（3.62）-（3.63）中，存在δT>0，因此对于所有δT∈ （0，δT），对称Euler格式（3.2）中的指数泛函的第一阶矩是一致有界的，即supδT∈（0，δT）supt∈[0，T]EΘt< ∞. （3.125）证据。我们密切关注命题3.8的论点，并注意到x≥ 04.海斯顿模型中的力矩稳定性在本节中，我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥0，Q），并假设基础过程的动力学由测量Q下的赫斯顿模型控制：（dSt=rStdt）+√vtstdvt=k（θ）- vt）dt+ξ√vtdWvt，（4.1），其中Ws和Wvare将布朗运动与常数相关ρ相关联∈ (-1，1），ris是一个任意的非负数，k，θ，ξ>0。我们将Wsand writeit分解为独立的布朗运动wsv和Wv的线性组合。应用It^o公式可得出toST=SexprT-ZTvtdt+p1- ρZT√vtdWst+ρZT√vtdvt. （4.2）特别是，我们对ω>1的矩E[SωT]的计算感兴趣。Andersen and Piterberg（2007）给出了几个具有超线性收益的固定收益证券的例子，其风险中性估值涉及到二阶矩的计算。因此，瞬间爆炸可能会导致衍生产品的最终价格。

此外，确定高阶矩的存在性及其逼近对收敛性分析也很重要。关于σ-代数GvT=σ（Wvt；0）的条件≤ T≤ T），我们发现SωT= SωE经验ωrT+ω(ω - 1) -ωρzTvTt+ωρZT√vtdvt. （4.3）将有序时刻ω的爆炸时间定义为超过该时刻E[SωT]将不再存在的第一时间，即T*(ω) ≡ 啜饮T≥ 0:E[Sωt]<∞. （4.4）如果力矩在限定时间内没有爆炸，则T*(ω) = ∞.为了方便起见，我们假设S=1，r=0。命题3.2得出了关于过程矩的精确性的尖锐条件，而命题3.4和3.6至3.9给出了不同离散化的矩爆炸时间的较低值。为了进行说明，我们在图1中绘制了爆炸时间和相应的下限，并根据模型参数绘制了不同的方案。自从 =ω(ω - 1） ，（4.5）命题3.2、3.4和3.6至3.9确保过程的第一时刻及其对所有T（即T）的离散化的完整性*(1) = ∞. 另一方面，我们从图1A推断，当ω接近1时，精确过程的爆炸时间和显式离散化方法的下界实际上都接近，即limω→1+T*(ω) = ∞.这确保了即使是很长的到期日，对于ω足够接近1的明确方案，矩的一致有界性，这是证明近似过程强收敛性的一个重要因素（见Cozma和Reisinger 2015）。

请注意，图1中的绿色和黄色曲线在ρ时重叠≥ 0.1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50510152503540力矩顺序爆炸时间精确过程BEM schemeFTE，PTE，ABS，SYM SchemeRef scheme（a）针对力矩顺序ω。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1051015202503540相关爆炸时间精确过程BEM schemeFTE，PTE，ABS，SYM SchemeRef scheme（b）与相关系数ρ0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2051025303540反转率爆炸时间精确过程BEM schemeFTE，PTE，ABS，SYM SchemeRef scheme（c）针对平均回复率k.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3051015202503540挥发性爆炸时间精确过程Bem schemeFTE，PTE，ABS，SYM SchemeRef scheme（d）针对挥发性ξ的挥发性。图1：当k=0.4、ξ=0.3、ρ=0.5和ω=2时，根据模型参数绘制的精确过程的矩爆炸时间和不同离散方案的下限，但变化的除外。图1b中的数据表明存在一个临界相关水平ρ*使得e[SωT]<∞ 对于所有T，提供ρ≤ ρ*, E[SωT]=∞ 对于某些T，假设ρ>ρ*. 当nk=0.4、ξ=0.3和ω=2时，我们发现ρ*= -0.04.

此外，我们还从图1b中的数据推断，降低相关性对过程的二阶矩有抑制作用，对于基础过程和方差之间的强负相关性，如股票市场中通常的情况（所谓的杠杆效应），第二时刻爆炸时间的较低债券——除了反射方案之外——高于股票衍生品的典型到期范围。图1c和1d中的数据表明，提高均值回归速度和降低波动率波动率对过程的二阶矩及其显式欧拉离散化有阻尼作用，考虑到k值越大，ξ值越小，随着时间的推移，方差的波动越小，这是可以预期的。接下来，我们将以下值分配给基础模型参数：k=0.4、θ=0.12、ξ=0.3、v=0.12和ρ=1，并注意满足Feller条件。此后，我们使用标准蒙特卡罗估计器估计二阶矩。由（3.12）可知，过程第二时刻的爆炸时间为：T*= 5.77. 另一方面，我们从图2中的数据推断，对于时间步长非常小的值，例如，当δt=0.02时，边界元法的二阶矩将在Tbem接近t的一段时间后不再存在*.