LIBOR模型的统一视图

该方法通过选择合适的FK和X构建LIBOR市场模型和远期价格模型，将在第3节中讨论。6 K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon考虑了Rd值半鞅X=（Xt）0≤T≤特农(Ohm, F、 F，PN）函数的anda集合fk：[0，TN]×Rd→ R代表所有k∈满足以下假设的函数K：（LIP）函数fk属于C1,2（[0，TN]×Rd）且全局为Lipschitz，即| fk（t，x）- fk（t，y）|≤ Kk | x- y |，每t∈ [0，TN]和任何x，y∈ Rd，其中Kk>0是一个常数。（INT）过程X是在PN下具有绝对连续特征（bN，cN，FN）的Rd值半鞅，因此以下条件保持tnzzrdn | X |{X|≤1} 对于某些常数C，C>0和dk=PN，t（dx）dt<C（3.3）和tnzkcntkdt<C，（3.4）-1k=1k。我们用k·k表示Rd上的欧氏范数，用h·i表示相关的标积。备注3.1。前向测度pki下半鞅X的特征三元组用（bk，ck，Fk）表示，而截断函数总是可以选择恒等式（即h（X）=X），因为（3.3）。此外，我们使用标准惯例= 0和Q= 1.定理3.2。考虑一个Rd值的半鞅X和函数FK，使得每个k的假设（LIP）和（INT）都满足∈K.假设远期价格过程通过f（t，Tk，Tk+1）=efk（t，Xt），t建模∈ [0，Tk]，（3.5），且以下漂移条件满足hdfk（t，Xt-), bNi=-ddtfk（t，Xt-) -dXi，j=1Dijfk（t，Xt-)（cNt）ij-hDfk（t，Xt-), cNtDfk（t，Xt-)我-N-1Xj=k+1hDfk（t，Xt-), cNtDfj（t，Xt-)i（漂移）-ZRdnefk（t，Xt）-+十）-fk（t，Xt）-)- 1.×N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)- hDfk（t，Xt-), xioFNt（dx）每个k的LIBOR模型的统一视图∈“好的。

然后，度量值（Pk）k∈`Kde定义的viadPkdPk+1=efk（Tk，XTk）efk（0，X）（3.6）是等价的向前度量，远期价格过程f（·Tk，Tk，Tk+1）是关于Pk+1的每k的一致可积鞅∈K.特别是模型（F（·，Tk，Tk+1））K∈“-Kis无套利和满足公理（A1）和（A2），以及财产（B1）。证据这种说法是通过反向归纳法证明的，其动机是伦敦银行同业拆借利率和远期价格模型的反向构造。第一步：我们从远期价格过程F（·，TN）开始-1，TN）谁是动力-1，TN）=efN-1（t，Xt），t∈ [0，TN-1] ，并检查其在PN措施下的性能。功能fN-1满意度（LIP）和p过程X满意度（INT），因此流程fN-1（·，X）是一个由命题a构成的指数特殊半鞅。2.利用命题A.1，我们得到了F（·，TN）-1，TN）是PN局部鞅，如果以下条件成立：hDfN-1（t，Xt）-), bNi=-ddtfN-1（t，Xt）-) -dXi，j=1DijfN-1（t，Xt）-)（cNt）ij-hDfN-1（t，Xt）-), cNDfN-1（t，Xt）-)i（3.7）-ZRdefN-1（t，Xt）-+十）-fN-1（t，Xt）-)- 1.- hDfN-1（t，Xt）-), xiFNt（dx），实际上是k=N的（漂移）- 1.此外，提案A.2允许F（·，TN-1，TN）是偶数PN一致可积鞅。因此，我们可以使用F（·，TN）-1，TN）作为确定测量PN的密度过程-1viadPN-1dPNF·=F（·，TN）-1，TN）F（0，TN-1，TN）=efN-1（·，X）efN-1（0，X），以及过程X在测量PN下的特性-1由BN提供-1t=bNt+cNtDfN-1（t，Xt）-)+ZRdefN-1（t，Xt）-+十）-fN-1（t，Xt）-)- 1.xFNt（dx）中国-1t=cNtFN-1t（dx）=efN-1（t，Xt）-+十）-fN-1（t，Xt）-)FNt（dx）；参见Lemma。4.8 K.GLAU、Z.GRBAC和A。

接着，我们通过考虑“下一步”的前向过程来向后推进-2，田纳西州-1） 有动力（t，TN）-2，田纳西州-1） =efN-2（t，Xt），t∈ [0，TN-2] ，（3.8）并验证其是否符合（LIP），（INT）和（漂移）PN-1-一致可积鞅。因此，它可以作为密度过程来确定测量PN-2.接下来，我们给出了反向归纳法的一般步骤。一般步骤：让k∈ {1，…，N- 1} 确定并考虑流程X、功能fk+1等，fN-1和测量值Pk+1，通过DPK+1dPk+2递归定义的PnF·=F（·，Tk+1，Tk+2）F（0，Tk+1，Tk+2）=efk+1（·，X）efk+1（0，X）。假设远期价格过程F（·，Tl，Tl+1）已根据（3.5）建模为指数半鞅，并且对于所有l∈ {k+1，…，N- 1}. 通过反复使用lemma。4.我们推导了X的Pk+1-ch特征，其形式为BK+1t=bNt+cNtN-1Xj=k+1Dfj（t，Xt-)+ZRdN-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)- 1.xFNt（dx）ck+1t=cNt（3.9）Fk+1t（dx）=N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）。现在，远期价格过程F（·，Tk，Tk+1）与dynamiccsf（t，Tk，Tk+1）=efk（t，Xt），t∈ [0，Tk-1] 如果下列条件成立，则为Pk+1-lo-cal鞅-), bk+1i=-ddtfk（t，Xt-) -dXi，j=1Dijfk（t，Xt-)（ck+1t）ij-hDfk（t，Xt-), ck+1Dfk（t，Xt-)i（3.10）-ZRdefk（t，Xt）-+十）-fk（t，Xt）-)- 1.- hDfk（t，Xt-), xiFk+1t（dx）；参见命题A。1.通过将（3.9）替换为（3.10），经过一些简单的计算，我们发现后者相当于（漂移）条件。我们还可以验证命题A.2中的条件（A.4）和（A.5）是否适用于满足（LIP）的函数FK和满足（INT）的过程X。LIBOR模型9的统一视图的确，我们有Tnzkck+1tkdt=TNZkcNtkdt<C，因此条件（A.5）成立。

此外，使用（LIP）和（INT）我们得到了thatTNZZRd（|x）|∧ 1） Fk+1t（dx）dt+TNZZ | x | eKk | x | Fk+1t（dx）dt=TNZZRd（| x|∧ 1） N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）dt+TNZZ | x |>1 | x | eKk-1 | x | N-1Yj=k+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）dt≤TNZZRdn（|x|∧ 1） ePN-1j=k+1Kj | x |+1{| x |>1}| x | ePN-1j=kKj | x | of nt（dx）dt≤ const·TNZZRdn | x |{124; x|≤1} +|x | eK |x |{|x |>1}oFNt（dx）dt<C，其中倒数第二个等式成立，因为指数函数在单位超立方体中有界，且Lipschitz常数为正。因此，条件（A.4）也成立。T hus，P位置A.2在过程fk（·，X）上产生th是指数特殊的，远期价格过程F（·，Tk，Tk+1）是Pk+1-一致可积鞅。因此，正如在前面的步骤中一样，我们可以使用Pk+1-uniformlyintegrable鞅fk（·X）来定义度量PkviadPkdPk+1F·=F（·，Tk，Tk+1）F（0，Tk，Tk+1）=efk（·，X）efk（0，X）。然后，我们可以用引理计算X的Pk特征。4.考虑“下一步”远期价格过程-1，Tk=efk-1（·，Xk）-1).这个过程产生了一个无套利的半鞅模型，适用于远期价格过程，因此也适用于伦敦银行同业拆借利率，如果（漂移）条件适用于每个k∈最后，我们可以很容易地证明测度Pk确实是向前测度，即B（·Tl）/B（·Tk）是所有1的Pk鞅≤ k、 l≤ N.这直接遵循ACO d和Shiryaev（2003）中的命题III.3.8，使用ATB（·，Tl）B（·，Tk）dPkdPl+1=efl（·，X）10 K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon，后者是Pl+1-鞅。备注3.3。让我们指出，虽然远期价格过程的真正鞅性质不是保证不存在套利的必要条件，但它是定义远期测度和通过反向归纳构建模型所必需的。

除此之外，远期指标在结构间模型中起着至关重要的作用，因为它们允许推导出利率衍生品的易于处理的公式。事实上，导数定价正向测度的主要优势在于，我们可以避免联合分布上的多维积分的数值计算。备注3.4。如果需要，我们可以假设≥ N- 1为了确保至少与远期定价过程的数量一样多的驱动因素。此外，通过对函数的适当选择，我们可以选择驱动某一远期价格过程的X分量。例如，见第4节。1.我们与一个-一维过程X，设置fk（X）=^fk（xk），对于X=（X，…，xN-1） 和^fk:R→ R、 即，每个远期价格过程由过程X.3.2的不同部分驱动。终端测量下的建模速率。构建远期伦敦银行同业拆借利率的模型f，或等效的远期价格过程的另一种可能性是，从期限结构中的远期债券价格B（·TN）的远期价格过程家族开始，即对于所有k，f（·Tk，TN）=B（·Tk）B（·TN）∈K，并在同一度量下同时对其建模，通常为终端正向度量PN。

与上一节类似，该构造基于为远期价格过程指定指数半鞅动力学，函数形式为F（·Tk，TN）=egk（·Xk），（3.11），其中gk是合适的函数，Xkare是d维半鞅，fork∈考虑一组Rd值半鞅Xk=（Xkt）0≤T≤特农(Ohm, F、 F，PN）和函数的集合gk:[0，TN]×Rd→ R代表所有k∈满足以下假设的函数K：（LIP′）函数gk属于C1,2（[0，TN]×Rd），全局为Lipschitz，即| gk（t，x）- gk（t，y）|≤~Kk | x- y |，每t≥ 0和任意x，y∈ Rd，其中Kk>0是一个常数。（INT′）过程Xkis是在PN下具有绝对连续特征（bk，N，ck，N，Fk，N）的Rd值半鞅，使得以下条件保持tnzzrdn | x |{x|≤1} +|x | e | Kk | x |{x |>1}OF k，Nt（dx）dt<| Ck（3.12）LIBOR模型的统一视图11和TNZKCK，Ntkdt<| Ck，（3.13）对于某些常数| Ck，| Ck>0。回想一下，截断可以通过标识来选择。定理3.5。考虑Rd值半鞅xk和fu-nc，假设（LIP′）和（INT′）对每个k都是满足的∈K.假设远期价格过程是通过（t，Tk，TN）=egk（t，Xkt），t建模的∈ [0，Tk]，（3.14），且以下漂移条件满足hdgk（t，Xkt-), bk，Nti=-ddtgk（t，Xkt-) -dXi，j=1Dijgk（t，Xkt-)（ck，Nt）ij-hDgk（t，Xkt）-), ck，NtDgk（t，Xkt-)i（漂移‘）-ZRdegk（t，Xkt）-+十）-gk（t，Xkt）-)- 1.- hDgk（t，Xkt）-), xiFk，Nt（dx），适用于所有k∈那么，对于所有K，远期价格过程是关于终端远期测度PN的一致可积鞅∈K.特别是，该模型是无套利的，满足公理（A1）和（A2）以及属性（B1）。证据与定理3的证明相比，这个证明更简单。2因为我们只在终端测量PN下工作。

此外，我们还可以对每一个k同时进行所有正向p水稻过程F（·，Tk，TN）∈更准确地说，为了所有的K∈K函数gksaties（LIP′）和过程xksaties（INT′），因此过程gk（·Xk）是命题a的一个指数特殊半鞅。2.利用命题A.1，借助于（漂移′）条件，我们得到F（·Tk，TN）是一个PN局部鞅。此外，命题A。2得出F（·，Tk，TN）实际上是PN一致可积函数。备注3.6。在这个构造中，我们可以使用一个半鞅族Xk，k∈K，其中每个远期价格过程由不同的半鞅驱动。这是可能的，因为我们不必像我们在落后建设中那样进行计量变更，因为所有的远期价格过程都是在一个共同的计量下建模的。因此，在这个阶段，我们不需要知道过程xk之间的依赖结构，这在应用Girsanov定理时是必要的。然而，对于定价过程，以及连接反向和终端测量结构，我们回到一个公共值驱动过程X，其组件之间的依赖结构显然是完全已知的。当然，可以选择流程X的维度，使每个速率由流程的不同部分驱动；与Remark3相比。4.12 K.GLAU、Z.GRBAC和A.Papapantoleon备注3.7。基于（3.11），我们可以直接推导出远期价格过程F（·，Tk，Tk+1）和远期伦敦银行同业拆借利率L（·，Tk）的动力学∈K.使用1+δL（·Tk）=F（·Tk，Tk+1）=F（·Tk，TN）F（·Tk+1，TN），我们得到了1+δL（·Tk）=F（·Tk，Tk+1）=egk（·Xk）-gk+1（·，Xk+1）。（3.15）备注3.8。假设（LIP′）和（INT′）足以产生无风险的伦敦银行同业拆借利率系列，但它们绝非必要。

事实上，我们可以通过假设函数gk满足（LIP′）和过程xk具有指数矩来稍微削弱它们。然后，前面的定理产生了一个无套利模型，该模型满足公理（A1）和（A2），但不一定满足公理（B1）。然而，正如备注3.3中所指出的，后者对于确定非常有用的远期措施是必要的，因为它们通常会导致易于处理的定价公式。备注3.9。让我们考虑一个例子，其中所有的半马氏体Xkcoincide，即Xk≡ X代表所有k∈“K.然后，我们可以很容易地将使用第3.1小节中介绍的后向诱导的方法与本小节中介绍的终端测量下的方法联系起来。更准确地说，从函数族gk，k开始∈和满足（LIP′，（INT′）和（DRIFT′）的半鞅X，我们定义fk（t，X）：=gk（t，X）- gk+1（t，x）。（3.16）函数fk显然满足（LIP）常数Kk:=~Kk+~Kk+1。此外，假设半鞅X满足（INT）上述kka。那么（3.11）给出的终端远期价格模型可以等价地写成asF（·，Tk，Tk+1）=efk（·，X），k∈“\'K，其中fk由（3.16）给出，定理3.2的所有断言仍然有效。相反，假设远期价格（3.5）的模型是通过函数fk，k族给出的∈和满足（LIP）、（INT）和（漂移）的半鞅X，我们定义了K（t，X）：=N-1Xj=kfj（t，x）。（3.17）函数gk满足条件（LIP），且常数为Kk:=PN-1j=kKj。此外，假设半鞅X满足（INT′）和kkasasove，则远期价格（3.5）的模型可以等价地写成asF（·，Tk，TN）=egk（·，X），k∈K，其中gk定义在（3.17）中。这很容易从下面的伸缩产品F（·，Tk，TN）=B（·，Tk）B（·，TN）=N得出-1Yj=kB（·，Tj）B（·，Tj+1）=N-1Yj=kF（·，Tj，Tj+1）。

（3.18）伦敦银行同业拆借利率模型的统一观点13因此，我们得出以下结论：。5对半马丁盖尔X和函数gk，k有效∈\'K.3.3。观察和分支。接下来，我们将进一步讨论前两小节中构建的模型的性质。特别是，我们推导了LIBOR模型保持结构并产生非负利率的条件。为了提供两种脱钼方法的统一处理，我们假设Xk≡ 第3小节中的X。2.为了所有的k∈\'K.引理3.10。（i） 如果函数FK对所有k都是非负的∈K，那么模型（3.5）中的利率是非负的，即属性（C）是满足的。（ii）如果函数gk是非负的，那么gk（t，x）≥ 对于所有k，gk+1（t，x）∈K和all（t，x）∈ [0，TN]×Rd，则模型（3.14）中的伦敦银行同业拆借利率为非负，即。财产（C）是令人满意的证据。这直接源于远期价格和伦敦银行同业拆借利率之间的关系，见（2.3）和（3.15）。第二个可处理性属性（B2）表明，如果驱动过程的特征在不同的正向度量下以确定的方式进行转换，则LIBOR模型具有结构性，从而确保在所有正向度量下，驱动过程保持在同一类别。为了使该陈述形式化，我们考虑以下假设。（E） 设U:=Rd（分别为U:=Rd+）。测量PXt-Nis绝对连续，U上Lebesgue密度为正，对于所有t∈ [0，TN]。我们认为，如果元组（βl，Yl）定义了度量值从前向度量值PLPL到Pl的变化，则LIBOR模型是结构保持模型-1，f或l=N。

，1，通过Girsanov定理，如在Lemma中。4.是确定性的。注意，在假设（E）下，β是确定的当且仅当y是确定的；实际上，如果Yl（t，x）=efl（t，Xt-+十）-fl（t，Xt）-)假设是确定性的，函数FL必须满足FL（t，y+x）- fl（t，y）=hl（t，x）（3.19）每x，y∈ U、 为了一些功能。取y的导数，我们得到每x，y的Dfl（t，y+x）=Dfl（t，y）∈ U、 因此Dfl（y）是常数，因此fl（t，·）| Uis是一个有效函数。这意味着βlt=Dfl（t，Xt-) 是确定性的。相反，假设变量βlt=Dfl（t，Xt-) 是确定性的。因为PXt的支持-Nis U、Dflis连续和PXt-作为U上的正Lebesguemeasurement，我们得到了Dflis常数，因此在第二个变量中是有效的。因此，我们得出结论：Yl（t，x）是确定性的。下一个结果为（B2）满足命题3.11提供了必要和充分的条件。如果函数fk和gk在第二个变量中对每k∈那么（3.5）和（3.14）中的伦敦银行同业拆借利率模型是保持结构的。相反，假设（E）。如果（3.5）和（3.14）中的LIBOR模型是结构保持的，那么函数fk |[0，TN]×uan和gk |[0，TN]×uar在第二个变量中每k∈\'K.14 K.GLAU、Z.GRBAC和A.PAPAPANTOLEONProof。我们将集中讨论由反向归纳法构建的模型，而另一个模型则类似。遵循理论3中的论证。2、X和PLT的特性如下表BLT=bNt+cNtN-1Xj=l+1Dfj（t，Xt-)+ZRdN-1Yj=l+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)- 1.xFNt（dx）clt=cNt（3.20）Flt（dx）=N-1Yj=l+1efj（t，Xt-+十）-fj（t，Xt）-)FNt（dx）。假设函数fk（t，x）是x中的一个函数，即。