LIBOR模型的统一视图

存在αk（t）和βk（t），使得fk（t，x）=αk（t）+hβk（t），xi，那么我们可以很容易地推断（3.20）中的（bl，cl，Fl）只是（bN，cN，FN）的确定变换。相反的陈述已经被这个命题前面的论点暗示了。命题陈述。11可以推广到更一般的驾驶过程。例如，假设（E）可以用更一般的集合U来表示。例如，X可以是一个过程，在某些坐标系中是正的，在另一坐标系中是实的或负的。另一方面，具有固定跳跃大小的过程，如泊松过程，需要与上述证明略有不同的方法，考虑到过程的状态空间和跳跃度量的支持。下面的评论总结了LIBORrates的更多有趣特性，这些特性可以很容易地从这个通用建模框架中推导出来。备注3.12。如果函数fk在第二个参数中是有效的，即fk（t，x）=αk（t）+hβk（t），xi，（3.21），函数为αk，βk∈ C（R+）和工艺要求满足F（·，Tk，Tk+1）≥ 1，即产生非负的伦敦银行同业拆借利率，则流程X必须从下方绑定。4.例句4。1.伦敦银行同业拆借利率市场模型。首先，我们根据上一节开发的一般框架，重新审视伦敦银行同业拆借利率市场模型的类别。我们将专注于柏林和奥兹坎（2005）的列维伦敦银行同业拆借利率模型，以确定想法和流程，并作为其他也适用于该框架的伦敦银行同业拆借利率模型的代表，例如具有局部波动性、随机波动性或由跳跃式影响驱动的模型。

在许多其他参考文献中，见Brigo和Mercurio（2006年）、Schoenmakers（2005年）、Glasserman（2003年）以及Andersen和P Iterberg（2010年）。LIBOR模型的统一视图15我们假设驱动过程X是RN-形式为x=B+λ·L（4.1）的一值半鞅，其中L是一个Rn值的时间非齐次L’evy过程，在终端测度Pn下关于截断函数h（x）=x和∧=[λ（·，T），…，λ（·，TN）具有特征三重态（0，cL，FL）-1） 是一个（N）- 1） x n volatility矩阵，其中，对于每k∈K，λ（·，Tk）是一个确定性的n维函数。此外，∧·L表示∧关于L的It^o随机积分，而漂移项B=R·B（s）ds=R·b（s，T）ds，R·b（南，田纳西州）-1） ds是一个（N）- 1） -多维随机过程。我们进一步假设满足以下指数矩条件：（EM）设ε>0和M>0，然后tnzz | x |>1ehu，xiFLs（dx）ds<∞ 为了所有的你∈ [-（1+ε）M，（1+ε）M]n；当波动率函数满足：（VOL）波动率λ（·，Tk）：[0，TN]→ Rn+是一个确定性的有界函数，对于s>Tk，λ（s，Tk）=0，对于每k∈K.此外，NXk=1λj（s，Tk）≤ 我代表所有人∈ [0，TN]，（4.2）每∈ [0，TN]和每个坐标j∈ {1，…，n}。Levy LIBOR模型的构建将遵循第3小节的反向归纳法。1.定义，适用于所有k∈\'K和x=（x，…，xN-1) ∈注册护士-1，函数sfk（t，x）：=log1+δkL（0，Tk）exk（4.3）和setF（t，Tk，Tk+1）=efk（t，Xt），k∈K.（4.4）那么，很容易得出f（t，Tk，Tk+1）=1+δkL（0，Tk）eXkt，这与Eberlein和¨Ozkan（2005）的列维伦敦银行同业拆借利率模型的动力学一致，后者由L（t，Tk）=L（0，Tk）exp提供tZb（s，Tk）ds+tZλ（s，Tk）dLs. （4.5）函数fkis Lips chitz连续，常数为1，因此条件（LIP）满足Kk=1∈“好的。

此外，由于假设（EM）和（VOL），条件（INT）也满足每k∈因此，应用定理3.2可得出该模型在终端测量下的漂移Bk=R·b（s，Tk）ds。更准确地说，我们已经做到了xkfk（t，x）=δkL（0，Tk）exk1+δkL（0，Tk）exk=：lk（xk）、16K.GLAU、Z.GRBAC和A.PAPAPANTOLEONandxjfk（t，x）=0，对于j6=k，而alsoddtfk（t，x）=0。此外xkxkfk（t，x）=δkL（0，Tk）exk（1+δkL（0，Tk）exk），以及xixjfk（t，x）=0，代表所有（i，j）6=（k，k）。根据inKallsen（2006）的命题2.4，X的PN特征（bN，cN，FN）由bnt=b（t）cNt给出=∧（t），cLt∧（t）（4.6）FNt（A）=ZRnA（λ（t）x）FLt（dx），A∈ B（注册护士）-1） \\{0}，因此定理3.2中的（漂移）条件变为lk（Xkt）-)b（t，Tk）=-lk（Xkt）-)1+δkL（0，Tk）eXkt-hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-(lk（Xkt）-))hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-N-1Xj=k+1lk（Xkt）-)lj（Xjt）-)hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tj）i（4.7）-ZRN-1小时efk（Xkt）-+xk）-fk（Xkt）-)- 1.N-1Yj=k+1efj（Xjt）-+xj）-fj（Xkt）-)- lk（Xkt）-xk）iFXt（dx）注意lk（Xkt）-)1+δkL（0，Tk）eXkt-+ (lk（Xkt）-))=δkL（0，Tk）eXkt-+ （δkL（0，Tk）eXkt-)（1+δkL（0，Tk）eXkt-)=δkL（0，Tk）eXkt-1+δkL（0，Tk）eXkt-= l（Xkt）-)对于所有的j=k，N- 1、efj（Xjt）-+xj）-fj（Xkt）-)=1+δjL（0，Tj）eXjt-+xj1+δjL（0，Tj）eXjt-=1+δjL（0，Tj）eXjt-+ δjL（0，Tj）eXjt-（例j）- 1） 1+δjL（0，Tj）eXjt-= 1 + lj（Xjt）-)（例j）- 1).LIBOR模型的统一视图17将上述简化插入（4.7）yieldsb（t，Tk）=-hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-N-1Xj=k+1lj（Xjt）-)hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tj）i-ZRNh（exk- 1） N-1Yj=k+11 + lj（Xjt）-)（例j）- 1)- xkiFXt（dx）=-hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tk）i-N-1Xj=k+1lj（Xjt）-)hλ（t，Tk），cLtλ（t，Tj）i-ZRnh（ehλ（t，Tk），yi- 1） N-1Yj=k+11 + lj（Xjt）-)（ehλ（t，Tj），yi- 1)(4.8)- hλ（t，Tk），yiiFLt（dy），其中第二个等式后跟（4.6）。上述方程现在可以被视为L’evy LIBOR模型的漂移条件；参见Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmand（2012年，eq。

(2.7)).备注4.1。伦敦银行同业拆借利率市场模型通过构造满足公理（A1）和（A2）以及属性（B1）和（B4）。另一方面，属性（B2）和（B3）不令人满意。关于（B2），紧接着是命题3。11（至少对于满足（E）的驾驶过程，这通常是这种情况），因为函数fk，k∈在第二个参数中没有。此外，包含随机项δjL（t，Tj）/（1+δjL（t，Tj））的漂移项（4.8）意味着伦敦银行同业拆借利率的向量（L（·Tk））k∈“\'K总体上看是马尔可夫的，但不是单一的伦敦银行同业拆借利率，因为它们的动态也依赖于其他利率。因此，（B3）不成立。最后，在这个模型中，属性（C）显然是满意的。4.2. evy远期价格模式ls。接下来，我们展示了从终端度量构造开始，L’evy forwardprice模型可以很容易地嵌入到我们的通用框架中；从反向归纳法开始更容易。埃伯林和奥兹坎（2005年，第342-343页）介绍了列维远期价格模型；另请参见Kluge（2005）的详细结构，以及Kluge和Papapantoleon（2009）的简要介绍。我们将在终端机测度PN，viaF（t，Tk，TN）=egk（t，Xkt），（4.9）下，对远期价格相对于终端机债券价格的动态进行建模，其中函数gk为以下有效形式gk（t，x）：=logf（0，Tk，TN）+x，（4.10），而过程xk为以下动态xk:=·Zbk，Nsds+N-1Xi=k·Zλ（s，Ti）dLs。（4.11）18 K.GLAU，Z.GRBAC和A.Papapantoleon驱动过程L和波动率函数λ（·Ti）是特定的，而裂谷期bk，由无套利（漂移）条件确定。特别是，L是一个Rn值的时间非齐次L′evy过程，具有满足条件（EM）和波动函数满足条件（VOL）的PN-lo-Cal特征（0，cL，FL）。

函数gk通过常数1满足（LIP′）条件，而过程xk通过（EM）和（VOL）满足（INT′）条件；另见Criens、Glau和Grbac（2015年，备注3.7）。因此，我们可以应用定理3。5，经过一些计算，（漂移′）条件得到thatbk，Nt=-新界北-ZR（前- 1.- x） Fk，Nt（dx）。（4.12）此外，利用Kallsen和Shiryaev（2002b，引理3），随机积分过程的PN-lo-cal特征Xkareck，Nt=*N-1Xi=kλ（t，Ti），cLtN-1Xi=kλ（t，Ti）+（4.13）和fk，Nt（A）=ZRnAN-1Xi=khλ（t，Ti），xi！FLt（dx），A∈ B（R）。（4.14）现在，使用（4.9）–（4.11），我们得到远期价格过程的动力学F（·，Tk，Tk+1）由F（t，Tk，Tk+1）=F（t，Tk，TN）F（t，Tk+1，TN）=F（0，Tk，Tk+1）eXkt提供-Xk+1t=F（0，Tk，Tk+1）exptZ北卡罗来纳州- bk+1，纳秒ds+tZλ（s，Tk）dLs,因此，远期价格过程由其相应的波动率函数和时间不均匀的L’evy过程驱动，如L’evy远期过程模型中所述。我们必须检查dr if t项是否一致。事实上，使用（4.12）-（4.14），经过一些简单的计算，我们得到了bk，Ns- bk+1，Ns=-λ（s，Tk），cLsλ（s，Tk）-N-1Xi=k+1λ（s，Tk），cLsλ（s，Ti）-ZRnnehλ（s，Tk），xi- 1.ePN-1i=k+1hλ（s，Ti），xi- hλ（s，Tk），xioFLs（dx），这正是远期价格过程的PN漂移；与Klugean和Papapantoleon（2009，eqs.（19）-（21））相比。备注4.2。列维远期价格模型通过构造满足公理（A1）和（A2）以及属性（B1）和（B4）。此外，它满足（B2）和（B3）；参见提案3.11。然而，资产（C）并不令人满意，即伦敦银行同业拆借利率可能变为负值；参见备注3.12。LIBOR模型的统一视图194.3。伦敦银行同业拆借利率模型。最后，我们研究了一类由有效过程驱动的LIBOR模型，尤其是Keller-Ressel等人（2013）提出的有效LIBOR模型。

我们主要参考isDu FFIE、Filipovi’c和Schach er mayer（2003）的定义和特性。设X=（Xt）0≤T≤t根据定义2，这是一个保守的有效流程。1和2.5 Indufie等人（2003），状态空间D=R+。我们在这里考虑一维过程只是为了符号的简单性；d维酶可以用完全相同的方式处理。此外，状态空间受限于Keller-Ressel等人（2013）的正半线，这对于生成满足（C）的模型是必要的；另见备注3.12。我们同样可以选择状态空间D=R，模型中的利率也会取负值。过程X是一个具有绝对连续特征的半鞅，X的局部特征（bX，cX，FX）相对于截断函数h（X）：=1∧ x、 为了x∈ D、 给出了asbXt=~b+βXt-cXt=2αXt-FXt（dξ）=F（dξ）+Xt-F（dξ）对于某些b>0，β∈ R、 α>0和L\'evy度量Fand Fon D\\{0}（参见定理2.12 Induffeeet al.（2003）），其中b:=b+Zξ>0h（ξ）F（Dξ）。一个有效过程的特点是其动量生成函数具有以下性质：exp（uXt）= 经验φ（t，u）+ψ（t，u）x, （4.15）对于所有（t，u，x）∈ [0，TN]×IT×D，其中Ex表示关于Px的期望，即X=X的概率度量∈ D、 Px-a.s.此外，由其定义的设定：=U∈ R:前尤克斯顿< ∞, 为了所有的x∈ D, （4.16）而（φ，ψ）是一对确定性函数φ，ψ：[0，TN]×它→ R.函数φ和dψ作为广义Riccati方程的解给出（参见定理2.7 Indufie等人。

（2003年），也就是tφ（t，u）=Fψ（t，u）, φ（0，u）=0tψ（t，u）=Rψ（t，u）, ψ（0，u）=u，（4.17），其中f（u）=bu+Zξ>0euξ- 1.F（dξ），R（u）=αu+βu+Zξ>0euξ- 1.- 呃（ξ）F（dξ）。（4.18）我们接下来介绍一类有效远期价格模型，其中，远期价格是驱动有效过程X的指数函数。在20 K.GLAU、Z.GRBAC和a.Papapantoleon中，我们特别考虑了子部分3的终端度量构造的设置。2其中gk（t，x）=θk（t）+θk（t）x和Xk≡ X.（4.19）下一个结果表明，函数θk，θkar本身就是广义Driccati方程的解。提案4.3。设X是一个有效过程，其值为D，X=1且满足（INT′），gk，k∈是（4.19）给出的函数集合，其中θK，θK:[0，TN]→ R是C类的确定函数。那么，由f（t，Tk，TN）=eθk（t）+θk（t）Xt，t给出的正向价格过程∈ [0，Tk]，（4.20）是一个一致可积鞅，对于所有k∈如果函数θ和θK满足tθk（t）=-Fθk（t）,tθk（t）=-Rθk（t）,（4.21），其中F和R由（4.18）给出。证据过程X通过假设满足（INT′），而函数gk满足（LIP′）。因此，我们可以应用定理3.5，在简单的计算之后，通过将X的特征插入（漂移′）条件并使用该条件，得到结果tgk（t，x）=tθk（t）+tθk（t）x，xgk（t，x）=θk（t），xxgk（t，x）=0。备注4.4。（4.20）给出的有效远期价格模型满足公理（A1）和（A2）以及性质（B1）-（B3）。资产（B4）不令人满意，必须将模型校准到初始期限结构，类似于短期利率模型。

实际上，请注意，与前两个示例相反，初始远期价格F（0，Tk，TN）并未出现在函数gk（t，x）中。此外，这些模型满足性质（C）当且仅当函数θkandθkar是非负的；与备注3.12进行比较。Keller-Ressel等人（2013年）提出的伦敦银行同业拆借利率模型自然可以嵌入这种结构中。更准确地说，我们有以下几点。推论4.5。动态由f（t，Tk，TN）=EN提供的有效伦敦银行同业拆借利率模型eukXTN |英尺= eφ（TN-t、 uk）+ψ（TN）-t、 英国）Xt，带有参数uk∈ R+代表k∈\'K，是θK（t）：=φ（TN）的一种特殊情况- t、 uk）和θk（t）：=ψ（TN）- t、 其中φ（·uk）和ψ（·uk）是（4.17）的解。当然，我们可以使用以下函数gk（t，x）=log F（0，Tk，TN）+θk（t）+θk（t）x，模型会自动确定初始期限结构。然而，很难提供产生非负LIBOR利率的模型。LIBOR模型的统一视图21附录A.半鞅特征和鞅sLet(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T*], P） 完全随机基与T*表示有限的时间范围。在此基础上，设X是一个Rd值半鞅，其特征是绝对连续的，即对于某些截断函数h，其局部特征由（b，c，F；A）给出，At=t；参见Jacod and Shiryaev（2003年，第二部分2.9）。此外，设f:R+×Rd→ R是类C1,2（R+×Rd）的函数。过程f（·，X）是一个实值半鞅，它又具有绝对连续性。让我们用（bf，cf，Ff）来表示转换函数hf的局部特性。

然后，注意到函数f的^o公式成立∈ C1,2（R+×Rd）和推论的证明。6从Goll和Kallsen（2000）中，我们得到了bft=ddtf（t，Xt-) + hDf（t，Xt）-), bti+dXi，j=1Dijf（t，Xt-)cijt+ZRd高频f（t，Xt）-+ 十）- f（t，Xt）-)- hDf（t，Xt）-), h（x）iFt（dx）cft=Df（t，Xt）-), ctDf（t，Xt-)（A.1）Fft（G）=ZRdGf（t，Xt）-+ 十）- f（t，Xt）-)Ft（dx），G∈ B（R\\{0}）。提议A.1。设X是具有绝对连续特征（b，c，F）的Rd值半鞅，设F:R+×Rd→ R是c lassC1，2的函数，因此由Y定义的过程Y:=ef（t，Xt）（a.2）是指数特殊的。如果以下条件保持不变shdf（t，Xt-), bti=-ddtf（t，Xt-) -dXi，j=1Dijf（t，Xt-)cijt-Df（t，Xt）-), ctDf（t，Xt-)（A.3）-ZRdef（t，Xt）-+十）-f（t，Xt）-)- 1.- hDf（t，Xt）-), h（x）iFt（dx），那么Y是局部鞅。证据证明来自定理2.18 inKallsen和Shiryaev（2002a）：设置θ=1并将该定理应用于半鞅f（·X）。事实上，sincef（·，X）具有绝对连续的特征，它也是准左连续的，因此定理2.18的断言（6）和（1）。产量kf（·，X）（1）=eKf（·，X）（1）=Zbft+cft+ZR前任- 1.- hf（x）Fft（dx）dt。22 K.GLAU、Z.GRBAC和A.Papapantoleon通过定义指数补偿器和Kallsen和Shiryaev（2002a）中的定理2.19，得出以下结论：-Kf（·，X）（1）∈ 因此，ef（·，X）∈ 如果Kf（·，X）（1）=0，直到不可区分，则为Mlo cif和on ly。等效地，bft+cft+ZR前任- 1.- hf（x）Fft（dx）=0每t。将bf、cf和Ff、cf（A.1）的表达式插入上述等式条件（A.3）。提议A.2。设X是具有绝对连续c特征（b，c，F）的Rd值半鞅*ZZRd（|x|∧ 1） Ft（dx）dt+T*ZZ | x |>1 | x | eK | x | Ft（dx）dt<C（A.4）和t*Zkctkdt<C，（A.5）对于某些确定性常数C，C>0。

此外，设f:R+×Rd→ Rbe是一类C1,2的函数，全局Lipschitz，即存在一个常数tk>0，使得| f（t，x）- f（t，y）|≤ K | x- y |，t≥ 0，x，y∈ 然后，过程f（·，X）是指数特殊的，而过程Y由（A.2）定义并满足（A.3）是一致可积鞅。证据过程f（·，X）是指数特殊的当且仅当{X |>1}ex* νf∈ V.因此，必须证明1{x |>1}ex*νfT*< ∞, 因为被积函数是正的。因为f是全局Lipschitz，所以我们有{x |>1}ex* νfT*=T*ZZ | x |>1efft（dx）dt（A.1）=T*ZZRd{f（t，Xt）-+十）-f（t，Xt）-)|>1} ef（t，Xt）-+十）-f（t，Xt）-)Ft（dx）dt≤T*ZZK | x |>1eK | x | Ft（dx）dt<∞,由Lipschitz财产和（A.4）持有。LIBOR模型的统一视图，如果F=ef（·X）∈ Mlo c，使用命题3.4 inCriens等人（2015），如果以下条件成立，它也是一致可积鞅：T*Zcft+ZRdh（|x|∧ 1） +|x | ex{|x |>1}iFft（dx）dt<Cf，（A.6）对于某些常数Cf>0。我们首先检查扩散系数的条件*Zcftdt=T*ZhDf（t，Xt）-), ctDf（t，Xt-)idt≤T*Zkctk | Df（t，Xt）-)|dt<Cf，根据（A.5）和Df（·，X-) 是有界的，因为f是全局Lipschitz。至于跳跃部分，我们有*ZZR（|x）|∧ 1） Fft（dx）dt+T*ZZ | x |>1 |x | exFft（dx）dt（A.1）=T*ZZRd（| f（t，Xt）-+ 十）- f（t，Xt）-)|∧ 1） Ft（dx）dt+T*ZZRd{f（t，Xt）-+十）-f（t，Xt）-)|>1} ×| f（t，Xt）-+ 十）- f（t，Xt）-)| ef（t，Xt）-+十）-f（t，Xt）-)Ft（dx）dt≤T*ZZRd（K | x|∧ 1） F（dx）dt+T*ZZK | x |>1K | x | eK | x | Ff（dx）dt<Cf，再次使用Lipschitz性质和（A.4）。接下来，我们证明了Y的随机指数表示。引理A.3。设X是具有绝对连续特征（B，C，ν）的Rd值半鞅，设f:R+×Rd→ R+是类c1,2（R+×Rd）的函数。通过（a.2）定义实值半鞅Y。