随机区间上的布朗桥

然后我们得到等式ia=g（βt）L（ξ，…，ξn），设置ηk:=Wtktk-Wtk-1tk-1，k=1，n、 我们有ξk=ηkon{τ>t}，k=1，n、 但是，对于r>t，随机向量（η，…，ηn，βrt，βrt+h）是高斯的，用cov（X，Y）表示两个随机变量X和Y之间的协方差，我们得到cov（ηk，βrt）=cov（ηk，βrt+h）=0，k=1，n、 因此（η，…，ηn）独立于（βrt，βrt+h），并且，用符号h（x，y）：=f（x）g（y），我们也得到了L（η，…，ηn）独立于h（βrt+h，βrt）。现在我们可以陈述下面的引理，这将允许完成定理3.1的证明。引理3.1。让H:R7→ R是一个可测量的函数。假设H是非负的或E[|H（βt+H，βt）|]<+∞. 那么随机变量H（βt+H，βt）I{τ>t}和L（η，…，ηn）是不相关的：EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）= EH（βt+H，βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]随机区间上的布朗桥。利用全概率公式和引理2.4，我们得到H（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）=^（t+∞)EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）|τ=rdF（r）=^（t+∞)EHβrt+h，βrtL（η，…，ηn）dF（r）=^（t+∞)EHβrt+h，βrtdF（r）E[L（η，…，ηn）]=EH（βt+H，βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]。引理的证明已经完成。我们现在证明（3.3）对于A的特殊选择。从上面的引理3.1中，我们有^A∩{τ>t}f（βt+h）dP=EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（ξ，…，ξn）= EH（βt+H，βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）= Ef（βt+h）g（βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]=EE[f（βt+h）|βt]g（βt）I{τ>t}E[L（η，…，ηn）]=EE[f（βt+h）|βt]g（βt）I{τ>t}L（η，…，ηn）= EE[f（βt+h）|βt]g（βt）I{τ>t}L（ξ，…，ξn）=^A∩{τ>t}E[f（βt+h）|βt]dP，这证明了（3.3）是真的，这就结束了证明。备注3.1。请注意，马尔可夫性质被简单地扩展到完全过滤FP。4.

默认时间τ的Bayes估计本节的基本目的是基于对时间t之前的信息过程β的观察，提供对未知默认时间τ的估计≥ 0，观测值用σ-代数表示，由于马尔可夫性质，β2的观测值是有效的。为此，利用贝叶斯方法是很自然的。其想法是利用从流动观察中获得的知识（βt，t≥ 0）用于更新τ的初始知识。在时间0时，市场代理人只有关于τ的先验知识，由其分布函数F表示。随着时间的推移，有关违约的信息变得可用。利用Bayes定理（参见附录f oreasy参考文献），可以导出基于β到t的随机区间9上的布朗桥观测的τ的后验分布，并且通过这种方式，代理可以更新其初始知识，获得对默认时间τ的更精确估计。在本节中，由β在时间t的未来生成的σ-代数由FPt表示，∞:= σ（βs，t）≤ s≤ +∞) ∨ NP下面是关于马尔可夫过程的一个标准结果：引理4.1。设X=（Xt，t）≥ 0）是适应过滤F=（Ft）t的随机过程≥0.那么下列等式是等价的：（i）X是关于F的Markov（ii）对于每个t≥ 0和有界（或非负）σ（Xs，s）≥ t） -可测随机变量Y一相[Y | Ft]=E[Y | Xt]，P-a.s.证明。参见[3，第一章，定理（1.3）]。下一个命题描述了基于FPt观测的τ的后验分布的结构。提议4.1。尽管如此≥ 0，它能容纳（4.1）个Pτ ≤ u | FPt= I{τ≤T∧u} +P（t<τ）≤ u |βt）I{t<τ}，P-a.s.证明。显然，我们有{τ≤ u} ={τ≤ T∧ u}∪ {t<τ≤ u} 。上述分解右侧的第一组将生成该语句的第一个命令。

然后有必要观察到我们有关系{t<τ≤ u} ={βt6=0，βu=0}P-a.s.其中上述等式右侧的集合属于FPt，∞. 它仍然需要应用引理4。1以完成对陈述的证明。回顾F表示τ的分布函数，以及定义函数φt（r，x）（等于时间t<r时布朗桥βr的密度）的公式（2.1），我们得到了以下结果，它提供了τ的后验分布的显式形式，基于对β直到t的观察。定理4.1。让t>0。然后，对于所有u>0的情况，P-a.s.Pτ ≤ u | FPt= I{τ≤T∧u} +^（t，u]~nt（r，βt）dF（r）^（t+∞)νt（v，βt）dF（v）I{t<τ}。（4.2）证据。结果是命题4.1和贝叶斯公式的结果（见推论a.1）。定理4.1可以推广到R+上的函数g，如下推论所述。随机区间上的布朗桥10Corollary 4.1。设t>0，g:R+→ R是一个Borel函数，使得e[|g（τ）|]<+∞. 然后，P-a.s.，Eg（τ）|FPt= g（τ）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r）~nt（r，βt）dF（r）^（t+∞)νt（v，βt）dF（v）I{t<τ}。（4.3）证据。如果函数g是有界的，则该语句紧接着将单调类定理应用于简单函数，其中可以使用定理4.1。在一般情况下，g必须通过有界函数和极限来逐点逼近。备注4.1。我们指出，由（4.4）φt（r，x）定义的函数φtde:=φt（r，x）^（t+∞)νt（v，x）dF（v），（r，t）∈ (0, +∞) ×R+，x∈ 对于t<R，R是基于观测βt=x的{τ>t}上τ的后验密度函数（见推论a.2）。

然后，关系式（4.2）表示基于FPt观测的τ的后验分布τ ≤ u | FPt= I{τ≤t} +^（t，u]φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，P-a.s.，而（4.3）等于表达式g（τ）|FPt= g（τ）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，P-a.s.在这里，可以看到上面给出的τ的贝叶斯估计如何通过观察时间t.5的信息过程β，更好地了解默认时间τ。Bayes估计的扩展在本节中，我们将讨论第4节中提供的τ的Bayes估计的扩展。大致来说，我们将推导公式，其中包括第4节中讨论的贝叶斯估计，以及信息过程β在某个时间u的预测，后者与第3节中证明的马尔可夫性有关（见定理3.1）。首先，我们将陈述一个引理，用于证明本节的主要结果。随机区间上的布朗桥11引理5.1。让0≤ t<u和g是（0+∞) x r证明g（τ，βu）是可积的。然后它就有了P-a.s.Eg（τ，βu）I{t<τ}FPt= E[g（τ，βu）|βt]I{t<τ}=E[E[g（τ，βu）|σ（τ）∨ σ（βt）]|βt]I{t<τ}=E[（E[g（r，βru）|βrt]）r=τ|βt]I{t<τ}。证据很明显，第一个等式成立，因为g（τ，βu）I{t<τ}是Ft，∞-可以测量，因此引理4.1可以应用。第二个平等是显而易见的。设h为任意有界Borel函数。用引理2.4我们得到了g（τ，βu）h（βt）I{t<τ}=^（t+∞)E[g（r，βru）h（βrt）]dF（r）=^（t+∞)E[E[g（r，βru）h（βrt）|βrt]]dF（r）=^（t+∞)E[E[g（r，βru）|βrt]h（βrt）]dF（r）=EE[g（r，βru）|βrt]r=τh（βt）I{t<τ},也就是说，E（g（τ，βu）- E[g（r，βru）|βrt]r=τ）h（βt）I{t<τ}= 但h是任意的，因此[g（τ，βu）|βt]=E[E[g（r，βru）|βrt]r=τ|βt]，P-a.s.在{t<τ}上，对于t<u。

下一个定理由以下结果准备。提议5.1。让t≥ 0和g是一个可测函数，使得g（τ，βt）是可积的。那么，P-a.s.，Ehg（τ，βt）| Fβti=g（τ，0）I{τ≤t} +^（t+∞)g（r，βt）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。证据这句话在集合{τ上很清楚≤ t} 。在集合{t<τ}上，我们首先证明了它对于有界可测函数g，并且通过一个单调类参数，可以考虑形式为g（τ，βt）=g（τ）g（βt）的函数g，其中gand gare有界可测函数。然后我们得到了ehg（τ，βt）|FβtiI{t<τ}=\'（t+∞)g（r）~nt（r，βt）dF（r）\'）（t+∞)νt（v，βt）dF（v）I{t<τ}g（βt）=^（t+∞)g（r，βt）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。如果g是一个非负可测函数，我们可以将上述结果应用于函数gN:=g∧ 最后，在一般情况下，结果是随机区间上的布朗桥对于正负部分g+和g都成立-关于g，对于g=g+- G-平等源于双方的线性关系。我们现在可以陈述本节的主要结果。定理5.1。设0<t<u和g为（0+∞) x R使得E[|g（τ，βu）|]<+∞. 然后，P-a.s.Eg（τ，βu）|FPt= E[g（τ，βu）|βt]=g（τ，0）I{τ≤t} +^（t，u]g（r，0）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}+^（u+∞)^Rg（r，y）pR- 呃- t（u）- t） ，y，r- 呃- tβtdyφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，其中p（t，·，y）是具有均值y和方差t证明的高斯密度。关于集合{τ≤ t} 该声明是τ是FP停止时间，βu=0在{τ上的结果≤ t<u}。在集合{t<τ}上，从引理5.1我们得到g（τ，βu）|FPtI{t<τ}=E[g（τ，βu）|βt]I{t<τ}=Eg（τ，0）I{t<τ≤u} |βt+ Eg（τ，βu）I{u<τ}βt,P-a.s。

我们注意到，由于推论4.1Eg（τ，0）I{t<τ≤u} |βt=^（t，u]g（r，0）φt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。另一方面，从（2.2）开始，对于t<u<r，E[g（r，βru）|βrt=x]=Rg（r，y）pR- 呃- t（u）- t） ，y，r- 呃- 德克萨斯州dy=：Gt，u（r，x）。（5.1）由引理5.1和（5.1）可知，在{t<τ}P-a.s.，Eg（τ，βu）I{u<τ}βt= 嗯Eg（r，βru）I{u<r}|βrtr=τ|βti=E（Gt，u（r，βrt））r=τ|βt= E[Gt，u（τ，βt）|βt]=^（u+∞)Gt，u（r，βt）φt（r，βt）dF（r），其中后一等式来自命题5.1。例5.1。作为定理5.1的直接结果，对于t<u，我们可以计算βugivenβtbyE的条件期望βu | FPt= βt^（u+∞)R- 呃- tφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，P-a.s.，随机区间上的布朗桥13和βugivenβt的条件分布：ForΓ∈ B（R），P-a.s.，（5.2）Pβu∈ Γ| FPt= I{0∈Γ}I{τ≤t} +I{0∈Γ}^（t，u]φt（r，βt）dF（r）I{τ≤t} +^（u+∞)^ΓpR- 呃- t（u）- t） ，y，r- 呃- tβtdyφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}。备注5.1。从因子（r- u） /（r）- t） 在（5.2）中，我们看到过程β不可能是齐次马尔可夫过程，因为P（βu∈ Γ| FPt）不仅仅依赖于u- t和（βt，Γ）。马尔可夫性质在这一节中，我们将加强关于信息过程β的马尔可夫性质的定理3.1。我们将证明β不仅是关于过滤F（或FP）的马尔科夫过程，而且是关于Fβ的马尔科夫过程，Fβ是包含FAN且满足通常条件的最小过滤。一个重要的结果是，过滤FP和Fβ是相等的，这相当于说过滤FP是正确的连续的。结果在下面的定理中陈述。定理6.1。过程β是关于过滤β的马尔可夫过程，即Ehg（βu）| Fβti=e[g（βu）|βt]，P-a.s.对于所有0≤ t<u和所有可测函数g，使得g（βu）是可积的。证据证据分为两个主要部分。

在第一部分中，我们证明了t>0的上述定理，而在第二部分中，我们考虑了t=0的情况。在整个证明过程中，我们可以在不损失一般性的情况下假设函数g是连续的，并且有一定的恒量∈ R+。对于证明的第一部分，设t>0为严格正实数，设（tn）n∈Nbe从上方收敛到t的递减序列：0<t<tn+1<tn<u，tn↓ t as n→ ∞. 从Fβ的定义来看，Fβt=Tn∈NFPTN在这里我们回忆起FPv=σ（βs，0≤ s≤ v）∨ NP，v≥ 因此，Ehg（βu）| Fβti=limn→∞Eg（βu）| FPtn, P-a.s.根据定理5.1和Gtn的定义，uby（5.1）我们知道，astn<u，P-a.s.Eg（βu）| FPtn= E[g（βu）|βtn]=g（0）I{τ≤tn}+g（0）^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）I{tn<τ}（6.1）+^（u+∞)Gtn，u（r，βtn）φtn（r，βtn）dF（r）I{tn<τ}。随机区间上的布朗桥14我们想证明Limn→∞Eg（βu）| FPtn= E[g（βu）|βt]，P-a.s.使用（6.1）和定理5.1，我们可以看到，如果满足以下两个恒等式，P-a.s.在{t<τ}:limn上，后一种关系成立→∞^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）=^（t，u]φt（r，βt）dF（r），（6.2）limn→∞^（u+∞)Gtn，u（r，βtn）φtn（r，βtn）dF（r）=^（u+∞)Gt，u（r，βt）φt（r，βt）dF（r）。（6.3）关系式（6.2）可推导如下。证明（6.2）。回顾由（4.4）φtn（r，βtn）=tn（r，βtn）^（tn）+∞)^tn（v，βtn）dF（v），tn<r，（6.2）左侧的积分可以重写为^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）=^（tn，u]^tn（r，βtn）dF（r）^（tn+∞)~ntn（v，βtn）dF（v）。计划是将勒贝格有界收敛定理应用于上述表达式的分子和分母。为此，我们必须证明被积函数φtn（·βtn）的P-a.s.点态收敛性和一致有界性。我们首先关注函数（t，r，x）7→ 由（2.1）定义的φt（r，x），在（0+∞) × [0, +∞) ×R\\{0}。

设置аt(+∞, x） ：=p（t，x，0）对于每t>0和x∈ R、 我们看到结果函数（t，R，x）7→ §t（r，x），现在定义为（0+∞)×[0, +∞]x R\\{0}也是连续的。因此limn→∞ηtn（r，βtn）=ηt（r，βt），P-a.s.在τ>t上，提供逐点收敛。为此，我们注意到集合{t<τ}上的βt6=0 P-a.s。现在我们来计算ω∈ Ohm 使得t<τ（ω）和βt（ω）6=0。然后集合{tn:n∈ N} ×（t+∞] ×{βtn（ω）：n∈ N} 等维包含在（0+∞) × [0, +∞] ×R\\{0}（取决于ω）。这意味着φtn（r，βtn（ω））是有界的（以ω为常数）。利用Lebesgue有界收敛定理，我们可以得出→∞^（tn，u]~ntn（r，βtn（ω））dF（r）=^（t，u]~nt（r，βt（ω））dF（r）。因此，我们证明了LIMN→∞^（tn，u]~ntn（r，βtn）dF（r）={t<τ}P-a.s.随机区间上的布朗桥上的^（t，u]~nt（r，βt）dF（r）这对区间（tn+∞)和（t+∞) （而不是（tn，u]和（t，u]）。关系式（6.2）紧随其后。让我们通过证明平等（6.3）确实是真的来结束第一部分的证明。证明（6.3）。回想一下t<tn<u，n∈ N.我们首先注意到功能7→ PR- 呃- tn（美国）- tn）、y、r- 呃- tnβtn是R上所有n的密度。用n（u，σ）表示正态分布，期望值为u，方差为σ，因此概率测量n（R-呃-tnβtn（ω），r-呃-tn（美国）- tn）弱收敛到N（r）-呃-tβt（ω），r-呃-t（u）- t） ）。由于函数g以M为界，我们得到了| Gtn，u（r，βtn（ω））|=^Rg（y）pR- 呃- tn（美国）- tn）、y、r- 呃- tnβtn（ω）dy≤ M<+∞ .（6.4）此外，limn→∞Gtn，u（r，βtn（ω））=limn→∞^Rg（y）pR- 呃- tn（美国）- tn）、y、r- 呃- tnβtn（ω）dy=^Rg（y）pR- 呃- t（u）- t） ，y，r- 呃- tβt（ω）dy=Gt，u（r，βt（ω））（6.5）紧随g有界且连续的假设，并结合高斯测度StatedBove的弱收敛性。

现在（6.3）可以使用Lebesgue的有界收敛定理和P-a.s.有界性和P点收敛验证的Gtn、u（r，βtn（ω））和φtn（r，βtn（ω））（以及φtn（r，βtn（ω））的性质导出。定理证明的第一部分现在已经完成。在证明的第二部分，我们考虑t=0的情况，它分为两步。在第一步中，我们假设存在ε>0，使得P（τ>ε）=1，在第二步中，我们将放弃该条件。假设存在ε>0，使得P（τ>ε）=1。让（tn）n∈Nbe收敛到0:0的严格正实数递减序列tn+1<tn，tn↓ 0作为n→ ∞. 在不丧失一般性的情况下，我们假设所有n都小于ε∈ N.那么（4.4）可以重写如下：（6.6）φtn（r，βtn）=√2πtnqrr-特内普-βtnr2tn（r-tn）i^（ε+∞)√2πTNQS-特内普-βtns2tn（s-tn）以色列国防军+∞)（r） 。我们有以下辅助结果：随机区间上的布朗桥16引理6.1。假设P（τ>ε）=1。然后函数r7→ φtn（r，βtn）是Pτ-a.s.一致有界于某个常数K=K（ε，ω）<+∞ 对于所有r>0，limn→∞φtn（r，βtn）=1，P-a.s.证明。见附录C。现在，我们来证明在P（τ>ε）=1的附加假设下，t=0时β关于toFβ的马尔可夫性质。

因为Ehg（βu）| Fβi=limn→∞Eg（βu）| FPtn, 与第一部分一样，有必要验证（6.7）limn→∞Eg（βu）| FPtn= 利用全概率公式，推论2.2和（2.1），我们可以计算出[g（βu）|β]=E[g（βu）]=g（0）F（u）+^（u+∞)^Rg（y）pR- 乌鲁，y，0dy-dF（r）。因此，回顾（6.1）中计算（6.7）左侧的定义，以及Gtn、UAN和Gt、uby（5.1）的定义，并注意到明显的关系→∞I{τ≤tn}=0，证明以下两个等式P-a.s.是足够的：limn→∞^（tn，u]φtn（r，βtn）dF（r）=F（u），（6.8）limn→∞^（u+∞)Gtn，u（r，βtn）φtn（r，βtn）dF（r）=^（u+∞)Gt，u（r，βt）dF（r）。（6.9）第一个等式依赖于引理6.1和勒贝格有界收敛定理。为了验证第二个等式，我们使用了Lebesgue有界收敛定理和引理6.1，以及序列Gtn，u（·βtn）（SEE（6.4）和（6.5））的有界性和点态收敛性。现在我们来看τ>0的一般情况。设ε>0为任意值，但为固定值。在接下来的过程中εβ=（εβt，t≥ 0）表示由εβt:=（βrt）r=τ定义的过程∨ε. 过程εβ的自然过滤将由Fε=（Fεt）t决定≥其中Fεt:=σ（εβs，0≤ s≤ t） 。显然，为了证明β在t=0时相对于Fβ的马尔可夫性质，有必要证明Fβ：=F0+∨ NPP是微不足道的。为了证明F0+∨ NP确实是平凡的σ-代数，我们考虑一个集合a∈ 我们证明了如果P（A）>0，那么P（A）=1。如果P（A）>0，则存在ε>0使得P（A）>∩ {τ > ε}) > 0.自从∈ F0+，因此∈ fu代表所有0<u≤ ε，因此，A∩ {τ > ε} ∈ Fu |{τ>ε}∨ 其中Fu |{τ>ε}表示τ>ε集上随机区间17上FuBROWNIAN桥的迹σ-场。此外，在集合{τ>ε}上，对于所有t，βt=εβt≥ 0，即β和εβ在{τ>ε}上产生相同的痕迹过滤，因此∩ {τ > ε} ∈ Fεu |{τ>ε}∨ NP