随机区间上的布朗桥

因此，存在一个集合Au∈ Fεu取（6.10）A∩ {τ>ε}=Au∩ {τ>ε}P-a.s.，对于所有0<u≤ ε. 将u替换为1/n，表示n∈ N足够大，定义为A:=lim supn→∞A1/n，我们得到∈ Fε0+。我们从证明的第二部分的第一步得知，σ-Fε0+isP是平凡的，因此P（A）∈ {0, 1}. 然而，根据等式（6.10），我们得到了P-a.s.，a∩ {τ>ε}=A∩ {τ > ε}. 假设我们有∩ {τ>ε}>0，因此P（A）∩ {τ>ε}）=P（A∩ {τ>ε}>0，这意味着P（A）=1，因此，我们得到P（A）∩ {τ>ε}）=P（{τ>ε}）。由于ε是任意的，我们可以取ε的极限↓ 得到P（A）=P(Ohm) = 1，证据到此为止。推论6.1。过滤FPS满足了权利连续性和完整性的一般条件。证据参见，例如[3，（第一章，（8.12））]。作为推论6.1的结果，过滤Fβ和Fp重合，尤其是σ-代数Fβ是P-平凡的。备注6.1。值得一提的是，事实上，推论的陈述。1与定理3.1相结合，等于定理6的陈述。1.7. 信息处理的半鞅分解本节讨论β相对于Fβ的半鞅分解。首先，我们回顾了一般可测量过程X的可选投影的概念。命题7.1。设X为非负可测过程，F a过滤满足通常条件s。存在一个独特的（直到无法区分）F选项al processoX，例如XTI{T<+∞}|英尺=oXTI{T<+∞}, P-a.s.对于每个F-停止时间T。证据例如，见[14，第四章，（5.6）]。定义7.1。（i） processoX称为非负可测过程X相对于F的可选投影。（ii）设X为任意可测过程。

然后，我们定义了X与F asox（ω）的最优投影onox:=（oX+t（ω）-公牛-t（ω），ifoX+t（ω）∧公牛-t（ω）<+∞,+∞, 否则，布朗桥在随机区间18ox+（resp.oX-) 是正极部分X+的可选项目（分别是负极部分X-) 与F.备注7.1有关的X。设ξ为任意随机变量，G为F的子σ域。然后条件期望E[ξ+| G]和E[ξ-|G] 根据上述定义，我们同意定义条件期望E[ξ| G]byE[ξ| G]：=（E[ξ+| G]- E[ξ-|G] ，关于{E[ξ+|G]∧ E[ξ-|G] <+∞},+∞, 否则现在让X是一个任意的可测量过程，F a满足通常条件。我们要强调的是，在哈维之间的每一次停车时间XTI{T<+∞}|英尺=oXTI{T<+∞}, 特别是，对于所有t，E[Xt | Ft]=oXt，P-a.s≥ 0.接下来，我们将陈述过滤理论的一个著名结果的一个轻微扩展，该结果将在续集中使用。读者可以在[11，命题5.10.3.1]或[15，第六章，（8.4）]中找到参考文献。首先，我们将介绍以下定义。定义7.2。假设B是一个连续的过程，F是过滤，T是搅拌时间。如果B是一个平方变化过程为hB，Bi:hB，Bit=T的F-鞅，则B称为停在T处的F-布朗运动∧T，T≥ 0.命题7.2（创新引理）。设F=（Ft）t≥当过滤满足通常条件时，F停止时间和F布朗运动在T停止。设Z=（Zt，t）≥ 0）为F可选流程，以便（7.1）E^t|Zs|ds< +∞, T≥ 0.让进程X=（Xt，t≥ 0）由下式给出：=^tZsds+Bt，t≥ 0 .表示Z相对于FX=（FXt）t的可选投影≥0.然后进程b，bt:=Xt-^toZsds，t≥ 0是一个停在T的FX布朗运动。证据为了便于参考，附录B中提供了该结果的证明。

随机区间上的布朗桥19在本节剩余部分中，我们将使用过滤G=（Gt）t≥0定义为（7.2）Gt:=\\u>tFβu∨ σ（τ），t≥ 0，等于过滤Fβ的初始放大系数σ-代数σ（τ）。在续集中，过程Z=（Zt，t≥ 0）定义为（7.3）Zt:=βtτ- tI{t<τ}，t≥ 0 .下面的辅助结果将用于证明过程β的半鞅性质。引理7.1。我们有^t|Zs|ds< +∞ 尽管如此，t≥ 0 .证据使用全概率公式，推论2.2和（2.1），我们可以计算^t|Zs|ds=^+∞^t∧rE |βrs |/（r- s） ds-dF（r）=（2/π）1/2^+∞R-1/2^t∧rs1/2（r）- （s）-1/2秒方位角（右）。上述表达式右侧的外积分可分为两个积分，第一个积分在（0，t）上，第二个积分在（t+∞).对于第一个积分，我们看到^（0，t]r-1/2^t∧rs1/2（右- （s）-1/2ds测向（右）≤^（0，t）^t∧r（r）- （s）-1/2ds dF（r）=^（0，t]2 r1/2dF（r）≤ 2 t1/2<+∞ .第二个积分可以估计如下：^（t+∞)R-1/2^t∧rs1/2（r）- （s）-1/2ds测向（右）≤ t1/2^（t+∞)R-1/2^t（r- （s）-1/2ds测向（右）≤ t1/2^（t+∞)R-1/22 r1/2dF（右）≤ 2 t1/2<+∞ .引理的陈述现在被证明了。随机区间上的布朗桥推论7.1。由（7.3）定义的Z可积于Lebesguemeasure P-a.s.：P^t|Zs|ds<+∞= 1.尽管如此≥ 0 .备注7.2。从推论7.1的观点来看，可以发现一个过程Z与Z是可区分的，因此Zsds<+∞ 尽管如此，t≥ 到处都是0（不仅仅是P-a.s.）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设Z具有这个性质。如果不是这样，我们可以在一个可忽略的集合上修改z的路径。通过这种修改，关于任何过滤F的可选projectionoZ将保持在同一类不可区分的过程中。

我们还可以修改β，将β=0放在可忽略的集合上，在该集合中，所有t的ab ove积分都不是有限的。这样，Z的所需属性将自动填充。备注7.3。（i） 过程Z对于过滤GBE是可选的，因为Z是正确的连续和G适应的。（ii）设l+为R+上的勒贝格测度。由于引理7.1，使用富比尼定理，存在R+的可测子集∧，使得L+（R+\\∧）=0和E[|Zt|]<+∞ 尽管如此，t∈ Λ. 为了以后的使用，我们用这些属性定义了一组∧。（iii）第4节中获得的公式允许计算Z相对于集∧：上的过滤Fβ的可选投影∈ ∧我们有P-a.s.oZt=EhZt | Fβti=Eβtτ- tI{t<τ}|βt= βt^（t+∞)R- tφt（r，βt）dF（r）I{t<τ}，其中第一个等式来自注释7.1，第二个等式来自过程β的马尔科夫性质和过程Z的定义（7.3），而第三个等式直接来自命题5.1和βt相对于σ（βt）的可测性。请注意，在ab ove equality中，每个t都定义了所有术语≥ 0，t∈ 只有第二个和第三个等式才需要∧。提议7.3。过程B=（Bt，t≥ 0）定义为（7.4）Bt:=βt+^tZsds，t≥ 0是在τ处停止的G-布朗运动。证据注意，根据推论7.1和备注7.2，过程（Zt，t≥ 0）对于勒贝格测度是不可积分的，因此B是明确的。很明显，过程B是连续的和G适应的。为了证明它确实是一个在τ处停止的G-布朗运动，必须证明随机区间21上的过程B和过程X定义为Xt:=Bt- （t）∧ τ） ，t≥ 都是G-鞅。为此，我们将使用推论2.2。首先我们证明了B是G-鞅。让n∈ N是一个任意但固定的自然数，0<t<。。。

<tn-1<tn:=t，h≥ 0和g是任意有界的Borel函数。回顾Brin（2.3）的定义，我们有[Bt+h]- Bt）g（βt，…，βtn，τ）=^（0+∞)E[（Bt+h- Bt）g（βt，…，βtn，τ）|τ=r]dF（r）=^（0+∞)EBrt+h- 快速公交Gβrt，βrtn，rdF（r）=0，因为Bris是布朗运动，因此是关于βr生成的过滤的鞅（参见引理2.2）。利用单调类变元，可以很容易地导出B是关于G的鞅。还有待证明过程X是G-鞅。放置Xrt:=（快速公交）- （t）∧ r） ，t≥ 0，重复我们上面提到的相同论点，我们看到e[（Xt+h- Xt）g（βt，…，βtn，τ）=^（0+∞)E[（Xt+h）- Xt）g（βt，…，βtn，τ）|τ=r]dF（r）=^（0+∞)EXrt+h- XrtGβrt，βrtn，rdF（r）=0，因为Xris是关于βr生成的过滤的鞅。由此可知，X是关于G的鞅。这就完成了引理7.3的证明。我们现在准备陈述本节的主要结果。定理7.1。过程b=（bt，t≥ 0）由Bt给出：=βt+^tEβsτ- sI{s<τ}βsds=βt+^tβs^（s+∞)R- sφs（r，βs）dF（r）I{s<τ}ds，（7.5）其中secon d等式保持P-a.s.，是一个在τ处停止的Fβ-布朗运动。因此，信息过程β是一个Fβ-半鞅，其分解由（7.5）决定。证据首先，我们注意到，引理7.1和备注7.1和7.3（iii）明确了（7.5）的第二项和第三项的定义≥ 它们等于l+-a.e.，在[0，t]×上可积Ohm 关于l+×P，这就得到了第二个等式P-a.s。现在我们可以把命题7.2应用到过程中(-Z） X，其中X由Xt=\'t定义(-Zs）ds+Bt，t≥ 0.随机区间上的布朗桥22根据命题7.3，我们知道过程B与Bt:=βt+\'tZsds，t≥ 0是在τ处停止的G-布朗运动（见命题7.3）。注意x=β。

根据命题7.2，过程b的BT=Xt-^to(-Z） sds=βt+^toZsds=βt+^tEβsτ- sI{s<τ}βsds是一个布朗运动，停在τ处，关于FX=Fβ，这里我们用注释7.3（iii）表示第三个等式。这就完成了定理7.1的证明。备注7.4。注意，信息处理β的二次变化hβ，βi由hβ，βit=hb，bit=t给出∧ τ、 t≥ 0 .这直接源自β的半鞅分解（7.5），例如，参见[14，第四章，（1.19）]（二次变化不依赖于过滤，前提是过程是连续半鞅）。8。示例：信用违约掉期（CDS）是信贷市场上交易的一种相当常见的金融合同，为信用违约掉期定价。到期日T>0的CDS是指买方与卖方之间的合同，买方希望防止金融资产违约在T之前发生。如果在T之前未发生违约，买方将向卖方支付一笔费用，直至到期。但是，如果违约时间τ发生在到期日之前，费用将一直支付到违约，然后卖方将立即向买方支付预先确定的金额δ，称为回收。恢复可能取决于默认值出现的时间，因此，它由正函数δ[0，T]建模→ R+。我们遵循[2]中提出的方法，读者也可以在[11，第7.8章]中找到一些细节。我们假设无违约即期利率r是恒定的，并且买方必须向卖方支付的费用是按照一定的利率κ>0持续支付的，也就是说，买方必须在dt到τ的时间内支付一笔金额κdt∧ T如果违约时间τo在到期日T之前出现，卖方将在到期日τ向买方支付一笔回收费δ（τ）。

如果定价指标为P，市场过滤为G=（Gt）≥0时，CDS在T时的价格St（κ，δ，T，r）由（8.1）St（κ，δ，r，T）给出：=ertEE-rτδ（τ）I{t<τ≤T}-^T∧τt∧τe-rvκdv | Gt.我们想将我们模型中得到的结果与[2]中给出的结果进行比较。然而，与[2]不同的是，我们将自己简化为一种简单的情况，即市场过滤可以是使τ成为停止时间的最小过滤H，或信息过程β产生的过滤Fβ。值得注意的是，使τ成为停止时间的最小过滤在随机区间上的布朗桥23过滤放大理论及其在信用风险数学模型中的应用中特别重要。我们参考了一系列论文[8,9,10]和书[11]中关于数学金融的主题，其中使用了过滤，并参考了书[6]和书[7]，从数学角度对主题进行了讨论。下面，让我们进一步假设r=0。我们首先将市场过滤G=H的定价公式称为命题8.1。如果市场过滤G是最小过滤H=（Ht）t≥0这使得τ成为一个时间点，那么时间点的价格st（κ，δ，0，T）由T（κ，δ，0，T）=E给出δ（τ）I{t<τ≤T}- κ ((τ ∧ （T）- t） I{t<τ}|Ht= I{t<τ}G（t）-^Ttδ（v）dG（v）- κ^TtG（v）dv（8.2）式中G（u）：=P（u<τ）=1- 对于每一个u，F（u）应该严格大于0∈ [0，T]。证据参见[2，引理2.1]。在我们的模型中，即如果市场过滤是过滤Fβ=（Fβt）t≥0由信息过程β生成，定价公式如下所示。提议8.2。

如果G=Fβ，那么在时间T时的价格St（κ，δ，0，T）由T（κ，δ，0，T）=Ehδ（τ）I{T<τ给出≤T}- κ ((τ ∧ （T）- t） I{t<τ}| Fβti（8.3）=I{t<τ}-^Ttδ（v）dvψt（v）- κ^Ttψt（v）dv（8.4）式中ψt（u）：=P（u<τ| Fβt）=\'+∞uφt（v，βt）dF（v）和上述公式中的dvψt（v）表示积分是用v作为积分变量计算的。证据关于（8.3）中的第一项，鉴于推论4.1和（4.4），我们有，P-a.s.：Ehδ（τ）I{t<τ≤T}Fβti=I{T<τ}Ttδ（v）φT（v，βT）dF（v）=I{T<τ}Ttδ（v）dvΦT（v），其中ΦT（v）：=P（τ）≤ v | Fβt）=1- ψt（v）和henceEhδ（τ）I{t<τ≤T}|Fβti=I{T<τ}^Ttδ（v）dvΦT（v）（8.5）=-I{t<τ}Ttδ（v）dvψt（v）。（8.6）随机区间上的布朗桥关于（8.3）中的第二项，再次考虑推论4.1和（4.4），我们得到了P-a.s.，EhT∧ τ| FβtiI{t<τ}=^TtvdvΦt（v）+t（1）- Φt（t））I{t<τ}=-^Ttvdvψt（v）+tψt（t）I{t<τ}=^Ttψt（v）dv+tψt（t）I{t<τ}。（8.7）在价格公式（8.3）中插入（8.5）和（8.7），并注意到ψt（t）=1on{t<τ}P-a.s，我们得到了断言的结果（8.4）。提案的证明已经完成。虽然（8.2）和（8.4）之间有一个正式的类比，但定价公式是相当不同的。第二个公式（8.4）的信息量要大得多，因为它使用了β的观测值和τ的Bayes估计值，即观测βt后τ的后验分布。鉴于t<τ，则（8.2）中的价格是一个确定性值，而（8.4）中的价格取决于观测βt。所谓的CDS在时间t的公平价差是值κ*这样St（κ*, δ、 0，T=0。

在我们的模型中，我们有κ*= -`Ttδ（r）drψt（r）`Ttψt（r）dr而在市场过滤为H的简单情况下，公平分布由κ给出*= -\'\'Ttδ（r）dG（r）\'\'TtG（r）dr.在处理与信用风险相关的问题时，有必要考虑这样一种情况，即市场过滤是通过用另一种过滤D=（Dt）t逐步扩大参考过滤F而获得的过滤G≥0，负责建模与默认时间τ相关的信息。传统上，过滤D与在τ处发生的单跳过程产生的过滤H相等。我们打算考虑一种不同的设置，其中参考过滤F将随着过滤Fβ的增大而增大，我们将提供CDS等信贷工具的相对价格公式。然而，这超出了本文的范围。附录A.Bayes公式此处回顾了Bayes公式的基本结果，无需证明。有关更多详细信息，请参阅[16，第二章7.8]或任何有关贝叶斯统计的书籍。随机区间上的布朗桥设τ和X为概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）分别使用可测量空间（E，E）和（E，E）中的值。设pr是X关于τ=r的正则条件分布，即对于B∈ E、 Pr（B）=P（X∈ B |τ=r），Pτ-a.s。通过Pτ，我们表示τ在（E，E）上的分布（称为先验分布）。此外，对于C∈ E、 将GC定义为：GC（B）：=^CPr（B）Pτ（dr），B∈ E.（A.1）我们对后验概率Q（x，C）：=P（τ）感兴趣∈ C | X=X），对于X∈ E和C∈ E.用px表示X定律。定理A.1（贝叶斯定理）。我们有GC<< PXandQ（x，C）=dGCdPX（x），x∈ E、 C∈ E、 PX-a.s.现在我们假设在（E，E）上存在一个σ-有限度量u，例如<< u，尽管如此∈ E

此外，我们还证明了（E×E，E）上存在一个可测函数p E） 这样p（r，x）=dPrdu（x），u-a.E.，r∈ 引理A.1。我们有（我）GC<< u和dgcdu（x）=^Cp（r，x）Pτ（dr），u-a.e.（ii）PX<< u和dpxdu（x）=^Ep（r，x）Pτ（dr），u-a.e.推论a.1（贝叶斯公式）。P（τ）∈ C | X=X）=Q（X，C）=Cp（r，X）Pτ（dr）Ep（v，X）Pτ（dv），PX-a.s.，C∈ E.推论A.2（后验密度）。关于Pτ，x=x下τ的后验密度q（r，x）由q（r，x）：=P（r，x）给出^Ep（v，x）Pτ（dv）-1，r∈ E、 x∈ E.ThusP（τ）∈ C | X=X）=^Cq（r，X）Pτ（dr），PX-a.s.，C∈ E.为了证明定理4.1，我们必须选择（E，E）=（R+，B（R+），（E，E）=（R，B（R）），X=βt，τ作为默认时间，σ-有限度量u作为度量δ+l，其中δ是0处的狄拉克度量，l是R上的EB-esgue度量。然后推论A.1可以应用于（4.1）右侧的第二项，从而产生（4.2）右侧的第二项。随机区间上的布朗桥26附录B.命题7.2（创新引理）的证明我们首先观察到命题7.2的假设（7.1）意味着^t|Zs|ds<+∞, T≥ 0，P-a.s.在可忽略的集合上使Z等于0，其中`t | Zs | ds=+∞ 对于某些t≥ 0，我们可以在不失去普遍性的情况下假设该属性无处不在。因此，TZSD在任何地方都有很好的定义和定义。通过注释7.1，我们知道对于Z关于fx的可选投影oz，我们有ozs=EZs | FXs, P-a.s.，所有s≥ 0.这个yieldsEh\'t | oZs | dsi≤ Eh\'t|Zs|dsi<+∞, T≥ 0，因此“t|oZs|ds”+∞,尽管如此，t≥ 0，P-a.s.如上所述，在不丧失一般性的情况下，我们可以对P-可忽略集进行修改，使| t | oZs | ds<+∞, T≥ 0，无处不在，但仍然是Z的可选投影。因此，对于所有t而言，“toZsds”在任何地方都是定义明确的≥ 0.因为CEOZ是FX可选的，很明显，OZSD的流程是FX适应的。