计算保险期望赔付额的半参数界

第二，问题d不需要在X的潜在风险分布π的支持d中重新表述。考虑替代支持只需要限制子问题（3）中的搜索空间。最后，问题（2）明确定义为用于生成界值的分布。因此，对于任何计算出的界，产生该界的最坏情况（或下限的最佳情况）分布也可以进行分析；就我们所知，在SDP方法中，对结果分布的这种洞察是不可能的。分析结果分布的能力对保险业和风险管理行业的从业人员尤其重要，将在第5.2节中进一步讨论。第三，CG方法同样适用于上半参数界和下半参数界问题。相比之下，SDP方法通常会导致问题的SDP公式更涉及下半参数界，而不是上半参数界。最后，如第4节所示，CG方法允许添加有关潜在风险所属分布类别的信息（例如，连续、单峰），而无需改变解决算法的核心。4其他分布信息如前所述，在半参数界问题的实际例子中（1）函数gj（·），j=1，m通常被设置为假设基本损失分布的矩的知识；例如，通过设置gj（X）=Xj，j=1，我在（1）中。一般的半参数界问题（1）可以扩展到包括其他矩的额外分布信息（参见，例如，Popescu，2005；Schep-per和Heijn-en，2007）。

这一点很重要，因为结果界限将更加严格，相应的最坏/最佳情况分布将具有特征，与从业者在财务损失情况下对连续性、单峰性和重尾的应用特定知识相一致。本节说明，第3节中概述的半参数边界问题的CG解方法可以扩展，以约束下垫分布为单峰连续分布。4.1混合物转化注意点x∈ J*运行CG算法1后获得的结果可以解释为狄拉克δ分布的平均值δx，由（以x为中心）参数化。反过来，得到的最优分布π*（2）中的随机变量X是Dirac-delta分布的混合物；也就是π*~二甲苯∈J*pxδx.如下所示，当除了期望值约束外，已知π所属的分布类别信息时，CG算法1可用于获得与半参数Bound问题（1）相关的最佳/最坏情况分布；例如，单峰、平滑、不对称等。基本上，这是通过替换δx来实现的→ Hxinπ的混合成分，其中Hxis是由x参数化的适当选择的分布。更具体地说，假设在定义半参数界问题（1）时使用的矩信息，已知分布π是由单个参数x参数化的已知概率分布Hx的混合∈ 例如，x可以是分布Hx的平均值，或者Hx可以是0和x之间的均匀分布。注意，对于anyg:R→ R、 由分布π的混合物组成可知：Eπ（g）=Z∞g（u）Eπ（X）（HX（u））du=Eπ（X）Z∞g（u）HX（u）du= Eπ（X）EHX（U）（g（U））.

（4） 这意味着，在附加分布混合约束下，相关的半参数界问题可以在替换CG（x）后用CG算法1解决→Z∞f（u）Hx（u）du=EHx（f），gj（x）→Z∞gj（u）Hx（u）du=EHx（gj），（5）对于j=1，我在第（2）和（3）项中都有。注意，在许多情况下，（5）中的期望值可以作为混合分布参数x的函数以闭合形式计算。此外，（5）中的期望值通常是x中的分段多项式（例如，如果Hxis是0和x之间的均匀分布），或者可以在变量发生适当变化后写成多项式（例如，如果Hxis是带有chosenvolatility参数σ的对数正态分布）∈ R+和平均值ex+σ）。在这种情况下，在应用变换（5）后，子问题（3）的目标将是x上的分段多项式。如第3.1节所述，子问题可以“精确”求解，并且只要变换（5）后假设1有效，备注2仍然成立。下面的示例1对此进行了说明。此外，正如我们在第5节中的数值实验所示，在大多数实际应用中都是如此。例1。考虑一个简单的保险单，其损失X f不可扣除，或者假定m阶的非中心矩已知。具体地说，设f（x）=max{0，x}，和gj（x）=xj，j=1，M此外，假设已知损耗X的分布是形式为Hx的均匀分布hxo的混合~ 均匀（0，x）在（4）中。即i s，Hx（u）=xI[0，x]（u）。由（5）可知，对于j=1，m、 备注2将适用于任何m≤ 4.在其他情况下；也就是说，当转换（5）后假设1不成立时，我们可以使用x上的u p到F次分段多项式，利用备注2，快速近似（5）中的预期。

或者，考虑到子问题（3）是一个单变量优化问题，可以使用全局优化求解器（如BARON（参见Tawarmalani和Sahinidis（2005））有效地解决它。在第4.2节中，我们将讨论如何使用混合变换（5）通过使用关于单峰的潜在风险分布的合理假设来实质性地增强半参数边界，或通过使用适当分布的混合来增强连续性。此外，在第5.2节中，我们使用该变换构造与给定半参数界问题相关的合理最坏/最佳情况分布。4.2单峰在半参数界问题的许多例子中，可以合理地假设（1）中X的未知分布π是具有已知模式M的单峰分布。当基础随机变量代表金融资产或金融资产组合时，尤其如此，使用参数技术时，这些金融资产或金融资产组合通常由对数正态分布建模（参见，例如Schepper和Heijnen，2007）。在本节中，我们将讨论如何在CG算法求解方法中以s向前的方式使用单峰信息，以获得更严格的半参数界。在下面讨论这一点之前，值得一提的是，在精算学的背景下，假设单峰是不合适的。

例如，如Lee an d Lin（2010）所示，当基础ran dom变量与财产/伤亡损失相关联时，这种情况通常表现出多式联运行为，这是由于复合损失的组合来源（例如，火灾、风、风暴、飓风）。Popescu（2005）已经证明，基础分布的附加约束为单峰分布的半参数有界问题也可以通过callingupon根据Khintchine（1938）关于单峰分布的代表性的经典概率结果重新表述为SDP。具体而言，Kh intchine（1938）证明，任何单峰分布都可以用均匀分布的混合表示，每个均匀分布都以M为端点（右端点或左端点）。通过第4.1节的变量转换，同样的结果可以嵌入第3节的框架中。回想一下，CG算法m可以用混合分布Hx来定义，而ex代表分布的一个参数。特别是对于给定的（mo de）M∈ R、 莱思~ 均匀（最小{x，M}，最大{x，M}）。（6） 用（5）中的HX变换半参数有界问题（1）将导致有界超分布，它是模式M的单峰分布。使用制服混合（6）的简单转换（5）允许CG方法平均化Khintchine（1938）的结果，同时避免像Popescu（2005）的SDP方法那样进行复杂的重新表述。实施单峰是一种简单的特例，它突出了第3.4.3节中讨论的方法的灵活性平滑度和单峰性第3节的基本方法计算所需的半参数边界，并为所有x提供离散（原子）最坏/最佳情况分布（x，px）∈ J与边界有关。

在实践中，使用连续的概率密度函数更理想、更直观。如果一个人正在考虑一个衡量财务损失的问题，那么离散的损失值可能无法提供连续概率密度函数所能提供的洞察力，因为一个结果的离散集合是非常不现实的。使用（6）中定义的均匀混合，可以保证在计算半参数界（1）时产生aunimodal分布。然而，倍增密度将包含多个不连续性，包括模式本身。此外，密度在[min{x:x]区间内仅为非零∈ J*}, max{x:x∈ J*}]; 也就是说，它有有限的支持。希望获得与光滑的半参数边界相关的最坏/最佳情况分布；也就是说，既有连续性又有差异性。下面我们说明，通过在混合中适当地选择分布Hx（及其参数），可以获得光滑和单峰的最坏/最佳情况分布，并密切复制相应的上（最佳）和下（最坏）半参数界。使用CG方法，通过使用变换（5）重新表述半参数边界问题（1），并选择HX，可以很容易地在e上实现这一点~ 对数正态分布（ux，σx），（7）式中，ux，σx由ux+σx=x（eσx）表示- 1） e2ux+σx=α。（8） 对于给定的α∈ R+。也就是说，对数正态分布Hxis的均值设为x，方差设为α。

请注意，除了平均参数x（将用于使用CG算法1构建混合物）外，还需要在（8）中设置第二个参数α，以正确定义对数正态分布Hxin（7）。对数正态混合方法（即（7）和（5））可用于获得半参数界问题（1）的解，其中基本的最坏/最佳情况分布都是单峰且平滑的，并尽可能地复制假设分布为单峰（且不一定平滑）时获得的半参数界。这部分归功于（8）中参数α的选择所提供的额外自由度。为了了解这一点，让我们参考d{E（X）|σ上的u+：=supπa p.d-J≤ Eπ（gj（X））≤ σ+j，j=1，m} -μ-:= d{E（X）|σ上的fπapd-J≤ Eπ（gj（X））≤ σ+j，j=1，m} 在d{Var（X）|σ上，σ：=supπa p.d-J≤ Eπ（gj（X））≤ σ+j，j=1，m} ，（9）并假设-, ■σ有界（即，如果gj（X）=Xj，j=1，m、 和m≥ 2在（1）中），而D R+（如在实践中）。显然，要使对数正态分布混合物（7）适用于半参数有界问题（1），应选择（8）中的α，而不是α≤ 确保混合物所用对数正态分布的方差小于（1）中与期望值约束相关的概率分布π的最大可能方差。此外，作为α→ ~σ. 也就是说，具有对数正态混合的半参数界问题的唯一可行解是方差为α且均值为x的（单个）对数正态w-≤ 十、≤ 是单峰的。因此，存在一个α∈ [0，√σ]，这样使用CG算法1获得的对数正态混合将是单峰的。

为了确定α的值，从而使CG方法获得的对数正态混合是单峰的，并且尽可能接近通过假设（1）中的概率分布π是单峰的（不一定是光滑的）而获得的半参数界，可以使用二等分算法2。算法2：平滑单峰最坏/最佳情况分布1：过程二分法（0<αlo<αhi<σ，>0）2:while |αhi- αlo |>αdo3：αk←（αlo+αhi）4:compute J*, P*:= {p*x} x∈J、 使用CG算法1和Hxin（7）5:ifπ~二甲苯∈J*P*xHxis单峰then6：αhi← αk7:else8:αlo← αk9:end if 10:end while11:return J*, P*, α=αk和M*J12：结束程序说明在上述讨论中，对数正态分布的选择不是关键。相反，只要（7）中的混合分布是平滑的、单峰的，并且在选择参数时至少有两个适当的自由度（例如，在整个实线上有支持的随机变量的情况下，可以使用正态分布来形成混合）。在第5.2节中，我们用一个数值例子说明了如何使用二分法2来获得一个s光滑的单峰最坏情况分布，该分布紧密地复制了最坏情况单峰分布的行为。当使用平滑分布确定混合物成分Hxin（5）时，了解混合物成分Hx选择的影响非常重要。理想情况下，在半参数界问题（1）中，使用平滑分布HX的混合计算边界将在所有可能的平滑分布中产生最佳值。相反，它是包含Hx成分的所有混合物的半参数边界。然而，在下面的定理3中，我们证明了所有光滑单峰分布的最优半参数界与超单峰分布的最优半参数界相同。

粗略地说，这源于这样一个事实，即非均匀分布的密度函数可以用适当的光滑密度函数任意逼近。定理3。半参数有界问题（1）与问题（1）等价，其下垫分布的附加约束是光滑的且单峰的，其下垫分布的附加约束是单峰的。(6).证据让B*ube半参数界问题（1）对应的界，在基础分布π处的附加约束th是单峰的。注意，存在一个d分布π*这样B*u:=Eπ*（f（X））和π*是均匀分布的混合物（参见第4.2节）；也就是说，使用Hx~ （5）中的一致（最小{x，M}，最大{x，M}）。现在，对于η>0，假设πη是替换HxbyHηx（u）=b（x）后得到的混合物- a（x）1+e-η（u）-a（x））-1+e-η（u）-b（x））, （10） 在混合物π中*, 其中a=min{x，M}和b=max{x，M}，其中M是π的模*. 此后，该声明将η→ ∞, 我们得到一个光滑分布Hηx（见附录a中的引理4），它任意接近Hx（见附录a中的引理5）。第5.2.5节提供了一个数值例子来说明定理3。数值说明问题（1）在精算学中特别重要，因为（1）中的目标函数f（·）可以采取常见保险和风险管理产品的支付形式，对于这些产品，潜在损失的分布是不明确的（参见Delage and Ye，2010；Natarajan等人，2011，以获取近期参考）；也就是说，目前尚不清楚具体情况。设X代表损失，d代表与X保单相关的免赔额。

例如，Schepper和Heijnen（2007年，第3.1节和第3.2节）提供了每个保单付款最大预期成本（X）的上限和下限- d、 0）假设损失分布的信息仅为三阶矩。这是通过用f（X）=max（X）解析解（1）来实现的- d、 0），gj（X）=Xj，σ+j=σ-对于j=1，m、 D=R+，m=2,3。（11） 在实践中，损失不会超过某个最大值，比如b。考虑到这一点，Cox（1991年，提案3.2）提供了每保单预期成本最大值（X）的上限和下限- d、 0）假设只有最大潜在损失b和损失分布的二阶矩信息已知。因此，这是通过用f（X）=max（X）解析解（1）来实现的- d、 0），gj（X）=Xj，σ+j=σ-对于j=1，m、 D=[0，b] R+，m=2。（12） 5.1使用UnimodalityLet us的二阶LER界限重新考虑（12）中定义的每个保单的预期成本的半参数界限。注意，从每个保单的预期成本的半参数界，可以很容易地获得保单的预期损失消除率（LER）的界。具体而言，请注意，预期利率与Payoff max{0，X- d} is（比照，Cox，1991）E（LER（X））=E（min（X，d））E（X）=E（X）- E（max（X- d、 0）E（X）。（13） 在实际损失分布不明确的情况下，能够计算预期LER的界限对于试图设定免赔额的保险人来说是有益的。例如，在Cox（1991年，第3节）中，关系式（13）用于获得具有免赔额的保单的预期LER的上下半参数界，假设只知道损失的均值和方差，并且损失不能超过已知的最大值。另一个合理的前提是假设损失分布是单峰的。