计算保险期望赔付额的半参数界

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英文标题：
《Computing semiparametric bounds on the expected payments of insurance
  instruments via column generation》
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作者：
Robert Howley and Robert Storer and Juan Vera and Luis F. Zuluaga
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  It has been recently shown that numerical semiparametric bounds on the expected payoff of fi- nancial or actuarial instruments can be computed using semidefinite programming. However, this approach has practical limitations. Here we use column generation, a classical optimization technique, to address these limitations. From column generation, it follows that practical univari- ate semiparametric bounds can be found by solving a series of linear programs. In addition to moment information, the column generation approach allows the inclusion of extra information about the random variable; for instance, unimodality and continuity, as well as the construction of corresponding worst/best-case distributions in a simple way.
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中文摘要：
最近的研究表明，金融或精算工具的预期收益的数值半参数界可以用半定规划来计算。然而，这种方法有实际的局限性。这里我们使用列生成（一种经典的优化技术）来解决这些限制。从列生成出发，可以通过求解一系列线性规划找到实用的单变量半参数界。除了力矩信息，列生成方法允许包含关于随机变量的额外信息；例如，单峰和连续性，以及以简单的方式构造相应的最坏/最佳情况分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Computing_semiparametric_bounds_on_the_expected_payments_of_insurance_instrument.pdf (307.17 KB)

2022-5-10 14:24:47 上传

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关键词：半参数 Optimization distribution Quantitative Multivariate

通过列生成计算保险工具预期付款的半参数界*Robert Howley+1、Robert Storer1、Juan Vera§2和Luis F.Zuluaga¨1利海大学工业和系统工程系。S.Mohler Laboratory，宾夕法尼亚州伯利恒西帕克大道200号，邮编18015蒂尔堡大学计量经济学与运筹学系，荷兰蒂尔堡5000。最近的研究表明，金融或精算工具的经验收益的数值半参数边界可以使用半有限编程计算。然而，这种方法有实际的局限性。这里我们使用列生成（column Generation，一种经典的优化技术）来解决这些限制。从列生成出发，可以通过求解一系列线性规划找到实用的一元半参数界。除信息外，列生成方法允许包含有关随机变量的外部信息；例如，单峰和连续性，以及以简单的方式构造相应的最坏/最佳情况分布。1导言许多金融和保险工具都可以防止潜在损失，而这些损失很难做出准确的分配假设。在这种情况下，很难提供损失分布的预估值，这反过来也使得很难估算相应保险损失的赔付金额。计算期望报酬的半参数界是一个重要问题*这项工作的开展得益于意外保险精算学会、加拿大精算基金会和精算师学会+霍利的资助。robert@gmail.comrhs2@lehigh.edu§j.c。veralizcano@uvt.nl路易。zuluaga@lehigh.edu，通讯作者。已成功用于处理此问题的方法。

这涉及在只知道潜在损失分布的部分信息（例如时刻）的情况下，确定保险工具的最低和最高预期付款。例如，考虑考克斯（1991）的工作；Jansen等人（1986年）；Villegas等人（2010年）。该方法还被用于估计极端损失概率的界限（Cox等人（2010）），以及保险工具和金融期权的价格（Brockett等人（1996）；罗（1987）；Schepper和Heijn-en（2007））。当产品结构过于复杂，无法开发基于分析或模拟的估值方法，或难以对潜在风险因素做出强有力的分布假设时，这些半参数界限非常有用。此外，即使可以做出分配假设，并且可以导出分析性估值公式或基于模拟的价格，这些边界也有助于检查此类假设的一致性。半参数界方法也被称为分布稳健（见Delage and Ye，2010）或模糊规避（见Natarajan等人，2011）。此外，已经证明，这种方法部分反映了人们自然做出决策的方式（参见Natarajan等人，2011年）。在精算学和金融文献中，有两种主要方法用于计算半参数边界：分析法，通过推导问题特殊情况的封闭式公式（例如，见Chen等人，2011年；Cox，1991年；Schepper和Heijnen，2007年）；通过使用semidede有限元程序设计技术（参见Todd，2001年）解决问题的一般实例（参见Bertsimas和Popescu，2002年；Boyle和Lin，1997年；Cox等人，2011年和2010年）。

Birge和Du l’a（1991）在随机规划文献中提出的一种基于数学优化问题的经典列生成（CG）方法（参见Dantzig（1963，Chp.22）、Lubbecke和Derosiers（2005））求解半参数界的替代数值方法，在金融和精算学文献中很少受到关注。这里，我们考虑CG在金融和精算科学应用中的半参数界。特别是，我们证明，对于所有实际目的，可以通过求解一系列与CGmaster问题相关的线性规划来找到单变量半参数界（参见第3节）。我们还表明，CG ap方法允许以简单的方式包含关于随机变量的额外信息，例如非模态和连续性，以及相应的最坏/最佳情况分布的构造。此外，CG方法以非常小的计算成本获得精确的结果，它的实现非常简单，对于半参数界问题的非常普遍和实际的实例，其实现的核心保持不变。为了说明CG方法的潜力，在第5.1节中，当假定未消除的风险分布为单峰且具有已知的一阶和二阶矩时，计算了右删失免赔额保单的损失消除率的半参数下界和上界。此外，在第5.2节中，我们说明了如何容易地构造和分析与半参数边界相关的最坏/最佳情况分布的连续表示。2问题描述考虑一个随机变量X，其潜在分布π未知，但支持已知 R（不一定是有限的）和区间估计[σ-j、 σ+j]，j=1。

，m表示函数gj:R的预期值→ R表示j=1，m（例如，通常为gj（x）=xj）。（目标）函数f:R期望值的上半参数界→ R定义为：B*:= supπEπ（f（X））s.t.σ-J≤ Eπ（gj（X））≤ σ+jj=1，mπD，（1）上的概率分布，其中Eπ（·）表示分布π下的期望值。也就是说，函数f的上半参数边界是通过在所有可能概率分布π上找到Eπ（f（X））的上确界来计算的，支持s et D，满足2m期望值约束。参数σ-j、 σ+j，j=1，m允许对Eπ（gj（X））的预期值进行置信区间估计，这在（1）的特殊情况（即通常为σ）的分析解中通常不考虑-j=σ+解析解）。函数f的下半参数界被表示为相应的最小化问题，即在（1）的目标中将sup改为inf。我们将详细介绍上半参数界问题（1）的解决方案，它以类似的方式应用于相应的下半参数界问题。此外，为了便于演示，我们将使用（1）同时提到上边界和下边界半参数问题。虽然（1）的具体实例已通过分析解决（见Lo，1987；Cox，1991；Schepper and Heijnen，2007；Chen等人，2011），当函数SF（·）和gj（·）是分段多项式时，半有限规划（SDP）是目前相关文献中用来数值求解一般问题的主要方法（c.f.，Boyle和Lin，1997；Bertsimas和Popescu，2002；Popescu，2005）。然而，SDP方法在从业者使用它的能力方面有着重要的局限性。

首先，目前还没有商用SDPSolver。其次，对于给定问题，需要解决的SDP公式并非“简单”（Cox等人（2010）），必须针对X分布的不同支持集D重新推导（例如，见Bertsimas和Popescu，2002年，命题1）。Birge和Dul\'a（1991）提出了一种替代数值方法，通过使用CG方法（参见Dantzig（1963年，Chp.22）、Lubbecke和Desrosiers（2005））来解决半参数界问题（1），该方法在金融和精算学文献中很少受到关注。在这里，CG解决方案方法解决了上述SDP解决方案方法的局限性。与SDP技术相比，CG解决方案方法的其他优势将在第3节末尾讨论。值得一提的是，尽管在下一节中，我们以伪算法形式（例如，见算法1）介绍了所提出的算法，但我们的算法实现可根据作者的要求提供。3.通过列生成的解决方案在本节中，我们介绍了Birge和Dul’a（1991年，第3节）提出的CG解决方案，以解决半参数界问题（1）。为了简化说明，我们假设（1）有一个可行解，函数f（·）、gj（·）、j=1，波雷尔母马 R（参见祖鲁阿加和佩纳，2005年）。现在让J D是一组给定的对象，通过将概率决策变量px与每x关联，构造与（1）相关的线性规划（LP）∈ J:M*J:=maxpxXx∈Jpxf（x）s.t.σ-J≤Xx∈Jpxgj（x）≤ σ+jj=1。

，m，Xx∈Jpx=1，px≥ 0代表所有x∈ J（2）此外，我们假设集合J D是可行的；也就是说，相应的LP（2）是可行的。这种J的存在 D源于Kemperman（1968年，定理1）的经典r esult，并可通过算法求解CG算法1的第一阶段版本（参见Bertsimas和Tsitiklis，1997）找到。遵循CG术语，给定一组J 我们将（2）称为主问题。请注意，问题（2）的任何可行解都将是问题（1）的可行解（原子分布）。此外，这两个问题的目标是f（x）在相应决策变量分布上的期望值。因此，M*Jis是上半参数bound问题（1）最优值的下界。此外，通过更新集合J，可以迭代地改进这个下界 D在解决主问题（2）后，使用约束的最佳对偶值（参见Bertsimas和Tsitsiklis，1997）。也就是说，让ρ-j、 ρ+j，j=1，mandτ是上/下力矩（即等式（2）中的第一组约束）和总概率（即Px）的双重变量∈Jpx=1）分别约束。给定一个可行集J D、 双变量可用于选择新的x点∈ D、 加上 D、 这将使相应的Lp（2）更接近（1）。特别是，给定ρ-j、 ρ+j，j=1，m和τ，考虑以下子问题，以确定x.S*ρ、 τ：=maxx∈Df（x）- τ -mXj=1（ρ+j+ρ-j） gj（x）（3）（3）的目标值表示将新的点x添加到j中所降低的成本；也就是说，通过在主问题（2）中添加x，可以提高（2）中目标的边际量。使用主问题（2）和子问题（3）可以得到一个迭代算法（在适当的条件下）收敛到（1）的最优值。

更具体地说，在每次迭代中，主问题（2）被求解，其对应的对偶变量被用于子问题（3）中，以选择一个新的点x添加到集合J中 D.这被称为CG算法，因为每次迭代，一个新的变量px，对应于新的给定点x，被添加到主问题（2）中。如果函数f（·），gj（·），j=1，m是连续的，并且已知潜在风险分布的支撑D是紧的，那么列生成算法的渐近收敛性来自Dantzig（1963，Thm.5，C hp.24）。然而，对于本文所考虑的（1）的实际情况的数值解，必须为CG算法设定一个“停止标准”。定理1。让J D被给予，B被给予*, M*J、 S*ρ、 τ分别为（1）、（2）和（3）的最佳目标值。然后0≤ B*- M*J≤ s*ρ,τ.定理1源自Dantzig（1963年，Thm.3，Chp.24），并指出，如果子问题（3）的目标小于，则（2）中下面的LP近似将在（1）的最优目标的范围内。值得一提的是，在关于（1）的可行集的附加假设下，从长远来看，我们有*ρ,τ→ 0; 也就是说，CG算法将收敛到半参数界问题（1）的最优解。这是Dantzig（1963年，Thm.5，Chp.24）的结果。在实践中，定理1仅在假设原始问题（1）可行的情况下，为CG算法的实现提供了停止标准。具体而言，CG算法1可用于确定最优上边界B*高达-准确度。

如前所述，CG算法1的第一阶段版本（参见Bertsimas和Tsitsiklis，1997）可用于构造初始可行集J∈ D.算法1通过列生成的半参数边界1：过程GC（可行J，>0）2:J← J、 S*ρ,τ= ∞3：而S*ρ、 τ>do4：计算M*J、 p*:= {p*x} x∈J、 主问题（2）5的最优目标与解法*ρ、 τ，x*, UBS问题的最优目标与解（3）6:J← J∪ {x*}7： 结束while8：返回J*= J、 p*, 还有M*J≈ B*（在哪里≈ 代表M*日本*)9：结束程序说明（原则上）问题（1）具有有限数量的列（即变量）和有限数量的约束；也就是说，半参数界问题（1）是一个半有限规划。因此，上述方法是Dantzig和Wolfe（1961）最初为LPs、广义线性规划和凸规划（参见Dantzig（1963，Chp.22-24））引入的列生成技术的半有限程序的应用。对于列生成方法的调查，请参见Lubbecke和Desrosiers（2005）。3.1解决Birge和Dulèa（1991）观察到的子问题，使用CG方法解决半参数界问题（1）的主要困难在于，子问题（3）通常是一个非凸优化问题（参见Nocedal和Wright，2006）。然而，在这里考虑的问题的实际相关立场中，以下假设成立。假设1。函数f（·）和gj（·），j=1，m in（1）是小于五（5）度的分段多项式。更具体地说，通常不超过五阶矩的风险信息将被假定为已知（例如，gj（X）=xjj，对于j=1，m和m≤ 5).

此外，函数f（·）通常定义为：保险工具的分段线性成本或支付（例如，f（x）=max{0，x- d} ）；在使用（分段常数）指示函数的情况下（例如，f（x）=I[0，r]（x））；或风险或保险单成本/支付低于预期的时刻（见Brockett等人，1996年；Cox，1991年；Lo，1987年；Schepper and Heijnen，2007年）。在这种情况下，（3）的目标是一个单变量五次（或更低）分段多项式。因此，子问题（3）可以通过找到四次多项式的根来“精确”解决（使用一阶最优性条件（参见Nocedal和Wright，2006）。因此，我们有以下评论。备注2。在假设1下，使用CG算法1，可以通过求解LPs序列（2）来找到问题（1）的解决方案，其中列更新（3）可以通过SimpleArtimic操作找到。此外，由于目前用于求一元多项式根的数值算法，即使涉及问题的多项式阶数高于5，也不难以高精度数值求解子问题（3）。反过来，这意味着算法1对于高次多项式问题的实例表现良好。与Bertsimas和Popescu（2002）提出的半有限规划（SDP）解方法相比，使用上述CG方法生成半参数边界具有几个关键优势；Popescu（2005年）。首先，在大多数实际相关的情况下，只需要（2）的线性规划解算器，并且能够找到（3）的次数不超过四次的多项式。这意味着该方法可以使用任何商业LP解算器，从而获得快速且数值稳定的解。