计算保险期望赔付额的半参数界

为了说明CG方法的潜力，在图1中，我们使用第4.2节的混合变换来计算带有支付函数max{0，X的保单的上下半参数界- d} 假设损失的平均值u和方差σ已知，且损失不能超过b的评估值，其中d是保单的免赔额，且损失分布也假设为模式M的单一模式。结果与Cox（1991，第3节）的分析公式进行了比较，证明了通过添加单峰假设得到的边界的收紧。具体来说，在Cox（1991年，第4节）之后，在图1中，我们设定了u=50、σ=15、b=100和M={45,50}。免赔额40 45 50 55 60 650.70.750.80.850.90.951.05损失消除率界限非单峰（模式=45）单峰（模式=50）免赔额0 20 40 60 80 1000.020.040.060.080.10.120.14损失消除率界限差距非单峰（模式=45）单峰（模式=50）图1：不同免赔额d值的预期LER界限（左）和差距（右），当基本服务水平s的平均u=50，方差σ=225，以及其潜在最大值b=100时，则假定已知。间隙表示上下限之间的差异。结果给出了无单峰约束的界，以及M={45,50}模式的单峰约束的界。在图1中观察到预期的LER间隙；也就是说，当包含非模态时，上下半参数期望LER’s界之间的差异明显更大。当M=50时，间隙是对称的，在平均值/模式处有一个小尖峰。在这种情况下，chm=45会在模式周围的间隙中产生相应的峰值。对于非常高或非常低的免赔额，mo de的选择对差距的大小几乎没有影响。

无论模式的值如何，间隙的大小都相似，并且比假设下垫损失分布不是unimod al.5.2检查最坏情况分布的情况下的间隙更窄。假设我们希望计算由（11）定义的半参数上界，m=2。具体来说，让（1）中的期望值（力矩）约束通过π（X）=u，Eπ（X）=σ+u给出，（14）对于给定的u，σ∈ R+。也就是说，基本损失分布的平均值和方差都假定为已知n。在这种情况下，等式（9）减少到u+π=u-π=u，σπ=σ。Lo（1987）导出了相应的半参数上界问题的封闭形式解，其中他认为（11）中的f是一个带删除的欧式看涨期权的支付。此外，如果假设损失（或资产价格）的基本分布π是单峰的，则相应的半参数上界可以使用：Schepper和Heijn-en（2007年，第3.3节）提供的分析公式、Popescu（2005年）提供的SDP技术，或第4.2节中包含组件（6）的统一混合方法来计算。CGD均匀混合方法很容易提供最坏情况下的d分布。然而，这种分布并不平滑，有一定的支持，作为损失不确定性的模型是不现实的。因此，我们使用（5）中的平滑混合成分计算上界，并检查结果的最坏情况概率和累积密度函数。然后将得到的平滑分布与最佳单峰均匀混合分布进行比较。具体来说，我们使用对数正态混合（7）。特别是，让我们从对数正态资产价格动力学模型中采样u，σIn（14）的值，该模型也常用于模拟（非模糊）损失分布（参见Cox等人，2004年；Jaimungal和Wang，2006年）。

也就是说，设u=XerT，σ=XerT（eνT- 1） 对于x=49.50、r=1%、ν=20%和T=1的值。也让d=Xin（11）；也就是说，考虑一项损失的预期价值等于可扣除金额的保单。对于α的不同值，使用对数正态混合e（7）计算半参数上界∈ [1,1.5，…，20]以及基于Black-Scholes公式的政策参数值上方的百分比绘制在图2中。还绘制了与单峰假设对应的半参数界（由L o（1987）给出），以及第4.2节中具有均匀混合的单峰界，以供参考。图2中的粗体点表示通过二分法算法2和对数正态分布的混合获得的平滑单峰界。此外，该图还显示了一个点（α=11.34），在该点上，由均匀分布混合的二分法算法2和CG算法1获得的边界相等。在e上的图2中可以观察到，对于极低的α值，混合物的组分分布非常窄，接近与Lo（1987）的闭合形式界有关的悲观离散分布情况。我们也将其视为α→ σ=20.4所得边界分布收敛于Black和Scholes资产定价框架规定的对数正态分布。这种收敛如图2所示，因为误差为零，上界价格等于分析的Black-Scholes价格。α2 4 6 8 10 12 14 16 18 20对数正态混合上界非正态混合上界Lo’s bound单峰Lo’s BoundFigure 2：高于Lo（1987）上界（Lo’sBound）和从算法2（对数正态混合上界）获得的对数正态混合的参数Black和Scholes价格的百分比。

b old point表示α=13.75的值，在该值中，从算法2获得的对数正态混合边界产生阿努莫分布。图2还强调了定理3中讨论的结果。使用均匀混合成分计算的界限大于间隙小于4%的对数正态混合物的单峰界限。注意，使用对数正态混合成分的单峰上限出现在α=13.75。如前所述，产生与uniformmixture相同界限值的α为α=11.34。对数正态混合物中的α越小（7），与半参数界相关的保守性越高。图4显示了对数正态混合物在α={11.34,13.75}处的概率分布函数（PDF）和累积分布函数（CDF），以及相关的真实对数正态分布，其均值和方差等于计算半参数界所用的动量。为了突出使用对数正态混合而不是均匀混合的优势，图3显示了最近一段时间的最佳PDF和CDF，以及相关的真实对数正态分布。基本风险值40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0050.010.0150.020.025最优单峰分布最优均匀混合法基本风险值40 60 80 100 120 140 160 180 2000.10.20.30.40.50.60.70.80.9最优单峰累积分布最优均匀混合法图3:PDF和CDF，通过均匀混合法与相关系数进行比较，得出最优单峰界限对数正态分布。基本风险值40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0050.010.0150.020.0250.03最佳对数。混合分布最优对数。混合物（α=11.34）最佳对数n。混合（α=13.75）对数正态基本风险值40 60 80 100 120 140 160 180 2000.10.20.30.40.50.60.70.80.9最优对数。混合累积分布最佳对数。

混合物（α=11.34）最佳对数n。混合（α=13.75）对数正态图4：与相关的对数正态分布相比，通过对数正态混合（参见算法2）产生α={11.34,13.75}的最佳边界的PDF和CDF。在图4中观察到，α=13.75时的单峰对数正态混合相对接近相关真实对数正态分布的形状。与图3的单模态混合PDF相比，它与相关的真实对数正态概率密度几乎没有相似性。需要注意的主要区别是，对数正态混合方法产生一个单一分布，但模式没有规定。使用第4.2节的均匀混合方法将产生具有规定模式的密度，但代价是不现实的分布。σ=11.34时的对数正态混合是双峰的，与真实密度不相似。在每种情况下，累积密度都相当接近真实的CDF。这个例子强调了对数正态混合方法在仍然接近最优单峰边界的情况下构造真实单峰分布的能力；5.3定理3的说明我们通过提供数值结果来说明定理3，从而完成本节。重新考虑（11）中定义的m=2的半参数界问题（即信息中的二阶矩），以及潜在损失分布为单峰的附加约束。假设我们计算了第5.2节中描述的货币政策的半参数上界，以实现前两个已知矩和连续性。为了说明定理3，还使用（10）和η的不同级别计算了运算的上界。

图5中绘制了前者和后者之间的百分比差异与η的关系图。η0.5 1 1.5 2 2.5 3-12-10-8-6-4-2η百分比间隙的单峰约束间隙图5：混合组分（10）的上限如何收敛到单峰约束（6）（无平滑度要求）η→ ∞. 该图显示了作为η函数的这些边界之间的百分比差异。从图5中我们可以看到，通过使用（10）实现算法并增加η，上界收敛到使用混合分量（6）计算的上界。使用Smoothness和Unimodity计算的边界可以产生任意接近但不大于仅强制执行唯一性时获得的值。定理3的含义是，光滑混合物上界的任何收紧都是混合物分布Hx选择的副产品，而不是光滑性的综合。在实践中，可以证实，选择Hxis的边界变化通常相当小。6扩展除了第5节中考虑的保险单的共同特征外，例如保单的免赔额d，以及损失通常不超过最大损失b的事实；最高赔付额和共同保险也是保险单的常见特征。如果一项保单只覆盖美国最大的损失∈ R+，共同保险规定只有一定比例的γ∈ [0,1]的损失将被覆盖，那么保单的赔付可以写成f（X）=γ[min（X，u）- min（X，d）]。所有这些政策修改都可以很容易地纳入CG解决方案框架。

特别是，CG方法可用于计算行业中使用的各种损失随机变量的标准函数的预期保单损失的界限。在第5节的数值示例中，使用（1）中的目标函数f对分段线性保险单支付进行建模，函数gj，j=1，m使用损失分布的最大非中心矩的知识。然而，这里讨论的方法同样适用于不是分段线性政策的函数形式f，以及函数gj，j=1，m可以用来表示非中心矩信息以外的知识。作为一个例子，让CJ成为一些股票X在不同执行价格Kj，j=1，m、 回想一下，此类期权的支付与（11）中描述的d-免赔额保单的支付相同。通过设置Eπ（gj（X））：=Eπ（max（X）），可以定义（1）的约束集，以强制执行期权的市场价格- Kj，0））=cj，j=1，m、 （15）然后可以使用市场价格约束（15）计算基础资产方差的半参数界限。这是通过定义（1）asEπ（f（X））中的目标函数f（X）：=eπ（X- u））（16）其中u是已知的X的第一时刻。Bertsimas和Popescu（2002）表明，使用价格知识（15）计算（16）的半参数界限是计算隐含波动率的标准方法的有用替代方法。对于风险管理，半参数界也可以用来计算潜在风险的单边偏差的界，即其半方差。

这些常见应用中的每一个都很容易融入第3节中介绍的CG方法的框架，展示了CG appr Oachh可用于计算半参数边界的各种环境。7总结提出的CG方法提供了一种实用的基于优化的算法，用于计算一般保险工具和金融资产预期付款的半参数界限。第3节描述了在大多数实际情况下，如何通过求解一系列使用简单算术运算更新的线性程序来解决（1）中描述的一般问题。CG方法也很容易提供与半参数界问题相关的最坏/最佳情况分布的表示。为了说明CG算法的潜力，计算了半参数边界对常见保单支付的影响。研究还表明，额外的分布信息，如连续性和单峰性，可以直接纳入公式中。包含这些约束的能力为满足从业者特定问题知识的兴趣数量和分布提供了更严格的界限。请注意，从Lee和Lin（2010）最近的工作来看，对于一些财产/意外伤害保险问题，可以适当考虑以下随机变量遵循的分布是Erlang分布的混合分布。使用Erlang分布混合的优点是存在从原始数据估计参数的高效期望最大化（EM）算法。

这项有趣的工作将成为未来研究工作的主题。与文献中计算半参数边界的主要方法相比，CG方法为计算半参数边界提供了一种强大且令人信服的替代方法；即，推导问题特殊情况的解析解，或使用半精确编程进行数值求解。这是由于CG算法的速度、通用性和易于实现。CG算法以非常小的计算成本获得精确的结果。用于此处显示的测试问题的str aightForward实现最多在1-2秒内生成解决方案。此外，尽管本文所考虑的示例侧重于获得具有分段线性赔付的保单的半参数边界，给定关于潜在损失的矩信息，但本文提出的CG方法允许使用解算法的同一核心计算非常一般的一类单变量半参数边界。致谢这项工作的开展得益于伤亡精算学会、加拿大精算基金会和精算师协会的资助。附录a均匀分布集X的光滑近似是均匀分布在区间[a，b]上的随机dom变量。X的概率密度函数（PDF）是f（X）=b-a、 可以构造一个近似于f（x）且渐近等于真PDF的s光滑函数。我们定义了以下η参数化函数。fη（x）=b- A.1+e-η（x）-（a）-1+e-η（x）-b）（A.1）概率函数fη（x）是两个移位逻辑函数的差异。引理4。对于任何η>0和a，b∈ R使得b≥ a、 与概率分布Fη（x）相关的累积概率分布Fη（x）为Fη（x）=1-η（b）-a） 在1+e-η（x）-b） 1+e-η（x）-（a）.

特别是limx→∞Fη（x）=1，limx→-∞Fη（x）=0，dfη（x）dx≥ 0代表所有x∈ 在引理5中，我们证明为η→ ∞ （A.1）将收敛到X引理5的PDF。Asη→ ∞ （A.1）中的函数fη（x）收敛于[A，b]上的均匀分布。证据证明fη（x）→ 均匀（a，b）为η→ ∞ 考虑与x的三个区间相对应的三种不同情况。首先考虑x<a的情况。对于x<a，每个指数项都是正的，即0<-η（x）- b） <-η（x）- a） ，对于所有η>0。对于x<a，我们看到fη（x）→ 接下来我们来看x>b。在这种情况下，每个指数项都是负的，这再次产生了0的极限。最后，考虑a<x<b。在这个区间上，指数项满足-η（x）- a） <0<-η（x）- b） 对于所有η>0。对于a<x<b，我们有fη（x）→B-a（1）- 0）=b-a、 我们可以得出结论，fη（x）的极限如下→∞fη（x）=0 x<ab-aa<x<b0 x>b=均匀（a，b）为了证明引理5，考虑x~ 制服（20,30）。X的PDF可以近似为（A.1），其中A=20，b=30。在图6中，我们绘制了X的PDF以及不同η值的ap近似曲线。随机变量值10 15 20 25 30 35 400.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1ηUnif（20,30）η=3.0η=1.0η=0.5η=0.3图6:η不同值的均匀（20,30）分布和近似密度（A.1）的PDF。从图6中，我们可以看到，随着参数η的增加，（A.1）的曲线接近于PDFof X.ReferencesBertsimas，D.和Popescu，I.（2002）。期权与股票价格的关系。运营研究，50（2）：358-74。Bertsimas，D.和Tsitsiklis，J.N.（1997）。线性优化导论。马萨诸塞州贝尔蒙特市雅典娜科学院。伯奇，J.R.和d杜拉，J.H.（1991）。具有有限分布信息的可分r函数的界。