按比例交易成本市场上的分位数套期保值

如果对于两个可接受的策略（v，B）和（\'v，\'B）保持E[νv，B]≥ 那么策略（v，B）至少和（v，B）一样有效。如果（v，B）至少和任何其他可接受的策略一样有效，那么它被称为最优策略。分位数套期保值问题的第一个方面是寻找最优策略的问题，我们将其正式表述如下：对于固定的初始捐赠∈ Γ（0）使v/∈ Γ（H）找到可接受策略（v，B），其中vv、 使E[~nv，B]-→ 为了描述最优策略，我们从以下定理开始。定理4.1存在一个函数∈ R，这是问题的解决方案[~n]-→ maxv∈ Γ（HΓ）。让我们来表示R:={~n∈ R:v∈ Γ（HΓ）}。R6= 从0开始∈ R.让我们∈ Rbe一系列元素，使得E[~nn]-→ sup~n∈RE[~n]。因为{~nn}是L中的一系列元素∞(Ohm), 存在一个在弱流中收敛到~nnk的子序列* 拓扑结构。有人可以证明~n~n属于R。我们将证明v∈ Γ（HΓ）。序列{~nn}的每个元素满足bzv≥ E[bZTHаn]Z∈ Z、 作为弱极限满足Z∈ ZbZv≥ E[bZTH~nnk]-→kE[bZTH]。因此v∈ Γ（HΓ）。下一个定理为我们的问题提供了解决方案。定理4.2假设是定理4.1中的一个函数，策略（v，B）是修改后的未定权益H的混合策略。那么（v，B）是一个最优策略。此外，由于Vv，BT，因此~n=v，B.证明（v，B）是可接受的TH)T0。设（\'v，\'B）是任何可接受的策略，使得v通过引理3.6我们得到：\'v∈这意味着∈ Γ（HΓv，\'B）。从定理4.1中，我们得到了[ν\'v，\'B]≤ E[kа]。（4.2.1）现在，让我们考虑一下策略（v，B）。从Vv开始，英国电信根据引理3.7，我们有：v，B≥ ~φ. （4.2.2）根据（4.2.1）和（4.2.2），我们得到了φv，B=。因此（v，B）是最优的。5分位数套期保值-具有固定有效水平的集合假设，我们得到一个数字ε∈ [0, 1].

我们想要描述有效性不小于1的策略- ε. 这是分位数套期保值的第二个方面，因子任务是描述集合Γε（H），其表示为Γε（H）=nv∈ Rd：存在一个可接受的策略B，例如E[~nv，B]≥ 1.- εo.很明显，εε（H） ε（H）如果ε≤ ε. 因此，对于任何ε，集合Γε（H）包含集合Γ（H）=Γ（H）∈ [0,1]但作为初始资本，它可以包含更多的元素，从而允许对冲一些有效性损失。让我们设定：∈ R:E[~n]≥ 1.- ε}.下一个定理描述了集合ε（H）。定理5.1集合Γε（H）允许以下表示Γε（H）=[Γ∈MΓ（HΓ）。证据让v∈ ε（H）。然后就有了B∈ B使Vv，BTT0和E[~nv，B]≥ 1.- ε. 因此φv，B∈ M和Γ（HΓv，B）[φ∈MΓ（HΓ）。但是v∈ Γ（HΓv，B）通过引理3.6，因此v∈S~n∈MΓ（HΓ）。让v∈S~n∈MΓ（HΓ）。然后就有了∈ I’我是这样的∈ Γ（HΓ）。让我们考虑一下对修改后的或有权益H进行套期保值的策略（v，B）。然后通过引理3.7我们得到了vv，BT钍==> νv，B≥ Д，因此E[Дv，B]≥ E[]≥ 1.- ε. 最后，我们有v∈ ε（H）。6分位数套期保值中的风险度量——在没有交易成本的市场上最小化短缺风险短缺定义为（C）-Xx，BT）+，其中a+=max{a，0}。在本节中，我们将介绍交易成本下与策略（v，B）相关的差额。为此，我们使用了一组比例转移。短缺风险是作为短缺损失函数的预期引入的。我们的目标是在所有可接受的策略下，将固定初始资本的短缺风险降至最低。在第3节中，我们引入了一个随机变量ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | L在片场上定义{Vv，BT它描述了或有权益中成功对冲的部分。我们接受剩下的部分：1.- ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH.

让我们从正式定义开始。定义6.1可接受策略（v，B）的不足是一个随机变量英国电信=英国电信setnVv上的0THo1.- ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH在英国电信的setnVv上索克。备注6.2不足可以用成功函数表示。我们有1个- νv，B=0 1{Vv，BTTH}+1.- ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH{Vv，BTTH}c=s（Vv，BT）。短缺是一个随机变量，取值范围为[0,1]。如果Vv，BT等于0严格来说，如果Vv，BT第。让我们[0,1]-→ R是一个连续的、不递减的函数，使得u（0）=0和u（1）<∞.我们认为这种函数是损失函数。基于损失函数，我们将可接受策略的空头风险定义为E[u（s（Vv，BT））]。很明显，如果v∈ Γ（H）则对冲策略的短缺风险等于0，否则为正。如果对于两个可接受的策略（v，B）和（\'v，\'B）保持E[u（s（Vv，BT））]≤ 然后我们认为策略（V，B）没有（V，B）那么危险。如果策略（v，B）的短缺风险不比任何其他策略更大，那么（v，B）被称为最优或风险最小化。与前几节类似，我们将风险度量问题的第一个方面表述为：对于固定初始捐赠∈ Γ（0）使v/∈ Γ（H）找到可接受策略（v，B），其中vv、 使E[u（s（Vv，BT））]-→ 我们从[3]中证明的辅助引理开始。引理6.3设X，X。。。是[0]的序列，∞) 随机变量。存在一个序列Xn∈ conv{Xn，Xn+1，…}几乎可以肯定的是，~Xn收敛到[0，∞] 有值随机变量X。为了描述最优策略，我们从以下定理开始。定理6.4存在一个函数∈ 这是问题[u（1）的解- φ)] -→ 明夫∈ Γ（HΓ）。让我们来表示R:={~n∈ R:v∈ Γ（HΓ）}。R6= 从0开始∈ R

让我们∈ 元素的序列，例如E[u（1- ~nn）]-→ inf~n∈RE[u（1- φ)]. 根据引理6.3，这里存在一个序列~nn∈ conv{~nn，~nn+1，…}几乎可以肯定的是∈ R.Sinceu（1）- ~nn）≤ u（1）<∞, 利用支配收敛定理得到[u（1）]- ：/~n）]=limn→∞E[u（1- ：/~nn）]=inf~n∈RE[u（1- φ)].从Fatou引理中我们得到了E[bZTH]=E[limnbZTHn]≤ lim infnE[bZTH~nn]≤bZvZ∈ Z.因此v∈ Γ（HΓ）。下一个定理对v的风险最小化策略进行了描述。定理6.5将设为定理6.4中的一个函数，该策略（v，B）为修改后的未定权益H的套期保值策略Y。那么（v，B）是一个最优策略。Fu rthermore，kа=аv，B.证明（v，B）是可接受的，因为Vv，BTTH)T0。设（\'v，\'B）是任何可接受的策略，使得v由引理3.6我们得到了∈Γ（HΓΓv，\'B）什么意味着v∈ Γ（HΓv，\'B）。根据备注6.2和定理6.4，我们得到[u（s（V\'V，\'BT））]=E[u（1- ~nv，\'B）]≥ E[u（1- ~φ)]. （6.5.3）现在让我们考虑一下策略（v，B）。从Vv开始，英国电信根据引理3.7，我们有：v，B≥ ~φ. （6.5.4）考虑到（6.5.3）和（6.5.4），我们得到了φv，B=，因此E[u（s（Vv，BT））]=E[u（H-这证明（v，B）是最优的。7分位数套期保值中的风险度量——具有固定水平短期风险的集合假设我们得到一个数字α≥ 0.我们想要描述短期风险不大于α的策略。这是量化中风险度量问题的第二个方面。我们的任务是提供集合Γuα（H）的描述，称为Γuα（H）：=五、∈ Rd：存在一种允许的策略，例如Ehu（s（Vv，BT））i≤ α.显然Γuα（H） Γuα（H）ifα≤ α.

由于对冲策略（v，B）holdsE[u（s（Vv，BT））]=0，我们得出结论，集合Γuα（H）包含集合Γ（H）=集合Γu（H）≥ 0.让我们设置：={~n∈ R:E[u（1- φ)] ≤ α} 下一个定理描述了集合Γuα（H）。定理7.1集合Γuα（H）允许以下表示形式Γuα（H）=[Γ∈NΓ（HΓ）。这个证明类似于定理5.1的证明。让v∈ Γuα（H）。然后有一个策略B∈ B使Vv，BTT0 andE[u（s（Vv，BT））]=E[u（1）- v，B）]≤ α. 因此φv，B∈ 通过引理3.6我们得到了∈ Γ（HΓv，B）[φ∈NΓ（HΓ）让v∈S~n∈NΓ（HΓ）。然后就有了∈ N这样v∈ Γ（HΓ）。让我们考虑一下对修改后的或有权益H进行套期保值的策略（v，B）。然后通过引理3.7我们得到了vv，BT钍==> νv，B≥ 这意味着[u（s（Vv，BT））=E[u（1- v，B）]≤ E[u（1- φ)] ≤ α.实际上，我们有v∈ Γuα（H）。8零交易成本下的分位数套期保值在本节中，我们将展示如何获得F¨ollmer和Leucert的理论。之前的所有章节都要求EF条件，当然，在零交易成本的情况下，EF条件并不满足。我们将基于Delbaen、Kabanov、Valkeila[2]获得的结果，这些结果比目前使用的结果更不一般，但不需要条件EF。首先，我们简要描述了这些结果，然后回顾了Follmer和Leucert研究的分位数套期保值的两个方面，然后展示了如何在零交易成本下获得他们的理论。在引用的论文中，我们假设交易成本在时间上是常数，由矩阵∧给出。未定权益在由coneK确定的偏序意义下从下有界：=M+Rd+H c1代表一些c∈ R.K独立于t和ω。我们用Q表示概率测度的集合~ 使得stp遵循关于Q的局部鞅。

我们需要EMM状态。问题6=.设D为鞅Z的集合，其中bz取K中的值*和boundedbZT。在这种情况下，我们对套保基金有以下描述：Γ（H）=\\Z∈D{v∈ Rd:bZv≥ EbZTH}。作为练习，我们要检查，在对Γ（H）定理4.1，4.2，5.1的新描述下，这些定理解决了我们的问题，它们仍然是正确的。现在来看一个没有交易成本的经典市场模型。在无套利条件下，标量未定权益C的价格为supQ∈QEQ[C]。在F¨ollmer和Leucert研究的量化问题中，我们只考虑允许的策略（x，B），其中财富过程Xx，Bt≥ 0表示所有t=0，1。。。，T作者将成功函数定义为φx，B=1{Xx，BT，作为衡量成功的有效方法≥C} +Xx，BTC{Xx，BN<C}。第一个问题是小x<supQ∈QEQ[C]是固定的初始捐赠。我们寻找这样的可容许策略（x，B），其中x≤ x、 最大化E[~nx，B]。我们写这个asE[~nx，B]-→ 马克斯≤ x、 第二个问题是ε是[0,1]中的一个固定数。我们寻找这样一种可接受的策略（x，B），其有效性不小于1- ε，以最小化初始资本。我们把这个问题写成[~nx，B]≥ 1.- εx-→ 敏。为了证明这些问题可以在零交易成本下得到，我们必须在我们的市场上找到多维对象的标度等价物。让我来∈ RDS描述了我们的财富是如何以交易成本分配到市场上的股票头寸中的。现在选择第i个股票账户，从其上的所有其他账户转移资金。

那么第i个股票中Y的财富是：Y（i）：=dXj=0（1）- λji）Yj。通常情况下，对于I6=j，Y（i）6=Y（j），但在零交易成本下，我们有Y（i）=Y（j）=Pdi=1Yi。因此，我们接受以下标量等价物：对于初始捐赠v，我们取xv:=Pvi；对于财富过程Vv，Bt，我们取Xxv，Bt:=P（Vv，Bt）i；对于未定权益H，我们取φ。现在我们证明了零交易成本下的分位数套期保值问题与作者对标量等价物的描述相同。首先，注意Vv，BT | LH=P（Vv，BT）iPHiL∈ L（VT，H）。（8.0.5）每升∈ 我们有pvv，BT | LHHi=Vv，BT | LHHi=pv，BT | LHHi=P（Vv，BT | L）i，soVv，BT | LH=P（Vv，BT | L）iPHi。因为成本等于零，所以thusP（Vv，BT | L）i=P（Vv，BT）i和（8.0.5）成立。“自关系”” 变成了线性排序“≥” 对于分量之和，我们得到了成功函数的质量。νv，B=1{Vv，BTH} +ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH{Vv，BTH} c=1{P（Vv，BT）i≥PHi}+P（Vv，BT）iPHi{P（Vv，BT）i<PHi}=1{Xxv，BT≥CH}+Xxv，BTCH{Xxv，BT<CH}=νxv，BOne可以检查对冲基金组的形式为Γ（H）={v∈ Rd:Pvi≥ supQ∈QEQ[PHi]}。然后我们的问题是最大限度地提高效率[νv，B]-→ maxv 五/∈ Γ（H）变成[Γx，B]-→ 马克斯≤ xv<supQ∈QEQ[CH]，福尔默和卢瑟特共同提出的第一个问题是什么。我们的第二个问题是确定集合ε（H）。首先表示如果为v，\'\'v∈ RdholdsP\'vi≥Pviand v∈ ε（H）然后v∈ ε（H）。对于γv:=Pvide fineγ：=infv∈ε（H）γv.如果∈ RdholdsPvi≥ γ然后v∈ ε（H）和ifPvi<γ然后v/∈ ε（H）。因此，集合Γε（H）的形式为Γε（H）={v∈ Rd:Pvi≥ γ}. 问题归结为寻找γ数，这是福尔默和卢瑟特寻找的成本最小化的资本。备注8.1 F¨ollmer和Leucert考虑了Xx、Bt可接受的策略≥ 0 foreach t=0，1。。。，T

我们只需要Xxv，BT≥ 0，什么是泛化。感谢Lukasz Stettner教授进行了有益的讨论，andAnia Stasiuk帮助编辑了这篇论文。参考文献[1]J.Cvitani\'c，I.Karatzas关于风险、金融和随机的动态度量3（1999），451-482，[2]F.Delbaen，Yu。M.Kabanov，E.Valkeila铜市场交易成本下的套期保值：离散时间模型，数学金融12（2002），45-61，[3]F.Delbaen，W.Schachermayer资产定价基本定理的一般版本，Mathematische Annalen 300（1994），463-520，[4]H.F¨ollmer，P.Leucert Quantile套期保值，金融与随机3（1999），251-273，[5]H.F¨ollmer，P.Leuert高效对冲：成本与短缺风险，金融与随机4（2000），117-146，[6]余。M.Kabanov，M.R\'asonyi，Ch.Stricker充分摩擦金融市场的无套利标准，预印本（2001），将出现在《金融与随机》（Finance and Stochastics）[7]中。M.Kabanov，Ch.Stricker交易成本下的Harrison-Pliska套利定价定理，数理经济学杂志35（2001），第2期185-196，[8]H.Pham锥约束下离散时间动态Lp套期保值，暹罗J.ControlOptim。38（2000），第3665-682号。