按比例交易成本市场上的分位数套期保值

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英文标题：
《Quantile hedging on markets with proportional transaction costs》
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作者：
Micha{\\l} Barski
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In the paper a problem of risk measures on a discrete-time market model with transaction costs is studied. Strategy effectiveness and shortfall risk is introduced. This paper is a generalization of quantile hedging presented in [4].
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中文摘要：
本文研究了具有交易费用的离散市场模型的风险度量问题。介绍了战略有效性和短缺风险。本文是[4]中分位数套期保值的推广。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Quantile_hedging_on_markets_with_proportional_transaction_costs.pdf (167.78 KB)

2022-5-10 14:53:41 上传

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关键词：套期保值 交易成本 分位数 Mathematical Quantitative

按比例交易成本的市场分位数套期保值莱比锡大学数学与计算机科学学院、德国数学学院、波兰米查尔华沙红衣主教斯特凡·怀兹基大学。Barski@math.uni-莱比锡。本文研究了具有交易成本的离散时间市场模型的风险度量问题。介绍了战略有效性和短缺风险。本文是[4]中分位数套期保值的一般化。关键词：分位数对冲，短缺风险，交易成本，风险度量。AMS科目分类：60G42、91B28、91B24、91B30。凝胶分类号：G11，G131简介众所周知，在没有交易成本的经典市场上，相关索赔C的价格xO为x=supQ∈QEQ[C]，其中Q是与目标测度P等价的所有鞅测度的集合。这意味着如果我们有一个初始捐赠x≥ x时，我们可以对冲C。因此，对于x，存在一个自我融资策略B，其终值Xx，BT不小于C。如果x<x时，我们不再可以对冲C。对于每个策略，Bwe有P（Xx，BT<C）>0。想要以某种方式对冲C的投资者必须考虑与他不能完全对冲C相关的风险。出现了许多风险度量，例如Cvitani+和Karatzas[1]、Pham[8]、F¨ollmer和Leucert[4]和[5]引入的风险度量。Cvitani\'c和Karatzas研究了以下风险度量：infB∈BE[（C）- Xx，BT）+]，其中B是一组所有自我融资策略。Pham在[8]中引入了LPHedgeing，他的风险度量定义为infB∈BE[lp（C- Xx，BT）+]），其中lp（x）=xpp。Follmer和Leucert在[4]中提供了风险度量的另一个例子。

他们认为所谓的分位数Hedging问题引入了一个与策略（x，B）相关的随机变量，通过定义φx，B=1{Xx，BT≥C} +Xx，BTC{Xx，BT<C}。这个随机变量被称为“成功函数”，其期望值是与策略（x，B）相关的有效性度量。Success函数在区间[0,1]中取值。如果（x，B）是一种套期保值策略，那么φx，B=1，否则P（φx，B<1）>0意味着E[φx，B]<1。他们的目标是找到策略B，以最大化给定x的E[~nx，B]。在下一篇论文[5]中，他们还研究了另一个风险度量，即infB∈BE[l（（C- Xx，BT）+]），其中l是损失函数。本文研究了具有比例交易成本的市场上的风险度量问题。其主要思想基于Follmer和Leucert关于分位数对冲[4]和最小化短缺风险[5]的论文。在有交易成本的市场上，我们得到了一个多维连续索赔H，多维财富过程Vv，Bt和一些基于交易成本构造的锥Kt。圆锥表示“偏序”在这个意义上，x泰<==> 十、- Y∈ KT。我们说策略（v，B）对冲H如果Vv，BT第。在文献[2]、[6]和[7]中，作者给出了集合Γ（H）的特征存在对冲策略B的初始捐赠的RDF，例如Vv、BT第。问题出现了，在某种意义上，什么是初始捐赠的最佳策略/∈ Γ（H）。对于终端财富Vv，BT，我们引入一组比例转移，用L（Vv，BT，H）表示。简单地说，对我来说∈ L（Vv，BT，H）我们有（Vv，BT | L）iHi=（Vv，BT | L）jhj表示所有i，j，其中Vv，BT |是按比例转移后的最终财富。对于这个比率，我们表示Vv，BT | LH:=（Vv，BT | L）iHi。

第3节我们引入了“成功函数”，期望是通过设置φv，B=1{Vv，BT来衡量策略（v，B）的有效性TH}+ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH{Vv，BT我们建立了成功函数的一些有用性质。似乎是φv，B∈ [0,1]和ifv∈ Γ（H）那么对于套期保值策略B，φv，B=1，而对于v/∈ Γ（H）对于每个策略B，我们有P（Vv，BT<1）>0，这意味着E[νv，B]<1。我们的目标是为初始捐赠v找到策略B，以最大限度地提高E[~nv，B]。我们还考虑了另一个问题。一个人≥ ε ≥ 0我们刻画了集合Γε（H） 存在策略B的初始捐赠的RDF，如E[~nv，B]≥ 1.- ε. 这是分位数套期保值的两个方面，类似于F¨ollmer和Leucert提出的主题问题。然后，在第6节中，我们引入了分位数套期保值中的短缺风险。差额定义为ass（Vv、BT）=集合{Vv，BT上的0TH}1.- ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH在片场{Vv，BTTH}c.是一个[0，1]值的随机变量，如果Vv，BT等于0如果Vv，BT是严格的阳性第。它描述了未被策略（v，B）对冲的或有权益部分。我们研究了最小化短缺风险的问题，给出了E[u（s（Vv，BT）），其中u:[0，1]-→ R是一个损失函数。我们在此接受这样的假设，即投资方只考虑未被对冲为损失的或有权益的百分比，而不考虑该部分的价值。和之前一样，我们研究两个问题。首先，在第6节中，我们描述了最小化短缺风险的策略B。第二，在第7节中，我们刻画了存在策略B的初始禀赋集合Γuα（H），使得E[u（s（Vv，BT））]≤ 阿吉文数α的α≥ 0.在第8节中，我们展示了如何在零交易成本下获得F–ollmer和Leucert的理论。

由于[6]中规定的条件EF不满足，我们使用[2]中所示的结果。2.具有比例交易成本的市场在本节中，我们介绍了卡巴诺夫、拉索尼、斯特里克在[6]和[7]中获得的一些结果，这些结果涉及摩擦下不存在套利的条件。我们尤其需要一个套期保值定理来描述允许对或有权益进行套期保值的一组初始捐赠。让(Ohm, F、 （Ft）t=0,1，。。。T、 P）是一个具有完整、离散时间过滤的概率空间。我们假设Fis是一个平凡的σ场，FT=FOhm 我们得到了一个严格正的Rd值、经过调整的过程，该过程描述了d交易证券的奖励。例如，我们可以假设第一部分是债券的价格，但不需要进一步考虑。比例交易成本表示为∧t=（λi，jt）i，j=1,2，。。。，具有非负、自适应项和零对角线的矩阵集合Md+中的值。如果我们想将第j个股票账户的金额增加Lij≥ 在时间t为0时，我们必须从第i个账户转账一笔金额（1+λijt）。数量λijtlij因发生交易成本而损失。给予最初的捐赠∈ Rd我们在每个时间t=0，1。。。，T代理人在时间t的位置可以用vectorbVtof stockunits或投资于每只股票的价值向量VT来描述。这些数量之间的关系是：Vit=^VitSit。运算符“c”也将用于任何随机向量Z，BZ代表（ZS，…，ZdSd）。自融资投资组合的增量定义如下：Vit=^Vit-1· 坐+比蒂=1。。。，d、 t=0，1。。。，T、 初始值的约定Vi-1=vi，S-1=S，Lij-1=0表示i，j=1，2。。。，d在哪里位：=dXj=1Ljit-dXj=1（1+λijt）利特。这里我们指Yt=Yt- Yt-1对于每个流程，请输入Y。

调整的、递增的和非负的过程表示交易成本下从头寸i到头寸j的净累计转移。增量第i个股票账户的价值增值包括两部分：增值税由于价格变动和增长比特是由代理人在时间t的行为引起的。由于配对（v，B）决定了财富过程Vv，Bt，我们将其视为交易策略。在续集中，我们将使用以下符号：L（A，Ft），其中A RDI是一组可测量的随机变量，取集合a中的值。L（Md+，Ft）代表矩阵，其条目为非负且可测量的随机变量。LetMt（ω）：=nx∈ Rd: L∈ L（Md+，Ft）使得xi=dXj=1（1+λijt（ω））Lij（ω）-dXj=1Lji（ω）obe可通过非负转移转换为零的一组位置。这一组是异面圆锥。设Kt:=Rd++mt和Ft:=Kt∩ (-Kt）。集合Kt被称为溶剂区域，是一个多面体圆锥体。它由向量构成，这些向量可以通过正转移转化为仅含非负分量的向量，从而通过从-Mt.Ft表示可以转换为零的位置，反之亦然。FTI是一个线性空间。我们应该说策略（0，B）在时间t是弱套利机会，如果V0，Bt∈ KTP（V0，Bt）∈ Kt\\Ft）>0。如果在任何时候都不存在套利机会，则不存在弱套利机会。缺乏弱套利机会（严格无套利性质）可以用几何术语表示：NAs:Rt∩ L（Kt，Ft） 对于t=0，1，…，L（英尺，英尺）。。。，T、 其中rt:=nV0，Bt:B∈ BB-所有策略的集合。该集合描述时间t时的财富，该财富可以从零开始获得。让我们定义一个有效的摩擦条件。EF：锥Kt（ω）是适当的，即。

对于每个（ω，t），Ft（ω）={0}。在EF条件下，可以将NASRT重写为Rt∩对于t=0，1，…，L（Kt，Ft）={0}。。。，T在EF下，有一些与NAs等效的条件。有关更多详细信息，请参见[6]。本文最重要的结果是描述了允许对冲或有权益的初始捐赠集。让我们从这样一个事实开始，即锥函数“生成偏序”在这个意义上，x泰<==> 十、- Y∈ Kt。未定权益H是一个随机变量，且集合Γ（H）：={v∈ Rd：存在一种策略B，即Vv、BTTH}。代表所有对冲初始捐赠。为简单起见，我们假设Hsomec的Tc1∈ R.[7]中给出的下一个定理提供了集合Γ（H）的描述。定理2.1假设EF和NAS满足，则Γ（H）=nv∈ Rd:^Zv≥ 艾滋Z∈ 其中Z是有界鞅的集合，使得^Zt∈ L（K）*t、 Ft）对于t=0，1。。。，T和whereK*t将双锥面与锥面Kt接合。从现在起，我们假设满足条件EF和NAS。3战略效果。在本节中，我们介绍了战略（v，B）的成功函数φv，B，并确定其属性。其在P下的预期实际上是某种风险度量，但更充分的风险度量将在第6节中定义。我们认为这是一个有效的衡量标准。我们将只考虑可接受的策略，从现在起，我们假设HT0几乎在任何地方。定义3.1如果Vv、BTT0。设（v，B）为可容许策略。我们的目的是描述其对包含H.Divide的索赔的有效性Ohm 分为两部分：{Vv，BTTH}和{Vv，BTTH}c.在片场{Vv，BT我们把φv，B=1。

本节的下一部分是定义组{Vv，BT检查它的基本性质。对于终端财富Vv、BTL和传输L∈ L（Md+，FT）我们将在时间T的交易成本下考虑Vv，BT转让后，由（Vv，BT | L）i=（Vv，BT）i+dXj=1Lji给出-dXj=1（1+λijT）Lij。在所有转移的集合L（Md+，FT）中，我们区分了比例转移的一个子类。定义3.2假设对于可接受的策略（v，B）保持Vv，BT第。转移∈ 如果存在cL，则L（Md+，FT）为比例转移∈ L（R，FT）表示所有比例转移的类别，表示L∈ L（Vv，BT，H）我们表示Vv，BT | LH:=cL。注释3.3 L（Vv，BT，H）不是空的，因为（v，B）是可容许的。这意味着存在∈ L（Md+，FT），其中Vv，BT | L=0，因此cL=Vv，BT | LH=0。比例转移类别的含义是在每个股票账户上实现相同的“对冲率”。我们希望使这个比率尽可能高。因此在片场{Vv，BTTH}cwede FINE~nv，基础设施∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH。这导致对成功函数的以下定义：νv，B=1{Vv，BTTH}+ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH{Vv，BTTH}c引理3.4假设Vv，BT第。存在一个最优转移函数∈ L（Vv，BT，H）等∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH=Vv，BT | bLH。让我们考虑两个依赖于ω的几何对象：平移多面体coneVv，BT+(-MT）及其边界（Vv、BT+(-MT）和向量H.Vv，BT+(-MT）由m个可测向量ξ，ξ。。。，ξm，其中d≤ M≤ d（d- 1） 对于某些l，可以表示为l半空间的交集。第i半空间由d跨越- 1发电机ξi，ξi。。。，ξid-1从集合ξ中。。。，ξm.放置gi=ξi×ξi×。。。×ξid-1其中×表示叉积，我们从集合ξi，ξi，…，中得到一个与每个向量正交的可测向量。。。，ξid-1.

因此，第i个半空间具有以下表示形式：nx∈ Rd:（x）- Vv，BT）·gi≥ 0o，圆锥体的边界可以表示为：x∈ （Vv、BT+(- MT）<==>（（x）- Vv，BT）·gi≥ 0i=1，2。。。，l（x）- Vv，BT）·对于某些i=1，2，…，gi=0。。。，l、 另一方面，向量H所跨越的直线可以用asx表示∈ span{H}<==> x·hi=0i=1，2。。。，D- 1，其中{H，H，H，…，hd-1} 是Rd中的基础，每个向量都是可测量的，H⊥hifor alli=1,2。。。，D- 1.这种基可以通过取集合{H，H+e，H+e…，H+ed}，其中{e，e，…，ed}是Rd中的标准基，选择包含H的d线性独立向量的子集，然后从向量H开始正交化来获得。正好存在一个正交点BV（Vv，BT）+(-MT）与span{H}。因为它是具有可测量系数的线性系统的解（十）- Vv，BT）·gi≥ 0i=1，2。。。，l（x）- Vv，BT）·对于某些i=1，2，…，gi=0。。。，lx·hi=0i=1，2。。。，D- 它是一个可测量的随机向量。因此，也可测量的是bc，其中bv=bcH。每一次转移都是通过从圆锥体向Vv，Bt添加一些向量来表示的(-MT）。AsbL我们得到了BV代表的转会- Vv，BT。根据Vv的构造，我们得出结论，对于任何其他比例转移，Vv，BT | L=\'cH，我们有\'c≤ 公元前。因此，我们得到BC=ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH=Vv，BT | bLH。备注3.5成功的可能性为0≤ νv，B{Vv，BTTH}c<1porateаv，B{Vv，BTTH}c≥ 0，因为（v，B）是可容许的。如果φv，B{Vv，BTTH}c≥ 1然后1{Vv，BTTH}cVv，BT | bLH≥1.这意味着Vv、BT | L≥ H在片场{Vv，BT但这意味着Vv，BT这是矛盾。

总之，如果Vv，BT，成功函数φv，Bis等于1TH且严格小于1if Vv，BT第。在本文的下一部分中，我们将使用setR:={~n：0≤ φ ≤ 1.~n是可测量函数的}，它取[0,1]中的值。我们从成功函数的两个有用属性开始。引理3.6假设（v，B）是一个可容许的策略。然后v∈ Γ（HΓv，B）。根据引理3.4，我们有hv，B=h1{Vv，BTTH}+H ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH{Vv，BTTH}c=h1{Vv，BTTH}+Vv，BT | bL{Vv，BTTH}cT Vv，BTBL是一种最佳比例传输。因此我们有v∈ Γ（HΓv，B）。引理3.7假设（v，B）是某个函数的修改或有权益H的对冲策略∈ R.然后φv，B≥ φ.从Vv开始，英国电信TH~n，存在转移M∈ L（Md+，FT）使Vv，BT | M- H~n≥ 0.LetN∈ L（Vv，BT | M- H~n，H）是集合{Vv，BT上的任何比例转移就这样Vv，BT | M-H~n|对于某些γ，NH=γ≥ 让我们考虑集合{Vv，BT上的终端财富Vv，BT在转移K后，描述如下：首先通过转移M改变Vv，BT，然后改变Vv，BT | M- H|通过转移N.转移K后的终端财富Vv，BT被转移为asVv，BT | K=H|+（Vv，BT | M- H|N.很明显，K∈ L（Vv，BT，H）因为Vv，BT | K=H|+Hγ=（|+γ）H。这导致以下不等式TH}+ess supL∈L（Vv，BT，H）Vv，BT | LH{Vv，BTTH}c≥ 1{Vv，BTTH}+Vv，BT | KH{Vv，BTTH}c=1{Vv，BTTH}+（ν+γ）1{Vv，BTTH}c≥ φ.4分位数对冲——效用最大化集合Γ（H）是一组允许对冲或有权益H的所有初始捐赠。如果∈ Γ（H）那么存在一个策略B∈ B使Vv，BT第。假设我们有一个初始资本v，这样v/∈ Γ（H）。一个自然的问题出现了：什么是v的最佳策略？作为最优性标准，我们接受测量P下的成功函数的期望。